高等数学2(下册)试题答案以及复习要点(完整版)

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高等数学2教材答案详解

高等数学2教材答案详解引言：高等数学2是大学数学教育中的重要课程之一，对学生的数学思维能力和解题能力有着极大的要求。

本文将针对《高等数学2》教材中的部分习题进行答案的详解，帮助学生掌握课程内容，提高解题水平。

1.函数与极限：1.1 习题1：求函数f(x)在点x=2处的极限。

答案：首先，我们可以通过直接代入法来求极限。

将x=2代入函数f(x)中，得到f(2)=3。

因此，函数在点x=2处的极限为3。

1.2 习题2：求函数f(x)在无穷远处的极限。

答案：要求函数在无穷远处的极限，可以通过观察函数的增减性或者用极限的定义进行求解。

根据函数的性质，我们可以得知函数f(x)在无穷远处的极限为0。

2.导数与微分：2.1 习题3：求函数f(x) = 3x^2 的导数。

答案：对函数f(x) = 3x^2 进行求导，使用幂函数的求导法则，将指数下来作为系数，并将指数减1。

因此，函数f(x) = 3x^2 的导数为f'(x) = 6x。

2.2 习题4：求函数f(x) = sin(x) 的导数。

答案：对函数f(x) = sin(x) 进行求导，使用三角函数的求导法则，将sin(x)的导数记为cos(x)。

因此，函数f(x) = sin(x) 的导数为f'(x) = cos(x)。

3.定积分：3.1 习题5：计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。

答案：根据定积分的定义，将sin(x)代入积分式，计算不定积分，再将上限值和下限值代入，得到∫[0, π] sin(x) dx = [-cos(x)] [0, π]。

带入上下限进行计算，最终得到结果为2。

3.2 习题6：计算定积分∫[1, e] ln(x) dx。

答案：根据定积分的定义，将ln(x)代入积分式，计算不定积分，再将上限值和下限值代入，得到∫[1, e] ln(x) dx = [xln(x)-x] [1, e]。

