居余马线性代数课后详细答案
线性代数居余马第5章 特征值与特征向量
5.1.2 特征值和特征向量的性质
定理5.1 若x1, x2 是A属于λ0的两个的特征向量，则 定理 k1x1+ k2x2也是A属于λ0的特征向量(其中 k1, k2是任意常数， 但 k1x1+ k2x2 ≠0 )。 证： x1，x2 是齐次线性方程组(λI− A) x=0的解，所以， ， ， k1x1+ k2x2 也是(λI− A) x=0 的解，故当 k1x1+ k2x2 ≠0 时，也是A的属于λ0 的特征向量。 (λ I− A) x=0的解空间 解空间称为A的关于λ的特征子空间 特征子空间，记作Vλ 。 解空间 特征子空间 dimVλ=n −r (λI− A)
λ1 λ2 A( x1 , x2 ,L, xn ) = ( x1 , x2 ,L, xn ) O λn
(1)
(2)
得
A xj = λj x j ( xj≠0, j=1,2,L,n)
(3)
即x1, x2,L, xn是A的n个线性无关的特征向量(因为P可逆，所以 x1, x2,L, xn线性无关)。必要性得证。
性质2 性质 矩阵A和AT的特征值相同。 证： det(λI− A) =det (λ I − A)T = det ((λ I)T−AT)= det (λ I − A T) *定理 定理5.3 设A是n阶矩阵，若 定理
∑a
i =1
n
ij
< 1 ( j = 1, 2 , L , n )
∑a
j =1
n
ij
i =1 i =1
− a12 L − a1n − a22 L − a2 n = ( −1) n A , 即 c = ( −1) n A n L L L − an 2 L − ann
线性代数课后习题提示
线性代数课后习题提示线性代数习题提示在本习题提示中，我们将参考三本书：1. 线性代数，居余马等，简称《教材》2. 线性代数学习指南，居余马等，简称《指南》3. 线性代数学习指导及习题解答，中国海洋大学数学科学学院线性代数课题组，简称《习题册》第一章课后习题提示习题1. 对角线法展开，或按定义沿第一行展开2. 对角线法展开，或按定义沿第一行展开，此行列式需记牢！3. 对角线法展开，或按定义沿第一行展开4. 沙路法展开，或按定义沿第一行展开5. 沙路法展开，或按定义沿第一行展开6. 沙路法展开，或按定义沿第一行展开7. 参见《指南》第21页8. 沙路法展开，或按定义沿第一行展开以下习题提示中i r 为对第i 行变换，j c 为对第j 行变换 9. 此为副下三角行列式，利用《教材》第6页公式()()1211n n n n D a a -=-L10. 沿最后一行展开，并利用公式()()1211n n n n D a a -=-L 得()()()991101020010201011019!10!900D -+=?-=?-=LL M N M M11. 利用《教材》性质5，与上三角行列式公式2131411111111111110200,,81111002011112r r r r r r -----=-----12. 注意到每一行元素之和都为10，因此将各列加到第一列并提出公因子得123421314132421234123412341234234113410113011310,,102,101603412141202220044412311230111004r r r r r r r r r r r r r r --+++?---?-+?=-------13. 考虑到行列式最后一列有零，利用性质5把最后一列前3个元素打成零得()44231424235042322032232211210210322,110212001117412041204541245211111111r r r r c c ++------=?--+=?-=-14. 参见《指南》第22页15. 行列式中有很多零，利用《教材》第19页例9，利用公式0*A D A BB ==得1213323451D -==16. 行列式中有很多零，将第三，五行互换可以得到第20页 (1.21) 的形式，利用公式*0A D A BB ==求解17. 行列式中有很多零，是第20页 (1.22) 的形式，利用公式()01*k mA D A BB==-得()32112121302603124D ?-=-=-18.()()()()()()()551352000110000020*1112013!1153!5!003000123040005k mA AB B-??--=-=-=----=---L19. 利用《教材》性质3中的求和性质，把行列式展开成2 2个行列式之和，并结合性质4和6得()11111111111111122222222222222223333333333333331a a x c a b c b x a x c b xb c a b c D a a x c a b c b x a x c b x b c x a b c a a xc a b c b xa xc b x b c a b c =+++=-20. 此题跟例7非常类似，若0x =22111111111111111101111111111111111x x x y y yyy+-===++--若0x ≠，利用例7的方法222131411213141111111111111110000,,,,11110000011110000x x x x x y y x x x x xx r r r r r r c c c c c c x y y x y y y yyxyy+-++--------+?-?=+----- 21. 本题不是范德蒙行列式，为此将其加上一行一列补成如下的范德蒙行列式()()()()()()222233331111a b c d d a d b d c c a c b b a a b c d a b c d =------同时将上面的行列式沿第三行展开得2222222233333333333333331111111111111111a b c d a bc d b a c d c a bd d abc abcdb c d a c d a b d a b c a b c d =-+- 因此本题中行列式为上述展式中2d 的系数乘-1，为()()()()a b c b a c a c b ++---22. 