【冲刺卷】高二数学上期中模拟试卷(及答案)
【压轴卷】高二数学上期中模拟试卷(含答案)
【压轴卷】高二数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．492．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95 D ．6.153．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．124．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件6．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．168．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，89．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，910．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．360311．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.6 10.0 11.3 11.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题13．有一批产品，其中有2件次品和4件正品，从中任取2件，至少有1件次品的概率为______． 14．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.x的平均数为90，则该组数据的方差为______．15．已知一组数据：87,,90,89,9316．变量X与Y相对应的5组数据和变量U与V相对应的5组数据统计如表：X1011.311.812.513U1011.311.812.513 Y12345V54321用b1表示变量Y与X之间的回归系数，b2表示变量V与U之间的回归系数，则b1与b2的大小关系是___．17．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员~中随机抽取一个数，如果抽到工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~这15个数中应抽取的数是__________．的是7，则从466018．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.19．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．20．如左下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_________。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
【冲刺卷】高二数学上期中模拟试题(带答案)
【冲刺卷】高二数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于112 22422226C C CC+的是 ( )A．P(0<X≤2)B．P(X≤1)C．P(X=1)D．P(X=2)2．设,m n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n++=有实根的概率为（）A．1936B．1136C．712D．123．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( ) A．11347250C CCB．20347250C CCC．1233250C CC+D．1120347347250C C C CC+4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油5．用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（）A．127B．23C．827D．496．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（）A．115B．112C．111D．147．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.318．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683 231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A．14B．25C．710D．159．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A．127B．128C．128.5D．12910．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A ．7B ．4C ．5D ．1111．某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤L ，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++=LB ．12150150b b b M ++=LC ．12150b b b M n++>LD ．12150150b b b M ++>L12．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 14．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.15．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________16．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．17．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x=_____________.18．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．19．程序框图如图所示，若输出的y＝0，那么输入的x为________．20．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．三、解答题21．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m第一种生产方式 第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22．己知集合()[][]{},0,2,1,1M x y x y =∈∈-.（1）若, x y M ∈，且, x y 为整数，求0x y +≥的概率； （2）若,x y M ∈，求0x y +≥的概率.23． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的 2.5PM 监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率；（2）以这15天的 2.5PM 日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级.24．有编号为1210,,,A A A L 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据： 编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A直径 1.51 1.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[]1.48,1.52内的零件为一等品.（1）上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率. （2）从一等品零件中，随机抽取2个； ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率.25．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． 气温()℃141286用电量(度)22 26 34 38（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅． 26．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P （X=1）和P （X=0），即可判断等式表示的意义． 【详解】由题意可知112224222226261,0C C C P X P X C C ⋅====：（）（） ， ∴11222422225C C C C +表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P （X≤1）， 故选B ． 【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．2．A解析：A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，当m=2，n=1m=3，n=1，2m=4，n=1，2，3，4m=5，n=1，2，3，4，5，6，m=6，n=1，2，3，4，5，6综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是19 36；本题选择A选项.3．D解析：D【解析】【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C种不同的取法，即可求解．【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C种不同的取法，恰好两件都是次品，共有20347C C种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C CC，故选D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．4．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.5．C解析：C【解析】由题意可得：每个实数都大于13的概率为12133p=-=，则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫=⎪⎝⎭.本题选择C选项.6．C解析：C【解析】【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果.【详解】总的可选答案有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11个，而正确的答案只有1个，即得5分的概率为111 p=.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题. 7．