带入上下限进行计算，最终得到结果为e-1。

高等数学(下)课后习题答案

高等数学（下）习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s=(4) s==.5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.s==故s==xs==ys==.5z6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则222222-++-=++--(4)1(7)35(2)z z解得149z=即所求点为M（0，0，149）.7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8. 验证：()()++=++a b c a b c.证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2,3.u v=-+=-+-a b c a b c 试用a, b, c表示23.u v-解：232(2)3(3)2243935117u v-=-+--+-=-++-+=-+a b c a b ca b c a b ca b c10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A 连接，试以AB=c，BC=a表示向量1D A,2D A,3D A和4D A.解：1115D A BA BD=-=--c a2225D A BA BD=-=--c a3335D A BA BD=-=--c a444.5D A BA BD=-=--c a11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为M'，则1Pr j cos604 2.2uOM OM=︒=⨯=12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影；（2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦；（4） 12PP 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP == (3) 12cos 14xa PP α== 12cos 14ya PP β==12cos 14za PP γ==(4) 12012{14PPPP ===-e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos coscos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解：||==a||==b||3==c, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r .解：因αβγ==,故23cos 1 α=,cos αα==则{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k . 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）,2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒== 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4a b ==，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )；（3）2||-a b解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b 222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b 36238499=-⨯+=22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 设重量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线移动到点M 2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m ）.解：取重力方向为z 轴负方向，依题意有f ={0,0, -100×9.8}s = 12M M ={-2, 3,-6}故W = f ·s ={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880 (J)24. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b )=227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==. 25. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x +3y-4z-1=0即为动点M 的轨迹方程.26. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且a +b ={2,4, -2}a-b ={-6,10,14}又(a +b )·(a-b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a-b ).27. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求：(1) a ×b ;(2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .28. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：(1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 29. 求垂直于向量3i-4j-k 和2i-j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 30. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.31. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =- {4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =- 22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k 故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 32. 求同时垂直于向量a =(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b =(x ,0,0)则同时垂直于a ，b 的向量为3442230000x x ⨯=++a b i j k =4x j －3x k故同时垂直于a ，b 的单位向量为1(43)||5⨯=±=±-⨯a b e j k a b . 33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+. 34. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.36. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=037. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2. 故所求平面方程为1424x y z ++= 38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121*********x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x -1=0;(3) 2x -3y -6=0; (4) x –y =0;(5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2）(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x–y=0表示过z轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A BA B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.41. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角. 解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且122123π2cos cos||||42514kkθ⋅-====+⋅n nn n解得2k =±42. 确定下列方程中的l 和m :(1) 平面2x +ly +3z -5=0和平面mx -6y -z +2=0平行; (2) 平面3x -5y +lz -3=0和平面x +3y +2z +5=0垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n43. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x -y +z -1=0和2x +y +z +1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0 其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n 又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =044. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 45. 求通过下列两已知点的直线方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）. 解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 46. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2）直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为s ={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z ==-和3x -2y +7z =8;（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-i j ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+= 解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0 得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333- 54. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离. 55. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k 故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-12 59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22220x y z -+=; （6）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y 轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-18.图7-17 图7-1860. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示.图7-19 图7-20图7-21 图7-22 61. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.66. 求单叶双曲面22211645x y z +-=与平面x -2z +3=0的交线在xOy 平面，yOz 平面及xOz 平面上的投影曲线. 解：以32x z +=代入曲面方程得 x 2+20y 2-24x -116=0.故交线在xOy 平面上的投影为2220241160x y x z ⎧+--=⎨=⎩ 以x =2z -3代入曲面方程，得 20y 2+4z 2-60z -35=0.故交线在yOz 平面上的投影为2220460350y z z x ⎧+--=⎨=⎩ 交线在xOz 平面上的投影为230,0.x z y -+=⎧⎨=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) {(x ,y )|x ≠0};(2) {(x ,y )|1≤x 2+y 2<4};(3) {(x ,y )|y <x 2};(4) {(x ,y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2}，边界：{(x ,y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x ,y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u vf u v w u w+=+,试求(,,).f x y x y xy +-解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy+(xy )x +y +x -y=(x +y )xy +(xy )2x.4. 求下列各函数的定义域：2(1)ln(21);z y x =-+(2)z=+(3)z =(4)u =+(5)z =(6)ln()z y x =-+(7)u =解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限：10y x y →→22001(2)lim;x y x y →→+00x y →→0x y →→00sin (5)lim ;x y xyx →→222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=001.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x ,y )=233x y x y -+;(2) f (x ,y )=2222y xy x +-;(3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2);(4)f (x ,y )=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数：(1)z =x 2y +2xy;(2)s =22u v uv+;(3)z =x(4)z =lntan x y; (5)z =(1+xy )y; (6)u =z xy;(7)u =arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂ 222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z z u z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .y yzzyy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y=+，求证：3u u x y u x y ∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y )=x +(yf x (x ,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z =x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z=arctan y x; (3)z =y x ;(4)z =2ex y+.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，，由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x ,y ,z )=xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f -解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15.设z =x ln(xy )，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22ex y z +=;(2)z =(3)zy u x =; (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d0.05d0.07(4.05,2.93)(4,3)d(4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998xyf f f==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=x y,则d f(x,y)=yx y-1d x+x y ln x d y，取x=2,y=1,d x=-0.03,d y=0.05,则1.05d0.03d0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d(2,1)20.0393 2.0393.xyf f f=-==≈+=+=19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,d x=0.4,d y=-0.1时，d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20. 1mol理想气体在温度0℃和1个大气压的标准状态下，体积是22.4L，从这标准状态下将温度升高3℃，压强升高0.015个大气压，问体积大约改变多少？解：由PV=RT得V=RTP，且在标准状态下，R=8.20568×10-2,ΔV≈d v=-2d dRT Rp TP P+=d dV RP TP P-+222.48.20568100.01530.0911-⨯=-⨯+⨯≈-故体积改变量大约为0.09.21. 测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限是0.01cm3，质量m=30.80g，其绝对误差限是0.01g，求由公式mvρ=算出密度ρ的绝对误差与相对误差.解：当V=4.45，m=30.80,d v=0.01,d m=0.01时,22130.801d d d0.010.014.45 4.450.01330.0133mv mv vρ==-+-⨯+⨯≈=-当v=4.45, m=30.80时30.806.92134.45ρ=≈d 0.00192160.19216%ρρ≈=.22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂；（2） z ＝arc tanx y ,x ＝u ＋v ,y ＝u －v ,求z u ∂∂,z v∂∂；（3） ln(e e )xyu =+,y ＝x 3,求d d ux; （4） u ＝x 2＋y 2＋z 2,x ＝e cos tt ,y ＝e sin tt ,z ＝e t,求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xyu f x y =-(2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xyz xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+ 25. 设22()yz f x y =-，其中f (u )为可导函数，验证：211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z zx x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,z f x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 是c 2类函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,。

