第11章 质点系动量矩定理14jzPPT课件

动量矩
质点动量矩 对定点 O对: z轴：
定位矢量, 矩心O点
代数量
M O(m v)rm v
z B
MO(mv)
M z(m v)M z(m vx)y
Mz(mv)
q
二者关系
r
[M O (m v)z]M z(m v) O
mv
A y
B’
x
A’ mvxy
质点系的动量矩
对定点: L O ri m ivi M o(m ivi)
刚体对轴的转动惯量
定义： Jz miri2 恒为正值
i
1.
积分Jz法
r2dm
V
[1] 匀质细直杆(长为l , 质量为m )
对z 轴的Jz : Jz
l
2 l
2
x2 mdx 1m2l l 12
？ 对于z' 轴的Jz' :
l
Jz'
0
x2mdx1m2l l3
[2] 均质圆盘或圆柱 质量M，半径R
Jz
1 2
MR2
R
[3] 均质细环 质量M，半径R
z M
Jz MR2
2.回转半径
z
Jz mz2 z
Jz m
称为刚体对 z 轴的回转半径。
3. 平行移轴定理
设质量为m的刚体，质心为C， O'z'//Cz
J zC m ir i2m i(x i2 y i2 )
m iyi mC y0
J z 'm ir i'2 m i(x i'2 y i'2 )
O
L o (rim ivi) (miri)vi
刚体的动量矩 Mcrv rc Mvc
将全部质量集中于质心，平动刚体作为一个质
点来计算其动量矩
定轴转动刚体: z
LOz (mivi)ri
i
F2
Fi
(miri)ri
i
( miri2)
ri
vi
mi
i
记 Jz miri2
i
—— 刚体对z轴的转动惯量
求：制动所需时间 t .
解：
JOddt FRf FNR
0 0
JOd
t 0
fFNRdt
t JO 0 fFN R
例题
已知：J1,J2,i12RR12 ,M1,M2。 求： 1 。
解：
J11M 1F tR 1
J22FtR2M 2
因
Ft
Ft
，
1 2
i12
R2 R1
，得
1
M1 J1
M2
i12 J2 i122
12、01选3年课冬网季址学期力学实验安排 http://www.mechlab.shu.edu.cn/De
fault.aspx
2、选课时间 12月30日8：00时—— 2日24：00时截至（学生登陆的帐号
和密码均为自己的学号）。
第十一章 动量矩定理
动量定理
建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系 机械运动规律的一个侧面（平动效应），而不是全貌。
重物平L动O2＝mvRWg vR 四、应用理论： 动量矩定理
其中
微分形式
Jova=PW =RgRaPRAMWWddLRtOdadtP(JM0M Oe W L W gO＝ vR R )L (JR OoM 1＋ W L gW OR 2)R
例题
已知：两小球质量皆为 m,初始角速度 。 0
求：剪断绳后,q角时的 .
例题
N 解: 对整体 受力分析: 重力，轴承反力
运动分析： 圆周运动
因 Mze 0 系统动量矩守恒
有 Lz1Lz2 常量
又 q 0 时,
Lz12ma 0a2m2 a0
q 0 时,
Lz2 2m (alsiqn )2
由 Lz1 Lz2
(a
a20 l sinq)2
刚体定轴转动运动微分方程
L O z (m iv i)r i(m ir i )r i J z z
F1
x
Fn y
Loz Jz
？ 平面运动刚体
质点系的动量矩定理
质点的动量矩定理
d(mv) F dt
两边左叉乘矢径 r , 有rd(mv) rF dt
d(r m v)rd (m v)d r m v
dt
d t d t
而 d d t r m v v m v 0,r F M O (F )
d d t(r m v ) r F , d d t[M O (m v ) ]M O (F )
Fi
Fn
微分形式
d LO dt
MOe
固定直角坐标投影形式
d d L tO xM O e,x d d L tO yM O e,y d d L tO zM O e z t2 积分形式 LO2 LO1 MO edt
t1
固定直角坐标投影形式
t2
守恒形式 Lx2 Lx1 MO e xdt
t1
M
e O
对质z点轴系:对定点O 的动i 量矩等于质 i z
点系中所有质点对于点定 O 的动
vi
量矩的矢量和（主矩）
Lz Mz(mivi)
i
质点系对于某轴（z轴）的动
m2 O ri
mm1 i
y
量矩等于各质点对于同一 z 轴的
动量矩的代数和
二者关系
x m3 mn
[LO]z Lz
平动刚体:
C
rc ri
vi vc
例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的 动量都是零，动量定理不能说明这种运动规律。
动量矩定理:
则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或 质心的运动规律（转动效应）。
几个有意义的实际问题
？ 谁最先到
达顶点
几个有意义的实际问题
？ 为什么二
者转动方 向相反
几个有意义的实际问题
航天 器是怎 样实现 姿态控 制的
i
i
dLOz dt
பைடு நூலகம்
M
e Oz
F2
Fi
J z ＝ M z J z ＝ M z
ri vi mi
J z ＝ M z
—— 刚体定轴转动微分方程F1
Fn y
x
例题
已知: R,Jo, F1,F2
求:
解: 受力分析如图
Jz＝Mz
由定轴转动微分方程
Jo(F1F2)R
(F1 F2)R
Jo
Foy Fox
例题
已知：JO,0,F，N,动R滑动摩擦因数 。 f
＝0，
Mxe 0,
LLOx
C =常矢量
= C1 =常量
例题
已知: 均质圆轮半径为R、 质量为m, 转动惯量为Jo， 受力偶M. 重物重量为W。
O M
求：重物的加速度.
A
W
例题
解:一、研究对象： 整体
Foy
O
M
Fox
二、受力分析: Mg MW FoFxoy 三、运动分析：
mg
ap v
轮定轴转LO1＝JO
——质点对固定点的动量矩定理
质点系的动量矩定理
F1
d dt(rim ivi)riFiiriFie
z
vi
n个方程相加后得
F2
d dt i
rim ivi
i
riF ii
i
riF ie
m2 O ri
mmi1
y
内力矩之和 ri Fii 0 x m3 mn
i
于是得
d dt i
rimivi
i
riFie
xi xi', yi'yid，
J z'm i[x i2 (y i d )2 ]
mi(xi2yi2)( mi)d2 2d miyi