本题也不是范德蒙行列式，先行列互换一下，然后与上题一样将其加上一行一列补成如下的范德蒙行列式()()()()()()222233331111a b c d d a d b d c c a c b b a abcda b c d =------同时将上面的行列式沿第二行展开得222233333333333333331111111111111111a b c d a bc d b a c d c a bd d abc abcdb c d a c d a b d a b c a b c d =-+-+ 因此本题中行列式为上述展式中d 的系数，为()()()()ab bc ca b a c a c b ++---，又因为范德蒙行列式为()()()222222111111a a b b ab c b a c a c b cc a b c ==---命题得证23. 参见《指南》第23页 24. 参见《指南》第23页 25. 参见《指南》第24页26. 因为第四行为第二，三行之和的一半，因此4231111110112200001222a b c a bc bcab c a r r r c a b c a b b c c a a b--=+++27. 行列式中有很多零，考虑利用《教材》第19页例9的公式，想化为该形式需要进行一些行列互换，然后利用公式0*A D A BB ==得()()111111444422221134233423141423232222333344333344000000000000,,0000000a b a b a b b a b a a b a b a b r r r r c c c c a a b b a a b b a ba b b a b a b a b a b a b a ==--28. 参见《习题册》第19页 29. 参见《习题册》第19页 30. 参见《习题册》第19页31. 利用Gramer 法则12341234,,,D D D Dx x x x D D D D====，将5个4阶行列式化为上三角行列式求解32. 利用Gramer 法则，系数行列式为12345213141510111111111111111011110111010004,,,441 1011110110010011101111010001011110111101D r r r r r r r r r r r r r -=++++?----?=--- 121314151121314151111111111111111201111100001000,,,,2,3,41131011201000010041101300100001051110411D r r r r r r r r c c c c c c c c --=----++++=------ 因此11114D x D ==，同理可求得234,,x x x 33. 参见《习题册》第19页 34. 参见《习题册》第20页35. 将四个值代入函数中得如下方程()()()23012323012323012323012311101114222333316a a a a a a a a a a a a a a a a ?+-+-+-=?+?+?+?=??+?+?+?=??+?+?+?=? 求解0123,,,a a a a 即可，特别的注意系数行列式为范德蒙()()()()()()()()()()()23323111111111121312131324812221333---=---------=36. 参见《习题册》第20页37. 参见《习题册》第23页，或《指南》第24页38. 参见《习题册》第23页 39. 参见《习题册》第24页 40. 参见《指南》第25页41. 参见《习题册》第24页，或《指南》第26页42. 参见《习题册》第24页43. 参见《习题册》第25页，或《指南》第27页44. 参见《习题册》第26页，或《指南》第28页 45. 参见《习题册》第26页，或《指南》第31页 46. 参见《习题册》第26页 47. 参见《习题册》第27页48. 平面的一般方程为ax by cz d ++=，分两种情况讨论： (1) 若0d =，方程为0ax by cz ++=，将三点坐标代入得023030a b c a b c a b c ++=??+-=??--=?因为系数行列式1112310311D =-≠--由Gramer 法则得0a b c ===，不符合题意 (2) 若0d ≠，考虑方程'''1a b cb yc z x y zd d d++=++=将三点坐标代入并由Gramer 法则求解即可49. 参见《习题册》第27页，或《指南》第32页50.参见《习题册》第28页，或《指南》第35页。
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
作业
• A 9（2）， 10（2），13，14 • B 3，5
注意：
（1）最大无关组不唯一; （2）向量组与它的最大无关组是等价的.
一、最大线性无关向量组
定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
1,2 , ,r，满足 （1）向量组A0 :1, 2 , , r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有
r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个数r称为向量组
(a1 , ,ar ) (b1 , ,br )K r 1 , 即A0组能由B0组线性表示. 从而A组能由B组线性表示 .