C解析：C【解析】【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可.【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数， 所求概率为41205=， 故选D ． 【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．9．D解析：D 【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数． 详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129. 故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．10．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.11．A解析：A 【解析】 【分析】由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设2n =，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为(1150)k k 剟分的人数分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，计算12150b b b n++⋯+的值，再对照选项即可得到答案．【详解】 利用特殊法解决．假设2n =，这2名学生的得分分别为150，150． 则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：12b =， 这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：22b =， 这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：32b =，⋯这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：1502b =， 即这2名学生中得分至少为(1150)k k 剟分的人数k b 分别为： 2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，从而得k 分的同学会被记k 次，所有k b 的和恰好是所有人得分的总和， 即12112k k b b b b a a -++⋯++=+， 从而121502222215015022b b b n ++⋯++++⋯+⨯===．12150222221502150150150b b b ++⋯++++⋯+⨯===．对照选项，只有（A ）正确． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．12．C解析：C【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”. 故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：解析：34【解析】 【分析】 【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 14．a<c<b<d 【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc 的大小关系从而得出abcd 的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log 解析：. 【解析】 【分析】利用中间值、来比较，得出，，，，再利用中间值得出、的大小关系，从而得出、、、的大小关系．【详解】由对数函数的单调性得，，即，，即，，即．又，即，因此，，故答案为．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下：（1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．15．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为解析：1 2【解析】五种抽出两种的抽法有2510C=种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12.16．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题解析：5 6【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有66654330+++++=种，故所求概率为305 366=.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.17．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8 【解析】 【分析】根据茎叶图计算平均数. 【详解】 由茎叶图得1617101920188.5x x +++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.18．【解析】两球颜色不同的概率是解析：35【解析】两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 19．－3或0【解析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值当x ＜0时y=x +3=0∴x=-3满足要求当x=0时y=0∴x=0满足要求当x ＞0时y=x+解析：－3或0 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数3,00,05,0x x y x x x +<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的函数值，当x ＜0时，y =x +3=0，∴x =-3满足要求， 当x =0时，y =0，∴x =0满足要求， 当x ＞0时，y =x +5，∴x =-5，不满足要求， 故输入的x 的值为：-3或0.20．3【解析】根据伪代码所示的顺序程序中各变量的值如下:循环前:n=5s=0;第一次循环:s=5n=4;第二次循环:s=9n=3;输出此时的n 值为3故填3解析：3 【解析】根据伪代码所示的顺序,程序中各变量的值如下: 循环前:n=5,s=0; 第一次循环:s=5,n=4; 第二次循环:s=9,n=3;输出此时的n值为3,故填3.三、解答题21．（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能【解析】【分析】【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出2k，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知7981802m+==.列联表如下：（3）由于24015155510 6.635 20202020K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．22．（1）89（2）78【解析】【分析】（1）列出基本事件共9个，统计满足条件的共8个，得到答案.（2）画出图像，根据几何概型公式计算得到答案.【详解】（1）满足,x y M∈，且, x y为整数的基本事件有：()0,1,0,(),0()0,1-，()(),,(),(1,11,01,12,12,0),(),)1(2,--共9个，满足0x y+≥的基本事件有：()()0,00,1,1,11,01(),,1()(),,,1(2,)--,(),2,0(2,1)共8个，由古典概型可知：0x y+≥的概率为89.（2）设事件A为：,,0x y M x y∈+≥，由几何概型中的面积型，结合图象可知：()2111721128AEOS SP AS S∆⨯⨯==-=-=阴阳正.【点睛】本题考查了古典概型和几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.23．（1）6791；（2）一年中平均有120天的空气质量达到一级．【解析】【分析】（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中， 2.5PM日均值在35微克/立方米以下的天数有5天，由此能求出从这15天的数据中任取3天的数据，至少有一天空气质量达到一级的（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~(360,)3B η，由此能求出一年中大致有多少天的空气质量达到一级． 【详解】解：（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中，2.5PM 日均值在35微克/立方米以下的天数有5天， ∴从这15天的数据中任取3天的数据， 则至少有一天空气质量达到一级的概率为：1221351051053331515156791C C C C C p C C C =++=． （2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~(360,)3B η，13601203E η∴=⨯=（天)，∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．【点睛】本题考查等可能事件概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 24．（1）35（2）①见解析②25【解析】 【分析】（1）先确定10个零件中一等品的个数，再根据古典概型概率公式求结果；（2）①根据枚举法逐个列举；②确定2个零件直径相等的事件数，再根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）10个零件中一等品有123456,,,,,A A A A A A 共6个，所以所求概率为63=105； （2）①345634563435364541211112652226,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 共15个结果；②其中2个零件直径相等的有463535124162,,,,,A A A A A A A A A A A A 共6个结果； 所以所求概率为62=155本题考查求古典概型概率，考查基本分析求能力，属基础题.25．(1)250y x =-+. (2) 30度. 【解析】分析：()I 求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；()II 10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10℃时的用电量．详解：()44211103011204402i i i i i I x y x y x b ======∴=-∑∑，，，，把()1030，代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =． ∴回归方程为250y x =-+；()II 当10x =时，30y =，估计当气温为10℃时的用电量为30度．