太原理工大学MATLAB课程设计报告

一、 设计目的

通过该设计，理解傅里叶变换的定义及含义，掌握对信号进行频域分析 的方法。

二、 设计内容

1. 信号的离散傅里叶变换

从连续到离散：

连续时间信号)(t x 以及对应的连续傅里叶变换)(ˆωx 都是连续函数。由于

数字系统只能处理有限长的离散信号，因此必须将x 和x ˆ都离散化，并且建立对应的傅里叶变换。

假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将)(t x 离散化，就可以得到有限长离散信号，记为)(t x discrete 。设采样周期为T ，则时域采样点数N=L/T 。

)()()()()(1

1

nT t nT x nT t t x t x N n N n discrete -=-=∑∑-=-=δδ

它的傅里叶变换为∑∑-=--==-=1

01

)(1)()()(ˆN n T in N n discrete e nT x T nT t F nT x x

ωδω 这就是)(t x 在时域采样后的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

下面将频域信号转化为有限长离散信号。与对时域信号的处理类似，假设频域信号是带限的，再经过离散化，即可得到有限长离散信号。依据

采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号)(ˆωx

应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，

频域的采样间隔应为1/L 。故，频域采样点数为：N L

T =11

即频域采样的点数和时域采样同为N ，频域采样点为

N

k k NT k <≤=0}/2{πω在DTFT

频域上采样：

=][ˆk x

∑-=-=1

2)(1)(ˆN n nk N i k discrete e nT x T x π

ω 令T=1，将其归一化，就得到离散傅里叶变换。因此，DFT 就是先将信

号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。 离散傅里叶变换：

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ，缩写为DFT ），是傅里叶

变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT 的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT ，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT 。

有限长序列的离散傅里叶变换公式

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==∑∑-=-=-1

0)/2(1

)/2()(1)()()(N n kn

N j N n kn

N j e k X N n x e n x k X ππ MATLAB 函数：fft 功能是实现快速傅里叶变换，fft 函数的格式为： y=fft （x ），返回向量x 的不连续fourier 变化。ifft 功能是实现快速反傅里叶变换，ifft 函数的格式为： y=ifft （x ），返回向量x 的不连续inverse fourier 变化。

若)6cos()(π

n n x =是一个N=12的有限序列，利用MATLAB 计算)(n x 它

的傅里叶变换)(k X 并画出图形，然后再对)(k X 进行离散傅里叶反变换，并求出)(n x 画出其波形。 2. 频率分辨率与DFT 参数的选择

在DFT 问题中，频率分辨率是指在频率轴上所能得到的最小频率间隔

N

f f s

=

∆，即最小频率间隔反比于数据的长度N 。若在)(n x 中的两个频率分别为1f 和2f 的信号，对)(n x 用矩形窗截断，要分辨出这两个频率，N 必须满足

122f f N

f s

-= 通过下面实验，验证上面的结论：设一序列中含有两种频率成分，

Hz f 21=，Hz f 05.22=，采样频率取为Hz f s 10=，表示为

)/2sin()/2sin()(21s s f n f f n f n x ππ==

根据上面结论，要区分出着两种频率成分，必须满足N>400。 1)取)(n x )1280(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X ； 2)取)(n x )5120(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X 。

三、 总体方案设计

1. 信号的离散傅里叶变换

有限长序列的离散傅里叶变换公式

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

==∑∑-=-=-1

0)/2(1

)/2()(1)()()(N n kn N j N n kn N j e

k X N n x e n x k X ππ MATLAB 函数：fft 功能是实现快速傅里叶变换，fft 函数的格式为： y=fft （x ），返回向量x 的不连续fourier 变化。ifft 功能是实现快速反傅里叶变换，ifft 函数的格式为： y=ifft （x ），返回向量x 的不连续inverse fourier 变化。

若)6cos()(π

n n x =是一个N=12的有限序列，利用MATLAB 计算)(n x 它

的傅里叶变换)(k X 并画出图形（见仿真结果中图1和图2），然后再对

)(k X 进行离散傅里叶反变换，并求出)(n x 画出其波形（见仿真结果中

图3和图4）。 2.

频率分辨率与DFT 参数的选择

在DFT 问题中，频率分辨率是指在频率轴上所能得到的最小频率间隔

N

f f s

=

∆，即最小频率间隔反比于数据的长度N 。若在)(n x 中的两个频率分别为1f 和2f 的信号，对)(n x 用矩形窗截断，要分辨出这两个频率，N 必须满足

122f f N

f s

-= 通过下面实验，验证上面的结论：设一序列中含有两种频率成分，

Hz f 21=，Hz f 05.22=，采样频率取为Hz f s 10=，表示为)/2sin()/2sin()(21s s f n f f n f n x ππ==