证二 设向量组A和B的秩都为 r. 因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而
成的向量组( A, B)能由A组线性表示. 而A组是( A, B)组的部分组,故A组总能由
( A, B)组线性表示. 所以( A, B)组与A组等价,因此 ( A, B)组的秩也为r.
因B组能由A组线性表示，故B0组能由A0组线性 表示，即有r阶方阵K r使
(b1 , ,br ) (a1 , ,ar )K r
因B0组线性无关，故R(b1 , ,br ) r.
根据定理2推论2，有 R(K r ) R(b1 , ,br ) r
但R(K r ) r，因此R(K r ) r. 于是矩阵K r 可逆，并有
又因B组的秩为r , 故B组的最大无关组B0含r 个向量,因此B0组也是( A, B)组的最大无关组, 从 而( A, B)组与B0组等价.
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3
r1 ~ r3
0 2
2 6 4 3 5 4
3 1 9 5
r3 2r1
r4 ~3r1
1 0 0 0
1 2 5 2
5 6 15 6
3 4 10 4
r1 r3
r3 ~2r1
r4 3r1
1 1 5 3 0 2 6 4 0 5 15 10 0 2 6 4
k11 k1r
(b1 , ,br ) (a1 , ,as )
ks1 ksr
如果r
s，则方程组
K sr
x1
0
(简记为Kx
0)
xr
有非零解（因 R(K ) s r），从而方程组
(a1 , ,as )Kx 0 有非零解，即(b, ,br )x 0有非零解，这与B0组 线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.
三、向量组秩的重要结论
定理２ 设向量组B能由向量组A线性表示，则向 量组B的秩不大于向量组A的秩. 证 设向量组B的一个最大无关组为B0 : b1, , br， 向量组A的一个最大无关组为 A0 : a1, , as ,要证 r s.
因B组能由A组线性表示，A组能由A0组线性表示.
故B0组能由A0组线性表示. 即存在系数矩阵K sr (kij ),使得
~
r4 2r2
1 1 5 3 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1r1~r21
1 0 2 1
0 1 3 0 0 0
2 0
.
0 0 0 0
1 0 2 1
~ 初等行变换 0 1 3 2
(a1 ,a2 ,b1 ,b2 )
0 0 0 0
0 0 0 0
即得
线性代数讲义课后习题答案
线性代数讲义课后习题答案线性代数是数学中的一门重要课程，它研究的是向量空间及其上的线性变换。
通过学习线性代数，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，例如解线性方程组、求特征值和特征向量以及进行矩阵运算等。
而为了巩固所学知识，许多教材都会附带习题，让学生进行练习和巩固。
本文将给出一些线性代数讲义的课后习题答案，希望能够帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。
一、向量空间与线性变换1. 证明：若V是一个向量空间，那么V的零元素是唯一的。
解：设0和0'都是V的零元素，则有0+0'=0'，又有0+0=0，由向量空间的加法结合律可知0=0'，即零元素是唯一的。
2. 证明：若V是一个向量空间，那么对于任意的向量v∈V，它的负元素也是唯一的。
解：设v和w都是向量v的负元素，则有v+w=0，又有v+(-v)=0，由向量空间的加法逆元素的唯一性可知w=-v，即负元素是唯一的。
3. 证明：若V是一个向量空间，那么对于任意的向量v∈V，有(-1)v=-v。
解：根据向量空间的定义，(-1)v+v=0，由加法逆元素的唯一性可知(-1)v=-v。
二、线性方程组与矩阵运算1. 解线性方程组：2x + 3y = 74x - 2y = 2解：通过消元法，将方程组化为行阶梯形式：2x + 3y = 70x - 8y = -12可以得到y的解为y = 3/4。
将y的解代入第一个方程，可以得到x的解为x =1/2。
因此，线性方程组的解为{x = 1/2, y = 3/4}。
2. 计算矩阵的乘积：A = [1 2 3; 4 5 6]B = [7 8; 9 10; 11 12]解：矩阵A的维度为2×3，矩阵B的维度为3×2，因此可以进行矩阵乘积运算。
AB = [1×7+2×9+3×11 1×8+2×10+3×12;4×7+5×9+6×11 4×8+5×10+6×12]化简得到：AB = [58 64;139 154]因此，矩阵AB的结果为[58 64; 139 154]。
线性代数课后答案 (2)
线性代数课后答案问题11.1 解释什么是向量空间？向量空间是由一组向量构成的集合，满足以下条件： 1. 加法封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，其和仍在向量空间内。
2. 数量乘法封闭性：对于向量空间中的任意向量和任意标量（实数或复数），其数乘结果仍在向量空间内。
3. 含有零向量：向量空间内存在一个零向量，使得任意向量与零向量相加等于原向量本身。
4. 反元素：对于向量空间中的任意向量，存在一个相反向量，使两向量相加等于零向量。
1.2 什么是线性相关性？一组向量中存在一条非零向量线性表示为其他向量的线性组合，这组向量就是线性相关的。
1.3 什么是线性无关性？一组向量中不存在非零向量线性表示为其他向量的线性组合，这组向量就是线性无关的。
问题22.1 矩阵的秩是什么？矩阵的秩（rank）是指矩阵的行向量组或列向量组中的线性无关的向量的最大个数。
2.2 什么是线性变换？线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，同时满足以下两个条件：1. 加法映射：对于向量空间中的任意两个向量，其映射后的结果的和等于映射前两个向量的和。
2. 数量乘法映射：对于向量空间中的任意向量和任意标量（实数或复数），其映射后结果等于映射前向量与标量的乘积。
2.3 什么是零空间？零空间是线性变换的一个重要概念，它由所有被映射到零向量的向量组成。
问题33.1 解释什么是特征值和特征向量？对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和常数λ，使得矩阵A与向量x的乘积等于标量λ乘以向量x，那么λ就是A的一个特征值，x是对应于λ的特征向量。
3.2 什么是特征值分解？特征值分解是指将一个矩阵分解为特征值对角线上的矩阵和特征向量组成的矩阵的乘积。
3.3 为什么特征值和特征向量很重要？特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们能够提供矩阵变换的有关信息，例如矩阵的缩放和旋转程度。
