高中数学三维设计必修5：阶段质量检测(二)数列

阶段质量检测（二）数列(时间120分钟满分150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．等比数列{an}的公比q＝－14，a1＝2，则数列{an}是() A．递增数列B．递减数列C．常数数列D．摆动数列解析：选D因为等比数列{an}的公比为q＝－14，a1＝2，故a2<0，a3>0，…，所以

数列{an}是摆动数列．

2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是() A．1 B．－1 C．－3 D．－4

解析：选D由题意，得2b＝a＋c，a2＝bc，

a＋3b＋c＝10，解得a＝－4，b＝2，c＝8.

3．在数列{an}中，a1＝13，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5

等于()

A．－163B.163

C．－83D.83

解析：选B∵a1＝13，an＝(－1)n·2an－1，

∴a2＝(－1)2×2×13＝23，a3

＝(－1)3×2×23＝－43，

a4

＝(－1)4×2×－43＝－83，

a5＝(－1)5×2×－83＝163. 4．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn

＝5n＋1＋a，则a的值为() A．－1 B．1 C．5 D．－5

解析：选D因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1

1－q

－a11－q·qn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.

5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1

＝2an，n为正奇数，an＋1，n为正偶数，则254是该数列的()

A．第8项B．第10项C．第12项D．第14项解析：选D当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an

＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项

公式an＝2+1-12n，n为正奇数，2+12n－2，n为正偶数，则2+12n－2＝254，n＝14，故选D.

6．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3

＝15，且3S1S3＋15S3S5＋5S5S1＝

35，则a2＝()

A．2 B.12

C．3 D.13

解析：选C∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴1a1a2＋1a2a3＋1a1a3＝35，∵a1a2a3＝15，∴35

＝a315＋a115＋a215＝a25，∴a2＝3.故选C.

7．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1

，…是首项为1、公比为13的等比数列，

那么an＝() A.321－13nB.321－

1

3n－1

C.231－13nD.231－13n－1

解析：选A由题知a1＝1，q＝13，则an－an－1＝1×13n－1

.

设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an. 又∵Sn＝1×1－13n1－13＝321－13n，

∴an＝321－13n.

8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－2 014，S2 0072 007－S2 0052 005＝2，则S2 016

的值为()

A．－2 016 B．2 016 C．2 015 D．－2 015

解析：选B因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以数列Snn是等差数列．设数列Sn

n

的公差为d′，则由S2 0072 007－S2 0052 005＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以S2 0162 016＝S11＋2 015d′＝a1＋2 015d′＝－2 014＋2 015＝1，所以S2 016＝2 016. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 9．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则a1

＝________，

d＝________，S10

＝________.

解析：由已知得，a1

＋2d＝16，

20a1

＋20×20－12×d＝20，

解得a1＝20，d＝－2，

∴S10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 答案：20－2110 10．(浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1

＝

________，S5

＝________.

解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，

∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋12＝3Sn＋12，

∴数列Sn＋12是公比为3的等比数列，

∴S2＋12S1＋12＝3. 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋12＝S1＋12×34＝32×34＝2432，∴S5＝121. 答案：1121 11．已知数列{an}的通项公式为an＝2 015－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．

解析：由an＝2 015－3n>0，得n<2 0153＝67123，又∵n∈N*，∴n的最大值为671. 答案：671 12．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．

解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝a11－qn1－q

＝21－2n1－2＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6. 答案：6

13．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n(n∈N*)，a1＝3，则an

＝________，ann的最小值为

________．解析：∵an＋1－an＝2n，∴a2－a1＝2×1，a3－a2

＝2×2，

a4－a3

＝2×3，

…an－an－1

＝2(n－1)，

以上各式相加可得

an－a1

＝2[]1＋2＋3＋…＋n－1＝2×

n－11＋n－1

2

＝n2－n，∵a1＝3，∴an＝n2－n＋3.

∴ann＝n＋3n－1.

∵f(x)＝x＋3x在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又a11＝1＋31－1＝3，a22＝2＋32－1＝52，所以ann的最小值为52. 答案：n2－n＋352

14．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn

，且满足AnBn＝2nn＋3，则

a1＋a2＋a12

b2＋b4＋b9

＝________.

解析：根据题意，由AnBn＝2nn＋3，可设：An＝2n2，Bn＝n(n＋3)，则：a1＝A1＝2, 当n≥2时，an＝An－An－1

＝4n－2，

b1＝B1＝4，当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1

＝2n＋2，

∴a1＋a2＋a12b2＋b4＋b9＝2＋6＋466＋10＋20＝5436＝32.

答案：32

15．定义函数f(x)＝{x·{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.2}＝2，{－2.6}＝－2.当x∈(0，n](n∈N*)时，函数f(x)的值域记为An，记An中元素的个数为an，则an＝

________，1a1＋1a2＋…＋1a10

＝________.

解析：当x∈(0,1]时，{x}＝1，x{x}＝x，则f(x)＝{x·{x}}＝1，即A1＝{1}，故a1＝1；当x∈(0,2]时，{x}＝1,2，x{x}＝x或2x，则f(x)＝{x·{x}}＝1,3,4，即A2＝{1,3,4}，故a2

＝3；当x∈(0,3]时，{x}＝1,2,3，x{x}＝x或2x或3x，则f(x)＝{x·{x}}＝1,3,4,7,8,9，即A3＝{1,3,4,7,8,9}，故a3

＝6；

同理可得a4＝10，注意到an＝nn＋12，所以1a1＋1a2＋…＋1a10＝21×2＋22×3＋…＋210×11＝2011.

答案：nn＋122011

三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(14分)已知函数f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．

(1)求证：1xn

是等差数列；

(2)当x1＝12时，求x2 016. 解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝3xn－1xn－1＋3(n≥2且n∈N*)，

∴1xn＝xn－1＋33xn－1＝13＋1xn－1，