点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 26．（1）0.03a =. （2）544人. （3）()715P M =. 【解析】试题分析：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． ……2分 解得0.03a =． ……3分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率 为110(0.0050.01)-⨯+0.85=． ……5分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． ……6分 （3）成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ． ……7分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ． ……8分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生， 则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ， (),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ， (),E F 共15种． ……10分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：(),A B，(),C D，(),C E，(),C F，(),D E，(),D F，(),E F共7种．……11分所以所求概率为()7 15P M=．……12分考点：本小题主要考查频率分布直方图的应用和古典概型概率的求解，考查学生识图、用图的能力和运算求解能力.点评：解决与频率分布直方图有关的题目时，要注意到频率分布直方图中纵轴表示的是频率/组距，不是频率，图中小矩形的面积才表示频率.。
高二数学答案 第一学期期中考试模拟卷
高二数学第一学期期中模拟卷参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】()()()()1111122222CG CA AG CA AD BA BC BD BA a b c a a b c =+=+=-+-=-+-=-+．故选：B 2．【答案】C【解析】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞，故选：C．3．【答案】D【解析】设平面ABO 的法向量为(,,)m x y z =，设(,0,0)(0),(0,,0)(0)A a a B b b >>，则(,0,0),(0,,0)OA a OB b == ，于是有：00(0,0,1)00ax OA m m by OB m ⎧=⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨=⋅=⎩⎩，因此2cos 3m n m n θ⋅===⋅ ，故选：D 4．【答案】C【解析】在①中，若空间向量a b，满足a b = ，向量a 与b 方向不一定相同，故①是假命题；在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；在③中，若空间向量a b c，，满足a c b c ⋅=⋅ ，，则向量a 与b 不一定相等，故③是假命题；在④中，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，由向量相等的定义得必有11BD B D =，故④是真命题；在⑤中，由模的定义得向量a =（1，1，0，故⑤是真命题．故选：C ．5．【答案】D【解析】以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,1,1)C ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得11(1,1,0)AC =- ，1(1,0,1)BC =- ，110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，有1110A C n x y BC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，则(1,1,1)n = ，所以111122⋅=-=- A E n，1= A E||n ，则直线1A E 与平面11A BC15=．故选：D.6．【答案】C【解析】由题设，易知：121||||||2PF PQ PF ==，由1212∠=∠F PF F PA 知：1122||||1||||2PF AF PF AF ==，即1222ac a c -=+，整理得：32c e a ==.故选：C 7．【答案】A【解析】圆221:(2)(1)5C x y -++=的圆心1(2,1)C -，半径1r =圆222:(1)5C x y +-=的圆心2(0,1)C ，半径2r =，12||2C C =121212||||||r r C C r r -<<+，即圆1C 与2C 相交，直线AB 方程为：10x y --=，圆()()22:331C x y ++-=的圆心(3,3)C -，半径1r =，点C 到直线AB距离的距离2d ==，所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为12+.故选：A8．【答案】D【解析】：直线:10l mx y+-=过定点)P，AB最小时，OP AB⊥，∴圆心到直线l的距离2d OP==，∴AB=因为OPk==ABk=AB的倾斜角为120 ，过点D作DE CA⊥交AC于点E，则DE AB==在Rt CDE△中30DCE∠=︒，所以2sin30DECD AB===︒故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ACD【解析】：因为()12:2320,:60l a x y a l x ay-++=++=，对于A：当12a=时，1231:310,:6022l x y l x y-++=++=，则112lk=、22lk=-，所以121212l lk k⋅=-⨯=-，所以12l l⊥，故A正确；对于B：若12l l//，则()213a a-⨯=⨯，解得1a=-或3a=，当1a=-时，12:3320,:60l x y l x y-+-=-+=满足题意，当3a=时12:360,:360l x y l x y++=++=，1l与2l重合，故3a=舍去，所以1a=-，故B错误；对于C：当2a=时，12:340,:260l y l x y+=++=，则340260yx y+=⎧⎨++=⎩，解得43103yx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即两直线的交点为104,33⎛⎫--⎝⎭，故C正确；对于D ：()1:2320l a x y a -++=，即()2320x a y x ++-=，令20320x y x +=⎧⎨-=⎩，即243x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即直线1l 过定点42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：ACD 10．【答案】BC【解析】A 选项，过点M 作MA 垂直抛物线准线1x =-于点B ，根据抛物线定义可知：5MF MB ==，即015x +=，解得：04x =，代入抛物线中得：04y =±，故A错误；B 选项，过点A 平行于x 轴的直线2y =与抛物线有一个公共点，过点A 的y 轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A 的直线方程为2y kx -=，与抛物线联立得：()224440k x k x +-+=，由0∆=得：12k =，即122y x =+与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B 正确；C 选项，由抛物线方程可知：()1,0F ，连接AF ，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M 点，此时MF MA +=C正确；D 选项，设与30x y -+=平行且与抛物线相切的直线为:0l x y c -+=，此时直线:0l x y c -+=与抛物线的切点即为M ，则:0l x y c -+=与30x y -+=的距离即为点M 到直线30x y -+=的最短距离d ，联立:0l x y c -+=与抛物线方程得：()22240x c x c +-+=，由()222440c c ∆=--=解得：1c =，故d ==D 选项错误.故选：BC 11．【答案】BCD【解析】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心，半径为m 的圆B ，点D 为线段AB 的中点，点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC=当4m =时，线段AC 为圆B 的弦，则AC 的中垂线过圆心B ，点G 即点B ，A 错误；当68m ≤≤时，如图1，点G 在线段AB 上，连接GC 则GC GB GA GB AB m+=+==∴点G 的轨迹为以B ，C 为焦点，长轴长为m 的椭圆，即,22ma c ==则椭圆的离心率，B 正确；当G 为椭圆短轴顶点时，BCG 面积的最大若5m =时，则2253,2,22a cb ac ==-=，最大面积为3bc =，D 正确；当2m =时，过点C 作圆B 的切线，切点为,M N若点A 在劣弧 MN（不包括端点,M N ）上，如图2，点G 在BA 的延长线上，连接GC 则2GB GC GB GA AB -=-==∴点G 的轨迹为以B ，C 为焦点，长轴长为m 的双曲线的左半支若点A 在优弧 MN（不包括端点,M N ）上，如图3，点G 在AB 的延长线上，连接GC 则2GC GB GA GB AB -=-==∴点G 的轨迹为以B ，C 为焦点，长轴长为m 的双曲线的右半支则点G 的轨迹为双曲线∴221,2,3a c b c a ===-=，渐近线方程为3by x x a=±=，C 正确；故选：BCD ．12．【答案】BCD【解析】选项A 中，圆22:(3)9C x y -+=的圆心坐标为(3,0)，半径3r =，当3m =时，直线:3470l x y +-=，圆心C 到直线l 的距离25d =，2133255r d -=-=>，∴圆C 上有4个点到直线l 的距离等于2，故A 错误；选项B 中，化直线l 为(1)440m x y -+-=，联立10440x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，∴直线l 过定点(1,1)，故B 正确；选项C 中， 定点(1,1)N 与圆心(3,0)C 的距离||5NC =22min ||||4AB r NC =-，故C 正确；选项D 中，设(,)M x y ，(,)D a b ，由2DM DE =可得：4282x a a y b b -=-⎧⎨-=-⎩，所以48a x b y =-⎧⎨=-⎩，又因为点D 在圆22:(3)9C x y -+=上，所以可得：22(43)(8)9x y --+-=，所以22(1)(8)9x y -+-=，故D 正确.