同时，特征值分解能够简化许多线性代数运算，如矩阵的乘法和求逆运算。
线性代数课后习题答案全习题详解
线性代数课后习题答案全习题详解线性代数是一门重要的数学学科，对于许多理工科专业的学生来说，掌握好线性代数的知识是非常关键的。
课后习题是巩固所学知识、加深理解的重要途径，而一份完整的习题答案详解则能够帮助学生更好地掌握知识点，提高解题能力。
在学习线性代数的过程中，我们会遇到各种各样的习题，涵盖了向量、矩阵、线性方程组、行列式、特征值与特征向量等多个重要的概念和知识点。
这些习题的难度各不相同，有的需要我们熟练运用基本的定义和定理，有的则需要我们具备较强的逻辑推理和计算能力。
对于向量这一章节的习题，常常会涉及到向量的线性组合、线性相关性、向量空间等概念。
例如，判断一组向量是否线性相关，就需要我们通过构建方程组，求解方程组的解来判断。
如果方程组只有零解，那么向量组线性无关；如果方程组有非零解，那么向量组线性相关。
在解答这类习题时，我们要清晰地理解线性相关和线性无关的定义，熟练掌握求解方程组的方法。
矩阵是线性代数中的核心概念之一，关于矩阵的习题也是多种多样。
比如矩阵的乘法运算、矩阵的逆、矩阵的秩等。
在进行矩阵乘法运算时，要注意矩阵的行列数是否匹配，计算过程要仔细认真，避免出现错误。
求矩阵的逆时，要先判断矩阵是否可逆，如果可逆，可以通过伴随矩阵或者初等变换的方法来求解。
而矩阵的秩的求解，则需要通过对矩阵进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，从而确定矩阵的秩。
线性方程组是线性代数中的重点和难点内容。
解线性方程组的方法有很多，如高斯消元法、克拉默法则等。
在实际解题中，我们需要根据方程组的特点选择合适的方法。
对于未知数个数较多、系数矩阵较为复杂的方程组，通常使用高斯消元法；而对于系数矩阵为方阵且行列式容易计算的方程组，可以使用克拉默法则。
此外，还需要判断线性方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解，并求出其解的表达式。
行列式是一个重要的数学工具，其计算方法有多种，如按照定义展开、利用行列式的性质进行化简等。
在计算行列式时，要善于观察行列式的特点，选择合适的计算方法，以提高计算效率。
线性代数课后习题答案
线性代数课后习题答案线性代数是数学领域中重要的一门基础课程，其中必不可少的内容之一就是习题。
以下是线性代数中的一些习题及其答案。
1. 矩阵加法设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，求$A+B$。
解：$$A+B=\begin{bmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{bmatrix}=\begin{bmatri x}6&8\\10&12\end{bmatrix}$$2. 矩阵乘法设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，求$AB$。
解：$$AB=\begin{bmatrix}1*5+2*7&1*6+2*8\\3*5+4*7&3*6+4*8\end{bmatri x}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}$$3. 矩阵转置设$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$，求$A^T$。
解：$$A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$$4. 矩阵求逆设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
解：$$\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\3&4&|&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow[r_2-3r_1]{r_2\div 3}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&-2&|&-3&1\end{bmatrix}$$$$\xrightarrow{r_2\div (-2)}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&1&|&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\xrightarrow[r_1-2r_2]{r_1-2r_2}\begin{bmatrix}1&0&|&-2&1\\0&1&|&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$所以$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\ \frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。
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1、22220a aba b ab ab ab b =⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi ba bi a bi ab a b ab a b a a bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)0101w w w w w ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663xxxx x x x x x x x x x =++---=-+9、143000400400431(1)0434*******4324321+-=-=-按第行展开10、公式：111112111222222122112212000000000000n n nn nn nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)000n n n nn