大学高等数学下考试题库(附答案) (2)

来源于网络《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10） 1.点1M1,3,2到点4,7,22M的距离21MM（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量jibkjia2,2，则有（）.

A.a∥b B.a⊥b C.3,ba D.4,ba 3.函数1122222yxyxy的定义域是（）. A.21,22yxyx B.21,22yxyx C.21,22yxyx D21,22yxyx 4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）. A.0ba B.0ba C.0ba D.0ba 5.函数xyyxz333的极小值是（）. A.2 B.2 C.1 D.1

6.设yxzsin，则4,1yz＝（）.

A.22 B.22 C.2 D.2 7.若p级数11npn收敛，则（）. A.p1 B.1p C.1p D.1p 8.幂级数1nnnx的收敛域为（）. A.1,1 B1,1 C.1,1 D.1,1 9.幂级数nnx02在收敛域内的和函数是（）. A.x11 B.x22 C.x12 D.x21 来源于网络

10.微分方程0lnyyyx的通解为（）. A.xcey B.xey C.xcxey D.cxey 二.填空题（4分5） 1.一平面过点3,0,0A且垂直于直线AB，其中点1,1,2B，则此平面方程为______________________.

2.函数xyzsin的全微分是______________________________.

3.设13323xyxyyxz，则yxz2_____________________________. 4.x21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044yyy的通解为_________________________________. 三.计算题（5分6）

《高等数学(二)》作业参考答案(1)

《高等数学（二）》作业参考答案一、填空题1．VIII2．2(,)t f x y3．{}(,)0x y x y ≥>4．245x x y -5．111(,)(,)x ydx f x y dy dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰或6．7．（2，-2，1）8．{222(1)90x y x z ++-==9．-4y 10．}{2(,)0,0,x y x y x y ≥≥>11．22111(,,)x y dx f x y z dz -+⎰⎰12．5615-13．1223;,,333-1415．1ln sin cos cos t t t t t-++ 16．20(cos ,sin ).ad f r r r dr πθθθ⎰⎰17．1618．019．1.x x y y z z ---==20．（-2，-4，8）21．2r22．1ln .x x y y dx xy dy -+23．024．83二、计算题1.1120000001231.(1)lim122(2)14x x y x x y y x y x y e e e xy →→→→→→→→++==⨯==-=-解解（3）解：22022222200lim()0,10,0sin1lim()sin0.x y x y x y x y x yx y x y→→→→+=→→+∴+=+又当时有界, （4）解：00000001)2x x y y x y x y →→→→→→→→===+=（5）解：22200222000lim 0limx y x y x y yx yy x y x y→→→→≤≤+=∴=+又2.212.(1)2sin ,cos .(2):,ln y y xy y zx x y yzy x xzx x y-∂=-∂∂=-∂∂=∂∂=∂z解:x解（3）解：(12)1ln(12)2122ln(12)122(12)ln(12).12x x z xy z xy x yx xyz xy z xy x xy xy xy xy xy =+∂=++∂+⎡⎤∂∴=++⎢⎥∂+⎣⎦⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦在的等号两边取对数得:ln z=x ln(1+2xy).对x 求偏导数:1z（4）解：22222221();1()11.1()z y yy x x x y xz x y y x x y x∂=-=-∂++∂==∂++（5）解：222211sec ()tan()1sin()cos()22csc().1sec ()()tan()22cscu x x x y yy x x y y y x y y u x x x y y yy x x y y∂=∂==∂=-∂=- 3．解： 2242111(,)(,)x dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰4．解：设L 是星形曲线（方向为逆时针方向），则面积232320222424022202121(3sin cos sin 3cos sin )23(sin cos cos sin )23sin 2(2)1638L A x dy y dx a cos t a t a t a t t dt a t t t t dt a td t a ππππ=-=⋅++⋅=+==⎰⎰⎰⎰ 5．解：22203331232().3DD baba d r dr d d r drr b a πσθθππ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰6．解：11122011201230(122)1(2)41.48x x yx x dx dy dz dx dy x dyx dx x y dyx x x dx ---Ω-==--=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7．解：22,,2,p xy x y p xy y xθθθ==∂∂==∂∂2222令则xy dx+x ydy=pdx+dy.由于在整个xoy 面内恒有因此,在整个xoy 面内xy dx+x ydy 是某个函数的全微分.8．解：4233(1,0)211213123,424,(,0)(2,)3(48)5p xy y q x xy xoy p q x y y x pdx qdyp x dx q y dy dx y dy=-+=-∂∂=-=∂∂+=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(2,1)设则在整个面内恒有因此,该积分与路径无关,取积分路线如右图,则有0 A(1,0) B(2,0)C(2,1)9．解：D 是X-型区域。