故选：BCD .三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】3【解析】不妨设点P 在x 轴的上方，因为PF x ⊥轴，将P x c =代入22221x y a b-=，得2P b y PF a ==，因为60APB ∠=︒，PA PB PF ==，则有AB PF =，且ABP △为等边三角形，所以232b c a=⋅，即()2223ac c a =-，所以223103c ca a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，又()1,c e a =∈+∞，所以3==ce a.故答案为：3.14．【答案】323+##233+【解析】如图，过B 点作倾斜角为6π的一条直线3:(3)3BM y x =+，过点P 作PE BM ⊥于E ，则||1||2PE PB =，即1||||2PE PB =，所以1||||||||||2AP BP AP PE AE +=+≥，A 到直线BM 的距离3232d +=，因此2||||AP BP +的最小值为323+.故答案为：323+15．【答案】1-或4##4或1-【解析】αβ⊥Q ，a b ∴⊥，2311350a b x x x x x ∴⋅=-+-+-+=()()()()，解得1x =-或4x =．故答案为：1x =-或4x =．16．【答案】24-y x=±【解析】如图所示，不妨设直线l 与圆C 相切于点A ，1CA F M∴⊥2112F M CA AF F F ∴=，由于22111233,,()()2,22222c c c c CA CF AF c F F c ===-==222(,)22c cF M M c ∴=∴-122tan 42l ck CF A c∴=-∠=-=-代入2(,)2cM c -进入22221x y a b -=，可得22222222221122c c a a a b b a b b +-=∴-=+a b ∴=，渐近线方程为by x xa=±=±故答案为：24-，y x =±四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)3620【解析】（1）如图，取MN 中点Q ，连CQ ，DQ ，∵DQ 为中位线，∴DQ MP ∥，又DQ ⊄平面BMP ，MP ⊂平面BMP ，∴DQ ∥平面BMP ，同理，在梯形ABMN 中，CQ MB ∥，又CQ ⊄平面BMP ，MB ⊂平面BMP ，∴CQ ∥平面BMP ，且DQ ⊂平面CDQ ，CQ ⊂平面CDQ ，DQ CQ Q ⋂=，∴平面CDQ ∥平面BMP ，又CD ⊂平面CDQ ，所以CD ∥平面BMP ．（2）如上图，在四边形ABMN 中，过B 作BE MN ∥交AN 于E ，在AEB △中，得2AE =，2BE =，22AB =222AB AE BE =+，得AE BE ⊥，∵BE MN ∥，∴AN NM ⊥，又由已知条件AN NP ⊥，NM NP N ⋂=，,⊂NM NP 平面NMP ，故AN ⊥平面NMP ，又AN ⊂平面ANMB ，∴平面ANMB ⊥平面NMP ．（3）∵PMN 为等腰三角形，∴DM NP ⊥，又因为AN ⊥平面MNP ，以D 为原点建立空间直角坐标系，如图：可得()0,0,0D ，()1,0,0P ，()1,0,0N -，()3,0M ，()1,0,3A -，()3,1B ，13222C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABP的法向量为(),,n x y z = ，()3,2AB =- ，()2,0,3AP =- ，根据00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n AB n AP ，得320230⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x y z x z ，解得33,23n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，13,,222DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线CD 与平面ABP 所成角为θ，则sin cos ,31436222023053CD n CD n CD n θ⋅==⋅-++==⋅ ，故直线CD 与平面ABP 所成角的正弦值36sin 20θ=18．【答案】(1)()1,1F -(2)24,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()0,2H 【解析】(1)AB Q 中点为()1,2M 且40202AB k -==--，AB ∴垂直平分线方程为：()1212y x -=-，即230x y -+=，由23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得：11x y =-⎧⎨=⎩，即外心()1,1F -.(2)设(),C m n ，则重心24,33m n G ++⎛⎫⎝⎭，将24,33m n G ++⎛⎫⎪⎝⎭代入欧拉线得：242033m n ++-+=，即40m n -+=…①；由FA FC =得：()()()()2222111210m n ++-=--+-…②；由①②得：40m n =-⎧⎨=⎩或04m n =⎧⎨=⎩（与B 重合，不合题意），()4,0C ∴-，∴重心24,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)由（2）知：()4,0C -；由（1）知：2AB k =-，AB ∴边的高CH 所在直线方程为：()142y x =+，即240x y -+=；由24020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得：02x y =⎧⎨=⎩，∴垂心()0,2H .19．【答案】(1)2；(2)存在，2λ=.【解析】(1)不妨设点P 在双曲线的右支上，设12,PF m PF n ==，则2m n a -=，在12F PF △中，由余弦定理，得22242cos4c m n mn π=+-，即()2242c m n mn =-+-，所以(242b mn =，因为12F PF △的面积为(231a ，所以1sin 24mn π=(231a .所以223b a =，所以2c e a ==.(2)由（1）知222213x y a a -=，,2b c a ==.当22QF A π∠=时，()2,3Q a a ，23AF a =，所以24QAF π∠=，此时222QF A QAF ∠=∠，即2λ=；下面求满足条件222QF A QAF ∠=∠的轨迹，设(),M x y 为轨迹上任意一点，则222MF A MAF ∠=∠，因为22tan ,tan 2y y yMF A MAF x c a x x a∠=-=∠=--+，因为222222tan tan tan 21tan MAF MF A MAF MAF ∠∠=∠=-∠，所以()22221y y x a y a x x a +=--+，化简，得22233x y a -=，即222213x y a a -=，与双曲线完全一致，所以存在2λ=，使222QF A QAF ∠=∠成立.20．【答案】(1)36(2)66【解析】(1)：依题意可得PA AB ⊥、PA AD ⊥，AB AD ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()4,0,0B 、()4,4,0C 、()0,4,0D 、()0,0,4P 、()4,0,2E ，所以()0,4,2CE =- ，()4,4,4CP =-- ，()0,4,4DP =- ，设平面PCE 的法向量为(),,n x y z = ，所以4204440n CE y z n CP x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=--+=⎩ ，令1y =，则2z =，1x =，所以()1,1,2n = ，设直线PD 与平面PCE 所成角为θ，则43sin 6426n DP n DP θ⋅===⨯⋅ (2)：依题意可得()2,0,0F ，则()2,4,0CF =-- ，设平面CEF 的法向量为(),,m a b c = ，所以240420m CF a b m CE b c ⎧⋅=--=⎨⋅=-+=⎩，令1b =，则()2,1,2m =- ，则6cos ,636n m n m n m ⋅==⋅ ，显然二面角P CE F --的锐二面角，所以二面角P CE F --6621．【答案】(1)22193x y -=，3x ≥；(2)过，()12,6-.【解析】(1)设圆E 的圆心为(),E x y ，半径为r ，则173EM r =+，13EN r =-，所以6EM EN MN -=<．由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，所以动圆的圆心E 的轨迹方程为22193x y -=，3x ≥；(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为x my t =+．由221,3,93,x y x x my t ⎧-=≥⎪⎨⎪=+⎩得()2223290m y mty t -++-=，且230m -≠，故12221222,39.3mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩又0PA PB ⋅= ，所以()()()()121266330x x y y --+--=．又11x my t =+，22x my t =+，所以()()()()12126633PA PB my t my t y y ⋅=+-+-+-- ()()()()22121216369m y y mt m y y t =++--++-+()()()()()22222192631245303m t mt mt m t t m m +----+-+-==-，即2218318720m mt t t +-+-=．又()()()()2221831872183612366120,m mt t t m mt t t m t m t +-+-=+---=+--+=故612t m =+或36t m =-+．若36t m =-+，则直线l 的方程为()36x m y =-+，过点()6,3P ，与题意矛盾，所以36t m ≠-+，故612t m =+，所以直线l 的方程为()612x m y =++，过点()12,6-．22．【答案】(1)24y x =；(2)1202k k k +=；(3)43.【解析】(1)根据题意，设抛物线方程为22(0)y px p =>，又其过点()4,4-，故可得168p =，解得2p =，故抛物线2Γ的方程为：24y x =.(2)根据（1）中所求可得，F 点的坐标为()1,0，2Γ的准线方程为1x =-，故可设M 的坐标为()1,n -，又直线AB 的斜率不为零，故设其方程为1x my =+，联立抛物线方程24y x =可得：2440y my --=，设,A B 坐标为()()1122,,,x y x y ，故可得12124,4y y m y y +==-；因为12k k +()()()()()()1221121212221122y n my y n my y n y n x x my my -++-+--=+=++++()()()12122121222424my y mn y y nm y y m y y +-+-=+++()()224141n m n m -+==-+；又00112n n k -==---，则1202k k k +=.(3)由（2）中所求可得：()212122444AB x x m y y m =++=++=+；联立AB 直线方程1x my =+与椭圆方程22143x y +=可得：()2234690m y my ++-=，设,C D 的坐标为()()3344,,,x y x y ，故可得34342269,3434m y y y y m m -+=-=++，则()()2221213434m CD m m +=⨯=++；又因为,,,A B C D 四点共线，故00F AB F CD S S △△234433AB m CD +==≥，当且仅当0m =时取得等号.即00F AB F CD S S △△的最小值为43.。
