异面直线所成角的判定方法
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成的角公式
异面直线所成的角公式设两条异面直线为L1和L2，分别用向量v1和v2表示。
假设L1过点P1，在方向向量为a1的直线上，L2过点P2，在方向向量为a2的直线上。
首先，我们需要找到两条直线的一个公共点，以确定二者的夹角。
这个点可以通过求解线性方程组来得到。
设P为两条直线的一个公共点，则有以下方程组：P = P1 + ta1, P = P2 + sa2其中，t和s为参数，可以通过解这个方程组得到。
然后，我们可以通过向量的点积来计算两条直线的夹角。
向量的点积定义为：v1 · v2 = ，v1，，v2，cosθ其中，v1，和，v2，分别表示向量v1和v2的模长，θ表示两条直线的夹角。
可以将向量的点积用两条直线上的向量和公共点表达出来。
设向量v1和v2分别由L1和L2上的两点表示，即：v1=P-P1v2=P-P2将这两个向量代入点积公式中，并化简得到：(v1 · v2) = (P - P1) · (P - P2) = (ta1 · a2)再将点积公式代入另一个表达式：v1，，v2，cosθ = ，v1，，v2，(v1 · v2) / (，v1，，v2，) = (v1 · v2) / (，v1，，v2，)综上所述，两条异面直线的夹角可以通过以上公式计算。
需要注意的是，当两条直线平行时，夹角为零或π，这时点积为零。
另外，可以通过向量的夹角公式来计算两条直线的夹角。
向量的夹角公式为：cosθ = (v1 · v2) / (，v1，，v2，)由于两条异面直线上的向量没有交点，所以无法直接计算两条直线的夹角。
但可以通过求取两个直线上的平行向量的夹角来得到近似的夹角。
当直线为光滑曲线或曲面时，可以通过取曲线上的两个切向量来近似计算得到夹角。
总结起来，异面直线所成的角可以通过以下两种方法计算：1.通过向量的点积和模长计算角度的余弦值，再通过反余弦函数求得夹角的值。
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。
如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。
b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。
特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。
当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
异面直线所成的角的求法
异面直线所成的角的求法法一：平移法例1：在正方体ABCD-A1BC11D1中，求下列各对异面直线所成的角。
（1）AA1与BC；（2）DD1与A1B；（3）A1B与AC。
法二：中位线例2：在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB⊥CD，点M、N分别为BC、AD的中点，求直线AB与MN所成的角。
变式：在空间四边形ABCD中，点M、N分别为BC、AD的中点，AB＝CD＝2，且MN＝AB与CD所成的角。
法三：补形法例3：如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC，求下列各对异面直线所成的角的正切值.（1）PB与AC；(2)AB与PC。
法四：空间向量法例4：在正方体ABCD-A1BC11D1中，E、F分别是BB1F 1,CD的中点，求证：AE⊥D法五：证明垂直法例5：在正方体ABCD-A1BC11D1中，E、F分别是BB1F所成的1,CD的中点，求AE与D角。
变式：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，AA1=2,AB=BC，求AE与D1C所成的角。
练习题：1．在正四面体ABCD中，点M、N分别为BC、AD的中点，则直线AB与MN 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿。
2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角为＿＿＿＿＿＿＿3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90︒，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________________.E为AA1中点，4. 已知正四棱柱ABCD-A则异面直线BE与CD1AA1=2AB，1BC11D1中，所成的角的余弦值为________________.5.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB 的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为________________.6．如图1，P是正方形ABCD所在平面外一点，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成的角的度数为________________.7。
异面直线所成的角,点面距,线面垂直、线面角
【异面直线所成的角】 1.步骤（1）造角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成角或补角的平面角。
（2）证明：证明作出的角就是所求的角或是补角。
（3）计算：求角度，常利用解三角形求解 （4）结论：注意异面直线所成角的范围。
2.平移法作异面直线所成角的策略直接平移；找等分点（如中点、三等分点等）平移；补形法1.（2017全国卷2）已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A.23 B.515 C.510 D.332.如图所示,在三棱锥A-BCD 中,AB=CD,AB 上CD,E,F 分别为BC,AD 的中点,求EF 与AB 所成的角.3.（2018年全国2）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为（ ）A. B ． C ． D ．4.如图所示,在等腰直角三角形ABC ，DA ⊥AC,DA ⊥AB,若DA=1,且E 为DA 的中点,求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.5.（2018年北京）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值.6.(2016课标Ⅰ,理11)平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A ．√32B √22C√33D 13方法：1.垂线法 2.等三棱锥体积法1.（2019全国1文）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．2．（2018全国2）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形﹐PA⊥.(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.2.