成都理工大学第二学期《高等数学 I、Ⅱ》(下)期末考试试卷高数下试题及答案

成都理工大学2010—2011学年第二学期《高等数学》（Ⅰ，Ⅱ）考试试卷（A ）一．填空题（每小题3分，共21分）1．函数221)ln(yx x x y z --+-=的定义域为。

2．设y x z =)1,0(≠>x x ，则=∂∂+∂∂yzx x z y x ln 1 。

3．函数z xy u 2=在点（1，-1，2）处沿方向的方向导数最大。

4．区域D ：)0(222>≤+R R y x ,则积分⎰⎰+-Ddxdy y x R )(22的值为。

5. 设L 为球面2222a z y x =++与平面y x =相交的圆周，则曲线积分⎰+=Ldl z y I 222= 。

6．函数)1ln(22y x z ++=在点（1，2）处的全微分dz = 。

7．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性为。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1．直线110112-+=+=-z y x 与平面2=++z y x 的位置关系是（） A ．直线与平面平行 B. 直线在平面上 C ．直线与平面垂直 D. 直线与平面斜交得分得分2．22limy xy x yx y x +-+→∞→∞=（）A ．1 B. 0 C. 1- D.不存在3．已知⎰⎰⎰Ω+=dv z y x f I ),(22，其中Ω由1=z 和22y x z +=围成，则=I （）A ．⎰⎰⎰πθ201012),(dz z r f dr d B.⎰⎰⎰πθ2010122),(rdz z r f rdr dC.⎰⎰⎰πθ201012),(dz z r f rdr d D.⎰⎰⎰πθ20122),(r dz z r f rdr d4．微分方程x xe y y 22='-''的特解形式是（） A ．x e B Ax 2)(+ B. x Axe 2 C ．x e B Ax x 2)(+ D. x e Ax 225．函数⎩⎨⎧≤<-≤≤-=846402)(x x x xx f 展开为周期是8的傅立叶级数为∑∞+∞<<-∞++022)(4)12(cos )12(16x xk k ππ，则=)100(s （）A ．98- B. 94 C. 2 D. 2- 三、计算（每小题7分，共21分） 1．已知直线1L ：130211--=-=-z y x ，2L ：11122zy x =-=+，求通过1L 且与2L 平行的平面方程。

高等数学下册试题及参考答案

⾼等数学下册试题及参考答案⾼等数学下册试题库⼀、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求⽤标准基i , j , k 表⽰向量c=a-b ; （ A ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平⾯和的夹⾓是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π解由公式（6-21）有，因此，所求夹⾓．5. 求平⾏于轴，且过点和的平⾯⽅程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）．解由于平⾯平⾏于轴，因此可设这平⾯的⽅程为因为平⾯过、两点，所以有解得，以此代⼊所设⽅程并约去，便得到所求的平⾯⽅程6．微分⽅程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

A ．3B ．4C ．5D ． 27．微分⽅程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独⽴常数的个数为(A )。

