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立体几何公理及定理

立体几何公理及定理一、空间点、线、面之间的关系1、两条直线的位置关系有：2、两个平面的位置关系有：公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。

推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。

公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。

二、平行关系直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

平面与平面平行的性质定理：1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。

4、平行于同一平面的两个平面平行。

三、垂直关系直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

直线与平面垂直的性质定理：1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。

平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

三角公式汇总一、任意角的三角函数1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ⑤ 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30° 1°＝180π3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形 4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割5、在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy=αtan 二、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan = 平方关系：1cos sin22=+αα，2211tan cos αα+=，212sin cos (sin cos )αααα+=+ 212sin cos (sin cos )αααα-=-三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

高一数学必修2立体几何知识点详细总结

立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。

（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。

（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

立体几何常见证明方法

立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。

2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。

二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。

(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。

或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。

4、平行同一平面的两平面平行。

四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。

立体几何中的平行四边形及其性质

立体几何中的平行四边形及其性质在立体几何中，平行四边形是一种具有独特性质的多边形。

它由四条平行的边组成，其中两对相邻边相等且内部角相邻。

本文将探讨平行四边形的性质及其在几何学中的重要应用。

一、平行四边形的定义平行四边形是由四条平行的边所组成的四边形。

根据平行四边形的定义，我们可以得出以下几个结论：1. 平行四边形的对边相等：平行四边形的两对相对边是平行的，因此它们的长度相等。

2. 平行四边形的相邻角相等：平行四边形的相邻角是指有一边是公共边的两个相邻角，它们的度数相等。

二、平行四边形的性质除了上述定义中的性质，平行四边形还具有一些其他重要的性质，如下所示：1. 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

也就是说，两条对角线的交点是对角线的中点。

2. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度满足勾股定理。

设平行四边形的两条对角线长度分别为d1和d2，四边形的边长为a和b，则有d1^2 + d2^2 = a^2 + b^2。

3. 完全独立的边长：平行四边形的四条边长度可以独立地确定，即知道其中三条边的长度就可以确定第四条边的长度。

4. 相对边角补：平行四边形的相对边角补为180度，也就是说，平行四边形的相对角是补角。

三、平行四边形的重要应用平行四边形在几何学中有着广泛的应用。

下面介绍其中几个常见的应用场景：1. 平行四边形面积的计算：平行四边形的面积计算公式为S = 底边长 ×高，其中底边长为任一边的长度，高为垂直于底边的距离。

2. 投影与剖面图：平行四边形的特性使其在制图和建筑设计中得到广泛应用，例如绘制投影图和剖面图时常用到平行四边形的性质。

3. 平行四边形的判定：通过分析四边形的边和角度关系，可以判定一个四边形是否为平行四边形。

例如，若四边形的对边相等且相邻角相等，则可判定该四边形为平行四边形。

4. 平行四边形的证明：在几何证明中，平行四边形通常作为中间步骤或辅助线，用于证明其他几何定理和性质。

空间向量解立体几何常用结论

l
v
n
面面垂直 n1 n2 n1 n2 0
n1
n2
面面平行 // n1 // n2 n1 k n2
n2
n1
三、利用空间向量求夹角的基本原理
（1）异面直线所成的角（范围： 0 ）
2
v1
v1, v2
v2
统一结论： cos cos v1, v2
（2）二面角（范围： 0 ）

(3)模长公式：若 a (x1, y1, z1) ， b (x2, y2, z2 ) ，
则| a |
aa
x12 y12 z12 ， | b |
bb
x22
y22
z
2 2
(4)夹角公式： cos
ab
a b
| a | | b |
x1x2 y1 y2 z1z2
。
x12 y12 z12 x22 y22 z22
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1
2
z2
二、利用空间向量证明平行、垂直的基本原理
线线平行 l // m v1 // v2 v1 kv2
v1
l
m
v2
线面平行 l // v n v n 0
v
l
n
线线垂直 l
m
v1
v2
v1
v2
0
v1
l
v2
m 线面垂直 l v // n v k n
利用空间向量解立体几何常用结论
一、空间向量的直角坐标运算:
(1)若 a (x1, y1, z1) ， b (x2, y2, z2 ) ，则
a b (x1 x2, y1 y2, z1 z2 ) ，