【冲刺卷】高二数学上期中试卷(及答案)
【冲刺卷】高二数学上期中试卷(及答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．143．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,154．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥5．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．566．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，97．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．5B．7C．9D．119．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A．35B．13C．415D．1510．我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A．17?,,+1i s s i ii≤=-=B．1128?,,2i s s i ii≤=-=C．17?,,+12i s s i ii≤=-=D．1128?,,22i s s i ii≤=-=11．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（）A．16B．112C．536D．51812．运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是（）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ . 14．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b =，三内角A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；16．在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．17．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为________．18．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示：根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________．19．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.20．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y x =上的概率为________．三、解答题21．已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是0，1，2的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是14． （1）求n 的值（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的球标号为b ．①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,4]内任取2个实数x ，y ，求事件“222()x y a b +>+恒成立”的概率． 22．2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表； 求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．23．为了调查教师对教育改革认识水平，现从某市年龄在[]20,45的教师队伍中随机选取100名教师，得到的频率分布直方图如图所示，若从年龄在[)[)[]30,35,35,40,40,45中用分层抽样的方法选取6名教师代表．（1）求年龄在[)35,40中的教师代表人数；（2）在这6名教师代表中随机选取2名教师，求在[)35,40中至少有一名教师被选中的概率．24．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率.25．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[]0100，，样本数据分组为)020⎡⎣，，)2040⎡⎣，，)4060⎡⎣，，)6080⎡⎣，，)80100⎡⎣，．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．26．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；()2若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214aa a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．B解析：B 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项． 【详解】A 为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B 为三件产品全是次品，C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A 与B 是互斥事件；A 与C 是包含关系，不是互斥事件；B 与C 是互斥事件，故选B ． 【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用． 5．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.6．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．7．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．C解析：C 【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.9．C解析：C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615CpC==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115CpC==；故124 15p p p=+=.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.10．B解析：B【解析】【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论.【详解】由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：11,42S i=-=；第2次循环：111,824S i=--=；第3次循环：1111,16248S i=--==；依次类推，第7次循环：11111,256241288S i=----==L，此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i≤，执行框②应填入：1S Si=-，③应填入：2i i=.故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．C解析：C【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”. 故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】由题意可知与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积即所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为答案 解析：1515π- 【解析】由题意可知，与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积，即2π，所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积302π-。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
【冲刺卷】高二数学上期中第一次模拟试题(含答案)
