平面向量单元检测
高一年级数学向量检测题
高一数学《平面向量》检测题一、选择题（本大题共12小题；每小题5分；共60分） １、下列关系式正确的是（ ）Ａ、AB BA=0+ Ｂ、a b ⋅是一个向量 Ｃ、AB AC BC -= Ｄ、00AB ⋅= ２、在△ABC 中；D 、E 、F 分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ边的中点；则AF DB -（ ）Ａ、FD Ｂ、FE Ｃ、DE Ｄ、BE３、已知点(,5)A x 关于点(1,)y 的对称点是(2,3)B --；则点(,)x y 到原点的距离是（ ）Ｃ、4４、已知(4,3)a =-；(5,6)b =；则234a a b -⋅等于（ ） Ａ、２３ Ｂ、５７ Ｃ、６３ Ｄ、８３５、已知(,2)a λ=；(3,5)b =-；且a 与b 的夹角为钝角；则λ的取值范围是（ ） Ａ、103λ>Ｂ、103λ≥ Ｃ、103λ< Ｄ、103λ≤ ６、已知,a b 均为单位向量；且夹角为060；那么3a b +等于（）Ｄ、4７、已知(4,3),(2,10)OA OB ==；则向量AB 在向量OA 方向上的投影为（ ） Ａ、385 Ｂ、38 Ｃ、135Ｄ、13 8、化简以下各式：①AB BC CA ++；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-；结果为零向量的个数是（ ） Ａ、1 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、4 9、若1,2,()a b a b ==-⊥a ；则a 与b 的夹角是（ ）Ａ、030 Ｂ、045 Ｃ、060 Ｄ、012010、下列各向量组中；能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ） Ａ、12(0,0),(1,2)e e ==- Ｂ、12(1,2),(5,7)e e =-= Ｃ、12(3,5),(6,10)e e == Ｄ、1213(2,3),(,)24e e =-=- 11、已知(1,2),(,1)a b x ==；若2a b +与2a b -平行；则x 等于（ ） Ａ、1 Ｂ、12 Ｃ、2 Ｄ、12- 12、已知点(1,3)A -；(3,1)B ；点C 在坐标轴上；∠090ACB =；则满足条件的点C 个数为（ ）Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３ Ｄ、４ 二、填空题（本大题共4小题；每小题5分；共20分）13、已知(2cos ,2sin ),(3,3)a b θθ==；且a 与b 共线；[0,2]θπ∈；则θ= 。
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高一数学《平面向量》检测题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） １、下列关系式正确的是（ ）Ａ、AB BA=0+ Ｂ、a b ⋅是一个向量 Ｃ、AB AC BC -= Ｄ、00AB ⋅= ２、在△ABC 中，D 、E 、F 分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ边的中点，则AF DB -（ ）Ａ、FD Ｂ、FE Ｃ、DE Ｄ、BE３、已知点(,5)A x 关于点(1,)y 的对称点是(2,3)B --，则点(,)x y 到原点的距离是（ ）Ｃ、4４、已知(4,3)a =-，(5,6)b =，则234a a b -⋅等于（ ） Ａ、２３ Ｂ、５７ Ｃ、６３ Ｄ、８３５、已知(,2)a λ=，(3,5)b =-，且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） Ａ、103λ>Ｂ、103λ≥ Ｃ、103λ< Ｄ、103λ≤ ６、已知,a b 均为单位向量，且夹角为060，那么3a b +等于（）Ｄ、4７、已知(4,3),(2,10)OA OB ==，则向量AB 在向量OA 方向上的投影为（ ） Ａ、385 Ｂ、38 Ｃ、135Ｄ、13 8、化简以下各式：①AB BC CA ++；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-，结果为零向量的个数是（ ） Ａ、1 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、4 9、若1,2,()a b a b ==-⊥a ，则a 与b 的夹角是（ ）Ａ、030 Ｂ、045 Ｃ、060 Ｄ、012010、下列各向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ） Ａ、12(0,0),(1,2)e e ==- Ｂ、12(1,2),(5,7)e e =-= Ｃ、12(3,5),(6,10)e e == Ｄ、1213(2,3),(,)24e e =-=- 11、已知(1,2),(,1)a b x ==，若2a b +与2a b -平行，则x 等于（ ） Ａ、1 Ｂ、12 Ｃ、2 Ｄ、12- 12、已知点(1,3)A -，(3,1)B ，点C 在坐标轴上，∠090ACB =，则满足条件的点C 个数为（ ）Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３ Ｄ、４ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共13、已知(2cos ,2sin ),(3,3)a b θθ==，且a 与b 共线，[0,2]θπ∈，则θ= 。
2022版新教材数学必修第二册(人教B版)章末检测-平面向量初步-含解析
章末质量检测(六) 平面向量初步考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A .有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量2．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则AB →＋2BC →等于( )A ．5B ．(－1，5)C ．(6，1)D ．(－4，9)3．若A(x ，－1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3B ．－1 C ．1D ．34．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4，0)，(－2，6) B ．(－2，6)，(4，0) C ．(2，0)，(－1，3) D ．(－1，3)，(2，0) 5．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5B ．±10 C ．±12D ．±13 6．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A.x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝147．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ，b ＝⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ，则a ＋3b ＝( ) A ．(λ＋3，－λ) B ．(－λ＋3，λ)C ．(1，0)D ．(3，0)8．若向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．12a ＋b B ．－12a －bC ．32a ＋12bD ．32a －12b二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．|a ＋b |＝|a －b |，则a ⊥bD ．若a 与b 是单位向量，则|a |＝|b |10．已知a ＝(1，2)，b ＝(3，4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( )A ．5B ．55C ．－5D ．－5511．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A ．AC →＝12a ＋bB ．BC →＝－12a ＋bC ．BM →＝－13a ＋23bD ．EF →＝－14a ＋b12．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________.14．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．15．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N ，则每根绳子的拉力大小为________N ．16．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，则1x ＋1y＝________．四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.18.(12分)已知点A (－1，2)，B (2，8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．19．(12分)已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．20．(12分)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h ，同时江水的速度为向东6km/h.(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°).21．