第八章立体几何初步(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第八章立体几何初步（公式、定理、结论图表）1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.正棱柱、正棱锥的结构特征(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．3．旋转体的结构特征(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的长度特征：“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．5．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．6．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l三者关系S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l――→r′＝0S圆锥侧＝πrl8.柱、锥、台和球的表面积和体积(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．10．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(3)平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a12．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β，b ∥β，a ∩b ＝P ，a ⊂α，b ⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b14．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．15．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.16．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.17．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理l⊥α<常用结论>1．特殊的四棱柱2．球的截面的性质3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：5．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，6．异面直线的判定定理7．等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．8．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．9.线、面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．<解题方法与技巧>一、空间几何体概念辨析题的常用方法A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．图1图2B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]二、识别三视图的步骤(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．典例2：(1)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()A B C D(2)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(1)A(2)A[(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]三、由三视图确定几何体的步骤典例3:(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2(1)C(2)B[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．图1图2圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON22 5.故选B.]四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．典例4：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()A B C DA [由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A ，故选A.]五、空间几何体的直观图1．用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．2．原图形与直观图面积的关系典例5：(1)已知等腰梯形ABCD ，CD ＝1，AD ＝CB ＝2，AB ＝3，以AB 所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为()A.2B.24C.22D ．22(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6cm ，O ′C ′＝2cm ，则原图形是()A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形(1)C (2)C [(1)法一(作图求解)：如图，取AB 的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，y 轴交DC 于点E ，O ，E 在斜二测画法中的对应点为O ′，E ′，过E ′作E ′F ′⊥x ′轴，垂足为F ′，因为OE ＝(2)2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22，故选C.法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝12×(1＋3)×1＝2.由S直观图＝24S原图形，得S直观图＝24×2＝22，故选C.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]六、求解几何体表面积的类型及求法A．48＋πB．48－πC．48＋2πD．48－2π(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π(1)A(2)B[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]七、求体积的常用方法典例7：(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3(2)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为．(1)A (2)13[(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥SABC 组成的，如图，三棱锥的高为3，底面△ABC 中，AB ＝2，OC ＝1，AB ⊥OC .故其体积V ＝13×12×π×12×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1.故选A.(2)四棱锥A 1BB 1D 1D 的底面BB 1D 1D 为矩形，其面积S ＝1×2＝2，又四棱锥的高为点A 1到平面BB 1D 1D 的距离，即h ＝12A 1C 1＝22，所以四棱锥的体积V ＝13×2×22＝13.]八、空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．典例8：(1)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310(1)B(2)C[(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝34AB2＝93，所以AB＝6，BM＝23BE＝23AB2－AE2＝2 3.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝OB2－BM2＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值V ma x＝13S△ABC×(4＋OM)＝13×93×6＝18 3.故选B.(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC 的中点M .因为AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，所以BC ＝5.又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA＝132，故选C.]九、共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．典例9：(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A ．0B ．1C ．2D ．3(2)如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：①E ，C ，D 1，F 四点共面；②CE，D1F，DA三线共点．(1)B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．](2)[证明]①如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．十、空间两条直线的位置关系典例10：(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c.其中真命题有．(填序号)(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号)．①②③④(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]十一、平移法求异面直线所成角的步骤典例11：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD 所成角的正切值为()A.2 2B.32C.52D.72(2)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为()A.12B ．－12C.32D ．－32(1)C (2)A [(1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52.故选C.(2)如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]十二、判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．典例12：如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面P AD .[证明](1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 中点，所以BC AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为FH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为OH ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD .所以OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD .又因为GH ⊂平面OHF ，所以GH∥平面PAD.十三、判定平面与平面平行的四种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．注意：谨记空间平行关系之间的转化典例13：已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．(1)求证：平面EMN∥平面ABC；(2)求三棱锥AECB的体积．[解](1)证明：取BC中点H，连接AH，∵△ABC为等腰三角形，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC ，又M ，N 分别为BD ，DC 中点，∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC ，又MN ∩EN ＝N ，∴平面EMN ∥平面ABC .(2)连接DH ，取CH 中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，由(1)知EN ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH ＝3，又N 为CD 中点，∴NG 又AC ＝AB ＝3，BC ＝2，∴S △ABC ＝12·|BC |·|AH |＝22，∴V E ABC ＝V N ABC ＝13·S △ABC ·|NG |＝63.十四、证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．典例14：如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中点，BB 1＝3，AB 1＝10，∠CBB 1＝60°.(1)求证：AM ⊥平面BCC 1B 1；(2)求斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积．[解](1)证明：如图，连接B 1M ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，且M 为棱BC 的中点，所以AM ⊥BC ，且AM ＝3，因为BB 1＝3，∠CBB 1＝60°，BM ＝1，所以B 1M 2＝12＋32－2×1×3×cos 60°＝7，所以B 1M ＝7.又因为AB 1＝10，所以AM 2＋B 1M 2＝10＝AB 21，所以AM ⊥B 1M .又因为B 1M ∩BC ＝M ，所以AM ⊥平面BCC 1B 1.(2)设斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V ，则V ＝3VB 1ABC ＝3VA B 1BC＝3×13S △B 1BC ·|AM |＝12×2×3×sin 60°×3＝92.所以斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为9 2 .十五、证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化典例15：(1)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝52，∴BM＝MG2＋BG2＝7.∴BM≠EN.∵BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.](2)如图，四棱锥PABCD中，△PCD为等边三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q为CD，P A，PB，AD的中点，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.①证明：平面P AE⊥平面STRQ；②若AB＝1，求三棱锥QBCT的体积．[解]①证明：因为E为CD的中点，CD＝2AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，所以四边形ABCE 为矩形，所以AE⊥CD.由已知易得RQ∥CD，所以RQ⊥AE.因为∠PEA＝90°，PE∩CD＝E，故AE⊥平面PCD，又因为AE⊂平面ABCD.故平面PCD⊥平面ABCD.因为PE⊥CD，所以PE⊥平面ABCD.因为RQ⊂平面ABCD，所以RQ⊥PE.又PE ∩AE ＝E ，所以RQ ⊥平面PAE .所以平面P AE ⊥平面STRQ .②由①可知，PE ⊥平面ABCD ，又T 是PB 的中点，∴点T 到平面BCQ 的距离为12PE ＝32，易知S △BCQ ＝12S 梯形ABCD ＝12×12×(1＋2)×3＝334.故三棱锥Q BCT 的体积V ＝13×334×32＝38.十六、求点到平面的距离(高)的两种方法(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．典例16:(1)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为．2[如图，过点P 作⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝ 2.](2)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．①证明：PO ⊥平面ABC ；②若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解]①证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .②作CH ⊥OM ，垂足为H .又由①可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.十七、求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．典例17:(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83C[如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2sin30°＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝42－(22＋22)＝22，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82.](2)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.①求证：AD⊥BC；②求异面直线BC与MD所成角的余弦值；③求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．[解]①证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.②如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND .又因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC .在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.③如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.十八、转化思想的应用(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．典例18:如图，在四棱锥P ABCD 中，△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点(靠近C 点处)．(1)求证：平面MBD ⊥平面P AD ；(2)求三棱锥D MAB 的体积．[解](1)证明：由题易得BD ＝AD ＝42，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴BD ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面P AD .又∵BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD .(2)过点P 作PO ⊥AD 交AD 于点O (图略)，∵平面PAD ⊥平面DAB ，平面PAD ∩平面DAB ＝AD ，∴PO ⊥平面DAB ，∴点P 到平面DAB 的距离为PO ＝2 2.∴V D MAB ＝V M DAB ＝13S △DAB ·13PO ＝13×12×(42)2×13×22＝3229.十九、解决平面图形翻折问题的步骤典例19：图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．[解](1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.二十、存在性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．典例20：如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．。