n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111110002----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123412341234211132341134101131031101022234121412022211141412311230111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、504211111111210112111210210143247412041200324153111150420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）3656411111111111111125453254530327503275363422546503287000122546536342030750020011111365640329700022------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（）15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000*********01000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）23001121120030212(1)30212*(5)6000240312401240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!030004000500B ---==------=----所以3*5*(1)||||3!5!0AA B B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b xb c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、11111111211111003111110041111100x x x x x y x y y x y++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()0000x x xxy y x x xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac a ab c b a c a b a c a a b c b a c a--==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a bb b a b a b ac a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b bb cc ---= 故原式得证。
解法2：分析：观察到右端的行列式是一个3阶范德蒙行列式 解答：构建新的4阶范德蒙行列式：2323232311()11a a a b b b f x c ccxx x =()f x 按第4行展开得：2341424344()f x M M x M x M x =-+⋅-⋅+⋅ (1)其中，23234223111a a M bb c c =，22442111a a M b b cc =按范德蒙行列式结论得：()()()()()()()f x x a x b x c c a c b b a =------32()()()()()x a b c x ab bc ca x abc c a c b b a ⎡⎤=-+++++----⎣⎦ (2)式子(1)和(2)对比，可得42()()()()M ab bc ca c a c b b a =++---44()()()M c a c b b a =---可以看出，4244()M ab bc ca M =++，即232232232111()111a a a a b b ab bc ca b b c c c c =++，得证.23、10202102120014002235430234554300250000000000a a a b b c a b ac bd abcd c c b c d d d d-==⋅=第，列第，行对换对换24、211001010011011(1)(1)010110101001a b b a c c c d d d+-=-+------()1a bcd d b cd ++++ 1abcd ad ab cd =++++(1)1(1)(1)ab cd ad cd ab cd ad =++++=+++25、2222222222222222(1)(2)(3)21(1)(2)(3)31(1)(2)(3)41(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d +++-+++-+++-+++第列第列第列第列第列第列2222214469214469214469214469a a a ab b b b cc c cd d d d ++++++++++++2222212632*22126043*221262126a ab b cb d b +-+=-++第列第列第列第列26、11114212011143200001222a b c a b c bc a b c a c a b ca b b c c a a b -=-+++第行*第行第行*第行27、111111222244333333444422000000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a a b a b b a b a b a -第2,4列第2,4行对换对换 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--28、1222212222212222210000223221010312221210030n 1222212n n n n ------第行第行第行第行第行第行22221210000013200030n 20002n n -----第行第行第行第行第行第行2122220101(1)12(2)!0030002n n n +-⋅⋅=-⋅---按第列展开29、1n +阶范德蒙行列式的计算和n 阶范德蒙行列式的计算是类似的，只需将n 阶范德蒙行列式的n 换成1n +。
本题中1,1,2,1i x a i i n =-+=+，根据范德蒙行列式的计算公式知，原式()11ijj i n x x ≤<≤+=-∏()()()()()()()()213141113242121n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x +++=--------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()12312311n n =--------+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()121!11!12!1n n n n n n --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=------⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()1111!1!2!2!n n n n n -=-----()()()()121!1!2!2!n n n n n +=---()(1)211!nn n k k +==-⋅∏30、观察发现，第i 行可提出公因子n i a ，1,2,,,1i n n =+。