平面向量数量积的坐标运算与量公式

二.向量的模及夹角的坐标表示
aa a 2 或 a
a a；
1.向量的长度（模）
设a=(x, y),则 a 2 = x2 +y2 , 或 a = x2 +y2
若表示向量a的有向线段的起点和终 点的坐标分别 为（xwk.baidu.com，y1），（x2，y2），那么
a （x2 x1）2 （y2 y1）2
（平面内两点间的距离公式）
二.向量的模及夹角的坐标表示
2.两向量夹角公式的坐标运算
两非零向量a （x1，y1），b （x2，y2）,夹角为
cos a b
x1 x2 y1 y2
ab
x2 1
y2 1
x2 1
y2 1
二.向量的模及夹角的坐标表示 3.两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 a b a b 0 设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则
2 .3 .3 向量数量积的 坐 标运算与度量公式
北
A
45°
东
Ｂ
复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a a a；
a b a b 0; cos a b .
ab
创设教学情境
我们学过两向量的和与差及数乘 向量都可以转化为它们相应的坐标来 运算,那么怎样用
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算； ３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，
形成转化技能。
1于、ar（1的）单已位知向ar量＝，（求4，br3），向量 br 是垂直
（2）已知 a 10 ,b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
（3）已知a (3,0),b (k,5)，且a与b的夹角为3 ，
（a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
法二：（a
b）（ a
b）
a
2
2
b
22
a b 13 20 7
学点二：判断三角形形状 例2 已知A(1，2)，B(2，3)， C证(-明2:，5A)B，试(2判1,断3 2A)BCC(的1(,1-)形2,5状) 并y给出证明.
AC (2 1,5 2) (3,3)
a和b的坐标表示a b呢？
新课学习
一.平面向量数量积的坐标表示
r
r
如图，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量.
a b a b cos y A(x1,y1)
i i 1 . j j 1 . B(x2,y2) a
bj
i j j i 0 .
oi x
一.平面向量数量积的坐标表示
思考1：已知 a (x1, y1),b (x2, y2), 怎样用 a, b
的坐标表示 a b 呢？
a x1 i y1 j
bx i y j
2
2
y A(x1,y1)
a
b
（x1
i
ry21
j）（ x2 i
yr2
j）
r
x1x2 i x1 y2 i j
rr
r2
B(x2,y2)
a bj
oi
x
x2 y1 j i y1 y2 j
a b x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
练习2：以原点和A（5，2）为两个顶
点作等腰直角三角形OAB，B=90，求
点B的坐标.
y B
答案：B的坐标为（ 3，7）
A
22
或（7 ， 3） 22
O
x
uuur
uuur
练习3：在ΔABC中，设AB=(1,3),AC =(2,k),且
ΔABC是直角三角形，求k的值.
解:若A
uur 90o，则AB
uur AC,
uur uur ABgAC=0,1
2+3k=0,
k=-
2 3
.
若B
uur 90o，则BA
uur BC,
uur uur BAgBC=0,-1
1+(-3)(k-3)=0,
k=
8 3
.
uur uur uur uur 若C 90o，则CA CB,CAgCB=0,-2 (1)+(-k)(3-k)=0,
k=1要或2注. 意分类讨论！
a b x1x2 y1 y2 0
（2）平行
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则
a//b x1 y2 x2 y1 0
注意：与向量垂直的坐标表示区别清楚
学点一：数量积的坐标运算的应用 -
r
r
练习：(1) 已知a (1, 2 3),b (1,1),
rrr rr r
a 2, b 2 2，
记a与b的夹角为θ，则
cos
a gb ab
又∵０≤θ≤π，∴
cos
4
评述:已知三角函数值求角时,应注意角的 范围的确定。
r
r
r r rr
3.已知 a （3，4），b （2，1），且（a mb）（a b），
则实数m为何值？
解： a mb （3 2m，4 m） a b （1，5）
求a b，a b ，a与b的夹角.
解: a b 1 3， a b 2 4 2 3 2(1 3)
cos a b 1 , 0 180 , 60 .
ab 2
(2) 已知a (2,3), b (2,4),
则（a b）（ a b）
.
法一：a b (0,7), a b (4,1)
4
求k的值.
答案：（1）b
(
3
,
4
)或b
(
3
,
4
).
55
55
（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
r
r
2.已知 a=(1, 3),b =( 3+1, 3 1)，
则a与b的夹角是多少?
解：由a=(1, 3),b =( 3+1, 3 1),
有 agb 1 ( 3 1) 3 ( 3 1) 4,
B(2,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
AB AC
A(1,2) x
三角形ABC是直角三角形思. 考：0还有
向要量方数法量 之积 一是否为零，是判断相应其两法他条证吗线明？段或方直线的重
学点三：向量与解析几何问题综合
练习1、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是 矩形.
（a mb）（a b） （a mb）（ a b） 0
即（3 2m）1 （4 m） 5 0 m 23
3