利用基本结论解立体几何竞赛题

利用基本结论解立体几何竞赛题方廷刚(四川省成都市第七中学,610041) 本文收稿日期:2002206226 (本讲适合高中)文[1]中提出了用基本结论解平面几何竞赛题的想法.其实,这一想法用在解立体几何竞赛题时同样有效,特别是针对最近几年国内数学竞赛中立体几何部分以小题为主,只要求答案正确而不要求写出过程(尽管有时难度不小)的特点,应用基本结论更可收避免繁琐演算、简化思维过程、节约考试时间、提高答案准确率之功,值得一试.1　立体几何中的一些基本结论很多人在解立体几何题中使用过基本结论,这里仅列出下列15条.1.1　关于体积的基本结论结论1　棱柱的侧面积等于侧棱长与直截面周长之积,体积等于侧棱长与直截面面积之积.结论2　三棱柱的体积等于其一侧面积与该侧面到其对棱的距离之积的一半.结论3　有一组对棱互相垂直的三棱锥的体积等于该两棱长之积乘以该两棱间距离的六分之一.图1结论4　若三棱台上、下底面的面积分别为S 1和S 2,高为h ,则此三棱台可分割为体积分别为h3S 1,h 3S 2和h3S 1S 2的三个三棱锥之和,如图1中的三棱锥A -A 1B 1C 1、B 1-ABC 和B 1-ACC 1.1.2　关于锥顶在底面的射影的基本结论结论5　棱锥的侧棱全相等当且仅当侧棱与底面所成角全相等,当且仅当锥顶在底面的射影为底面的外接圆圆心.结论6　棱锥各侧面与底面所成二面角全相等,当且仅当锥顶到底面各边的距离全相等,当且仅当锥顶在底面的射影为底面的内切圆圆心或旁切圆圆心.结论7　若四面体有两组对棱(称不相邻的两条棱为一组对棱)分别互相垂直,则其每一顶点在对面的射影都是该面垂心;反之,若四面体的一个顶点在对面的射影为该面垂心,则其三组对棱分别互相垂直.1.3　关于平行六面体构造的基本结论结论8　过两条异面直线中的一条有且只有一个平面平行于另一条.若三条直线两两异面,且不平行于同一平面,则可以这三条直线为基础构造平行六面体(过每一直线作两平面分别平行于另两直线便可).结论9　以任意四面体同一顶点处三棱为棱可构造平行六面体.结论10　以等腰四面体(对棱相等的四面体)同一顶点处三棱为面的对角线可构造长方体(只须过每组对棱中的一条各作一个平面互相平行即可).1.4　关于角和距离的基本结论结论11　若两个相交平面内各有一条直线互相平行,则这两平面的交线与这两直线平行.结论12　两平面所成的二面角等于平行于其中一个平面且垂直于两平面交线的直线与另一平面所成的角或其补角.结论13　长方体的对角线与同一顶点处的三棱所夹角的余弦的平方和为1,与同一顶点处的三面所夹角的余弦的平方和为2.结论14　平面外两点到平面的距离之比等于过这两点的直线与平面的交点(假设交点存在)到这两点的距离之比.结论15　设圆台的上、下底面半径分别为r 、R ,母线长为l ,则圆台侧面展开后所得的扇环的圆心角为θ=2π(R -r )l.(注:将圆锥视为圆台的极限情形,不再列出圆锥的相应公式)2　用基本结论解立体几何竞赛题举例例1　ABCD 中,AD =DB =AC=CB =1,则它的体积的最大值是.(2000,上海市高中数学竞赛)图2分析:如图2,设E 、F 分别为CD 、AB 的中点,则易知AB ⊥CD ,且EF 为AB 和CD 的公垂线.设AB =2x ,CD =2y ,由△ACD 、△BCD 和△E AB 都是等腰三角形易得EF =1-x 2-y 2(x >0,y >0,x 2+y 2<1).故由基本结论3知此四面体体积为V =162x ·2y ·1-x 2-y 2.再用三元算术—几何平均不等式可得所求体积的最大值是2327.图3例2　在正三棱台ABC -A 1B 1C 1中,A 1B 1∶AB =5∶7,截面ABC 1与A 1BC 1将三棱台分割为三个三棱锥C 1-ABC 、C 1-ABA 1、B -A 1B 1C 1.那么,它们的体积V 1、V 2、V 3之比为.(1994,全国高中数学联赛河北省预赛)分析:这个题目是对基本结论4的最好阐释:设三棱台的高为h ,上、下底面的面积分别为S 1、S 2,则V 1=h3S 2,V 2=h3S 1S 2,V 3=h3S 1,即V 1∶V 2∶V 3=S 2∶S 1S 2∶S 1.再由棱台的两底面相似及A 1B 1∶AB =5∶7,知S 2∶S 1=49∶25.