C ．4D ． 28．下列函数中，哪个是微分⽅程02=-xdx dy 的解( B )。

A ．x y 2=B ．2x y =C ．x y 2-=D ． x y -= 9．微分⽅程323y y ='的⼀个特解是( B)。

高等数学试卷含答案下册

高等数学II 试题一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 zx ∂=∂ ;2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L dsy x 22= ;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为或 ;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;二、解答下列各题每小题7分,共35分1．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)x I dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;2．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;5．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;高等数学II 试题解答一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 z x∂=∂xz xzxe y zey --++-; 2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32;二、解答下列各题每小题7分,共35分6．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰7．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰8．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;解：9．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,即()()0xf x f x e '+-=;解微分方程xy y e '+=,得其通解12x xy ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故xx e e x f 2121)(+=-10．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;解：20y y y '''-+=的通解为12()xy c c x e =+; 设原方程的一个特解*xy ce -=,代入原方程,得14c =;其通解为三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;解：五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32;六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：221 (0)z x y z =-->的面积为平面0z =部分的面积为π;故立体的表面积为π+;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞==∑,1111(())()333n n n nn n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0310)3ln(13ln )(x x x x x x s ;。

2021年成人高考(专科起点升本科) 高等数学(二)试题及参考答案

2021年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学(二)一㊁选择题:1~10小题,每小题4分,共40分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀1.设lim xң0tan mx x=2,则m=A.0B.12C.1D.22.设y=e x+cos x,则yᶄ=A.e x+cos xB.e x-cos xC.e x-sin xD.e x+sin x3.设y=x tan x,则yᶄ=A.tan x+x cos2xB.x cos2xC.tan x+x1+xD.tan x+x1+x224.设y=11+x,则yᵡ=A.-2(1+x)3B.-1(1+x)3C.1(1+x)3D.2(1+x)35.曲线y=x3+1的拐点为A.(0,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,1)6.设f(x)的一个原函数为cos2x,则f(x)=A.-sin2xB.sin2xC.-2sin2xD.2sin2x7.设ʏa-a(x2+x3)d x=23,则a=A.-2B.-1C.1D.28.设z=sin(x-3y2),则∂z∂y=A.-6y cos(x-3y2)B.-6y sin(x-3y2)C.6y cos(x-3y2)D.6y sin(x-3y2)9.设z=f(x2+y),其中f具有二阶导数,则∂2z∂x∂y=A.xfᵡ(x2+y)B.2xfᵡ(x2+y)C.yfᵡ(x2+y)D.2xyfᵡ(x2+y)10.已知事件A与B互斥,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则P(A+B)=A.0.4B.0.5C.0.7D.0.9二㊁填空题:11~20小题,每小题4分,共40分㊂11.limx ң0sin 3x2x=.12.已知函数f (x )=(1+x )1x,x ʂ0,a ,x =0{在x =0处连续,则a =.13.limx ң+ɕ2x 2-1x 2+x +2=.14.设y =cos x +1x(),则y ᶄ(1)=.15.设f1x()=x 2+1x+1,则f ᶄ(x )=.16.曲线y =2x 3+x -1在点(0,-1)处法线的斜率为.17.ʏ14+x 2d x =.18.ʏx (x 2-1)d x =.19.ʏ10(x +e x)d x =.20.设函数f (x ,y )=x +y ,则f (x +y ,x -y )=.三㊁解答题:21~28小题,共70分㊂解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂21.(8分)计算limx ң0cos x -1x 2.22.(8分)求函数f (x )=e-x 2的单调区间和极值.23.(8分)求ʏ(2arcsin x+1)d x.24.(8分)计算ʏ411x+x d x.25.(8分)设离散型随机变量X的概率分布为X0123P a3a4a2a其中a为常数.(1)求a;(2)求EX.26.(10分)设y=y(x)是由方程e y=x2+y所确定的隐函数,求d y d x.27.(10分)设D为由直线x+y-4=0与曲线y=3x所围成的闭区域.(1)求D的面积;(2)求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.28.(10分)求函数f(x,y)=x2+y2在条件x2+y2-xy-1=0下的最大值和最小值.2021年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学(二)试题参考答案一㊁选择题1.D㊀㊀㊀㊀㊀2.C㊀㊀㊀㊀㊀3.A㊀㊀㊀㊀㊀4.D㊀㊀㊀㊀㊀5.B6.C7.C8.A9.B10.D二㊁填空题11.3212.e13.214.015.-2x3+1 16.-117.12arctan x2+C18.x44-x22+C19.e-1220.2x三㊁解答题21.解:lim xң0cos x-1x2=lim xң0-sin x2x=-1222.解:函数f(x)的定义域为(-ɕ,+ɕ),fᶄ(x)=-2x e-x2.令fᶄ(x)=0,得x=0.当x<0时,fᶄ(x)>0;当x>0时,fᶄ(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(-ɕ,0),单调递减区间为(0,+ɕ).f(x)的极大值为f(0)=1.23.解:ʏ(2arcsin x+1)d x=2x arcsin x-2ʏx d(arcsin x)+x=2x arcsin x-ʏ2x1-x2d x+x=2x arcsin x+21-x2+x+C.24.解:令t=x,则x=t2,d x=2t d t.当x=1时,t=1;当x=4时,t=2.因此ʏ411x+x d x=ʏ212t t2+t d t=2ʏ211t+1d t=2ln(t+1)21=2ln32.25.解:(1)由概率分布的性质知a +3a +4a +2a =1.所以a =0.1.(2)EX =0ˑ0.1+1ˑ0.3+2ˑ0.4+3ˑ0.2=1.7.26.解:方程两边对x 求导,得e y d y d x =2x +d y d x.所以d y d x =2xe y -1.27.解:由x +y -4=0,y =3x ìîíïïïï解得交点坐标为(1,3),(3,1).(1)D 的面积S =ʏ314-x -3x ()d x =4x -x 22-3ln x()31=4-3ln 3.(2)D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V x =πʏ31(4-x )2-3x ()2éëêêùûúúd x =π-13(4-x )3+9x éëêêùûúú31=8π3.28.解:设F (x ,y ,λ)=x 2+y 2+λ(x 2+y 2-xy -1),则∂F ∂x=2x +λ(2x -y ),㊀∂F ∂y =2y +λ(2y -x ),㊀∂F ∂λ=x 2+y 2-xy -1.由∂F ∂x =0与∂F ∂y =0解得x =y 或x =-y ,代入∂F ∂λ=0得f (x ,y )在条件x 2+y 2-xy -1=0下可能的极值点为(1,1),㊀(-1,-1),㊀33,-33(),㊀-33,33().因为由题设可知最大值和最小值一定存在,所以最大值和最小值就在这些可能的极值点处取得.又f (1,1)=f (-1,-1)=2,f33,-33()=f -33,33()=23,所以所求的最大值为2,最小值为23.。