（2017全国卷3节选）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．证明：AC⊥BD.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PA⊥平面,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥平面BEF.4.（2018年全国2）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.=．ABC是底面5.（2020全国1）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD的内接正三角形，P为DO上一点，PO=．证明：PA⊥平面PBC；【线面平行】1.（2019天津）如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥ AB, AB=AD=1, AE= BC=2.求证:BF∥平面ADE；2.（2016山东节选）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC，FB的中点。
求异面直线所成角的基本方法
求异面直线所成角的基本方法
答案：几何法和向量法求所成角
一、几何法
1.平移法。
将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）。
一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。
2.三余弦定理法。
运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影，求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角，进而求a与b所成角。
3.三棱锥法。
三棱锥（四面体）中两条相对的棱互为异面直线，设有四面体ABCD，其中AD与BC互为异面直线，那么它们所成角θ满足以下关系：
运用该公式也可以求异面直线所成角。
二、向量法
1.向量几何法。
运用向量的加减法规则，把要求的异面直线用向量表示，并运用向量的运算法则（例如分配律、共线向量）来求出cosθ
2.向量代数法。
当容易找到三条两两垂直的直线时，可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系，运用代数方法计算。
如何求异面直线所成的角
在高一阶段，我们常用的方法有以下三种：
（1）直接平移法：通常的思路是：在两条异面直线其中一条上面选一个端点，引另一条的平行线。
（2）中位线平移（尤其是图中出现了线段的中点时）
（3）补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
异面直线所成的角定义
异面直线所成的角定义好吧，今天咱们聊聊“异面直线所成的角”这个概念。
说实话，听到这个词，很多人可能就感觉像吃了几斤榴莲一样，心里一阵发毛，觉得这东西又深奥又复杂。
别紧张，咱们可以把它捋得简单点。
想象一下，咱们生活中处处都有线条，无论是路上的马路、楼房的墙壁，还是你家里的书架。
都是由一根根直线构成的。
而这些直线之间的关系，往往就像朋友之间的关系一样，有的亲密无间，有的则是有些疏远。
那什么是异面直线呢？简单说，就是在三维空间中，根本不在同一平面上的两条直线。
就好像两个人在不同的楼层聊天，一个在二楼，一个在三楼，这两条直线在空间中就找不到交点，绝对没戏。
再来谈谈它们成的角，听着就觉得很神秘。
异面直线之间的角就像人际关系里的“默契度”，虽然看不见，但却能感受到。
你想啊，两个好朋友，他们的相处方式，就好像两条直线，虽然不在同一个平面上，却能找到一个合适的角度，形成一种独特的交流。
你在和朋友打游戏的时候，可能会发现，你们的思维方式有时候就像是两条异面直线，表面上没有交集，但却能找到彼此心灵的共鸣。
这个角度，不好形容，只有在心里才能理解。
说到这里，可能有人会问，怎么能量化这种“角度”呢？这时候，就得借助一些数学工具了。
我们可以用一些公式来计算出这两个直线之间的夹角，像是用向量去描述它们的方向。
这就好比你用GPS定位，想知道两个地方之间的距离和方位，虽然复杂，但其实就是在找一种“关系”。
想象一下，你在跟朋友聊电影，一开始你们各说各的，但最后慢慢地，你们的讨论又找到了一种共同的理解，形成了一个奇妙的角度。
而这个角度，虽然在数学上可能看起来很枯燥，但在生活中却充满了戏剧性。
比如说，两条异面直线在空间里，可能有着某种奇妙的连结，这种连结就像人们的命运。
有时候你觉得两个人完全不可能在一起，但他们却能在某个瞬间找到共鸣。
这就是人生的奇妙之处，不是吗？异面直线的角度也提醒我们，生活中不要只看表面。
就像朋友之间，有时候一个小小的误会就可能造成很大的隔阂。
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异面直线所成角的判定方法
异面直线是三维空间中的两条直线，它们不在同一个平面内。
在数学中，我们经常需要判断两条异面直线之间的角度，下面将详细介绍异面直线所成角的判定方法。
我们需要了解两条异面直线的基本概念。
两条异面直线可以用它们的方向向量来表示。
在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。
因此，如果我们知道了两条异面直线上的任意一点和它们的方向向量，就可以完全确定这两条直线。
接下来，我们来研究两条异面直线之间的角度。
首先，我们需要找到这两条直线的公垂线。
公垂线是垂直于两条直线的线段，它们的交点就是两条直线的最短距离。
我们可以通过向量积来求出两条直线的公垂线。
具体地，我们可以先求出两条直线的方向向量的向量积，然后再将得到的向量与其中一条直线的方向向量再次求向量积，即可得到公垂线的方向向量。
接下来，我们可以通过余弦定理来求出两条异面直线之间的夹角。
具体地，我们可以用两条直线的方向向量和公垂线的方向向量来求出两条直线之间的夹角的余弦值，然后再通过反余弦函数求出夹角的大小。
需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此我们需要判断两条异面直线之间的夹角是否大于π/2，如果大于π/2，则需要用π减去这个夹角来得到最终的夹角大小。
除了上述方法外，我们还可以通过向量投影来求解两条异面直线之间的夹角。
向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的一个标量值。
具体地，我们可以求出两条直线的方向向量在对方上的投影，然后通过余弦定理求出它们之间的夹角。
需要注意的是，这种方法只适用于两条直线的方向向量都是单位向量的情况。
除了以上两种方法外，我们还可以通过点和直线之间的距离公式来求解两条异面直线之间的夹角。
具体地，我们可以先求出两条直线上的任意两个点，然后通过点和直线之间的距离公式求出它们到另一条直线的距离，最后通过余弦定理求出它们之间的夹角。
需要注意的是，这种方法的计算量较大，不太实用。
我们可以通过向量积、余弦定理、向量投影以及点和直线之间的距离公式来判断两条异面直线之间的夹角。
需要根据具体的问题情况选择合适的方法。
同时，需要注意计算精度和程序效率，避免出现误差或运算时间过长的情况。