从而,V 1∶V 2∶V 3=S 2∶S 1S 2∶S 1=49∶35∶25.图4例3　已知三棱锥S -ABC 的底面是正三角形,点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心,二面角H -AB -C 的平面角等于30°,SA =23.那么,三棱锥S -ABC 的体积为.(1999,全国高中数学联赛)分析:已知线段长似乎少了些.由基本结论7知三组对棱分别互相垂直,从而S 在面ABC 内的射影O 亦为△ABC 的垂心.再由△ABC 为正三角形知O 为△ABC 的外心.从而,由基本结论5知SA =SB =SC.连BH 并延长交SC 于E ,连A E ,则SC ⊥面E AB.作EF ⊥AB ,连CF ,知∠EFC 为二面角H -AB -C 的平面角,即∠EFC =30°.故∠SCO =60°.据此解出OS 和OC ,易算出所求体积为934.例4　在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AC =2,M 是AB 的中点,将△ACM 沿CM折起,使A 、B 两点间的距离为22.此时三棱锥A -BCM 的体积等于.(1998,全国高中数学联赛)图5分析:第一个困难是如何作出一个较直观的立体图形?在未折之前有MA =MB =MC =AC =2,这些长度在折成棱锥后不会改变.由基本结论5知折后点M 在面ABC 内的射影为△ABC 的外心;又BC =23,折后AB =22,故折后∠BAC =90°.于是,△ABC 的外心为其斜边BC 的中点,即M 在面ABC 内的射影为BC 的中点D ,这就启发我们作出图5.不仅如此,折后∠CBM =30°亦不会改变,因此,MD =12MB =1,S △ABC =12AC ·AB =22,故V M -ABC=13S △ABC ·MD =223.例5　棱锥的底面是等腰三角形,其底边长和腰长分别为12和10,又此棱锥锥顶在底面的射影在三角形内,各侧面与底面所成的二面角都是30°.则此棱锥的高为.分析:由基本结论6知锥顶在底面的射影为底面三角形的内心.再由侧面与底面所成二面角为30°,知只须先求出底面三角形的内切圆半径.利用平面几何方法易得底面三角形的内切圆半径为3,从而,棱锥的高为3tan 30°=3.例6　如果空间三条直线a 、b 、c 两两成异面直线,那么,与a 、b 、c 都相交的直线有( ).(A )0条 (B )1条(C )多于1的有限条(D )无穷多条(1997,全国高中数学联赛)分析:若a 、b 、c 不平行于同一平面,由基本结论8,可构造一个平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1,使a 、b 、c 体现为其中两两异面的三条棱AB 、B 1C 1和DD 1.过DD 1上异于D 与D 1的一点E 和直线AB 可作一平面M ,则M 必与直线B 1C 1交于一点 F.直线EF 和AB 皆在平面M 上且不平行,故必交于一点G ,即由直线DD 1上异于D 与D 1的一点E 就可确定一条直线和a 、b 、c 三直线均相交;若a 、b 、c 都平行于同一平面,过a 上一点A 和直线b 可作一平面β,则β必与直线c交于一点C (否则c ∥β]a ∥β]a ∈β,矛盾).记AC 与a 共面为γ,若AC ∥b ]b ∥γ]c ∥γ]c ∈γ,矛盾.故AC ∥\ b.于是,AC必与b 交于一点B ,即由直线a 上一点A 就可确定一条直线和a 、b 、c 三直线均相交.故应选(D ).例7　等腰四面体的三条棱长分别为3、10、13.则此三棱锥的外接球半径长为.分析:由基本结论10,可将此三棱锥扩充为长方体,使其已知三棱为长方体中面的对角线,此时原三棱锥与长方体有相同的外接球.设长方体同一顶点处的三棱长分别为x 、y 、z ,则由条件有y 2+z 2=9,z 2+x 2=10,x 2+y 2=13.据此可知所求外接球半径长为12x 2+y 2+z 2=2.例8　已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 为底面ABCD 的中心,点M 、N 分别为棱CC 1、A 1D 1的中点.则四面体O -MNB 1的体积是( ).