2015年江苏省泰州市洋思中学九年级上学期数学期中试卷与解析
苏教版九年级数学上学期期中考试试卷含解析
江苏省第一学期初三数学期中试卷班级__________学号_____姓名__________成绩____________一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1．已知一个三角形两边长分别为3和6，若第三边长是方程680x x -+=的解，则这个三角形的周长是（ ）（A ） 11 （B ） 13 （C ） 11或13 （D ） 以上答案都不对2．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） （A ） 0>a 0<b 0>c （B ） 0<a 0<b 0>c （C ） 0<a 0>b 0<c （D ） 0<a 0>b 0>c第2题3．小萍要在一幅长是90厘米、宽是40厘米的风景画四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54﹪，设金色纸边的宽度是x 厘米，根据题意所列方程是（ ）（A ） 4090%54)40)(90(⨯=⋅++x x （B ） 4090%54)240)(290(⨯=⋅++x x （C ）4090%54)240)(90(⨯=⋅++x x （D ）4090%54)40)(290(⨯=⋅++x x4．已知a 是实数，则一元二次方程042=-+ax x 的根的情况是（ ） （A ）没有实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）有两个不相等的实数根 （D ）根据a 的值来确定5．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为（ ）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5MOBA6．如图，BD为O的直径，30A =∠，则CBD∠的度数为（）（A）30（B）45（C）60（D）80第5题第6题题7．已知一次函数1y kx m=+和二次函数22y ax bx c=++的图像如图所示，它们有两个交点A(2，2)，B(5，4)，那么能够使得1y＜2y的自变量x的取值范围是（）（A）2＜x＜5 （B）x＜2或x＞5（C）x＜2且x＞5 （D）无法确定8．根据下列表格的对应值，判断方程02=++cx bx a（a≠0，a、b、c为常数）一个根x的取值范围是（）（A） 3＜x＜3.23（B） 3.23＜x＜3.24（C）3.24＜x＜3.25（D） 3.25＜x＜3.26 9．如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE长为x，则y关于x的函数图象大致是（）（A）（B）（C）（D）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）10．关于x的方程023)1()1(2=++++-mxmxm，当m时为一元一次方程；当m时为一元二次方程；11．在半径为5的圆中有一点P，且OP＝3，则过P的最长弦的长为，最短弦的长为．12．在解方程22211(5)70x x-+-=时，如果用换元法，设215yx=-，那么方程变形为B____________________．（不需要求出方程的解）13．二次函数y＝x2－2x－3的图像与y轴的交点坐标是_________，与x轴的交点坐标是________________．14．把抛物线y＝2(x＋1)2－4向右平移3个单位，再向上平移2个单位所得的抛物线解析式为____________________．15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．16．已知二次函数y＝ax2_________．（第15题）17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（米）与其距地面高度h（米）之间的关系式为21231232h s s=-++．如图，已知球网AB距原点5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是．三、解答题（本大题共12小题，共74分）18．（本小题5分）解方程：2x2－3x－5＝019．（本小题5分）解方程：212312=---xxxx/米（第17题）20．（本小题5分）已知方程2280x px -+=的一个根是另一个根的2倍，求实数p 的值．21．（本小题6分）如图，107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O ，在∠AOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使P 到OA 、OB 的距离相等，且使PC ＝PD ，用尺规作出货站P 的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论．．．．．．．．．．．．．．．．）22．（本小题6分）有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-，0，1时，相应的输出值分别为5，3-，4-． （1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出该二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围．23．（本小题6分）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，易证：DE ＝AD ＋BE（1）如果：当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，那么试问线段DE ，AD ，BE 又分别．．具有怎样的数量关系？请写出你的猜想.__________________.（2）如果：当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，那么试问线段DE ，AD ，BE 又分别．．具有怎样的数量关系？请写出你的猜想.__________________. （3）请你对上面(1) (2)中的一种．．．．情况给予证明．24．（本小题6分）已知一次函数y kx m =+和二次函数2y ax bx c =++的图象相交于 A （1，4）和B （－2，－5），并且二次函数2y ax bx c =++的图象经过一次函数23y x =+的图象与y 轴的交点，试求一次函数与二次函数的解析式．图125．（本小题6分）已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2=0 有两个不相等的实数根．（1）试求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得此方程两根的平方和等于11？若存在，求出相应k的值；若不存在，说明理由．26．（本小题6分）如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D 作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结BD．（1）求证：∠ADB=∠E （2）求证：AD2=AC·AE27．（本题7分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过折迁旧房，植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图）（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：20XX年底的绿地面积为公顷，比20XX 年底增加了公顷；在20XX年、20XX年、20XX年这三年中，绿地面积增加最多的是年；（2）为满足城市发展的需要，计划到20XX年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求20XX 年、20XX年两年绿地面积的年平均增长率．城区每年年底绿地面积统计图28．（本题8分）某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求有望加工？29．（本题8分）已知四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点出发以每秒2个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q，连结MQ．（1）写出点C的坐标；（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示）；（3）求△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形．[参考答案]一．选择题10．1=；1≠ 11．10；812．220y y +-= 13．（0，3-）；（1-，0）（3，0） 14．22(2)2y x =-- 15．（2，0）16．32x =-17．54m <<三．解答题 18．11x =-，252x =19．11x =-，213x = 20．3p =± 21．略 22．（1）223y x x =--；（2）1x <-或3x > 23．（1）DE AD BE =-；（2）DE BE AD =-24．一次函数的解析式：31y x =+；二次函数的解析式：223y x x =-++ 25．（1）94k >-；（2）1k = 26．略27．（1）60，4，2004；（2）10﹪28．（1）甲工厂每天能加工16件新产品，乙工厂每天能加工24件新产品；（2）1225a ≤ 29．（1）C （1，2）； （2）)3223(tt Q +-，（3）22(2)3AMQ S t t ∆=--- （02t ≤<）（4）由23)21(32)2(3222+--=---=∆t t t S AMQ 当21=t 时，23max =S（5）当12t =，t =或4959=t 时，△AMQ 都为等腰三角形。
江苏省泰州市九年级上学期数学期中考试试卷
江苏省泰州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020九上·江城月考) 方程x2-9=0的解是（）A . x=3B . x=9C . x=±3D . x=±92. （2分）(2019·吉林模拟) 在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组成中心对称图形的是（）A .B .C .D . .3. （2分） (2020九上·北仑期末) 二次函数y= x2-1的图象的顶点坐标为（）A . (0，0)B . (0，-1)C . ( ，-1)D . ( ，1)4. （2分）如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合．小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·宿迁) 如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017八下·延庆期末) 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣27. （2分）(2018·荆州) 如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD 于F，sinD= ．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017九上·哈尔滨月考) 某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为（）A . 12.1%B . 20%C . 21%D . 10%9. （2分）在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A . AB＞2CDB . AB=2CDC . AB＜2CDD . AB=CD10. （2分）(2017·青岛模拟) 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x=﹣2，给出四个结论：①b2＞4ac；②4a+b=0；③函数图象与x轴的另一个交点为（2，0）；④若点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2 ．其中正确结论是（）A . ②④B . ①④C . ①③D . ②③二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2018九上·梁子湖期末) 若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为________.12. （1分） (20120九上·天河期末) 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为________．13. （1分） (2020九上·杨浦期末) 已知点为抛物线上的两点，如果，那么 ________ （填“>”、“<”或“=”）14. （1分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60° ， BD平分∠ABC ，若AD=8，则CD=________．三、解答题 (共11题；共80分)15. （5分） (2019八下·东至期末) 解方程：（x+1）（2x-6）=116. （5分） (2018九上·宁江期末) 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如下图），并规定：购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿、黄、白区域，那么顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元的购物券，凭购物券仍然可以在商场购物；如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．（1）每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是多少？（2）若在此商场购买100元的货物，那么你将选择哪种方式获得购物券？（3）小明在家里也做了一个同样的转盘做实验，转10次后共获得购物券96元，他说还是不转转盘直接领取购物券合算，你同意小明的说法吗？请说明理由．17. （5分）(2020·韶关期末) 如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°。
江苏省泰州市泰兴市洋思中学九年级数学上学期第一次质
江苏省泰州市泰兴市洋思中学2016届九年级数学上学期第一次质检试题1一、选择题每小题3分，共18分）1．方程x2﹣2=0的解为（）A．2 B．C．2与﹣2 D．与﹣2．将方程x2﹣6x+2=0配方后，原方程变形为（）A．（x+3）2=﹣2 B．（x﹣3）2=﹣2 C．（x﹣3）2=7 D．（x+3）2=73．已知方程ax2+c=0（a≠0）有实数根，则a与c的关系是（）A．c=0 B．c=0或a、c异号C．c=0或a、c同号D．c是a的整数倍4．某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台．设二三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．300（1+x）2=980 B．300（1+x）+300（1+x）2=980C．300（1﹣x）2=980 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=9805．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．有一个角为40°的两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形6．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．）7．请写一个以x为未知数的一元二次方程，且所写方程的两实数根互为相反数．你写的方程为（只填一个）．8．将一元二次方程x2+1=2x化成一般形式可得，它的解是．9．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为．10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．11．已知x=m是方程x2﹣2x﹣3=0的一个解，则代数式m2﹣2m+3的值为．12．若，则= ．13．在比例尺为1：80000的市城区地图上，太平路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为千米．14．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．15．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= ..16．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=，BP=，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则= ．三、解答题（共102分）17．解方程（1）x2+6x﹣1=0（2）2x2+5x﹣3=0．18．三角形两边长分别是6和8，第三边长是x2+2x﹣80=0的一个实数根，求该三角形的面积．19．在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．20．如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF过O点且平行于BC，求证：EO=FO．21．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H 分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH的周长．22．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求：（1）y关于x的函数关系式；（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？23．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．①小明同学说：无论k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？②若等腰三角形的一边a=1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长和面积．24．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．25．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似．①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似吗？请说明理由．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴市洋思中学九年级（上）第一次质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题每小题3分，共18分）1．方程x2﹣2=0的解为（）A．2 B．C．2与﹣2 D．与﹣【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根．【解答】解：移项得x2=2，解得x=±．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2．将方程x2﹣6x+2=0配方后，原方程变形为（）A．（x+3）2=﹣2 B．（x﹣3）2=﹣2 C．（x﹣3）2=7 D．（x+3）2=7【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形后，即可得到结果．【解答】解：方程x2﹣6x+2=0，变形得：x2﹣6x=﹣2，配方得：x2﹣6x+9=7，即（x﹣3）2=7，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．已知方程ax2+c=0（a≠0）有实数根，则a与c的关系是（）A．c=0 B．c=0或a、c异号C．c=0或a、c同号D．c是a的整数倍【考点】根的判别式．【分析】根据方程有根，则根的判别式△≥0，建立关于a，c的不等式，求出符合条件的答案．【解答】解：由题意得，△=﹣4ac≥0，而a≠0，则满足条件的只能是c=0或a，c是异号．故选B．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台．设二三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．300（1+x）2=980 B．300（1+x）+300（1+x）2=980C．300（1﹣x）2=980 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=980【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】等量关系为：二月份的生产量+三月份的生产量=280．【解答】解：二月份的生产量为300×（1+x），三月份的生产量为300×（1+x）（1+x），那么300（1+x）+300（1+x）2=980．故选B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意三月份的生产量是在二月份生产量的基础上得到的．5．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．有一个角为40°的两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形【考点】相似三角形的判定．【分析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出A、B、C不一定相似，D一定相似；即可得出结果．【解答】解：有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴A不一定相似；两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴B不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】根据面积比等于相似比平方求出△AMN与△ABC的比，继而可得出△AMN的面积与四边形MBCN的面积比．