大学-高等数学(Ⅱ)试题(E)+答案

大学-高等数学(Ⅱ)试题（E ）一、填空题(本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)1．母线平行于x 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是。

A. x 2 +2y = 16B.3y 2 - z 2 = 16C. 3x 2 + 2z 2 = 16D.-y 2 + 3z 2 = 16 2．函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z 在点),(00y x 存在全微分的（）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.3． z=xy+x 3则x z ∂∂+yz∂∂=（） A. x+y+2x 2 B. x+y+3x 3 C. 2x+y+3x 2 D. x+y4．函数f(x,y,z)=4(x -y)-x 2-y 2( )A. 有极大值8B. 有极小值8C. 无极值D.有无极值不确定 5．下列级数发散的是（）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+二、填空题(本大题分5小题，每小题4分，,总计20分) 1．已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u 。

2．设D ：0≤x ≤1,0≤y ≤2(1－x ),由二重积分的几何意义知=_______________.3．设则I = ________________。

4．设L 是xoy 面上圆周122=+y x 的顺时针方向，则⎰=L s x I d 31与⎰=Ls yI d 52的大小关系是___________________。

5．设有平面向量场A =2xy i +(x 2+3x )j ,则它沿正方形|x |+|y |=1正向的环流量为_________. 三、计算题(本大题分8小题，,总计51分) 1．(本小题6分)设zax bx y cy =++αβγδ，求∂∂∂∂z x z y,。

高等数学2-习题集(含答案)