(12分)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1). (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .22．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．章末质量检测(六) 平面向量初步1．解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．解析：AB →＝(2，3)，BC →＝(－3，3)，∴AB →＋2BC →＝(2，3)＋2(－3，3)＝(－4，9). 答案：D3．解析：AB →∥BC →，(1－x ，4)∥(1，2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B4．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝（1，3），a －b ＝（3，－3），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（2，0），b ＝（－1，3）.答案：C5．解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13，所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C6．解析：由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13. 答案：A7．解析：因为a ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ b ＝⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ 所以a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ＋3⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ＝(3，0). 答案：D8．解析：设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1则c ＝12a ＋b . 答案：A9．解析：单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b ＝0时，a 与c 可以为任意向量；|a ＋b |＝|a －b |，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直．故选AB.答案：AB10．解析：a 2＝5，b 2＝25，且a ＋k b 与a －k b 垂直，∴(a ＋k b )(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝5－25k 2＝0，解得k ＝±55.故选BD.答案：BD11．解析：由题意可得，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，故A 正确；BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故B 正确；BM →＝BA →＋AM →＝－a ＋23AC →＝－a ＋23b ＋a ×13＝23b －23a ，故C 错误；EF→＝EA →＋AD →＋DF →＝－12a ＋b ＋14a ＝b －14a ，故D 正确．答案：ABD12．解析：由平面向量基本定理可知，A ，D 是正确的．对于B ，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C ，当两个向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e 1＋μ1e 2为非零向量，而λ2e 1＋μ2e 2为零向量(λ2＝μ2＝0)，此时λ不存在．故选B ，C.答案：BC13．解析：若a ，b 能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线，则a ≠k b (k ∈R )，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，∴λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)14．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3 答案：－315．解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：1016．解析：OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ → ＝(1－λ)xOA →＋λy OB →，①又∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.② 而OA →，OB →不共线．∴由①②，得⎩⎨⎧（1－λ）x ＝13，λy ＝13．解得⎩⎨⎧1x ＝3－3λ，1y＝3λ.∴1x ＋1y ＝3.答案：317．解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，所以点C ，D 的坐标分别是(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).19．解析：(1)由已知AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2).∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3). 20.解析：(1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示江水速度，以AD ，AB 为邻边作▱ABCD ，则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝6，|BC →|＝15，于是|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝62＋152＝261≈16.2.因为tan ∠CAB ＝|BC →||AB →|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB ≈68°.因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h ，方向与江水速度间的夹角约为68°.21．解析：(1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89．(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.22．解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →).故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．。
新教材高中数学第2章平面向量及其应用综合检测题北师大版必修第二册
第二章综合检测题考试时间120分钟,满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( D ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →[解析] 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,OA →－OB →＝BA →；AB →,BA →是一对相反向量,它们的和应该为零向量,AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.如右图,a －b 等于( C )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] a －b ＝e 1－3e 2.3．设O ,A ,M ,B 为平面上四点,OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →,且λ∈(1,2),则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ,A ,B ,M 四点共线[解析] OM →＝λOB →＋OA →－λOA →,所以OM →－OA →＝λ(OB →－OA →),AM →＝λAB →,由λ∈(1,2)可知,A ,B ,M 三点共线,且B 在线段AM 上．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,b ＝7,c ＝3,B ＝π6,那么a 等于( C )A ．1B ．2C ．4D ．1或4[解析] 在△ABC 中,b ＝7,c ＝3,cos B ＝32,由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ,即7＝a 2＋3－3a ,解得a ＝4或a ＝－1(舍去)．故a 的值为4.5．已知向量a ＝(1,2),b ＝(－2,3),c ＝(4,5),若(a ＋λb )⊥c ,则实数λ＝( C ) A ．－12B ．12C ．－2D ．2[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋(－2λ,3λ) ＝(1－2λ,2＋3λ),由(a ＋λb )⊥c ,可得(1－2λ)×4＋(2＋3λ)×5＝0,解得λ＝－2.6．在△ABC 中,已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ,且满足ab ＝4,则该三角形的面积为(D )A ．1B ．