【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，且MN=BC，∴△AMN∽△ABC，∴=（）2=，∴△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：3．故选B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出MN是△ABC的中位线，判断△AMN∽△ABC，要求同学们掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．）7．请写一个以x为未知数的一元二次方程，且所写方程的两实数根互为相反数．你写的方程为x2﹣1=0 （只填一个）．【考点】根与系数的关系．【专题】开放型．【分析】根据题意可设方程两根分别为1与﹣1，再计算1+（﹣1）=0，1×（﹣1）=﹣1，然后根据根与系数的关系写出方程．【解答】解：设方程两根分别为1与﹣1，因为1+（﹣1）=0，1×（﹣1）=﹣1，所以以1和﹣1为根的一元二次方程为x2﹣1=0．故答案为：x2﹣1=0．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．8．将一元二次方程x2+1=2x化成一般形式可得x2﹣2x+1=0 ，它的解是x1=x2=1 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】方程移项变形即可得到该方程的一般形式，然后解该方程．【解答】解：将一元二次方程x2+1=2x化成一般形式可得x2﹣2x+1=0，则（x﹣1）2=1，解得 x1=x2=1故答案是：x2﹣2x+1=0； x1=x2=1．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．9．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为2﹣2或6﹣2．【考点】黄金分割．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．【解答】解：当AP＞BP时，AP=AB=2﹣2，当AP＜BP时，AP=4﹣（2﹣2）=6﹣2，故答案为：2﹣2或6﹣2．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．11．已知x=m是方程x2﹣2x﹣3=0的一个解，则代数式m2﹣2m+3的值为 6 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣2m+3的值．【解答】解：把x=m代入方程x2﹣2x﹣3=0可得：m2﹣2m﹣3=0，即m2﹣2m=3，∴m2﹣2m+3=3+3=6；故答案为：6．【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2﹣2m当成一个整体．利用了整体的思想．12．若，则= ．【考点】等式的性质．【专题】计算题．【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．【解答】解：根据等式的性质：两边都加1，，则=，故答案为：．【点评】本题主要考查等式的性质，观察要求的式子和已知的式子之间的关系，从而利用等式的性质进行计算．13．在比例尺为1：80000的市城区地图上，太平路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为28 千米．【考点】比例线段．【专题】计算题．【分析】它的实际长度为x厘米，根据比例尺的定义得到=，然后利用比例性质计算出x，再把单位化为千米即可．【解答】解：设它的实际长度为x厘米，根据题意得=，解得x=2800000（cm），2800000cm=28千米．故答案为28．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例尺．14．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为7 ．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，则=，即=，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．15．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= ..【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．16．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=，BP=，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则= ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先过点E作EH⊥AB于点H，易得四边形AHED是矩形，即可求得EH的长，易证得△EPH∽△PFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：过点E作EH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形AHED是矩形，∴EH=AD=，∠EHP=∠B=90°，∴∠PEH+∠EPH=90°，∵∠EPF=90°，∴∠EPH+∠BPF=90°，∴∠PEH=∠BPF，∴△EPH∽△PFB，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．三、解答题（共102分）17．解方程（1）x2+6x﹣1=0（2）2x2+5x﹣3=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2+6x=1，x2+6x+9=10，（x+3）2=10，x+3=±，所以x1=﹣3+，x2=﹣3﹣；（2）（2x﹣1）（x+3）=0，2x﹣1=0或x+3=0，所以x1=，x2=﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．18．三角形两边长分别是6和8，第三边长是x2+2x﹣80=0的一个实数根，求该三角形的面积．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【分析】先利用因式分解法解方程得到三角形第三边长为8，则三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据勾股定理计算出高，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：x2+2x﹣80=0，（x+10）（x﹣8）=0，所以x1=﹣10，x2=8，则三角形第三边长为8，如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，作AD⊥BC于D，则BD=DC=3，在Rt△ABD中，AD==，所以S△ABC=×6×=3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．19．在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】方法1：设窗户宽为x米，高就为米，根据该窗户的透光面积为3平方米可列方程求解；方法2：：设窗户宽为xm，高为ym，根据该窗户的透光面积为3m2，以及铝合金条的长，即可列出方程组求解．【解答】解：方法1：设窗户宽为x米，高就为米，则x×=3，解得x1=1，x2=2，当x1=1时， =3，当x2=2时， =1.5，∵墙的高度为2.8m，∴3＞2.8，不合题意舍去．则窗户的宽为2m，高为1.5m．方法2：设窗户宽为xm，高为ym，则，解得，，∵墙的高度为2.8m，∴y1=3＞2.8，不合题意舍去．则窗户的宽为2m，高为1.5m．【点评】关键是弄清铝合金条的长度与窗户的宽和高的关系．20．如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF过O点且平行于BC，求证：EO=FO．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由A D∥EF∥BC，判定AEO∽△ABC，△COF∽△CAD，△DOF∽△DBC，得出对应边成比例，整理得出EO：BC=OF：BC，求得结论即可．【解答】证明：∵EF∥BC，∴AEO∽△ABC，∴EO：BC=AO：AC，∵EF∥AD，∴△COF∽△CAD，∴AO：AC=DF：DC，∴EO：BC=DF：DC，∵EF∥BC，∴△DOF∽△DBC，∴DF：DC=OF：BC，∴EO：BC=OF：BC，∴EO=FO．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键．21．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H 分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH的周长．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴；（2）解：由（1）得：设HE=xcm，MD=HE=xcm，∵AD=30cm，∴AM=（30﹣x）cm，∵HG=2HE，∴HG=（2x）cm，可得，解得，x=12，故HG=2x=24所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．答：矩形EFGH的周长为72cm．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．22．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求：（1）y关于x的函数关系式；（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列一次函数关系式．【分析】（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，根据某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租可列出函数式．（2）38400是利润，根据价格和住房的关系可列方程求出解【解答】解：（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，根据题意，得：y=200﹣4×，∴．（2）设每间客房每天的定价增加x元根据题意，得．整理后，得x2﹣320x+6000=0．解得x1=20，x2=300．当x=20时，x+180=200（元）．当x=300时，x+180=480（元）．答：这天的每间客房的价格是200元或480元．【点评】本题考查理解题意的能力，关键知道涨价和住房的关系，表示出关系，根据利润做为等量关系可列方程求解．23．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．①小明同学说：无论k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？②若等腰三角形的一边a=1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长和面积．【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）计算方程的根的判别式即可说明其根的情况；（2）已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC 的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．【解答】解：（1）∵△=（k+2）2﹣4×1×2k=k2+4k+4﹣8k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2≥0，∴方程无论k取何值，总有实数根，∴小明同学的说法合理；（2）①当b=c时，则△=0，即（k﹣2）2=0，∴k=2，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴C△ABC=5，S△ABC=；②当b=a=1，∵x2﹣（k+2）x+2k=0．∴（x﹣2）（x﹣k）=0，∴x=2或x=k，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴k=1，∴c=2，∵a+b=c，∴不满足三角形三边的关系，舍去；综上所述，△ABC的周长为5．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．24．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，∴FE：FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；设EF=x，则FC=3x，∵△DEC∽△FDC，∴=，即可得：6x2=12，解得：x=，则CF=3，在Rt△CFD中，DF==，∴BC=2DF=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．25．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【考点】一元二次方程的应用．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似．①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为 1.8或2.5 ；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似吗？请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；②当AC=3，BC=4时，分两种情况：a．若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；b．若CF：CE=3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．【解答】解：（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．此时D为AB边中点，AD=AC=；②当AC=3，BC=4时，有两种情况：a．若CE：CF=3：4，如答图2所示．∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥AB．由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosA=．AD=AC•cosA=3×=1.8；b．若CF：CE=3：4，如答图3所示．∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B．由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，∴此时AD=AB=×5=2.5．综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，又∵∠ACB=∠ACB，∴△CEF∽△CBA．【点评】本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质．第（1）②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意．。
2015年九年级数学上册期中检测试题(含答案和解释)
2015年九年级数学上册期中检测试题(含答案和解释)期中检测题本检测题满分:120分，时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1. (2015•广东中考)若关于x的方程 +x－a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( ) A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2 2.（2015•江苏苏州中考）若二次函数y= +bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程 +bx=5的解为（） A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2 4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（） A.y=(x+2)2+2 B.y=(x 2)2 2 C.y=(x 2)2+2 D.y=(x+2)2 24.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）5.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（） A.2，4 B. C.2，D. ，0 6.若是关于的一元二次方程，则的值应为（） A. B. C.D.无法确定 7.方程的解是（） A． B． C． D． 8.若是关于的方程的根，则的值为（） A． B． C． D． 9.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10. (2015•山西中考)晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A． B. C. D. 11.已知点的坐标为，为坐标原点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得线段，则点的坐标为（） A. B. C. D. 12.当代数式的值为7时，代数式的值为（）二、填空题（每小题3分，共24分） 13.对于二次函数，已知当由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是 .14.将抛物线向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______. 15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是y=60x 1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来. 16.如果，那么的关系是________． 17.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围为_____________. 18.方程的解是__________________． 19.如图所示，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交于点，则阴影部分的面积是． 20.若（是关于的一元二次方程，则的值是________．三、解答题（共60分） 21.（8分）(2015•江西中考)如图，正方形ABCD与正方形关于某点中心对称.已知A，，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2). (1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，， . 第21题图第22题图 22.（8分）（2015•湖北襄阳中考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?23.（8分）把抛物线向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线重合．请求出的值，并画出函数的示意图． 24.（8分）(2015•浙江宁波中考)已知抛物线－(x－m)，其中m是常数． (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x= ．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？ 25.（8分）已知抛物线与轴有两个不同的交点． (1)求的取值范围； (2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.26.（8分）若关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2. （1）求实数k的取值范围. （2）是否存在实数k 使得x1•x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由. 27．(12分)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC＝∠B1A1C＝30°)按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O． (1)求证：△BCE≌△B1CF. (2)当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．期中检测题参考答案 1. C 解析：由题意得一元二次方程根的判别式Δ>0，即12－4×1× >0，整理，得4a－8>0，解得a>2. 2. D 解析：∵ 二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，∴ － =2，解得b=－4，∴ 关于x的方程x2+bx=5为x2－4x=5，其解为 . 3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2－4先向右平移2个单位得y= (x－2)2－4，再向上平移2个单位得y=(x－2)2－4+2=(x－2)2－2. 4.C 解析:当时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合. 又由二次函数图象的对称轴在轴左侧，所以，即，只有C 符合. 同理可讨论当时的情况. 5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是（），，，解得 . 6.C 解析：由题意，得，解得 .故选C. 7.A 解析：∵ ，∴ ，∴ .故选A. 8.D 解析：将代入方程得，所以. ∵ ，∴ ，∴ .故选D. 9.A 解析：依题意，得联立得，∴ ，∴ .故选． 10. B 解析：在四个图形中，A，C，D三个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，只有B是中心对称图形而不是轴对称图形. 11.C 解析：画图可得点的坐标为． 12.A 解析：当时，，所以代数式 .故选 . 13. 解析:因为当时，，当时，，所以 . 14.(5，－2) 15. 600 解析:y=60x 1.5x2= 1.5（x 20）2+600，当x=20时，y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m才能停下来. 16. 解析：原方程可化为，∴ . 17. 解析：∵ ＝，∴ ． 18. 解析： .