立体几何八大定理

l

m

β

α

α

b

a

N

M

C

B A

D A 1

B 1

C 1

D 1α

D

C

B

A

线面位置关系的八大定理

一、直线与平面平行的判定定理：

文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行

图形语言： 符号语言：

//a b a b αα⊄⎫

⎪

⊂⎬⎪⎭

⇒//a α 作用：线线平行⇒线面平行

典例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,A B CC 的中点，

求证：//MN ABCD 平面

二、直线与平面平行的性质定理：

文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直

线就和交线平行。

图形语言：

符号语言：//l l m α

βαβ⎫⎪

⊂⎬⎪⋂=⎭

⇒//l m

作用：线面平行⇒线线平行

典例：如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈，求证：AC BD =

C

A

B

B 1

A

1

C 1

D E

b a F

E γ

βαD

C

B A

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：

//a b a b A a b αααβββ

⊂⎫⎪⊂⎪⎪

=⇒⎬⎪⎪⎪⎭

∥∥ 作用：线线平行⇒ 面面平行

典例：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别是BC 与11B C 的中点， 求证：平面1//A EB 平面1ADC

四、平面与平面平行的性质定理:

文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言:

符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫

⎪

⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭

作用: 面面平行⇒线线平行

典例：如图，////αβγ，直线a 与b 分别交,,αβγ于点,,A B C 和点,,D E F ， 求证：AB DE

BC EF

=

n

m

A

α

a

α

b

a

F

E

P

D C

B

A 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a m

a n a m n A m n ααα⊥⎫

⎪⊥⎪

⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭

作用：线线垂直⇒线面垂直

典例：已知四棱锥,P ABCD PD -⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且PD CD =，

,E F 分别为,PB PC 的中点，

求证：（1）AC ⊥平面PBD （2）PA AB ⊥（3）PC ⊥平面ADFE

六、直线与平面垂直的性质定理：

文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言：

//a a b b αα⊥⎫

⇒⎬⊥⎭

作用：线面垂直⇒线线平行

B

A l β

αa

β

α

C C

B

A

P

文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言：

符号表示：a a ααββ⊥⎫

⇒⊥⎬⊂⎭

注：线面垂直⇒面面垂直

典例：如图，在四面体S ABC -中，SA SB SC a ===

0090,60ASC ASB BSC ∠=∠=∠=

求证：平面ASC ⊥平面ABC

八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一

个平面

图形语言：

符号语言：l AB AB AB l

αβαββα⊥⎫

⎪=⎪

⇒⊥⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

作用：面面垂直⇒线面垂直

典例：如图，PA ABC ⊥平面，PAB PBC ⊥平面平面，求证：BC PAB ⊥平面