初一数学—‘新定义’题型专题训练

初一数学—‘新定义’题型专题训练

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初一数学—‘新定义’题型专题训练

1．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示．例如f （x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7．（1）已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，分别求出g（﹣1）和g（﹣2）值．

（2）已知h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣14，h（）＝a，求a的值．

2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|＝3

解：当x≥0时，方程可化为：x+2x＝3

解得x＝1，符合题意．

当x＜0时，方程可化为：x﹣2x＝3解得x＝﹣3，符合题意．

所以，原方程的解为：x＝1或x＝﹣3．

仿照上面解法，解方程：x+3|x﹣1|＝7．

3．试验与探究：我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数0.写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以

0.为例进行讨论：设0.＝x，由0.＝0.7777…，可知，10x﹣x＝7.77…﹣

0.777…＝7，即10x﹣x＝7，解方程得，于是得0.＝．

请仿照上述例题完成下列各题：

（1）请你把无限循环小数0.写成分数，即0.＝．

（2）你能化无限循环小数0.为分数吗？请仿照上述例子求解之．

4．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc

例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，＝（﹣1）×6﹣3×5＝﹣21．按照这个规定，解答下列问题：

（1）计算的值；

（2）计算：当5x2+y＝7时，的值；

（3）若＝0.5，求x的值．

5．如图所示，将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字形框框出5个数．

探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数p（p＞1）的倍数，这个正整数p是．

探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是15，27，39…，则这一组数可以用整式表示为12m+3 （m为正整数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为；（用含m的式子表示）

运用规律

（1）被十字框框中的五个奇数的和可能是625吗？若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．

（2）请问（1）中的十字框中间的奇数落在第几行第几列？

6．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点M表示的数为．

【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣40和20，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数为．

（2）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？

（3）当t为多少时，线段AB的中点M表示的数为﹣5？并直接写出在这一运动过程中点M的运动方向和运动速度．

7．某县“贡江新区”位于贡江南岸，由长征出发地体验区、文教体育综合区、贡江新城三大板块组成，与贡江北岸老城区相呼应，构建成“一江两岸”的城市新格局．为建设市民河堤漫步休闲通道，贡江新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．

（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下：

甲：12x+8（20﹣x）＝180；乙：+＝20．

根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义．

甲：x表示，20﹣x表示；

乙：x表示，180﹣x表示．

（2）请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B 两工程队分别整治河堤的长度．写出完整的解答过程．

8．我们知道：|a|表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“|a|＝|a﹣0|”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为|a﹣1|小明的想法是否正确呢让我们一起来探究吧!

步骤一：实验与操作：

（1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格

a 3 ﹣5 5 ﹣10 ﹣5.5 …

b7 0 ﹣1 2 ﹣1.5 …A、B两点之间的距

离

4 5 …

步骤二：观察与猜想：

（2）观察上表：猜想A、B

两点之间的距离可以表示为（用a、b的代数

式表示）

步骤三：理解与应用：

（3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度之比是3：2（速度单位：1个单位长度/秒）．

①求两个动点运动的速度；

②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位

置；

③若A、B两动点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动

速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：（1）由题意得：g（﹣1）＝﹣2（﹣1）2﹣3×（﹣1）+1＝2；

g（﹣2）＝﹣2（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝﹣1．

（2）由题意得：a+﹣﹣14＝a，

解得：a＝﹣16．

2．【解答】解：当x＜1时，方程可化为：3﹣2x＝7

解得x＝﹣2，符合题意．

当x≥1时，方程可化为：x+3x﹣3＝7，

解得x＝，符合题意．

所以，原方程的解为：x＝﹣2或x＝．

3．【解答】解：（1）设0.＝x，由0.＝0.5555…，可知，

10x﹣x＝5.55…﹣0.555…＝5，即10x﹣x＝5，

解方程得，

于是得：0.＝；

（2）设0.＝x，由0.＝0.73737373…，可知，

100x﹣x＝73.73…﹣0.7373＝73，即100x﹣x＝73，

解方程得，于是得0.＝．

4．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣40+42＝2；

（2）根据题中的新定义得：原式＝﹣3x2﹣3y﹣2x2+2y+2＝﹣5x2﹣y+2，

把5x2+y＝7代入得：原式＝﹣7+2＝﹣5；

（3）已知等式整理得：﹣3x﹣6﹣6x+2＝0.5，

移项合并得：﹣9x＝4.5，

解得：x＝﹣0.5．