(A )16　(B )548　(C )18　(D )748(2000,河北省高中数学竞赛)图6图7分析:如图6,所求三棱锥的四个面都是正方体的斜截面,不好求体积.但利用基本结论14,可将三棱锥O -MNB 1的体积转化为三棱锥C 1-MNB 1的体积的一个倍数,关键是求出点O 和点C 1到平面MNB 1的距离之比.如图7,连A 1C 1交B 1N 于点E ,连EM 、OC 1交于点F (注意到两线均在平面A 1C内),则问题转化为求OF ∶C 1F 之值.注意到矩形AA 1C 1C 中CC 1=1,A 1C 1=2,A 1E ∶EC 1=1∶2,又点M 、O 分别为CC 1、AC 的中点,作出平面图形易算出OF ∶C 1F =7∶4(要用到平面几何知识).从而,易得V O -MNB 1=74V C 1-MNB 1=748.故选(D ).例9　设点E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点.则二面角C -FG -E 的大小是( ).(A )arcsin 63 (B )π2+arccos33(C )π2-arctan 2　(D )π-arccot22(1998,全国高中数学联赛)图8分析:易知AC 平行于平面EFG 且AC ⊥FG (平面EFG 与平面BCD 的交线).故由基本结论12知所求二面角等于AC与平面BCD 所成角的补角.作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,则O 为△BCD 的中心,易得∠ACO =arccot 22,所求二面角为π-arccot 22.故应选(D ).注:由所求二面角大于π2,在得出cos ∠AC O=33后,便可直接判断出应选(D ).例10　在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥P B ,P B ⊥PC ,PC ⊥P A.若M 为底面△ABC 内一点,已知sin ∠A PM =45,cos ∠B PM =33.则cos ∠CPM 的值为.(1998,北京市中学生数学竞赛)分析:此三棱锥一顶点处三棱两两互相垂直,从中可截出一个以PM 为对角线的长方体,这只须过点M 分别作面P BC 、面PC A 和面P AB 的平行平面即可完成.此时∠A PM 、∠B PM 、∠CPM 成为该长方体的对角线与同一顶点处三棱所夹的角,故由基本结论13知其余弦的平方和为1.于是,cos ∠CPM =1-352-332=6915.练习题1.已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,SA =SB =SC =2,AB =2.设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球上,则点O 到平面ABC 的距离为.(1997,全国高中数学联赛)图9(提示:由基本结论5知,S在平面ABC 内的射影M 为△ABC 的外心,即M 为△ABC 斜边中点且外接圆半径为MC =1.又MS =3,由OA =OB =OC 知O 在平面ABC 内的射影亦为M.再由OS =OC 及MS>MC 知O 在线段MS 上,如图9.令OC =OS =x ,则OM =3-x ,列方程可解得x =233.)2.过正方形ABCD 的顶点A 作P A ⊥平面ABCD ,设P A =AB =a.则平面P AB 与平面PCD 所成二面角的大小是.(答案:45°)3.在四面体ABCD 中,棱AB 、CD 的长分别为a 、b ,这两棱中点的距离为d.则四面体ABCD 的体积的最大值是.(1994,上海市高三年级数学竞赛)　答案:16abd .4.三棱台ABC -A 1B 1C 1中,上底面积S △A 1B 1C 1=a 2,下底面积S △ABC =b 2(b >a >0).底边BC 与截面AB 1C 1的距离等于三棱台的高,则截面面积为.图10(提示:如图10,由基本结论4及BC 到面AB 1C 1的距离等于三棱台的高知S △AB 1C 1∶S △ABC =V C -AB 1C1∶V B 1-ABC=ab ∶b 2.再由S △ABC =b 2可得S △AB1C1=ab.)5.求证:所有二面角都相等的四面体是正四面体.参考文献:[1]　方廷刚.基本结论———解平几竞赛题的钥匙[J ].中等数学,2001(4).。

