三角形中的角度计算

三角形中的角度计算

要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。

1、内角和定理

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180?/SPAN>

2、外角定理

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3、直角三角形的两锐角

直角三角形的两个锐角之和等于90?/SPAN>

4、等腰三角形的三角的关系

已知等腰三角形的顶角为n埃 蛄降捉俏?/SPAN>(180埃?/SPAN>n?/SPAN>);已知等腰三角形的一个底角为

n埃 蛄硪桓龅捉且彩?/SPAN>n?/SPAN>,顶角为180埃?/SPAN>2n?/SPAN>.

三角形中的角度计算主要分以下三种形式：

1、方程法，

2、推理代换法，

3、特殊值法

1、方程法

例1、在△ABC中，AB=AC，CD平分∠C，∠ADC=150埃 蟆?/SPAN>B

[分析] (1)所求的∠B在△DBC内，已知的∠ADC是△DBC的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD。∠B是等腰△ABC的顶角，∠BCD是底角的一半，可以用∠B表示，所以可利用方程式求∠B。

(2)因为∠A是底角，∠ACD是底角的一半，

∠ADC是已知角，所以可以先求出∠A。

解法1、设∠B=x，则∠ACB=(180埃?/SPAN>x),∠BCD=(180埃?/SPAN>x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC，即

x+(180埃?/SPAN>x)=150?/SPAN>

所以x=140?/SPAN>

解法2、设∠A=x，则∠ACB=x,∠ACD=x。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180

埃?/SPAN>

所以 x+x+150?/SPAN>=180?/SPAN>

解得x=20?/SPAN>,即∠A=20?/SPAN>

∴∠B=180埃?/SPAN>2×20?/SPAN>=140?/SPAN>

例2、在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C比∠A大10埃 蟆?/SPAN>C

解：设∠C=x,则∠A=x－10?/SPAN>,∠B=(x-10?/SPAN>),所以有

x+(x－10?/SPAN>)+(x－10?/SPAN>)=180?/SPAN>

解得x=60?/SPAN>,即∠C=60?/SPAN>

例3、D是△ABC的BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC

[分析]因为AD=BD，AB=AC=CD，所以有∠B=∠BAD=∠C，

∠DAC=∠ADC，且∠BAC+∠B+∠C=180埃 庋 颐强梢陨琛?/SPAN>B=x,列出方程即可求。

解：设∠B=x，则∠C=∠BAD=∠B=x，∠ADC是△ABD的外角，所以

∠DAC=∠ADC=∠B+∠BAD=2x,∠BAC=∠BAD+∠DAC=3x,

∵∠B+∠BAC+∠C=180啊?/SPAN>x+3x+x=180?/SPAN>

解得x=36埃?/SPAN>

即∠BAC=3x=108?/SPAN>

例4、等腰三角形两内角的度数之比是1：2，求顶角的度数。

[分析]等腰三角形的角可分为顶角和底角，所以本题可分为两个种情况来解，即顶角与底角之比为1：2，或底角与顶角之比为1:2.

解：（1）若三角形的顶角与底角之比为1：2，设三角形的顶角为x，则底角为2x,所以有

x+2x+2x=180?SPAN>,

解之可得x=36?/SPAN>

（2）若三角形的底角与顶角之比为1：2，设三角形的底角为x,则顶角2x，所以

x+x+2x=180?SPAN>,

解之可得x=45?/SPAN>

所以顶角为2x=90?/SPAN>

2、推理代换法

例5、如图：在△ABC中，点D在BC边上，且AC=BC，AB=AD=DC，求∠C

解：∵ AD=DC，

∴∠C=∠1，,∠2=∠C+∠1=2∠C

又∵ CA=CB，AB=AD，

∴∠A=∠B=∠2，且∠A+∠B+∠C=180?/SPAN>

∴2∠C+2∠C+∠C=180?/SPAN>

解得∠C=36?/SPAN>

例6、△ABC的两条高AD，CE相交于点M，已知∠A=30埃 ?/SPAN>C=75埃 蟆?/SPAN>AMC

[分析]要求∠AMC，可先求出∠MAC和∠MCA

解：∵AD和CE是高，

∴∠DAC+∠ACD=90埃?/SPAN>

∠ACE+∠CAE=90啊?/SPAN> ∴∠DAC=90埃 ?/SPAN>ACD=15?/SPAN>

∠ACE=90埃 ?/SPAN>CAE=60?/SPAN>

∴∠AMC=180埃?/SPAN>(∠DAC+∠ACE)=105?/SPAN>

例、已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50埃 笳飧鋈 切蔚亩ソ堑亩仁 ?/SPAN>

解：如图一，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE相交于P，则

∠APE＝50埃?/SPAN>

从而有

∠EAP＝90埃 ?SPAN>APE＝40?/SPAN>。

由于AD⊥BC，所以

∠C＝90埃 ?SPAN>EAP＝50?/SPAN>。

如图二，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE的生长线相交于点P，则

∠APE＝50埃?/SPAN>

从而有

∠EAP＝90埃 ?SPAN>APE＝40?/SPAN>。

由于AD⊥BC，所以

∠ACD＝90埃 ?SPAN>EAP＝50?/SPAN>。

所以

∠ACB＝180埃 ?SPAN>ACD＝130?/SPAN>