【冲刺卷】高二数学上期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．493．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )A．11347250C CCB．20347250C CCC．1233250C CC+D．1120347347250C C C CC+4．用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（）A．127B．23C．827D．495．在区间上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≥”的概率，2p为事件“12x y-≤”的概率，3p为事件“12xy≤”的概率，则（）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<6．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．67．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥8．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．569．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 10．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．1111．已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎩⎩，直线2y mx m =+和曲线24y x =-两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.14．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101ii x =∑＝80， 101ii y =∑＝20， 110i i i x y =∑＝184， 1210i ix =∑＝720.则家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为__________．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中， 1221ni i i n i i x y nxy b x nx==-=-∑∑，a ＝y －b x ，其中x ， y 为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x ＋ˆa . 16．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．17．一盒中有6个乒乓球，其中4个新的，2个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒子中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X =的值为___________. 18．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．19．执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果： 表1：男生上网时间与频数分布表： 上网时间（分钟） [)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80人数525302515表2：女生上网时间与频数分布表： 上网时间（分钟） [)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80人数1020402010（1）若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取两人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.表3：上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计男生 女生 合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，()20P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．如图是甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产的产品该质量指标值的中位数； （2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲流水线 乙流水线 合计合格品 不合格品 合计附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82823．我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组 频数 频率 [)0,10 25[)10,200.19[)20,3050[)30,40 0.23 [)40,500.18[) 50,605（1）分别求出n，,a b的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；（3）从样本中年用水量在[]50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）. 24．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温()℃141286用电量(度)22263438（I）求线性回归方程；（参考数据：411120i iix y==∑，421440iix==∑）（II）根据（I）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni iiniix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y b x=-⋅．25．某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；（3）求该校学生上学路上所需的平均时间.26．[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中，有这样一个执行框1()i i x f x -=，其中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域．（1）若输入04965x =，请写出输出的所有x 的值； （2）若输出的所有i x 都相等，试求输入的初始值0x ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==，故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．D解析：D 【解析】 【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有20347C C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C C C +，故选D ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．4．C解析：C 【解析】 由题意可得： 每个实数都大于13的概率为12133p =-=，则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．6．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7．B解析：B【解析】【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】A为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件产品全是次品，C为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件；A与C是包含关系，不是互斥事件；B与C是互斥事件，故选B．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．8．A解析：A【解析】【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是1 10，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111 632 +=，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P=+=，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.9．D解析：D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选D．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．10．C解析：C 【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.11．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．a<c<b<d【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc的大小关系从而得出abcd的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log解析：.【解析】【分析】利用中间值、来比较，得出，，，，再利用中间值得出、的大小关系，从而得出、、、的大小关系．【详解】由对数函数的单调性得，，即，，即，，即．又，即，因此，，故答案为．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下：（1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．14．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y与X之间正增长所以因为V与U之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.15．y ＝03x －04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为解析：y ＝0.3x －0.4【解析】由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑， 又222172010880nii xnx =-=-⨯=∑，1184108224ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑，由此得240.3ˆˆˆ,20.380.480bay bx ===-=-⨯=-，故所求回归方程为ˆy 0.30.4x =-，故答案为ˆy0.30.4x =-. 16．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相【解析】 【分析】不妨设2AB =AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.17．【解析】【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球要求开始取的3个球1个是用过的2个没有用过的结合组合知识根据古典概型公式可得到结果【详解】从盒子中任取的3个球使用用完全后装回盒子中要使盒子中恰好有4个解析：35【解析】 【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球，要求开始取的3个球1个是用过的，2个没有用过的，结合组合知识根据古典概型公式可得到结果. 【详解】从盒子中任取的3个球使用，用完全后装回盒子中， 要使盒子中恰好有4个是用过的球，则要求开始取的3个球1个是用过的，2个没有用过的，共有214212C C =种方法，从装有6个乒乓球的盒子任取3个球使用有3620C =种方法，∴盒子中恰好有4个是用过的球的概率为123205P ==，故答案为35.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，所以中档题.要应用古典概型概率公式，分清在一个概型中某随机事件包含的基本事件个数和试验中基本事件的总数是解题的关键.18．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.19．27【解析】依次运行框图所示的程序可得第一次：不满足条件；第二次：不满足条件；第三次：不满足条件；……第二十四次：不满足条件；故判断框内的条件是答案：27点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略解析：27 【解析】依次运行框图所示的程序，可得第一次：1331log 4log 4,4S k =⨯==，不满足条件； 第二次：2343log 4log 5log 5,5S k =⨯==，不满足条件； 第三次：3353log 5log 6log 6,6S k =⨯==，不满足条件； ……第二十四次：243263log 26log 27log 273,27S k =⨯===，不满足条件； 故判断框内的条件是27?k ≥。