初中几何模型及常见结论的总结归纳

初中几何模型及常见结论的总结归纳几何学是研究空间和图形性质以及它们之间关系的学科。

初中阶段的几何学主要涉及平面几何和立体几何两个方面。

在学习几何学的过程中，我们会遇到一些常见的几何模型和结论。

下面是我对初中几何模型和常见结论的总结归纳：平面几何模型：1.点、线、面：-点是没有大小和形状的，用字母表示，如A、B等。

-线是由无数个点连在一起而形成的，用一条直线表示，如AB。

-面是由无数条线连在一起而形成的，用一个平面表示，如三角形ABC。

2.直角：-直角是以一个点为顶点，两条线段以此点为公共端点，相互垂直的角。

-常见的直角符号是“∟”。

3.直线的性质：-相交定理：两条直线相交于一点，那么相交的两个角互为垂直角。

-平行定理：如果两条直线分别与第三条直线相交，使得同侧内角和为180°（即补角），那么这两条直线是平行线。

4.三角形的性质：-等边三角形：三边相等的三角形。

-等腰三角形：两边相等的三角形，其两底角也相等。

-直角三角形：其中一个内角是90°的三角形。

-钝角三角形：其中一个内角大于90°的三角形。

立体几何模型：1.立体几何体：-立方体：六个面都是正方形的立体。

-正方体：六个面都是正方形的立体。

-圆柱体：底面是圆形的立体。

-圆锥体：底面是圆形的立体。

-球体：表面上的每一点到球心的距离相等的立体。

2.面的性质：-顶点：多个边的交点。

-棱：多个面的交线。

-面：棱围成的区域。

3.体的性质：-体积：表示立体几何体所占的空间大小。

-表面积：表示立体几何体外部各个面的总面积。

常见几何结论：1.同位角定理：同位角互等的两条平行线与同一条直线相交。

其中，同位角是指两条直线被前者截过的各对对应角。

2.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。

3.勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

4.正方体的体积和表面积：-正方体的体积等于边长的立方。

-正方体的表面积等于6倍边长的平方。

高中数学二级结论总结归纳

高中数学二级结论总结归纳数学作为一门学科，是一种严谨而美妙的知识体系。

在数学的学习过程中，结论的总结归纳是非常重要的一环。

通过总结归纳，我们可以更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力和思维逻辑能力。

在本文中，我将对高中数学二级结论进行总结归纳，帮助大家更好地学习和掌握这一部分知识。

一、平面几何结论1. 垂直性结论：两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为负倒数。

证明：设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则L1和L2垂直的充分必要条件是k1 * k2 = -1。