2
1
39. 把向量用1 ， 2 ， 3 表出．
其中1 (1, 3, 2) ，2 (3, 2,1) ，3 (2, 5,1) ， (4,11, 3)
40.
已知
a c
b d
2 b
1 c
10
1 0
，求
a,
b,
c,
d
的值。
41. 设向量组 1 ， 2 ， 3 可由向量组1 ， 2 ， 3 线性表示。
a31
a32
a33
5.
0111
计算行列式
1 D
0
1
1 的值。
1101
1110
1991 1992 1993 6. 计算行列式 1994 1995 1996 的值．
1997 1998 1998
7.
3 208
4 9 2 10
计算行列式 D
的值．
1 6 0 7
0 005
1234 8. 计算行列式 D 2 3 4 1 的值。
。
12.
求
A
1 1
1 2
1 1
的逆．
1 1 3
13.
设 n 阶方阵 A 可逆，试证明 A 的伴随矩阵 A*可逆，并求 ( A* )1 。
5 2 0 0
14.
求矩阵
A
2 0 0
1 0 0
0 1 1
0 2 1
的逆。
15.
求A
1 1
4 3 5 3 的逆矩阵。
1 6 4
4 1 0 0
《高等数学 2》课程习题集
【说明】：本课程《高等数学 2》（编号为 01011）共有计算题 1,计算题 2 等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

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高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ] (A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交。

解：选C 。

L 的方向向量 1 1 4{4,4,2}1 1 0i j ks =--=-，曲面222(,,)0F x y z x y z z =-+-=在点(1,1,1)处的切平面∏的法向量(1,1,1){,,}{2,2,1}F F F n x y z∂∂∂==-∂∂∂。

由于//n s ，因此L ⊥∏ 。

5. 设12),(22+-+++=y x y y x y x f ，则下面结论正确的是 [ B ](A) 点（21-，21-）是 (,)f x y 的驻点且为极大值点；(B) 点（21-，21-）是极小值点；(C) 点（0，0）是 (,)f x y 的驻点但不是极值点； (D) 点（0，0）是极大值点。

解：选B 。

二. 填空题 (每题3分,共15分)1．设 )ln(xy z = ，则 z zx y x y∂∂+=∂∂ 。

解：)ln(1xy 或z 1。

2．函数 )(22y x y e u += ，则 du = 。

解：du =()()[]dy y x xydx e y x y 223222+++。

3. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==4422y x z y 在点(2,4,5)处的切线方程。

解：切线方程150412-=-=-z y x 。

4．设L 是圆周x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周,则曲线积分()()⎰-+-Ldy y xy dx y x x 3223= _______。

解：曲线积分()()⎰-+-Ldy y xy dx y x x 3223＝24a π-。

5．交换二次积分的次序：⎰⎰-221),(y ydx y x f dy = 。

解：⎰⎰-221),(y ydx y x f dy =⎰⎰⎰⎰-+2220211),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 。

三.求解下列各题（每题8分，共16分）1．设),sin (22y x y e f z x+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z∂∂及yx z ∂∂∂2。

解：212cos yf f y e y z x+⋅=∂∂ （2分）212sin xf f y e x zx +⋅=∂∂ （2分）()()22211211122cos 22cos sin cos yf y e f x yf y e f y e f y e yx zx x x x +++⋅+⋅=∂∂∂ （2分） 22211221114cos 2sin 2cos sin cos xyf y e xf yf ye y y e f f y e x x x x ++++⋅=()221211214sin cos 2cos sin cos xyf f y y y x e f y y e f y e x x x +++⋅+⋅= （2分）2．设函数 (,)F x y 具有一阶连续偏导数，(,)z z x y = 是由方程(,)0x yF z z= 所确定的隐函数，试求表达式 z zx y x y∂∂+∂∂ 。

解法一：方程 (,)0x yF z z= 两端对x 求导：11222120 x x x z xz yz zF F F z z z xF yF --=⇒=+，同理可求，212 yzF z xF yF =+（6分） z zx y z x y∂∂⇒+=∂∂ 。

（2分）解法二：令 (,,)(,)x y u x y z F z z =，则 1211 , x y u F u F z z == ，1221[+] , z u xF yF z=-（3分）于是，112 x x z u zF z u xF yF =-=+，212y y z u zF z u xF yF =-=+ （3分）z zxy z x y∂∂⇒+=∂∂ （2分）四．计算下列各题（每题8分，共32分）1．计算积分()⎰⎰+≤++=yx y x dxdy y x I 22。