方程有两个不等的实数根，即 19.1 解析：△ 绕点旋转180°后与△ ，所以阴影部分的面积等于正方形面积的，即1. 20 解析：由得或． 21. 分析：（1）由D和D1是对称点，可知对称中心是线段DD1的中点，所以对称中心的坐标为（0，）. （2）由点A（0，4），D（0，2）得正方形ABCD的边长AD=4－2=2，从而有OA=OD+AD=4，OA1=OD1－A1D1=3－2=1，进而可求出B，C，B1，C1的坐标. 解：(1) ∵ D和是对称点，∴ 对称中心是线段D 的中点. ∴ 对称中心的坐标是(0， ). (2)B(－2，4)，C(－2，2)， (2，1)， (2，3) 22.分析：本题需要利用矩形的面积等于80 m2列方程求解，由于矩形的面积等于长乘宽，因此需要表示矩形的长与宽，设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，利用矩形的长与两个宽的和是（25+1）m，得到矩形的长为(26－2x)m.根据矩形的面积公式列出方程求解.最后利用矩形的长不大于12 m确定矩形的长与宽. 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则矩形猪舍的另一边长为（26－2x）m. 依题意，得x(26－2x)=80. 化简，得－13x+40=0. 解这个方程，得 =5，=8. 当x=5时，26－2x=16＞12（舍去）；当x=8时，26－2x=10＜12. 答：所建矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m. 23.解:将整理得 . 因为抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得，所以将向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得，故，所以 .示意图如图所示. 24. (1)证明:∵ －(x－m)=(x－m)(x－m－1)，∴ 由y=0得 =m， =m+1．∵ m≠m+1，∴ 抛物线与x轴一定有两个交点(m，0)，(m+1，0)． (2)解：①∵ －(2m+1)x+m(m+1)，∴ 抛物线的对称轴为直线x=－ = ，解得m=2，∴ 抛物线的函数解析式为－5x+6．②∵ －5x+6= ，∴ 该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 25. 解:（1）∵ 抛物线与轴有两个不同的交点，∴ ＞0，即解得c＜ . (2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，∵ 两交点间的距离为2，∴ . 由题意，得，解得，∴ ，． 26. 分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式Δ≥0，据此列出关于k的不等式［－（2k+1）］2－4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得x1•x2－－≥0成立，利用根与系数的关系可以求得x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式3x1•x2－（x1+x2）2≥0，通过解不等式可以求得k的值. 解：（1）∵ 原方程有两个实数根，∴ ［－（2k+1）］2－4（k2+2k）≥0，∴ 4k2+4k+1－4k2－8k≥0，∴ 1－4k≥0，∴ k≤ . ∴ 当k≤ 时，原方程有两个实数根. （2）假设存在实数k使得x1•x2－－≥0成立．∵ x1，x2是原方程的两根，∴ x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k. 由x1•x2－－≥0，得3x1•x2－（x1+x2）2≥0. ∴ 3（k2+2k）－（2k+1）2≥0，整理得－（k－1）2≥0，∴ 只有当k=1时，上式才能成立.又由（1）知k≤ ，∴ 不存在实数k使得x1•x2－－≥0成立. 27.（1）证明：在△ 和△ 中，∠ ，，∠ ，∴ △ ≌△ ．（2）解：当∠ 时，．理由如下：∵ ∠ ，∴ ∠ ．∴ ∠ ，∴ ∠ . ∵ ∠ ，∴ ∠ ，。
江苏省 九年级(上)期中数学试卷(含答案)
九年级（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列方程中有实数根的是（ ）A. B. C. D.x2+2x+2=0x2−2x+3=0x2−3x+1=0x2+3x+4=02.若x=3是方程x2-5x+m=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）A. B. 2 C. D. 5−2−53.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（ ）A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 50∘4.用配方法解一元二次方程x2-4x=5时，此方程可变形为（ ）A. B. C. D.(x+2)2=1(x−2)2=1(x+2)2=9(x−2)2=95.如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）A. 30cm2B. 30πcm2C. 60πcm2D. 120cm26.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ）A. B. C. D.r<6r=6r>6r≥67.对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），下列说法中错误的是（ ）A. 当，时，方程一定有实数根a>0c<0B. 当时，方程至少有一个根为0c=0C. 当，，时，方程的两根一定互为相反数a>0b=0c<0D. 当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号abc<0abc>08.如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为（ ）A. 4B.C.D.215358174二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.一元二次方程x 2=2x 的根是______．10.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是______．11.如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于______度．12.如图半径为30cm 的转动轮转过80°时，传送带上的物体A平移的距离为______．13.在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数______．14.现有一个圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为______cm ．15.某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为______元．16.已知关于x 的一元二次方程（a -1）x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______．17.如果x 2+x -1=0，则代数式x 3+2x 2-7的值为______．18.如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，， 的中点分别是M ，N ，P ，Q ．若AC BC MP +NQ =14，AC +BC =18，则AB 的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.（1）解方程：2x2+4x-5=0 （配方法）（2）解方程：（x-3）2+4x（x-3）=0．四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）20.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，=．请连结线段CB，求四边形ABCDAD CD各内角的度数．21.关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＋2m－1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根．22.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．23.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x 的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？24.省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲10898109乙107101098（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环；（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．（计算方差的公式：s 2=[]）1n (x 1−x )2+(x 2−x )2+…+(x n −x )225.如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．26.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E．（1）求证：AD∥OC；5（2）若AE=2，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．27.如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．28.如图，以点P（-1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、△=22-4×1×2=-6＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；B、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；C、△=（-3）2-4×1×1=5＞0，则该方程有实数根，故本选项正确；D、△=32-4×1×4=-7＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；故选：C．由选项中的方程即可得根的判别式的符号，根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况．本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2.【答案】B【解析】解：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选：B．由一元二次方程根与系数的关系：得到3+另一个根=5，由此得出答案即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则，．3.【答案】A【解析】解：∵∠AOC=130°，∴∠BOC=50°，∴∠D=∠BOC=25°．故选A．先根据邻补角定义求出∠BOC，再利用圆周角定理求解即可．考查圆周角定理，明确同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵x2-4x=5，∴x2-4x+4=5+4，∴（x-2）2=9．故选D．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．5.【答案】C【解析】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC==10（cm），∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π（cm2）．故选：C．首先根据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，∴r＞6．故选C．直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交⇔d＜r7.【答案】D【解析】解：A、正确．当a＞0，c＜0时，△=b2-4ac＞0，则方程一定有实数根；B、正确．当c=0时，则ax2+bx=0，则方程至少有一个根为0；C、正确．当a＞0，b=0，c＜0时，方程两根为x1，x2，x1+x2=-=0，则方程的两根一定互为相反数；D、错误．当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号；故选D．根据根的判别式△=b2-4ac的符号分别判断方程根的情况即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8.【答案】D【解析】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴OA=，∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴=，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM=，∴PM=PD+DM=1+=，∴△AOP的最大面积=OA•PM=××=，故选D．当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得；本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；9.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：移项，得x2-2x=0，提公因式得，x（x-2）=0，x=0或x-2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为：x 1=0，x 2=2．先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10.【答案】3200（1-x ）2=2500【解析】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1-x ）2=2500，故答案为：3200（1-x ）2=2500．本题可根据：原售价×（1-降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．本题考查降低率问题，由：原售价×（1-降低率）2=降低后的售价可以列出方程．11.【答案】72【解析】解：正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，所以∠α=360°-108°-90°-90°=72°．先分别求出正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，再根据圆周角是360度求解即可．主要考查了多边形的内角和．多边形内角和公式：（n-2）•180°．12.【答案】π403【解析】解：由题意得，R=30cm ，n=80°，故l==π（cm ）．故答案为：π．传送带上的物体A 平移的距离为半径为30cm 的转动轮转过80°角的扇形的弧长，根据弧长公式即可求解．本题考查了弧长公式的运用，关键是理解传送带上的物体A 平移的距离为半径为30cm 的转动轮转过80°角的扇形的弧长．13.【答案】50和25【解析】解：50、25出现了2次，出现的次数最多，则众数是50和25，故答案为：50和25；根据众数的定义求解可得．本题主要考查众数，解题的关键是熟练掌握众数的定义．14.【答案】2【解析】解：圆锥的底面周长是：=4π．设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=4π．解得：r=2．故答案是：2．根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15.【答案】120【解析】解：设售货员应标在标签上的价格为x元，依据题意70%x=80×（1+5%）可求得：x=120，故价格应为120元．依据题意建立等量关系商品标价=进价×（1+5%）÷70%此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．16.【答案】a＜2，且a≠1【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，即4-4×（a-1）×1＞0，解这个不等式得，a＜2，又∵二次项系数是（a-1），∴a≠1．故a的取值范围是a＜2且a≠1．本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，从而可以列出关于a的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．17.【答案】-6【解析】解：∵x2+x-1=0，∴x2+x=1，∴x3+2x2-7，=x3+x2+x2-7，=x（x2+x）+x2-7，=x+x2-7，=-6．故本题答案为：-6．把代数式变形整理成x2+x的形式，再运用整体代入法求解．本题考查了提公因式法分解因式，对前两项提取公因式是解题的关键，然后利用“整体代入法”求代数式的值．18.【答案】13【解析】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=（AC+BC）=9，∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18-14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．故答案为：13．连接OP，OQ，根据DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=（AC+BC）=9和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．19.【答案】解：（1）∵2x 2+4x =5，∴x 2+2x =，52则x 2+2x +1=+1，即（x +1）2=，5272∴x +1=±，142则x =-1±；142（2）∵（x -3）（5x -3）=0，∴x -3=0或5x -3=0，解得：x =3或x =0.6．【解析】（1）根据配方法的步骤依次计算可得；（2）因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键20.【答案】解：连结BC ，如图，∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°，∵∠BAC =20°，∴∠B =70°，∵四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，∴∠D =180°-∠B =110°，∵弧AD =弧CD ，∴∠DAC =∠DCA =（180°-110°）=35°，12∴∠DAB =∠DAC +∠BAC =55°，∠DCB =∠DCA +∠ACB =125°，即四边形ABCD 各内角的度数发你为55°，70°，125°，110°．【解析】连结BC ，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用互余可计算出∠B=70°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D=180°-∠B=110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD=弧CD 得到∠DAC=∠DCA=35°，然后计算∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．21.【答案】解：∵由题意知，m ≠0，△=b 2-4ac =[-（3m -1）]2-4m （2m -1）=1，∴m 1=0（舍去），m 2=2，∴原方程化为：2x 2-5x +3=0，解得，x 1=1，x 2=．32【解析】由一元二次方程的△=b 2-4ac=1，建立m 的方程，求出m 的解后再化简原方程并求解．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．22.【答案】（1）证明：如图连接OA ，则OA ⊥AP ，∵MN ⊥AP∴MN ∥OA∵OM ∥AP∴四边形ANMO 是矩形，OM =AN（2）连接OB ，则OB ⊥BP∴∠OBM =∠MNP =90°，∵OA =MN ，OA =OB ，OM ∥AP∴OB =MN ，∠OMB =∠NPM ，∴△OBM ≌△MNP ，∴OM =MP ，设OM =x ，则NP =9-x ，在Rt △MNP 中，有x 2=32+（9-x ）2，∴x =5，即OM =5．【解析】（1）只要证明四边形ANMO 是矩形即可解决问题；（2）只要证明OM=MP ，设OM=x ，则NP=9-x ，在Rt △MNP 中，有x 2=32+（9-x ）2，解方程即可；本题考查切线的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23.【答案】2x；（50-x）【解析】解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，故答案为2x；50-x；（2）由题意得：（50-x）（30+2x）=2100（0≤x＜50）化简得：x2-35x+300=0，即（x-15）（x-20）=0，解得：x1=15，x2=20∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数；（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．24.【答案】9；9【解析】解：（1）甲：（10+8+9+8+10+9）÷6=9（环），乙：（10+7+10+10+9+8）÷6=9（环）；（2）s2甲===；s2乙===；（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．（1）根据图表得出甲、乙每次数据得出数据综合，再求出平均数即可；（2）根据平均数，以及方差公式求出甲乙的方差即可；（3）根据实际从稳定性分析得出即可．此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．25.【答案】解：（1）∵∠OBA ′=45°，O ′P =O ′B ，∴△O ′PB 是等腰直角三角形，∴PB =BO ，2∴AP =AB -BP =20-10；2（2）阴影部分面积为：S 阴影=S 扇形O ′A ′P +S △O ′PB =×π×100+10×10×=25π+50．