高二数学上学期期中模拟试题含解析试题(共14页)
一中2021-2021学年高二数学(shùxué)上学期期中模拟试题〔含解析〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 假设，那么以下不等式成立的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：不等式性质2. 假设命题，使，那么该命题的否认为〔〕A. ，使B.C. ，使D.【答案】D【解析】试题分析：特称命题的否认为：存在改为任意，结论变否认；所以命题，使的否认为：，故答案为D．考点：1、特称命题；2、命题的否认．3. 在等比数列中，是方程的两根，那么等于〔〕A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】试题分析：由题意得考点：1．二次方程(èr cì fāng chéng)根与系数的关系；2．等比数列4. ，那么函数的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于，那么，所以，当且仅当，由于，即当时，上式取等号，因此函数的最小值为，应选C.考点：根本不等式5. 在中，，那么的面积等于〔〕A. B. C. 或者 D. 或者【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理知，整理得，解得或者，有三角形面积公式得或者．考点：余弦定理及三角形面积的求法．6. 变量满足约束条件那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目的函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，那么的最大值为2，选B.【点睛(diǎn jīnɡ)】此题主要考察线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为〔或者〕，“〞取下方，“〞取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界限是实线还是虚线，其次确定目的函数的几何意义，是求直线的截距、两点间间隔的平方、直线的斜率、还是点到直线的间隔等等，最后结合图形确定目的函数最值取法、值域范围．7. 设等比数列，是数列的前项和，，且依次成等差数列，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的首项为，公比为，…….①，又依次成等差数列，那么，即……②，①②两式相加得：，代入①得：，两式相比：，解得：或者，那么或者，当时，，当时，，选C .8. 设，那么(nà me)的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】且，那么，，选A.9. 等差数列前项和为，假设，那么在数列中绝对值最小的项为〔〕A. 第项B. 第项C. 第项D. 第项【答案】C10. 不等式对一切正整数恒成立，那么实数的范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】, 不等式对一切正整数恒成立，化为，只需，化为，选B.【点睛(diǎn jīnɡ)】裂项相消法是数列求和最常用的一种方法，此题为不等式恒成立问题，要注意到不等式要求对一切正整数n恒成立，首先把不等式化简后得出，何时恒成立，只需小于左边式子的最小值，其最小值为，其次得出的不等式如何解？可先换元，后利用图象法.11. 在中，是的中点，，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】设，那么选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.第三步：求结果.12. 等差数列的公差，且成等比数列，假设是数列的前项和，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析(jiě xī)】，成等比数列，，得或者〔舍去〕，，，，时原式获得最小值为，应选A．第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. 在中，，那么__________．【答案】【解析】 ,.14. 当实数满足约束条件〔其中为小于零的常数〕时，的最小值为，那么实数的值是__________．【答案】【解析】略15. 数列为等比数列，其前项和为，且公比；数列为等差数列，，那么__________．〔填写上“〞“〞或者者“〞〕【答案】<【解析】比拟与的大小，可以用比拟法：，数列为等差数列，那么,因为，即,因此只需研究的正负.由于(yóuyú)数列为等比数列，其前项和为，且公比；那么=，所以.【点睛】研究不等式的主要方法有比拟法、分析法、综合法等，比拟两个数的大小常用比拟法，比拟法又包括差值比拟法与商值比拟法，差值比拟法主要研究差值的正负以说明两个数的大小，此题利用条件中等差数列和等比数列的通项公式外，还灵敏的运用了等差数列的性质，借助等量代换巧妙的作差解决问题.16. 对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：设，那么，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或者，当时，，当时，，综上可知当时，的最小值为．考点：1、一元二次方程根的判别式；2、二次函数求值域．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 给定两个(liǎnɡ ɡè)命题：对任意实数都有恒成立；.假如为真命题，为假命题，务实数的取值范围.【答案】或者【解析】试题分析：根据求出两个简单命题中参数的取值范围，命题，命题；再根据复合命题的真假，判断简单命题的真假，分两种情况进展讨论，〔1〕当真假时；〔2〕当假真时，从而得到实数的取值范围.试题解析：解：命题：ax2+ax+1＞0恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意〕当a≠0时，，解得0＜a＜4∴0≤a＜4命题：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2∵为真命题，为假命题∴有且只有一个为真，当真假时得当假真时得所以﹣10＜a＜0或者2≤a＜4考点：复合命题的真假判断.18. 在中，内角的对边分别为.且.〔1〕求的值；〔2〕假设，求的面积.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题(shìtí)分析：〔1〕条件是边角关系，且左边是角的余弦，要求的是，因此可用正弦定理“化边为角〞，即，只要穿插相乘，再由两角和与差的正弦公式可得，而在三角形中此式即为，结论有了；〔2〕由〔1〕可得，结合余弦定理可求得，由面积公式可得．试题解析：〔1〕由正弦定理得整理得又∴，即〔2〕由余弦定理可知①由〔1〕可知，即②再由③，由①②③联立求得又∴考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积．19. 正项数列的前项和为是与的等比中项.〔1〕求证：数列是等差数列；〔2〕假设，数列的前项和为，求.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析：数列的递推关系中含有前n项和与第n项的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，第二步，常用前n项和减去前n-1项和〔两式相减〕去处理，化为与的关系后，再求通项公式；错位相减法是数列求和的常用方法，使用错位相减法求和时，要注意末项的符号及等比数列求和的项数，防止失误.试题解析：〔1〕证明(zhèngmíng)：由是与的等比中项，得.当时，.当时，，，即.，即.数列是等差数列.〔2〕数列首项，公差，通项公式为.那么，那么.①两边同时乘以，得②①-②，得.解得.【点睛】数列的递推关系中为与的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，得出所表达的含义；第二步当时，常用两式相减去处理，化为与的关系后，再求通项公式；数列求和常用方法有错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等；要根据数列的特征采用相应的方法准确求和，特别是使用错位相减法要注意运算的准确性.20. 函数，其中是自然对数的底数.〔1〕证明：是上的偶函数.〔2〕假设(jiǎshè)关于的不等式在上恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据函数奇偶性的定义即可证明是R上的偶函数；〔2〕利用参数别离法，将不等式m≤e-x+m-1在〔0，+∞〕上恒成立，进展转化对任意恒成立,求最值问题即可务实数m的取值范围．试题解析：〔1〕，，∴是上的偶函数〔2〕由题意，，即∵，∴，即对恒成立令，那么对任意恒成立∵，当且仅当时等号成立∴21. 如图，一辆汽车从出发沿海岸一条笔直公路以每小时的速度向东均速行驶，汽车开动时，在南偏向距且与海岸间隔为的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机.〔1〕快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？〔2〕在〔1〕的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.【答案】〔1〕快艇(kuàitǐng)至少以的速度行驶才能把稿件送到司机手中. 〔2〕快艇应向垂直于的方向向北偏向行驶.