2. 平行性结论：两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相等。

证明：设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则L1和L2平行的充分必要条件是k1 = k2。

3. 三角形中位线定理：三角形中位线的交点是三条中位线的共同中点。

证明：设三角形ABC的中位线AD、BE和CF交于点G，则AG = GB = CG。

4. 垂心结论：垂心是三角形三条高的交点。

证明：设三角形ABC的高AD、BE和CF交于点H，则H是三条高的交点。

二、立体几何结论1. 空间几何关系：两条直线垂直的充分必要条件是它们所在平面的法向量垂直。

证明：设直线L1所在平面的法向量为n1，直线L2所在平面的法向量为n2，则L1和L2垂直的充分必要条件是n1·n2 = 0。

2. 球面几何关系：切线和半径于切点垂直。

证明：设球面上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，球心的坐标为(a, b, c)，则切线的方程为(x - x0) / (x0 - a) = (y - y0) / (y0 - b) = (z - z0) / (z0 - c)。

三、数列与数列极限结论1. 等差数列求和公式：等差数列前n项和的公式为Sn = (a1 + an) *n / 2。

证明：分别对等差数列的首项a1和末项an列出求和公式，然后相加得到Sn = (a1 + an) * n / 2。

2. 等比数列求和公式：等比数列前n项和的公式为Sn = a1 * (1 -q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1。

数学立体几何常用结论

.
.
1.对棱垂直。
3
2.侧棱与底面成交的余弦值为

1
3.侧面与底面（两临面）成角的余弦值为

6
4.高为棱长

2
5.表面积S=3棱长

2
3

6.体积V=棱长

6
7.内切球的半径r=棱长

6
8.外接球的半径正四面体的结论：R=棱长
4

2
3
1.高为h=边长

3
2.面积S=边长

3
3.外接圆的R=边长

3
4.内切圆的r=边长

5.重心，外心，内心，垂心合一

3
6.重心到顶点距离m=边长，

3
到中点距离n=边长.

m2n1
=，=

中线3正三中形的论：线角结3

2
3

0
00
0

1.表面积S=6a
2.体积V=a
3.面的对角线长=2a
4.体的对角线长=3a
5.相连的面的对角线组成正三角形。
6.临面对角线成角为60，
对面对角线成角为0或90。
7.体对角线与面的对角线异面时成90，
2
相交时成角的余弦值

3
8.外接球的半径R=a

1
9.内切球的半径r=a

2
10.棱切球的半正方体中的结径=论a

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1 第九章：直线、平面、简单几何体小结

一、重要的概念和定理 1. 公理和推论

公理1.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。作用：判断直线在平面内的依据。公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且这些公共点的集合是通过该公共点的一条直线。作用：判断两个平面相交和共线的依据。公理3.经过不在同一直线上的三个点，有且只、有一个平面。推论1•经过一条直线和这条直线外一点，有且 I作用：确定平面的依据。只有一个平面。 [ 推论2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。丄公理4.同平行于一条直线的两条直线互相平行。作用：判断平行的依据。 2概念

⑴直线与直线 ① 异面直线：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 ② 异面直线所成角：如果a、b是异面直线，经过空间任意一点0作a 7/ a，b 7/b，那么把a和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。如果两条异面直线所成的角是直角，就称这两条异面直线互相垂直。

显然若设异面直线所成角为：•，则0＜迟二。 2

③ 异面直线间的距离：和异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

⑵直线和平面 ① 直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行。 ② 直线和平面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就说这条直线和这个平面垂直，这条直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

③ 射影：自一点P向平面：引垂线，垂足P叫做点P在平面:•内的正射影（简称射影）。如果图形F上的所有点在一平面内射影构成图形 F，则F叫做图形F在这个平面内的射影。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。垂足和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。 ④ 点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。

直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。 ⑤ 直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，就说它们所成角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，就说它们所成的角是00的角。

显然若设直线和平面所成角为：•，则0匚， 2

⑶平面和平面 ① 两个平面平行：如果两个平面没有公共点，就说这两个平面互相平行。 ② 平行平面间的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线；它们夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段；公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。 2 ③ 二面角：

一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 ④ 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角；平面角是直角的二面角叫做直二面角。显然若设二面角为「，则0_：_ ⑤ 平面互相垂直：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑷空间向量 ① 平移：如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到 F的位置，则就说图形F在空间作了一次平移。 ② 向量：在空间，具有大小和方向的量叫做向量。 ③ 空间向量的加减与数乘运算