1412【解析】（1）先根据题意判断出△O′PB 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB 的长，进而可得出AP 的长；（2）根据S 阴影=S 扇形O′A′P +S △O′PB 直接进行计算即可．本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质得出S 阴影=S 扇形O′A′P′+S △O′PB ．26.【答案】（1）证明：连结OA ，如图，∵AD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，∵∠AOC =2∠ABC =2×45°=90°，∴OA ⊥OC ，∴AD ∥OC ；（2）解：设⊙O 的半径为R ，则OA =R ，OE =R -2，AE =2，5在Rt △OAE 中，∵AO 2+OE 2=AE 2，∴R 2+（R -2）2=（2）2，解得R =4，5作OH ⊥AB 于H ，如图，OE =OC -CE =4-2=2，则AH =BH ，∵OH •AE =•OE •OA ，1212∴OH ===，OE ⋅OA AE4×225455在Rt △AOH 中，AH ==，OA 2−OH 2855∴HE =AE -AH =2-=5855255∴BH =，855∴BE =BH -HE =-=．852565【解析】（1）连结OA ，根据切线的性质得到OA ⊥AD ，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；（2）设⊙O 的半径为R ，则OA=R ，OE=R-2，AE=2，在Rt △OAE 中根据勾股定理可计算出R=4；作OH ⊥AB 于H ，根据垂径定理得AH=BH ，再利用面积法计算出OH=，然后根据勾股定理计算出AH=，则HE=AE-AH=2-=，再利用BE=BH-HE 进行计算．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．27.【答案】解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba （a 、b 为自然数），则a ×103+b ×102+b ×10+a =1001a +110b ，∵=91a +10b 1001a +110b 11∴四位数“和谐数”abba 能被11整数；∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx ，则x •102+y •10+x =101x +10y ，=9x +y +，101x +10y 112x−y 11∵1≤x ≤4，101x +10y 能被11整除，∴2x -y =0，∴y =2x （1≤x ≤4）．【解析】（1）根据“和谐数”写出四个四位数的“和谐数”；设任意四位数“和谐数”形式为：abba （a 、b 为自然数），则这个四位数为a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b ，利用整数的整除得到=91a+10b ，由此可判断任意四位数“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx ，则这个三位数为x•102+y•10+x=101x+10y ，由于=9x+y+，根据整数的整除性得到2x-y=0，于是可得y 与x 的关系式．本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．灵活利用整数的整除性．28.【答案】解：（1）连接PA ，如图1所示．∵PO ⊥AD ，∴AO =DO ．∵AD =2，∴OA =1．∵点P 坐标为（-1，0），∴OP =1．∴PA ===，OP 2+OA 212+122∴BP =CP =，2∴OB =+1，OC =-1．22∴B （--1，0），C （-1，0）．22（2）连接AP ，延长AP 交⊙P 于点M ，连接MB 、MC ．如图2所示，线段MB 、MC 即为所求作．四边形ACMB 是矩形．理由如下：∵△MCB 由△ABC 绕点P 旋转180°所得，∴四边形ACMB 是平行四边形．∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB =90°．∴平行四边形ACMB 是矩形．过点M 作MH ⊥BC ，垂足为H ，如图2所示．在△MHP 和△AOP 中，，{∠MHP =∠AOP∠HPM =∠OPA PM =PM ∴△MHP ≌△AOP （AAS ）．∴MH =OA =1，PH =PO =1．∴OH =2．∴点M 的坐标为（-2，1）．（3）在旋转过程中∠MQG 的大小不变．∵四边形ACMB 是矩形，∴∠BMC =90°．∵EG ⊥BO ，∴∠BGE =90°．∴∠BMC =∠BGE =90°．∵点Q 是BE 的中点，∴QM =QE =QB =QG ．∴点E 、M 、B 、G 在以点Q 为圆心，QB 为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG =2∠MBG ．∵OA =OP =1，∠AOP =90°，∴∠APC =45°，∵PC =PA ，∴∠PCA =∠PAC =（180°-45°）=67.5°，12∴∠MBC =∠BCA =67.5°．∴∠MQG =135°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于135°．【解析】（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．由等腰直角三角形和等腰三角形的性质得出∠PCA=67.5°，从而得到∠MBG=67.5°，进而得到∠MQG=135°，即∠MQG的度数是定值．本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四点共圆、图形的旋转等知识，综合性比较强．有一定难度，证明点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解决第三小题的关键．。
江苏省泰州市泰兴市洋思中学九年级(上)第一次月考数学试卷
九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.方程x2-2=0的解为（）A. 2B. 2C. 2与−2D. 2与−22.将方程x2-6x+2=0配方后，原方程变形为（）A. (x+3)2=−2B. (x−3)2=−2C. (x−3)2=7D. (x+3)2=73.某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台．设二三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A. 300(1+x)2=980B. 300(1+x)+300(1+x)2=980C. 300(1−x)2=980D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=9804.下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A. 有一个角为40∘的两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形D. 有一个角为100∘的两个等腰三角形5.现给出以下几个命题：（1）正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形；（2）相等的弧所对的弦相等；（3）圆中90°的角所对的弦是直径；（4）矩形的四个顶点必在同一个圆上；（5）在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等．其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.半径为2的圆中，弦AB、AC的长分别2和22，则∠BAC的度数是（）A. 15∘B. 15∘或45∘C. 15∘或75∘D. 15∘或105∘二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根0，则a值为______．8.已知x=m是方程x2-2x-3=0的一个解，则代数式m2-2m+3的值为______．9.已知ab=23，则a+ba=______．10.已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为______．11.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是______．12.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为______．13.如图，AB是⊙O的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=______．14.如图，点A、B、C，D在同一圆上，AD，BC延长线相交于点Q，AB，DC的延长线相交于点P．若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=______．15.如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=______..16.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）17.三角形两边长分别是6和8，第三边长是x2+2x-80=0的一个实数根，求该三角形的面积．18.如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）求BC的长．（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．并求BD的长．（3）求CD的长．四、解答题（本大题共8小题，共82.0分）19.解方程（1）x2+6x-1=0（2）2x2+5x-3=0．20.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．21.如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF过O点且平行于BC，求证：EO=FO．22.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积．23.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）小明同学说：“无论k取何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？为什么？（2）若等腰三角形的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．24.在矩形ABCD中，DC=23，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求BC的长度．25.已知∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．（1）⊙P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧CD的长；（2）⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF=42cm，求OC的长．26.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP=1，则AE=______；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）当点P运动至AB中点时，求线段CO的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：移项得x2=2，解得x=±．故选：D．这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2.【答案】C【解析】解：方程x2-6x+2=0，变形得：x2-6x=-2，配方得：x2-6x+9=7，即（x-3）2=7，故选：C．方程常数项移到右边，两边加上9变形后，即可得到结果．此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意三月份的生产量是在二月份生产量的基础上得到的．等量关系为：二月份的生产量+三月份的生产量=980．【解答】解：由题意得，二月份的生产量为300(1+x)，三月份的生产量为300(1+x)(1+x)，那么300(1+x)+300(1+x)2=980．故选B．4.【答案】D【解析】解：有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴A不一定相似；两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴B不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出A、B、C不一定相似，D一定相似；即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：正五边形既是轴对称图形，不是中心对称图形，（1）是假命题；相等的弧所对的弦相等，（2）是真命题；圆中90°的圆周角所对的弦是直径，（3）是假命题；矩形的四个顶点必在以对角线的交点为圆心，对角线长度的一半为半径的同一个圆上，（4）是真命题；在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，（5）是假命题，故选：B．根据轴对称图形和中心对称图形的定义、弦和弧的关系定理、圆周角定理判断．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6.【答案】D【解析】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=1，∴sin∠AOE==，sin∠AOD==，∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，∴∠BAO=60°，∠CAO=90°-45°=45°，∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°-45°=15°．∴∠BAC=15°或105°，故选：D．根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．7.【答案】-1【解析】解：把x=0代入方程得：a2-1=0，解得：a=±1，∵（a-1）x2+x+a2-1=0是关于x的一元二次方程，∴a-1≠0，即a≠1，∴a的值是-1．故答案为：-1．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a-1≠0，a2-1=0，求出a的值即可本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a-1≠0且a2-1=0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．8.【答案】6【解析】解：把x=m代入方程x2-2x-3=0可得：m2-2m-3=0，即m2-2m=3，∴m2-2m+3=3+3=6；故答案为：6．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2-2m+3的值．此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2-2m当成一个整体．利用了整体的思想．9.【答案】52【解析】解：∵=，∴a=b，∴==．故答案为：．用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．10.【答案】25-2或6-25【解析】解：当AP＞BP时，AP=AB=2-2，当AP＜BP时，AP=4-（2-2）=6-2，故答案为：2-2或6-2．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．11.【答案】30【解析】解：将l=20π，n=120代入扇形弧长公式l=中，得20π=，解得r=30．故答案为：30．圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．本题考查了圆锥的计算．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．12.【答案】7【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC-BD=9-3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，则=，即=，解得：CE=2，故AE=AC-CE=9-2=7．故答案为：7．先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE 的长度，即可求出AE的长度．此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．13.【答案】57.5°【解析】解：连接AC，∵∠DBA和∠DCA都为所对的圆周角，∴∠DBA=∠DCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠CAB=∠E+∠DCA，∴∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°，∵∠E=25°，∠DBC=50°，∴∠DBA=7.5°，∴∠CBE=∠DBA+∠CBD=7.5°+50°=57.5°．故答案为：57.5°．连接AC，根据圆周角定理可推出∠DBA=∠DCA，∠BCA=90°，可求出∠CBA+∠CAB=90°，由外角的性质可得∠CAB=∠E+∠DCA，通过等量代换即得∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°，然后根据∠E=25°，∠DBC=50°，即可求出∠DBA的度数，最后由∠CBE=∠DBA+∠CBD，通过计算即可求出结果．本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，三角形外角的性质，关键在于正确的做出辅助线，熟练运用相关的性质定理求出相关角之间的等量关系，认真进行等量代换列出等式∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°，求出∠DBA的度数．14.【答案】45°【解析】解：∵∠A=50°，∠P=35°，∴∠CDQ=85°，∵∠A=50°，∴∠DCQ=50°，∴∠Q=180°-85°-50°=45°，故答案为：45°．根据三角形的外角的性质求出∠CDQ=85°，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角求出∠DCQ=50°，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键．15.【答案】143【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．16.【答案】y=4x（x＞0）【解析】解：连接AE，DE，∵∠AOD=120°，∴为240°，∴∠AED=120°，∵△BCE为等边三角形，∴∠BEC=60°；∴∠AEB+∠CED=60°；又∵∠EAB+∠AEB=∠EBC=60°，∴∠EAB=∠CED，∵∠ABE=∠ECD=120°；∴△ABE∽△ECD，∴=，即=，∴y=（x＞0）．故答案为：y=（x＞0）．连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△ECD．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x 与y的关系，从而不难求解．此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力．17.【答案】解：x2+2x-80=0，（x+10）（x-8）=0，所以x1=-10，x2=8，则三角形第三边长为8，如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，作AD⊥BC于D，则BD=DC=3，在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=55，所以S△ABC=12×6×55=355．【解析】先利用因式分解法解方程得到三角形第三边长为8，则三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据勾股定理计算出高，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．18.【答案】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，∴BC=AB2−AC2=8；（2）△ABD为等腰直角三角形．理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD=22AB=52；（3）作BH⊥CD于H，如图，∵∠BCH=45°，∴△BCH为等腰直角三角形，∴BH=CH=22BC=42，在Rt△BDH中，DH=(52)2−(42)2=32，∴CD=CH+DH=42+32=72．【解析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC；（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则AD=BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到BD=AB=5；（3）作BH⊥CD于H，如图，证明△BCH为等腰直角三角形得到BH=CH=BC=4，再利用勾股定理计算出DH=3，从而计算CH+DH即可．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．考查了等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．19.【答案】解：（1）x2+6x=1，x2+6x+9=10，（x+3）2=10，x+3=±10，所以x1=-3+10，x2=-3-10；（2）（2x-1）（x+3）=0，2x-1=0或x+3=0，所以x1=12，x2=-3．【解析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．20.【答案】解：方法1：设窗户宽为x米，高就为9.5−0.5−3x2米，则x×9.5−0.5−3x2=3，解得x1=1，x2=2，当x1=1时，9.5−0.5−3x2=3，当x2=2时，9.5−0.5−3x2=1.5，∵墙的高度为2.8m，∴3＞2.8，不合题意舍去．则窗户的宽为2m，高为1.5m．方法2：设窗户宽为xm，高为ym，则3x+2y+0.5=9.5xy=3，解得x1=1y1=3，x2=2y2=1.5，∵墙的高度为2.8m，∴y1=3＞2.8，不合题意舍去．