【解析】试题分析：解决三角函数应用问题，首先要审题读懂题意，设出快艇的速度和需要的时间是，根据题意利用余弦定理列出关系式，建立函数模型，利用数学知识解决实际问题，此题采用配方法求最值，求出快艇行驶的最小速度后，利用余弦定理求角，得出快艇行驶的方向，给出行驶的方向角.试题解析：〔1〕如图，设快艇以的速度从处出发，沿方向，后与汽车在处相遇，在中，为边上的高，.设，那么.由余弦定理，得，所以.整理，得当，即时，，即快艇至少以的速度行驶才能把稿件送到司机手中.〔2〕当时，在中，，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)，得，所以，故快艇应向垂直于的方向向北偏向行驶...................22. 在等比数列中，，且的等比中项为.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意恒成立？假设存在，求出正整数的最小值；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕〔2〕存在满足条件的正整数，正整数的最小值为.【解析】试题分析：根据等比数列的性质，第1项与第5项的等比中项是第3项，利用公差和第三项的值求出首项，从而写出数列的通项公式；根据题意计算，可知为等差数列，利用等差数列前n项和公式写出前n项和，从而得出，而数列求和可以使用裂项相消法，最后根据不等式恒成立条件得出正整数的最小值.试题解析：〔1〕由的等比中项为，可知(kě zhī)，又，那么，公比且，.〔2〕，易知数列是首项为，公差为的等差数列，，，那么存在满足条件的正整数，且正整数的最小值为.【点睛】根据等比数列的性质，利用条件列方程，求出等差数列的公差和首项，从而写出数列的通项公式；根据题意计算，根据通项公式可以判断为等差数列，利用等差数列前n项和公式写出前n项和，从而得出，而数列求和可以使用裂项相消法，最后根据不等式恒成立条件得出正整数的最小值.内容总结（1）数列求和常用方法有错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等。
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【冲刺卷】高二数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生2．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<3．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 4．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．65．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．566．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+7．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36038．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7109．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A．6B．10C．8D．410．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．1111．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万8.28.610.011.311.9元）6.27.58.08.59.8支出y（万元）根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.14．若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为__________．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．16．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个17．已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．18．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．19．如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.20．正四面体的4个面上分别写着1、2、3、4，将3个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率是_____________．三、解答题21．某种设备的使用年限x (年)和维修费用y (万元),有以下的统计数据:x3 4 5 6 y 2.5344.5（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中1122211()()()ˆˆˆnni i i ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，其中11ni i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑）．22．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注 不关注 合计 A 城高中家长2050B 城高中家长20合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.63523．艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD 4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能.下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码x12345678感染者人数(y 单位：万人)34.3 38.3 43.3 53.8 57.7 65.4 71.8 85()1请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；()2请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；()3建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．42 6.48≈；81449.6ii y==∑，812319.5i i i x y ==∑821()46.2i i y y =-=∑， 参考公式：相关系数12211()()()ni nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，回归方程y bx a =+$$$中，b $()121()()ni i i n i i x x y y x x ==--=-∑∑，a y bx =-$$． 24．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．如图是甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产的产品该质量指标值的中位数； （2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲流水线 乙流水线 合计合格品 不合格品 合计附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82825．2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表；求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．26．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分1000,1500）.布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)3000,3500的频率；（1）求居民收入在[)（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按2500,3000的这段应抽取多少人？分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．3．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.4．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.6．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”.故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：解析：34【解析】 【分析】 【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=.14．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的解析：36p【解析】分析：不等式组0303xy≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，满足221x y+<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，利用几何概型概率公式可得结果.详解：根据题意，画出图形，如图所示，则不等式组0303xy≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，其中满足221x y+<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，故所求的概率为4936Pππ==，故答案为36p.点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．15．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为，则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.16．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n首先求出高一年级人数占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生数【详解】设应在高一年级抽取学生数为n因为某校高一年级有600解析：24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为，首先求出高一年级人数占总人数的百分比，然后通过分层抽样的性质，由此能求出应在高一年级抽取学生数。