OB =OA AB = a b; CA = OA — 0C 二 a — b; 运算律：

a • b = b a; a • b ］亠 c = a 亠［b • c ;*a • b = ■ a 丁 xb ④ 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量

叫做共线向量或平行向量。共面向量：若表示空间向量 a的有向线段所在的直线与平面：•平行或在平面:内，则说向量a平行于平面：•，记作a//〉；我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

⑤ 基底：若三个向量a、b、c不共面，则称｛ a, b，c ｝为空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量。

⑥ 两个向量的数量积已知两个非零向量二 b，在空间任取一点0,作0A = a,OB = b，则 - - -- -- H - / AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞；如果＜a,b＞=…，则称a与 2

b互相垂直，并记作a丄b。

设OA =a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作la。已知空间两个向量a、b，则|a ||b |cos＜a,b ＞叫做向量a、b的数量积，记作 a * b，即 a * b =|a ||b |cos＜a , b ＞。

性质： ■ 2 ■ ■ a * e =|a |cos＜a,e ＞； a 丄 b a =0； |a | = a * a .3 ⑧夹角和距离

（■a） b ='（a b）; a b = b a; a （b 亠 c）=a b 亠 a c. ⑦ 空间直角坐标系如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为 1,则这个基底叫做

单位正交基底，用｛i , j ,k ｝表示。

在空间选定一点0和一个单位正交基底｛i , j ,k ｝。以点o为原点，分别以 ■ ■ ■

i、j、k的方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。这是我们说建立了一个空间直角坐标系 O-xyz，O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量。 N N N --- 1-

在单位正交基底｛i , j , k ｝中与向量OA = a对应的有序实数组（x, y，z），叫做A

或a在此空间直角坐标系中的坐标，记作 A （x，y，z）或a =（x，y， z）. 向量的直角坐标运算

设a = （ai， a2，鬼），b = （bi， b2

，鸟），贝U

a + b = （ai+ bi， a?+ b2， a+ b3）; a - b = （ai- bi，怂 b2， a* b3）; Za = （ 2ai，?02，,03）（ X^R）; a *b = ai bi+a2 b2+a3 b3

；

a 〃b 二 ai=h bi，a2= Zb2，°3=扎8； a 丄 b = ai b什a2 b2+a3 b3=0。

设 A（Xi，yi，Zi），B（X2，y2，Z2），贝U

AB = OB - OA =（X2，y2， Z2）- （xi， yi， z"=（X2- xi， y2- yi， z zi）.

设a = （ai, a2，岂），b = （bi，b：，g），则

aj ,| b . b b = .bi2 b： b32 aibi ■ a2b2 - a3b3

cos ::: a, b

1 2 2 2 J 2 2 2 ai - a2 • a3 . 6 - b2 • b§

设A（xi，yi，zi），B（X2，y2，Z2），贝U I AB |= . AB AB「（X2 - Xi）2 仏 - yj2 亿 - zj2。

⑨法向量

若表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面：•，则说向量a垂直于平面

a,记作a丄如果a丄ot,那么向量a叫做平面0的勺法向量。

⑸棱柱 ① 平行四边形ABCD （包括它的内部）平移向量a到A BCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，记作平行六面体 ABCD- A B C D。 ② 如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；两个地面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的高。 ③ 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 ④ 侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长都相等的长方体叫做正方体。 ⑹棱锥 ① 如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，

运算律: - I— 2 2 | a |= a a = . ai a2 4 那么这个多面体叫做棱锥。有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；余下的那个多边形，叫做棱锥的底面或底。两个侧面的公共边，叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的顶点；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的高。 ② 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 ⑺正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 ⑻球 ① 与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。定点叫做球心，定长叫做球的半径。与定点的距离等于定长的点的集合，叫做球面。 ② 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。 ③ 经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离。 2. 定理和推论 ⑴等角定理及其推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角相等。如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组边方向相同，一组边方向相反，那么这两个角互补。如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等。如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。 ⑵异面直线的判断定理连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。 ⑶任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 ⑷直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 ⑸直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 ⑹直线与平面垂直的判定定理： ① 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 ② 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 ⑺过一点作已知平面的垂线，有且只有一条；过一点作已知直线的垂面，有且只有一个。 ⑻直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ⑼斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ① 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长。 ② 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。 ③ 垂线段比任何一条斜线段都短。 ⑽最小角定理: 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和平面内任一条直线所成的角中最小的角。