则窗户的宽为2m，高为1.5m．【解析】方法1：设窗户宽为x米，高就为米，根据该窗户的透光面积为3平方米可列方程求解；方法2：：设窗户宽为xm，高为ym，根据该窗户的透光面积为3m2，以及铝合金条的长，即可列出方程组求解．关键是弄清铝合金条的长度与窗户的宽和高的关系．21.【答案】证明：∵EF∥BC，∴AEO∽△ABC，∴EO：BC=AO：AC，∵EF∥AD，∴△COF∽△CAD，∴AO：AC=DF：DC，∴EO：BC=DF：DC，∵EF∥BC，∴△DOF∽△DBC，∴DF：DC=OF：BC，∴EO：BC=OF：BC，∴EO=FO．【解析】由AD∥EF∥BC，判定AEO∽△ABC，△COF∽△CAD，△DOF∽△DBC，得出对应边成比例，整理得出EO：BC=OF：BC，求得结论即可．此题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）连接OB，∵BC⊥OA，∴BE=CE，AB=AC，又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，∴∠AOC=60°；（2）∵BC=6，∴CE=12BC=3，在Rt△OCE中，OC=CEsin60∘=23，∴OE=OC2−CE2=4×3−9=3，∵AB=AC，∴∠BOC=2∠AOC=120°，∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=120360×π×（23）2-12×6×3=4π-33（cm 2）．【解析】（1）先根据垂径定理得出BE=CE ，=，再根据圆周角定理即可得出∠AOC 的度数；（2）先根据勾股定理得出OE 的长，再连接OB ，求出∠BOC 的度数，再根据S 阴影=S 扇形OBC -S △OBC 计算即可．本题考查的是垂径定理，涉及到圆周角定理及扇形面积的计算，勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键．23.【答案】解：（1）小明同学说的有道理．理由如下：∵方程x 2-（k +2）x +2k =0的判别式△=（k +2）2-8k =（k -2）2≥0，∴无论k 取何值时，这个方程总有实数根，∴小明同学说的有道理；（2）若a =1是腰，则x =1为已知方程的解，将x =1代入方程得：k =1，即方程为x 2-3x +2=0，解得：x =1或x =2，此时三角形三边为1，1，2，不合题意，舍去；若a =1是底时，b =c 为腰，即k =2，方程为x 2-4x +4=0，解得：x 1=x 2=2，此时b =c =2，即三角形三边长为1，2，2，周长为1+2+2=5．【解析】（1）先计算出△=（k+2）2-4•2k=（k-2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）分a 为腰与a 为底两种情况，求出方程的解确定出b 与c ，即可求出周长．本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△=0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．24.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠FDC =90°，∴∠FDE +∠CDE =90°，∵CF ⊥BD ，∴∠FDE +∠DFE =90°，∴∠CDE =∠DFE ，又∴∠DEC =∠CDF =90°，∴△DEC ∽△FDC ；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴DF ∥BC ，∴FEEC=DFBC=12，∵△DEC∽△FDC，∴CE•CF=CD2=12，∴CF=32，∴DF=CF2−CD2=6，∴BC=AD=26．【解析】（1）根据矩形的性质、同角的余角相等得到∠CDE=∠DFE，得到答案；（2）根据DF∥BC，得到==，根据相似三角形的性质得到CE•CF=CD2=12，求出CF，根据勾股定理计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25.【答案】解：（1）连接DP、CP，∵∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．∴∠DPC=120°，∴劣弧CD的长为：120π×3180=2πcm；（2）可分两种情况，①如图2，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，∵EF=42cm，∴EM=22cm，在Rt△EPM中，PM=32−(22)2=1cm，∵∠AOB=60°，∴∠PNM=30°，∴PN=2PM=2cm，∴NC=PN+PC=5cm，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5×33=533cm．②如图3，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，由①可知，PN=2cm，∴NC=PC-PN=1cm，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1×33=33cm．综上所述，OC的长为533cm或33cm．【解析】（1）根据∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C，利用弧长公式得出弧的长；（2）分两种情况分析，①当P在∠AOB内部，根据⊙P移动到与边OB相交于点E，F，利用垂径定理得出EF=4cm，得出EM=2cm，进而得出OC的长．②当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，进而求出即可．此题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理和弧长计算公的应用，根据已知得出CO=（cm）是解决问题的关键．26.【答案】34【解析】解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，∴∠AEP=∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE=，故答案为；（2）①证明：如图1，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，∵∠POE=90°，∴OQ=PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ=PE，∴OQ=AQ，∴点O一定在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）②解：连接OA、AC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°∴AC=，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA==，（3）如图2连接AC，由（2）知AC经过点O，且∠CAO=∠OPC=45°，又∵∠ACP=∠OCP，∴△COP∽△CPA，∴，点P运动至AB中点时，AP=BP=2，由（1）知△APE∽△BCP，∴，∴，解得：AE=1，由勾股定理得：，OP=PE×sin45°=，由勾股定理得：PC=，∴，解得：．（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠BPC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；（2）①求证A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；②连接OA、AC，由勾股定理求出AC=4，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；（3）连接AC，易知AC过点O，运用勾股定理求出AE，OP，CP的值，进而运用△APE∽△BCP，列出相关比例线段求解即可．此题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大．第21页，共21页。
2018-2019学年江苏省泰州市泰兴市洋思中学九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年江苏省泰州市泰兴市洋思中学九年级（上）期中数学试卷1.方程x2=−2x的解是()A. −2B. 0，−2C. 0，2D. 无实数根2.如图，在⊙O中，AB⏜=AC⏜，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是()A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°3.关于抛物线y=(x−1)2+2，下列说法错误的是()A. 开口向上B. 与y轴的交点是(0,2)C. 对称轴是直线x=1D. 当x>1时，y随x的增大而增大4.小红同学四次数学测试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是()A. 平均数是105B. 众数是104C. 中位数是104D. 方差是505.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定6.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A. y3>y2>y1B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1=y2>y37.一组数据−2，−1，0，3，5的极差是______ ．8.已知函数y=(m−1)x m2+1+3x，当m=______ 时，它是二次函数．9.已知关于x的一元二次方程4x2+2x−k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．10.如图，小明做实验时发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P、Q时，PQ⏜的长度不变．若⊙O的半径为9，则PQ⏜的长等于______．11.已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，它的侧面积是______．12.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的4，9则AB：DE=______．13.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，则∠ABD=______°.14.如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为______．15.如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB=______ ．16.在二次函数y=x2+2x−3中，当−3<x<3时y的取值范围为______．17.(1)解方程：(x−3)2=3−x；(2)若抛物线y=x2−2kx+16的顶点在x轴上，求k的值．18.抛物线关于y轴对称，且过点(1,−2)和(−2,0)．(1)求出对应的二次函数关系式．(2)判断点(2,−1)是否在该函数的图象上？19.小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．(1)小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；(2)求他们三人在同一个半天去游玩的概率．20.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，请你计算DE的长．21.一次学科测验，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到6分以上为合格．成绩达到9分为优秀．这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：平均分方差中位数合格率优秀率甲组 6.9 2.491.7%16.7%乙组 1.383.3%8.3%(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要高于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(3,0)．(1)在图中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)，圆心坐标为______；(2)若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB=∠ACB，则点D的坐标为______．23.如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3．(1)若∠A=30°，求扇形OBC的面积．(2)若PC2=PB⋅PA，求证：PC是⊙O的切线．24.已知抛物线y=x2+2x+2．(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______；选取适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x…______ ______ ______ ______ ______ …y…______ ______ ______ ______ ______ …(2)若P(a,y1)，Q(1,y2)是此抛物线上的两点，且y1>y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．(3)怎样平移抛物线y=x2+2x+2可使所得抛物线恰好过点(2,2)，写出一种平移方法．25.矩形ABCD中，AB=4，AD=3，E在BC的延长线上(不包括点C)，点F在CB的延长线上，且CF=CE，DF交AB边于点G，交矩形ABCD的外接圆⊙O于点H．(1)如图，若点H为半圆ABC的中点，求BG的长；(2)若DE与⊙O相切，求DE的长；(3)当点E在BC延长线上运动时，求证：△DEG的面积保持不变．26.已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点；连接DE，并作∠DEF=∠B，射线EF交AC边于F，连结DF．(1)求证：△DBE∽△ECF；(2)当E是线段BC中点时，求证：DE平分∠BDF；(3)如果△DEF是等腰三角形，求CF的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵x2=−2x，∴x2+2x=0，则x(x+2)=0，∴x=0或x+2=0，解得x1=0，x2=−2，故选：B．利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，AB⏜=AC⏜，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∠AOC=20°，∴∠ADC=12故选：C．先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=(x−1)2+2，A、因为a=1>0，开口向上，故说法正确，不符合题意；B、与y轴交点x=0时，y=3，故说法错误，符合题意；C、因为对称轴是直线x=1，故说法正确，不符合题意；D、当x>1时，y随x的增大而增大，故说法正确，不符合题意；故选：B．根据抛物线的解析式得出顶点坐标是(1,2)，对称轴是直线x=1，根据a=1>0，得出开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．本题主要考查对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：(A)平均数为：(96+104+104+116)÷4=105，故A正确；(B)出现最多的数据是104，所以众数是104，故B正确；(C)先排序：96、104、104、116，所以中位数为(104+104)÷2=104，故C正确；[(96−105)2+(104−105)2+(104−105)2+(116−105)2]=51，故(D)方差为：14D错误．故选：D．由平均数、众数、中位数、方差的定义即可判断．本题考查数据的分析，涉及平均数、众数、中位数、方差等知识，综合程度较高．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d<r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=5，∵△ABC的面积=12AC×BC=12AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4<2.5，即d<r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故选A．6.【答案】D【解析】解：∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴对称轴为x=1，P2(3,y2)，P3(5,y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3<5，∴y2>y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，故y1=y2>y3，故选：D．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，可判断y1=y2>y3．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．7.【答案】7【解析】解：由题意可知，极差为5−(−2)=7．故答案为：7．根据极差的定义即可求得．此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．8.【答案】−1【解析】解：∵y=(m−1)x m2+1是二次函数，∴m2+1=2，∴m=−1或m=1(舍去此时m−1=0)．故答案为：−1．根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m−1≠0．9.【答案】k>−14【解析】解：∵关于x的一元二次方程4x2+2x−k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4×4×(−k)>0，．解得：k>−14．故答案为：k>−14根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10.【答案】3π【解析】解：如图，连接OP、OQ，则∠POQ=2∠A=60°．∵⊙O的半径为9，∴PQ⏜的长=60×π×9180=3π．故答案为3π．连接OP、OQ，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得出∠POQ=2∠A=60°，再根据弧长公式列式计算即可．本题考查了弧长的计算，圆周角定，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式以及圆周角定理的内容．11.【答案】4π【解析】解：把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面积等于半径为4，弧长为2π的扇形的面积，∴侧面积=12×4×2π=4π圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题考查了圆锥的侧面积的求法．12.【答案】2：3【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF面积=(ABDE )2=49，∴AB：DE=2：3，故答案为：2：3．由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB//DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积=49，得到AB：DE═2：3．此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．13.【答案】55【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了等腰三角形的性质．先利用圆内接四边形的性质得到∠A=70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABD的度数．【解答】解：在⊙O的内接四边形ABCD中，∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°−110°=70°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，(180°−70°)=55°．∴∠ABD=12故答案为55．14.【答案】9【解析】解：设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD=3：1，∵GH⊥BC，∴△ADE∽△GDH，∴AD：GD=AE：GH=3：1，∴AE=3GH=3×3=9，故答案为9．根据题意作图，利用重心的性质AD：GD=3：1，同时还可以求出△ADE∽△GDH，从而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根据GH=3即可得出答案．本题主要考查了作辅助线，重心的特点，全等三角形的性质，难度适中．15.【答案】392【解析】【分析】此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先作直径AE，连接CE，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AB．【解答】解：作直径AE，连接CE，∴∠ACE=90°，∵AH⊥BC，∴∠AHB=90°，∴∠ACE=∠AHB，∵∠B=∠E，∴△ABH∽△AEC，∴ABAE =AHAC，∴AB=AH⋅AEAC，∵AC=24，AH=18，AE=2OC=26，∴AB=18×2624=392，故答案为：392．16.【答案】−4≤y<12【解析】解：∵二次函数y=x2+2x−3=(x−1)2−4，∴该函数图象开口向上，当x=1有最小值−4，∴当x=−3时，y=12，当x=3时，y=0，∵−3<x<3，∴y的取值范围为−4≤y<12，故答案为：−4≤y<12根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当−3<x<3时y的取值范围．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】解：(1)∵(x −3)2=3−x ，∴(x −3)2+(x −3)=0， ∴(x −3)(x −3+1)=0， ∴(x −3)(x −2)=0， ∴x −3=0或x −2=0， 解得x 1=3，x 2=2；(2)∵抛物线y =x 2−2kx +16=(x −k)2−k 2+16， ∴该抛物线的顶点坐标是(k,−k 2+16)， ∵抛物线y =x 2−2kx +16的顶点在x 轴上， ∴−k 2+16=0， 解得k 1=4，k 2=−4．