解：极坐标：令 cos , sin x r y r θθ== ，则⎰⎰+-+=θθππθθθcos sin 02434)cos (sin dr r d I （3分）θθθππd 4434)cos (sin 31+=⎰- （2分）2)2sin 2sin 1(312434πθθθππ=++=⎰-d （3分）2．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω为曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域。

解：联立Ω的两曲面方程，得交线：122=+y x ，)1(=z ；投影柱面：122=+y x ；Ω在xoy 面的投影域为：1:22≤+y x D xy )0(=z ，用柱面坐标：Ω：,2,20,1022r z r r -≤≤≤≤≤≤πθ （2分）⎰⎰⎰Ωzdv =⋅=⎰⎰⎰Ωdz rdrd z θ⎰⎰⎰-⋅=222120r rzdz r dr d πθ （2分）()42102212r r rdr --⋅⋅=⎰π （2分）()12721053ππ=--⋅=⎰dr r r r （2分）3．计算曲线积分()()⎰-+-Lx xdy y e dx y y e8cos 8sin ，其中L 是由点A （a ，0）到点O （0，0）的上半圆周 )0,0(22>≥=+a y ax y x解：设()()8cos ,8sin -=-=y e x Q y y e x P x x ，由格林公式得到88cos cos =+-=∂∂-∂∂y e y e yP x Q x x ()()288cos 8sin a dxdy dxdy y P x Q y e dx y y eDDOAL x xπ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-+-⎰⎰⎰⎰⎰+ （4分）⎰⎰⎰⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=+OAD OA OA L dxdy y P x Q I 208a dxdy D π=-=⎰⎰ （4分）4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，其中曲面∑为球面2222a z y x =++上)0(a h h z <<≥的部分。

解：曲面∑的方程为z =22y x a --，其在xoy 坐标面上的投影区域D 为：2222h a y x -≤+，22)()(1y x z z ++=22y x a a --，（3分）⎰⎰∑++dS z y x )(=⎰⎰----++Dd y x a a y x a y x σ2222)(=⎰⎰--+Dd y x a y x a σ222)(+⎰⎰Dad σ（3分）由积分区域和被积函数的对称性得⎰⎰--+Dd y x a y x a σ222)(=0，且⎰⎰-=Dh a a a )(d 22πσ，所以⎰⎰∑++dS z y x )(=)(22h a a -π。

（2分）五．（8分）求幂级数 11()nn n x n ∞=+∑ 的和函数，并求数项级数2111()2nn n n ∞=+∑ 的和。

解： 211111n n nn n n n x nx x n n ∞∞∞===+=+∑∑∑ （2分）＝1111n n n n x nx x n∞∞-==+∑∑＝1011()xnn n n x x x dx ∞∞-=='+∑∑⎰ （2分）＝011(1)11x x dx x x'-+--⎰ ＝2ln(1) (11)(1)xx x x ---<<-，（2分）取 12x = ，得2111()2ln 22nn n n ∞=+=+∑ 。

（2分）六．（8分）求解微分方程 )21(23x e y y y x-=+'-'' 。

解：对应齐次微分方程的特征方程为：0232=+-r r （2分）故特征根 2,121==r r ，从而齐次微分方程的通解为：x x e C e C y 221+= （2分）令非齐次方程特解为：)(*B Ax xe y x += 代入方程解得 1==B A ，于是特解为)1(*+=x xe y x （2分）则原方程通解为：1( 221*+++=+=x xe e C e C y y y x x x 。

（2分）七．（6分）某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产x 件甲产品和y 件乙产品的总成本为22400230.01(33)C x y x xy y =+++++（万元），又已知两种产品的总产量为100件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。

解：因为企业获得的总利润G 应为总收入109R x y =+与总成本C 之差，因此这一问题的数学模型应描述如下：22max 109400230.01(33).. 100G x y x y x xy y s t x y =+----+++= （3分）这是有条件极值问题，利用Lagrange 乘数法，令22(,,)109400230.01(33)(100)L x y x y x y x xy y x y λλ=+----++++- 求L 对各个变量的偏导数，并令它们都等于0,得 1020.060.010930.060.010100x y L x y L y x L x y λλλ⎧=---+=⎪=---+=⎨⎪=+-=⎩ （3分）解上述方程组得到唯一驻点(70,30)，依题意知所求最大利润一定存在。