数值分析课程设计实验三

实验三

3．1

一、题目

用泰勒级数的有限项逼近正弦函数

013

2353()sin ,[0,](),[0,/2]()/6,[0,/2]()/6/120,[0,/2]

y x x x y x x x y x x x x y x x x x x ππππ=∈=∈=-∈=-+∈

用计算机绘出上面四个函数的图形

二、算法分析

需要运用matlab 中的画图函数plot （）

三、程序及运行结果 c1.m

x=0:pi/50:pi; y0=sin(x); x1=0:pi/50:pi/2; y1=x1; y2=x1-x1.^3/6;

y3=x1-x1.^3/6+x1.^5/120; plot(x,y0,... x1,y1,... '-.m',... x1,y2,... '-*b',... x1,y3,... '.r'); xlabel('x'); ylabel('y'); grid on 运行结果为：

四、精度分析

随着泰勒公式项数的不断增加，曲线的拟合效果越来越好。

3．2

一、题目

绘制飞机的降落曲线

一架飞机飞临北京国际机场上空时，其水平速度为540km/h ，飞行高度为1 000m 。飞机从距机场指挥塔的横向距离12 000m 处开始降落。根据经验，一架水平飞行的飞机其降落曲线是一条三次曲线。建立直角坐标系，设飞机着陆点为原点O ，降落的飞机为动点(,)P x y ，则x 表示飞机距指挥塔的距离，y 表示飞机的飞行高度，降落曲线为

230123()y x a a x a x a x =+++

该函数满足条件：

(0)0,(12000)1000

'(0)0,'(12000)0

y y y y ====

（1）试利用()y x 满足的条件确定三次多项式中的四个系数； （2）用所求出的三次多项式函数绘制出飞机降落曲线。

二、算法分析

由于

230123()y x a a x a x a x =+++，所以2123'()23y x a a x a x =++，根据初始条件，

可列出一个方程组0

1

2

3;[],[0100000]T T UX b X a a a a b ===，根据公式

1X U b -=即可求出X 。求出X 之后便可求出()y x 的表达式，然后画出它在区间[0,12000]

上的图像（即飞机的降落曲线）

三、程序及运行结果

首先求出系数0123a a a a 的值

U=[1 0 0 0;1 12000 12000^2 12000^3;0 1 0 0;0 1 24000 3*12000^2]; b=[0 1000 0 0]'; X=inv(U)*b; format long X

运行结果为： X =

1.0e-004 *

0 0 0.208333333333333 -0.000011574074074

所以4

2

4

3

()0.208333333333333100.00001157407407410y x x x --=⨯-⨯ 做出()y x 的图像：

x=0:12000;

y=0.208333333333333*10^(-4)*x.^2-0.000011574074074*10^(-4)*x.^3; plot(x,y,'.m');

xlabel('自变量x'); ylabel('因变量y');

title('飞机的降落曲线') grid on

整个程序为：

c2.m

U=[1 0 0 0;1 12000 12000^2 12000^3;0 1 0 0;0 1 24000 3*12000^2]; b=[0 1000 0 0]'; X=inv(U)*b; format long X;

x=0:12000;

y=X(1)+X(2)*x+X(3)*x.^2+X(4)*x.^3; plot(x,y,'.m');

xlabel('自变量x'); ylabel('因变量y');

title('飞机的降落曲线') grid on

运行结果为：

四、精度分析

在求解系数0123a a a a 时，由于计算时会出现舍入误差，所以求得的系数与准确值之间存在一定的误差，但由于对总体的影响很小。

3．3

一、题目

追赶曲线的计算机模拟

问题描述：欧洲文艺复兴时期的著名人物达·芬奇曾经提出一个有趣的“狼追兔子”问题，当一只兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只饿狼出现在兔子正东的100码处。兔子急忙奔向自己的洞穴，狼立即以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。兔子一旦回到洞穴便逃脱厄，问狼是否会追赶上兔子？

这一问题的研究方法可以推广到如鱼雷追击潜艇、地对空导弹击飞机等问题上去。 在对真实系统做实验时，可能时间太长、费用太高、危险太大、甚至很难进行。计算机模拟是用计算机模仿实物系统，对系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测系统的行为效果。根据模拟对象的不同特点，分为确定性模拟和随机性模拟两大类。模拟通常所用的是时间步长法，即按照时间流逝的顺序一步一步对所研究的系统进行动态演示，以提取所需要的数据。

问题分析：首先计算狼的初始位置到兔子洞穴的直线距离：

2210060116.6190D =+≈

由于狼奔跑的速度是兔子速度的两倍，兔子跑60码的时间狼可以跑120码。如果狼沿直线奔向兔窝，应该是可以追上兔子的。但是，有人推导出狼在追赶兔子过程中的运动曲线为

31

2

21200()10303

y x x x =-+

根据曲线方程，当0x =时，200/3y =。也就是说，在没有兔窝的情况下兔子一直往北跑，