【解析】(1)先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程；(2)先将抛物线解析式化为顶点式，再根据抛物线y =x 2−2kx +16的顶点在x 轴上，可知顶点的纵坐标为0，然后即可计算出k 的值．本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法和抛物线顶点在x 轴上的特点是纵坐标为0．18.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y =ax 2+c ，根据题意得{a +c =−24a +c =0，解得{a =23c =−83， 所以抛物线解析式为y =23x 2−83．(2)当x =2时，y =23x 2−83=23×4−83=0， ∴点(2,−1)不在该函数的图象上．【解析】(1)由于抛物线关于y 轴对称，则可设顶点式y =ax 2+c ，再把两个点的坐标分别代入得到关于a 、c 的方程组，然后解方程组求出a 、c 的值，从而得到抛物线解析式． (2)把点(2,−1)代入函数解析式即可判断．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．19.【答案】(1)14；(2)画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，所以他们三人在同一个半天去游玩的概率=28=14．【解析】解：(1)画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数为1，所以小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率=14；故答案为14．(2)见答案．【分析】(1)画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；(2)画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.【答案】解：(1)连接AC，过点D作DF//AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．(2)∵AC//DF，∴∠ACB=∠DFE．∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF．∴AB：DE=BC：EF，∵AB=4m，BC=3m，EF=8∴4：3=DE：8∴DE=32(m)．3【解析】(1)根据投影的定义，作出投影即可；(2)根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系AB：DE=BC：EF.计算可得DE=10(m)．本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题．21.【答案】解：(1)从统计图中可以看出：甲组：中位数7；乙组：平均分7，中位数7；(2)①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组；②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差不大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；③因为乙组7分(含7分)以上人数多于甲组7分(含7分)以上人数，所以乙组学生的成绩好于甲组．【解析】(1)本题需先根据中位数的定义，再结合统计图得出它们的平均分和中位数即可求出答案．(2)本题需先根据统计图，再结合它们的合格率、优秀率说出它们各自的观点是本题所求的答案．本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22.【答案】(1)如下图，故圆心坐标为(5,5)；(2)(7,0)；【解析】解：(1)如图所示：圆心坐标为：(5,5)；故答案为：(5,5)；(2)如图所示：点D的坐标为(7,0)；故答案为：(7,0)．(1)分别作出三角形任意两边的垂直平分线进而得出圆心的位置进而得出答案；(2)利用圆周角定理得出符合题意的D点位置．此题主要考查了复杂作图以及三角形外接圆与外心，正确得出圆心的位置是解题关键．23.【答案】(1)解：连接OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∵⊙O的半径为3，∴扇形OBC的面积=60⋅π⋅32360=3π2；(2)证明：连接BC，∵PC2=PB⋅PA，∴PCPA =PBPC，∵∠BPC=∠CPA，∴△PBC∽△PCA，∴∠BCP=∠CAP，∵OA=OC=OB，∴∠CAP=∠ACO，∠OCB=∠OBC，∴∠ACO=∠BCP，∵AB是⊙O的直径，∴∠CAP+∠OBC=90°，∴∠OCB+∠BCP=90°，即OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．【解析】(1)连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，根据扇形的面积公式即可得到答案；(2)证明：连接BC，根据相似三角形的性质得到∠BCP=∠CAP，根据等腰三角形的性质得到∠CAP=∠ACO，∠OCB=∠OBC，根据圆周角定理得到∠CAP+∠OBC=90°，推出OC⊥PC，于是得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】直线x=1(1,3)−3−2−10152125【解析】解：(1)y=x2+2x+2=(x+1)2+1对称轴为直线x=−1，顶点坐标为(−1,1)；列表：x…−3−2−101…y…52125..描点、连线画出函数图象为：故答案为直线x=−1，(−1,1)；(2)由图象可知，若y1>y2，实数a的取值范围是x<−3或x>1；(3)抛物线y=x2+2x+2向右平移2个单位所得抛物线恰好过点(2,2)．(1)配方后即可确定顶点坐标及对称轴，列表，描点、连线画出抛物线即可；(2)根据图象确定答案即可；(3)根据图象即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象．25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点H为半圆ABC的中点，∴AH⏜=CH⏜．∴∠ADH=∠CDH=1∠ADC=45°．2∴△ADG为等腰直角三角形．∴AG=AD=3，∴BG=AB−AG=4−3==1；(2)连BD 则BD 为直径，如图，∵DE 与⊙O 相切，∴BD ⊥DE ．∵DC ⊥BE ，∴BDC∽△DCE ． ∴BC CD =CD CE ． ∴34=4CE ．∴CE =163． 在Rt △DCE 中，∵DE 2=DC 2+CE 2∴DE =√42+(163)2=203；证明：(3)设DC 与GE 交于点M ，如图，设FB =x ，则FC =3+x ，∵CF =CE ，∴CE =3+x ，∴BE =BC +CE =3+3+x =6+x ．∵BG//CD ，∴BG CD =BF FC ．∴BG4=x x+3．∴BG =4x x+3．∴AG=AB−BG=4−4xx+3=12x+3．∵S△ADG=12×AG×AD=18x+3，S△BEG=12×BG×BE=2x2+12xx+3，∴S△ADG+S△BGE=12x+3+2x2+12xx+3=2(x2+6x+9)x+3=2(x+3)．∵S△DCE=12×CD×CE=12×4×(x+3)=2(x+3)，∴S△DCE=S△ADG+S△BEG．∴S△DME=S△ADG+S四边形BGMC．∵S△DEG=S△DMG+S△DME，∴S△DEG=S△DMG+S△ADG+S四边形BGMC =S矩形ABCD=3×4=12．∴当点E在BC延长线上运动时，△DEG的面积保持不变，总等于12．【解析】(1)利用点H为半圆ABC的中点，可得∠ADH=∠CDH=45°，△ADG为等腰直角三角形，则AG=AD=3，可得BG=AB−AG；(2)连接BD，则得BD为圆的直径，利用切线的性质定理可得BD⊥DE，利用BDC∽△DCE 得出比例式求得线段CE，在Rt△DCE中，利用勾股定理可求线段DE的长；(3)通过计算△DEG的面积始终等于矩形ABCD的面积得出结论．本题是一道圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，矩形的性质，三角形的面积．通过计算找出△DEG的面积等于矩形ABCD的面积是解题的关键．26.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，∵∠DEF=∠B，∴∠FEC=∠BDE，而∠B=∠C，∴△DBE∽△ECF；(2)证明：如图2，∵E是线段BC中点，∴BE=CE=12BC=3，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B+∠BDE+∠BED=180°，∠BED+∠DEF+∠CEF=180°，∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF，∴DEEF =BDCE，即DEEF=23，∵BDBE =23，∴BDBE =DEEF，∵∠B=∠DEF，∴△DBE∽△DEF，∴∠BDE=∠EDF，∴DE平分∠BDF；(3)∵△DEF是等腰三角形，∴DE=EF或DE=DF或DF=EF，设BE=x，则CE=6−x，①当DE=EF时，∵△BDE∽△CEF，∴BDCE =BECF=DEEF，即26−x =xCF=1，∴6−x=2，CF=x，解得：x=4，∴CF=4；②当DE=DF时，则∠DEF=∠DFE=∠B=∠C，∴△DEF∽△ABC，∴DEEF =ABBC=56，∵△BDE∽△CEF，∴BDCE =BECF=DEEF，即26−x =x CF =56，解得：x =185，CF =65x ， ∴CF =65x =65×185=10825；③当DF =EF 时，则∠DEF =∠EDF =∠B =∠C ，∴△FDE∽△ABC ，∴DE EF =BC AC =65， ∵△BDE∽△CEF ，∴BD CE =BE CF =DE EF ， ∴26−x =x CF =65， 解得：x =133，CF =56x ， ∴CF =56×133=6518；综上所述，CF =4或6518或10825．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B =∠C ，再利用三角形外角性质证明∠FEC =∠BDE ，于是可判断△DBE∽△ECF ；(2)根据E 是线段BC 中点，可得BE =CE =12BC =3，再证得△BDE∽△CEF ，进而可得△DBE∽△DEF ，即可得出结论；(3)分三种情况：①当DE =EF 时，②当DE =DF 时，③当DF =EF 时，分别利用相似三角形性质建立方程求解即可求得答案．本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，中点定义等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键．。
江苏省泰州中学附中2014-2015学年九年级上学期第一次月考数学试卷(解析版)
2014-2015学年江苏省泰州中学附中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为（）A．80°B．60°C．50°D．40°2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE=BE B．=C．OE=DE D．∠DBC=90°3．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°4．方程x2﹣2x=0的解为（）A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=x2=1 D．x=25．方程x2﹣2x﹣1=0的两个解为x1和x2，则x1+x2的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣16．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形C．等弧所对的圆周角相等D．垂直于半径的直线是圆的切线二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=度．8．当m=时，关于x的方程（m﹣2）+2x﹣1=0是一元二次方程．9．方程x2+6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．10．将半径为2cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为cm．11．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=40°．则∠APB的度数为．12．如图，点A、B、C、D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠D=°．13．长度等于圆的半径的弦所对的圆周角的度数为．14．已知关于x的方程a（x+m）2=c的解为x1=3，x2=﹣2，方程a（x+m+2）2=c的解为．15．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O和M分别为Rt△ABC的外心和内心，线段OM的长为．16．半径为1的⊙O中，两条弦AB=，AC=1，∠BAC的度数为．三、解答题17．解方程：（1）x2﹣2x﹣8=0（2）2x2﹣3x﹣1=0．18．化简求值：（a+2）（a﹣2）+2（a+1）2﹣（a+1）（a﹣3），其中实数a是方程2x2+6x﹣1=0的一个根．19．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标；（2）⊙O的半径为（结果保留根号）；（3）求的长（结果保留π）．20．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O 于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，AB=4，求平行四边形OABC的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=，求直径AB的长．22．某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为40元时，每天销售20个．（1）求P关于x的函数关系式；（2）如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？23．一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：（1）桥拱半径（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？24．如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：AE=BE；（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．25．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，方程ax2+bx﹣c=0是关于x的一元二次方程．（1）判断方程ax2+bx﹣c=0的根的情况为（填序号）；①方程有两个相等的实数根；②方程有两个不相等的实数根；③方程无实数根；④无法判断（2）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，直径BD⊥AC于点E，且∠DAC=60°，求方程ax2+bx ﹣c=0的根；（3）若x=c是方程ax2+bx﹣c=0的一个根，△ABC的三边a、b、c的长均为整数，试求a、b、c 的值．26．如图，在平面直角坐标系中半径为3的⊙O分别交坐标轴A、B、C、D．圆上点M在第一象限，且∠MOA=30°，点P（a，0）在x轴上，且a＞3（1）若直线PM与⊙O相切于点M，如图1，则a=；（2）若直线PM恰好过点B，如图2，求阴影部分的面积；（3）若直线PM与⊙O相交，另一个交点为N①是否存在满足条件的实数a使PM与MN的长相等？若存在，求出a的值；不存在，说明理由；②若N在第一象限内，设y=MN2，求y关于a的函数关系式，并直接写出a的取值范围．2014-2015学年江苏省泰州中学附中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为（）A．80°B．60°C．50°D．40°考点：圆周角定理．分析：由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠A=40°，∴∠B=90°﹣∠A=50°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用．2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE=BE B．=C．OE=DE D．∠DBC=90°考点：垂径定理；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=DE，直径所对的圆周角等于90°．解答：解：∵CD⊥AB，∴AE=BE，=，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，不能得出OE=DE．故选：C．点评：本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．3．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．专题：几何图形问题．分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．解答：解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．故选：C．点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．4．方程x2﹣2x=0的解为（）A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=x2=1 D．x=2考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：利用因式分解法解方程即可．解答：解：x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故选A．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．5．方程x2﹣2x﹣1=0的两个解为x1和x2，则x1+x2的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系直接回答问题．解答：解：∵方程x2﹣2x﹣1=0的两个解为x1和x2，∴x1+x2=﹣（﹣2）=2．故选：A．点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2．6．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形C．等弧所对的圆周角相等D．垂直于半径的直线是圆的切线考点：圆周角定理；确定圆的条件；切线的性质；正多边形和圆．分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆；轴对称图形和中心对称图形定义，圆周角定理，切线的定义进行分析即可．解答：解：A、三点确定一个圆，说法错误，应是不在同一直线上的三点确定一个圆；B、正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形，说法错误，例如正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C、等弧所对的圆周角相等，说法正确；D、垂直于半径的直线是圆的切线，说法错误，应该是经过圆的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线；故选：C．点评：此题主要考查了确定圆的条件、切线的定义、圆周角，以及轴对称图形和中心对称图形，关键是熟练把握各知识点．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理即可直接求解．解答：解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故答案是：50．点评：此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．当m=﹣2时，关于x的方程（m﹣2）+2x﹣1=0是一元二次方程．考点：一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义求得m的值，再进一步代入解方程即可．解答：解：根据一元二次方程的定义，得，m2﹣2=2，且m﹣2≠0，解得m=±2，且m≠2m=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题主要是注意一元二次方程的条件：未知数的最高次数是二次，且系数不得为0．9．方程x2+6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜9．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到△＞0，即62﹣4×1×k ＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．解答：解：∵方程x2+6x+k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即62﹣4×1×k＞0，解得k＜9，∴k的取值范围为k＜9．故答案为k＜9．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．将半径为2cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为cm．考点：圆锥的计算．分析：利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．解答：解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr=，解得r=cm．故答案为：．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．11．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=40°．则∠APB的度数为80°．考点：切线的性质．分析：根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度数，可将∠APB的度数求出．解答：解：∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=40°，∴∠AOB=180°﹣2×40°=100°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣100°﹣90°﹣90°=80°．故答案为80°．点评：本题考查了圆的切线性质，及三角形的内角和、四边形内角和的知识．熟练掌握切线的性质是解题的关键．12．如图，点A、B、C、D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠D= 60°．考点：圆周角定理；平行四边形的性质．分析：由“平行四边形的对角相等”推知∠AOC=∠B；然后根据“圆内接四边形的对角互补”求得∠D+∠B=180°；最后由圆周角定理、等量代换求得∠D+2∠D=180°．解答：解：如图，在平行四边形OABC中，∠AOC=∠B．∵点A、B、C、D在⊙O上，∴∠D+∠B=180°．又∵∠D=∠AOC，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°．故答案是：60．点评：本题考查了圆周角定理、平行四边形的性质．解题时，借用了圆内接四边形的性质．13．长度等于圆的半径的弦所对的圆周角的度数为30°或150°．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，由半径等于弦长，得到三角形AOB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠AOB为60°，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍求出∠ACB 的度数，再利用圆内接四边形的对角1互补求出∠ADB的度数，即可得出弦AB所对圆周角的度数．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示，∵OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠AOB与∠ACB都对，∴∠ACB=∠AOB=30°，又四边形ACBD为圆O的内接四边形，∴∠ACB+∠ADB=180°，∴∠ADB=150°，则弦AB所对的圆周角为30°或150°．故答案为：30°或150°点评：此题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．已知关于x的方程a（x+m）2=c的解为x1=3，x2=﹣2，方程a（x+m+2）2=c的解为x1=1，x2=﹣4．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：把a（x+m+2）2=c变形为a[（x+2）+m]2=c，再把方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解即可．解答：解：∵关于x的方程a（x+m）2=c的解是x1=3，x2=﹣2，（a，m，c均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2=c变形为a[（x+2）+m]2=c，即此方程中x+2=﹣2或x+2=3，解得x=﹣4或x=﹣1．故答案为：x1=1，x2=﹣4．点评：此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点，发现它们的联系是解决问题的关键．15．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O和M分别为Rt△ABC的外心和内心，线段OM的长为．考点：三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．分析：作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根据勾股定理求出AB=10，得到△ABC的外接圆半径AO=5，再证明四边形MECD是正方形，根据内心的性质和切线长定理，求出⊙M的半径r=2，则ON=1，然后在Rt△OMN中，运用勾股定理即可求解．解答：解：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB 于N．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10．∵点O为△ABC的外心，∴AO为外接圆半径，AO=AB=5．设⊙M的半径为r，则MD=ME=r，又∵∠MDC=∠MEC=∠C=90°，∴四边形IECD是正方形，∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，∵AB=10，∴8﹣r+6﹣r=10，解得r=2，∴MN=r=2，AN=6﹣r=4．在Rt△OIN中，∵∠MNO=90°，ON=AO﹣AN=5﹣4=1，∴OM==．故答案是：．点评：此题考查了直角三角形的外心与内心的概念及性质，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理，综合性较强，难度适中．求出△ABC的内切圆半径是解题的关键．16．半径为1的⊙O中，两条弦AB=，AC=1，∠BAC的度数为15°或105°．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：分类讨论．分析：分类讨论：当AC与AB在点A的两旁．由OA=OC=1，AC=1，得到△OAC为等边三角形，则∠OAC=60°，又由OA=OB=1，AB=，得到△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB=45°，所以∠BAC=45°+60°=105°；当AC与AB在点A的同旁．有∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．解答：解：如图1，当AC与AB在点A的两旁．连OC，OA，OB，如图，在△OAC中，∵OA=OC=1，AC=1，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC=60°；在△OAB中，∵OA=OB=1，AB=，即12+12=（）2，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°，∴∠BAC=45°+60°=105°；如图2，当AC与AB在点A的同旁．同（1）一样，可求得∠OAC=60°，∠OAB=45°，∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．综上所述：∠BAC的度数为：105°或15°．故答案为：105°或15°．点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用．三、解答题17．解方程：（1）x2﹣2x﹣8=0（2）2x2﹣3x﹣1=0．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：（1）利用因式分解法解方程；（2）利用求根公式法解方程．解答：解：（1）（x﹣4）（x+2）=0，所以x1=4，x2=﹣2；（2）△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，x=sy1．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了公式法解一元二次方程．18．化简求值：（a+2）（a﹣2）+2（a+1）2﹣（a+1）（a﹣3），其中实数a是方程2x2+6x﹣1=0的一个根．考点：整式的混合运算—化简求值；一元二次方程的解．分析：求出2a2+6a=1，先算乘法再合并同类项，最后代入求出即可．解答：解：（a+2）（a﹣2）+2（a+1）2﹣（a+1）（a﹣3）=a2﹣4+2a2+4a+2﹣a2+3a﹣a+3=2a2+6a+1，∵实数a是方程2x2+6x﹣1=0的一个根，∴2a2+6a﹣1=0，∴2a2+6a=1，∴原式=1+1=2．点评：本题考查了整式的混合运算和求值，一元二次方程的解的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．19．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标（2，﹣1）；（2）⊙O的半径为2（结果保留根号）；（3）求的长（结果保留π）．考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算．专题：计算题．分析：（1）连接AB，BC，分别作出这两条弦的垂直平分线，两垂直平分线交于点D，即为所求圆心，由图形即可得到D的坐标；（2）由FD=CG，AF=DG，且夹角为直角相等，利用SAS可得出三角形ADF与三角形DCG全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由同角的余角相等得到∠ADC为直角，利用弧长公式即可求出的长．解答：解：（1）连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点D，即为圆心，由图形可得出D（2，﹣1）；（2）在Rt△AED中，AE=2，ED=4，根据勾股定理得：AD==2；（3）∵DF=CG=2，∠AFD=∠DGC=90°，AF=DG=4，∴△AFD≌△DGC（SAS），∴∠ADF=∠DCG，∵∠DCG+∠CDG=90°，∴∠ADF+∠CDG=90°，即∠ADC=90°，则的长l==π．故答案为：（1）（2，﹣1）；（2）2点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及弧长公式，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．20．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O 于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，AB=4，求平行四边形OABC的面积．考点：切线的判定与性质；平行四边形的性质．分析：（1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出CD，根据三角形的面积公式求出DF，根据平行四边形的面积公式求出即可．解答：（1）证明：∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC=90°，如图1，连接OD，∵四边形OABC是平行四边形，∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中，，∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥OC于F，如图2，在Rt△CDO中，OC=4，OD=OA=3，由勾股定理得：CD==，由三角形的面积公式得：×CD×OD=×OC×DF，∴DF===，∴平行四边形OABC的面积是OC×DF=4×=3．点评：本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．21．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=，求直径AB的长．考点：切线的判定．分析：（1）连接OC、OF，则可得到∠CAB=∠CAF=30°，可证得OC∥AD，可得∠OCD=90°，证得结论；（2）在Rt△ACD中，可求得AC=2CD=2，在Rt△ACB中，由勾股定理可求得AB的长．解答：（1）证明：连接OC，OF，∵==，∴∠COB=×180°=60°，∴∠CAB=∠CAF=∠OCA=∠OCB=30°，∴OC∥AD，∴∠OCD+∠ADC=180°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ACD中，∠DAC=30°，所以AC=2CD=2，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，AC=2，由勾股定理可求得AB=4．点评：本题主要考查切线的判定，连接OC、OF得到∠COB的度数是解题的关键．22．某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为40元时，每天销售20个．（1）求P关于x的函数关系式；（2）如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？考点：一元二次方程的应用；一次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据待定系数法可求P关于x的函数关系式．（2）设此时书包的单价是x元，根据题意找出涨价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解．解答：解：（1）设P=kx+b，根据题意得：，解得：，则P关于x的函数关系式P=﹣2x+100，（2）设此时书包的销售单价应定为x元．则P（x﹣30）=200，（﹣2x+100）（x﹣30）=200，解得x=40．故书包的销售单价应定为40元．点评：本题考查一元二次方程的应用、一次函数的应用和理解题意的能力，关键看出涨价和销售量的关系，然后根据利润列方程求解．23．一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：（1）桥拱半径（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？考点：垂径定理的应用．分析：（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．（2）已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题．解答：解：（1）∵拱桥的跨度AB=16m，拱高CD=4m，∴AD=8m，利用勾股定理可得：AO2﹣（OC﹣CD）2=8×8，解得OA=10（m）．（2）设河水上涨到EF位置（如上图所示），这时EF=12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），∴EM=EF=6m，连接OE，则有OE=10m，OM==8（m）OD=OC﹣CD=10﹣4=6（m），OM﹣OD=8﹣6=2（m）．点评：此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．24．如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：AE=BE；（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：（1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论；（2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；（3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．解答：解：（1）如图1，连接AP，∵BC是半⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=90°，∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ACB=∠BAD，∵点A是弧BP的中点，∴∠P=∠ACB=∠ABP，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE；（2）BE=EF，理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴∠BAD=∠ACB，∵A为弧BP中点，∴∠ABP=∠ACB，∴∠BAD=∠ABP，∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，∴EF=AE，∴BE=EF；（3）小李的发现是正确的，理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，在△PCF和△PBG中，，∴△PCF≌△PBG（ASA），∴CF=BG，∵BC为直径，∴∠BAC=°，∵A为弧BP中点，∴∠GCA=∠BCA，在△BAC和△GAC中，，∴△BAC≌△GAC（ASA），∴AG=AB=BG，∴CF=2AB．点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．25．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，方程ax2+bx﹣c=0是关于x的一元二次方程．（1）判断方程ax2+bx﹣c=0的根的情况为②（填序号）；①方程有两个相等的实数根；②方程有两个不相等的实数根；③方程无实数根；④无法判断（2）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，直径BD⊥AC于点E，且∠DAC=60°，求方程ax2+bx ﹣c=0的根；（3）若x=c是方程ax2+bx﹣c=0的一个根，△ABC的三边a、b、c的长均为整数，试求a、b、c 的值．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）先计算判别式的值得到△=b2+4a•c，由于a、b、c为三角形的边长，则△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）连接OA，如图，根据垂径定理，由BD⊥AC得到，弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，再利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=CB，利用圆周角定理得到∠ABD=∠DAC=60°，则可判断△OAB为等边三角形，得到AB=OB=2，AE=OB=，所以AC=2AE=2，即a=2，b=2，c﹣2，然后利用求根公式法解方程2x2+2x﹣2=0；（3）根据一元二次方程根的定义，把x=c代入ax2+bx﹣c=0后变形得到=4﹣b，易得b＜4，利用a、b、c的长均为整数得到b=1，2，3，然后分类讨论：当b=1时，ac=12，；当b=2时，ac=8；当b=3时，ac=4，再利用整数的整除性求出a、c的值，然后利用三角形三边的关系确定满足条件的a、b、c的值．解答：解：（1）△=b2﹣4a•（﹣c）=b2+4a•c，∵a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，即a、b、c都是正数，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；故选②；（2）连接OA，如图，∵BD⊥AC，∴弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，∴AB=CB，∠ABD=∠DAC=60°，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OB=2，∴AE=OB=，∴AC=2AE=2，即a=2，b=2，c﹣2，方程ax2+bx﹣c=0变形为2x2+2x﹣2=0，整理得方x2+x﹣1=0，解得x1=，x2=；（3）把x=c代入ax2+bx﹣c=0得a•+b•c﹣c=0，整理得=4﹣b，则4﹣b＞0，即b＜4，∵a、b、c的长均为整数，∴b=1，2，3，当b=1时，ac=12，则a=1，c=12；a=2，c=6；a=3，c=4；a=6，c=2；a=12，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；当b=2时，ac=8，则a=1，c=8；a=2，c=4；a=4，c=2；a=8，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；当b=3时，ac=4，则a=1，b=4；a=2，c=2；a=4，c=1，其中a=2，c=2符合三角形三边的关系，∴a=2，b=3，c=2．点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定、圆周角定理和等边三角形的判定与性质；会运用根的判别式判断一元二次方程根的情况和解一元二次方程；理解一元二次方程解的意义和三角形三边的关系．26．如图，在平面直角坐标系中半径为3的⊙O分别交坐标轴A、B、C、D．圆上点M在第一象限，且∠MOA=30°，点P（a，0）在x轴上，且a＞3（1）若直线PM与⊙O相切于点M，如图1，则a=2；（2）若直线PM恰好过点B，如图2，求阴影部分的面积；（3）若直线PM与⊙O相交，另一个交点为N①是否存在满足条件的实数a使PM与MN的长相等？若存在，求出a的值；不存在，说明理由；②若N在第一象限内，设y=MN2，求y关于a的函数关系式，并直接写出a的取值范围．考点：圆的综合题．分析：（1）由条件可知△PMO为直角三角形，由三角函数可求得OP的长，即可得出a的值；（2）由条件可知△BOM为等边三角形，可得出MP=BM，可求得△PMO的面积，再求出扇形OAM 的面积，可求出阴影部分的面积；（3）①由（2）可知当N点在B点位置时满足条件MN=PM，此时可求得a的值；②过M作MF⊥OP，在Rt△FMP中可用a表示出PM，再利用切割线定理得出MN的值，从而可求出y与a的函数关系式．解答：解：（1）∵直线PM与⊙O相切于点M，∴∠OMP=90°，∵∠MOA=30°，∴=sin30°，∴=，∴OP=2，∴a=，故答案为：2；（2）∵∠MOA=30°，∴∠BOM=60°，且OB=OM，∴△BOM为等边三角形，∴∠BPO=30°，∴BO=BM=MP=3，由勾股定理可得OP=3，∴S△OMP=S△BOP=××3×3=，∵∠MOA=30°，∴S扇形MOA=π×32=，∴S阴影=S△OMP﹣S扇形MOA=；（3）①存在，a=，理由如下：当N点在B点位置时，由（2）可知△BOM为等边三角形，∠BPO=30°，∴NM=PM=OM，在Rt△NOP中，ON=3，可求得OP=3，即a=3，所以当a=3时，PM=MN；②如图，过M点作MF⊥OP，交OP于点F，则MF=OM=，OF=，PF=OP﹣OF=a﹣，在Rt△PFM中，由勾股定理可得PM==，又由切割线定理可知PM•PN=PA•PC，即PM（PM+MN）=（a﹣3）（a+3），∴（+MN）=a2﹣9，整理可得：MN=，∴y=MN2=．点评：本题主要考查切线的性质及切割线定理、含30°角的直角三角形的性质等知识的综合应用，在（2）中判断出△BOM为等边三角形是解题的关键，在（3）②中利用a表示出PM是解题的关键．。
江苏省泰州市泰兴市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(含答案)
2024年秋学期九年级期中学情调查数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.2.所有试题的答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.作图必须用2B 铅笔，且加粗加黑.第一部分 选择题（共18分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中、只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.若是方程的一个根，则的值为（ ）A.1B. C.2D.2.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，下表是这四种花开花时间的平均数和方差.这四种花中开花时间最短且最平稳的是（ ）种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数 2.3 2.3 2.8 3.1方差1.050.78 1.050.78A.甲种类B.乙种类C.丙种类D.丁种类3.三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ）A.内心B.外心C.重心D.中心4.如图，是的直径，若，则的度数为（ ）A. B. C. D.5.如图，在平行四边形中，为延长线上一点，，点为的中点，连接交手点，则等于（）A. B. C. D.6.正方形的边长为8，是的中点，、的延长线相交于点，点为正方形一边上一点，且，则的长为（ ）A.1B.5C.1或5D.52x =20x x c -+=c 1-2-AB O 36BAC ∠=︒ADC ∠36︒45︒54︒72︒ABCD E AD AD DE =F BC EF DC P :CP DP 1:41:22:34:9ABCD E CD AE BC F G ABCD GA GE =GA第二部分 非选择题（共132分）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7.已知的半径为10cm ，，则点在_______（填“上”、“内”或“外”）.8.在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是_______千米.9.已知、是方程的两个根，则=_______.10.“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的呈现，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白），如图，在太极图中随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_______.11.如图，，，，，则的长为_______.12.一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为_______.13.如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______.14.某款“不倒翁”玩具（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，.若该圆半径是9cm ，，则的长是_______cm.15.已知，，则的值为_______.16.泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城.据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥.小明同学根据古籍自行设计了一幅简O 8cm OP =P O 1:10000001x 2x 230x x m -+=12x x +=123////l l l 3DE =4EF =2AB =BC ACD △13⨯ACD △PA PB AMB A B 40P ∠=︒AMB 4m n +=2820mn p p -+≥mnp易的泰兴城县志全图.为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点、、、、、、、在上，、、、、、、、在正方形边上.若正方形边长为，则正方形的边长为_______.（用含的代数式表示）三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务.解方程：.解：方程两边同除以，得.第一步移项，合并同类项，得.第二步系数化为1，得.第三步任务：①小明的解法从第_______步开始出现错误；②此题的正确结果是_______；③用因式分解法解方程：.18.（本题满分8分）某校一年级开设人数相同的，，三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班.（1）“学生甲分到班”的概率是_______；（2）请用画树状图法或列表法求甲、乙两位新生分到同一个班的概率.19.（本题满分8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求实数的取值范围；（2）若该方程的两根符号相同，求整数的值.20.（本题满分8分）如图，在中，，是的中点，点在的延长线上，点在边上，.O ABCD O EFGH IJKL MNOP QRST E H J K N O R S O F G I L M P Q T ABCD ABCD a EFGH a 2(31)2(31)x x -=-(31)x -312x -=⋅⋅⋅33x =⋅⋅⋅1x =⋅⋅⋅3(2)24x x x +=+A B C A x 24250x x m --+=m m ABC △AB AC =D BC E BA F AC EDF B ∠=∠（1）求证：；（2）若，，求的长.21.（本题满分10分）为了解某种植物苗的长势，随机抽取了部分植物苗并对它们的株高进行测量，把测量结果制成尚不完整的扇形统计图与条形统计图。
泰州市九年级上学期数学期中考试试卷
泰州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2016·上海) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A . 1＜r＜4B . 2＜r＜4C . 1＜r＜8D . 2＜r＜82. （2分）(2019·衢州) 二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A . (1，3)B . （1，-3)C . （-1，3）D . （-1，-3）3. （2分）骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（）A . 从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达B . 从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达C . 从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达D . 从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达4. （2分）(2020·温州模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结OA、OC。
若∠AOC=∠ABC，则∠D的大小为（）A . 50°B . 60°C . 80°D . 120°5. （2分） (2018九上·宁波期中) 下列判断正确的是（）A . “任意选择某一电视频道，它正在播放动画片”是必然事件B . 某运动员投一次篮，投中的概率为0.8，则该运动员投5次篮，一定有4次投中C . 任意抛掷一枚均匀的硬币，反面朝上的概率为D . 布袋里有3个白球，1个黑球.任意取出1个球，恰好是黑球的概率是6. （2分）如图，AB是圆O的直径，∠ABC=30°，OA=2，则AC的长为（）A . 2B . 4C . 2D .7. （2分）(2019·港南模拟) 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①a bc＞0；②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2016九上·北仑月考) 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-2、1、4随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程有实数根的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）某扇形的面积为12πcm2 ，圆心角为120°，则该扇形的半径是（）A . 3cmB . 4cmC . 5cmD . 6cm10. （2分）如图，抛物线y= x2+ x与直线y=kx的交点A的纵坐标是5，则不等式 x2+ x﹣kx ＞0的解集是（）A . x＞0B . ﹣2＜x＜0C . ﹣5＜x＜2D . x＜0或x＞2二、填空题 (共6题；共19分)11. （2分）函数y=2x2的图象对称轴是________，顶点坐标是________.12. （1分） (2019九上·诸暨月考) 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为，那么盒子内白色兵乓球的个数为________.13. （1分）(2019·冷水江模拟) 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O ，则劣弧AB的长为________．14. （1分）(2017·惠阳模拟) 如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=________．15. （1分）(2018·合肥模拟) 如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则弧BC的长为________（结果保留π）.16. （13分）(2018·仙桃) 抛物线y=﹣ x2+ x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为________，________，________；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．三、解答题 (共8题；共81分)17. （10分）把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.（1）试确定a，h，k的值；（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.18. （6分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是________；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．19. （5分） (2018九上·台州期中) 已知，如图，AD=BC.求证：AB=CD.20. （10分）(2012·连云港) 现有5根小木棒，长度分别为：2、3、4、5、7（单位：cm），从中任意取出3根，（1）列出所选的3根小木棒的所有可能情况；（2）如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．21. （5分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.（ 1 ）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（ 2 ）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2 ，并直接写出点B2、C2的坐标.22. （15分） (2019九上·荆门期中) 如图，已知抛物线经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S.①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.23. （15分）(2019·桂林) 如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB 于点E，DE＝OE.（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan∠ACD的值.24. （15分） (2018九上·宜阳期末) 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2-4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2 .点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m.（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC= 时，求∠PAD的正弦值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共19分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、16-3、三、解答题 (共8题；共81分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、。
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第1页（共27页） 2014-2015学年江苏省泰州市洋思中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（每题3分，共24分） 1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2=（x+3）2 C． D．x2﹣1=0 2．（3分）方程2x2=3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6 3．（3分）下列说法中，结论错误的是（ ） A．直径相等的两个圆是等圆 B．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 4．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．5 5．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ） 第2页（共27页）
A．30° B．45° C．60° D．70° 6．（3分）已知反比例函数的图象如图，则一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0根的情况是（ ）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实根 D．无法确定 7．（3分）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果： 居民（户） 1 3 2 4 月用电量（度/户） 40 50 55 60
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ） A．中位数是55 B．众数是60 C．方差是29 D．平均数是54 8．（3分）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2 二、填空题：（每题3分，共30分） 9．（3分）小明在一次以“八荣八耻”为主题的演讲比赛中，“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技能”、“形象礼仪”的各项得分依次为9.8；9.4；9.2；9.3．若其“综合得分”按“演讲内容”50%，“语言表达”20%，“演讲技能”20%，“形象礼仪”10%的比 第3页（共27页）
例进行计算，则他的“综合得分”是 ．（结果精确到0.1） 10．（3分）方程x2=﹣2x的根是 ． 11．（3分）已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为 cm． 12．（3分）如果一组数据﹣2，0，3，5，x的极差是9，那么x的值是 ． 13．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为 ． 14．（3分）设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个不等的根，则a2+2a+b的值为 ． 15．（3分）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么∠ADC的度数是 ．
16．（3分）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ． 17．（3分）在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为 cm2． 第4页（共27页）
18．（3分）如图，线段AB=8cm，点D从A点出发沿AB向B点匀速运动，速度为1cm/s，同时点C从B点出发沿BA向A点以相同速度运动，以点C为圆心，2cm长为半径作⊙C，点D到达B点时⊙C也停止运动，设运动时间为t秒，则点D在⊙C内部时t的取值范围是 ．
19．（10分）解方程： （1）x2﹣6x﹣5=0（用配方法） （2）2x2﹣3x﹣2=0． 20．（8分）世纪影城同时放映三部不同的电影，分别记为A、B、C． （1）若王老师从中随机选择一部观看，则恰好是电影A的概率是 ； （2）若小聪从中随机选择一部观看，小芳也从中随机选择一部观看，请用画树状图或列表格的方法求至少有一人在看A电影的概率． 21．（10分）九（1）班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E同学只记得有7道题未答），具体如下表 参赛同学 答对题数 答错题数 未答题数 A 19 0 1 B 17 2 1 C 15 2 3 D 17 1 2 E / / 7 第5页（共27页）
（1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分； （2）最后获知ABCDE五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分． ①求E同学的答对题数和答错题数； ②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与（1）中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况（直接写出答案即可） 22．（10分）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 23．（10分）已知关于x的方程x2+10x+24﹣a=0． （1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的范围； （2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解． 24．（10分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）格点△ABC的面积为 ； （2）画出格点△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△A1B1C1，并求出在旋转过程中，点B所经过的路径长．
25．（12分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． （1）求证：MN是半圆的切线； （2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由． （3）若BC=4，AB=6，试求AE的长． 第6页（共27页）
26．（12分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F （1）求证：CE=CF； （2）求线段EF的最小值； （3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．
27．（14分）如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度．点P为直线y=﹣x+4上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD． （1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）； （2）如图乙，若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值； （3）求点P的坐标； （4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=﹣x+4相交时圆心O的横坐标m的取值范围． 第7页（共27页） 第8页（共27页）
2014-2015学年江苏省泰州市洋思中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共24分） 1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2=（x+3）2 C． D．x2﹣1=0 【解答】解：一定是一元二次方程的是x2﹣1=0， 故选：D．
2．（3分）方程2x2=3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6 【解答】解：方程2x2=3（x﹣6）， 去括号，得2x2=3x﹣18， 整理，得2x2﹣3x+18=0， 所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18， 故选：B．
3．（3分）下列说法中，结论错误的是（ ） A．直径相等的两个圆是等圆 B．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 【解答】解：A、直径相等的两个圆是等圆，所以A选项的说法正确； B、三角形的外心是这个三角形三边的中垂线的交点，所以B选项的说法错误； C、圆中最长的弦是直径，所以C选项的说法正确； 第9页（共27页）
D、一条直径弦圆分成两条弧，这两条弧是等弧，所以D选项的说法正确． 故选：B．
4．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．5 【解答】解：连接AC， ∵在⊙O中，AB是直径， ∴∠C=90°， ∵AB=5，BC=3， ∴AC==4，
∵点P是上任意一点． ∴4≤AP≤5． 故选：A．
5．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）