2C ． 2D ． 3[解析] 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ,得a 2＋b 2－ab ＝c 2,cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∵C ∈(0°,180°),∴C ＝60°. ∴sin C ＝32,∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3. 7．在△ABC 中,B ＝60°,C ＝45°,BC ＝8,D 为BC 上一点,且BD →＝3－12BC →,则AD 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 75°＝6＋24( C )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[解析] 由题意知∠BAC ＝75°,根据正弦定理,得AB ＝BC sin 45°sin 75°＝8(3－1),因为BD →＝3－12BC →,所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8,所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中,AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60° ＝4(3－3)．故选C ．8.如图所示,半圆的直径AB ＝4,O 为圆心,C 是半圆上不同于A ,B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( D )A ．2B ．0C ．－1D ．－2[解析] 由平行四边形法则得PA →＋PB →＝2PO →,故(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →,又|PC →|＝2－|PO →|,且PO →,PC →反向,设|PO →|＝t (0≤t ≤2),则(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t )＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]．∵0≤t ≤2,∴当t ＝1时,(PA →＋PB →)·PC →取得最小值－2,故选D ．二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9．设向量a ,b 满足：|a |＝3,|b |＝4,a ·b ＝0,以a ,b ,a －b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( ABC )A ．0或1B ．2或3C ．4D ．6[解析] 由题意可知该三角形为直角三角形,其内切圆半径恰好为1,它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个,1个,2个,3个,4个,故选ABC ．10．已知m ,n 是实数,a ,b 是向量,则下列命题中正确的为( AB ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ,则a ＝bD ．若m a ＝n a ,则m ＝n[解析] 对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律,正确；对于C,若m ＝0,则不能推出a ＝b ,错误；对于D,若a ＝0,则m ,n 没有关系,错误．故选AB ．11．对于△ABC ,有如下命题,其中正确的有( ACD ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ,则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ,则△ABC 为直角三角形 C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1,则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3,AC ＝1,B ＝30°,则△ABC 的面积为34或 32[解析] 对于A,sin 2A ＝sin 2B ,∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形；对于B,由sin A ＝cos B ,∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形,B 错误；对于C,sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C＝sin 2C ,∴a 2＋b 2<c 2,∴△ABC 为钝角三角形,C 正确；对于D,如图所示,由正弦定理,得sin C ＝c ·sin B b ＝32.而c >b ,∴C ＝60°或C ＝120°,∴A ＝90°或A ＝30°,∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34,D 正确．故选ACD ．12．给出下列四个命题,其中正确的选项有( ABC )A ．非零向量a ,b 满足|a |＝|b |＝|a －b |,则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0,则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ,b 的夹角为120°,则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA →＝(3,－4),OB →＝(6,－3),OC →＝(5－m ,－3－m ),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m >－34[解析]A 中,令OA →＝a ,OB →＝b .以OA →,OB →为邻边作平行四边形OACB ． ∵|a |＝|b |＝|a －b |,∴四边形OACB 为菱形,∠AOB ＝60°,∠AOC ＝30°,即a 与a ＋b 的夹角是30°,故A 正确；B 中,∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0,∴|AB →|2＝|AC →|2,故△ABC 为等腰三角形,故B 正确；C 中,∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3,故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1．故C 正确；D 中,∵BA →＝OA →－OB →＝(3,－4)－(6,－3)＝(－3,－1),BC →＝OC →－OB →＝(5－m ,－3－m )－(6,－3)＝(－1－m ,－m ),又∠ABC 为锐角,∴BA →·BC →>0,即3＋3m ＋m >0,∴m >－34.又当BA →与BC →同向共线时,m ＝12,故当∠ABC 为锐角时,m 的取值范围是m >－34且m ≠12,故D 不正确．故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．已知a ,b 为单位向量,且a ·b ＝0,若c ＝2a －5b ,则cos 〈a ,c 〉＝ 23.[解析] 由题意,得cos 〈a ,c 〉＝a ·2a －5b|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23. 14．设向量a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝0,(a －b )⊥c ,a ⊥b ,若|a|＝1,则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是 4 .[解析] 由于a ⊥b ,由此画出以a ,b 为邻边的矩形ABCD ,如图所示,其中,AD →＝a ,AB →＝b ,∵a ＋b ＋c ＝0,∴CA →＝c ,BD →＝a －b .∵(a －b )⊥c ,∴矩形的两条对角线互相垂直,则四边形ABCD 为正方形． ∴|a |＝|b |＝1,|c |＝2,|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.15．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a ＝7,b ＝2,A ＝60°,则sin B ＝ 217,c ＝ 3 . [解析] 由正弦定理,得a sin A ＝b sin B ,∴7sin 60°＝2sin B ,得sin B ＝217,由余弦定理,得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋c 2－74c ＝12,解得c ＝3.16．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝3ab ,且c ＝4,则△ABC 面积的最大值为 4 3 .[解析] (a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ,∴a 2＋b 2－c 2＝ab . 又∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C , ∴2ab cos C ＝ab ,∴cos C ＝12,∵C ∈(0,π),∴C ＝π3.由余弦定理,得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ,∴16＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ,∴ab ≤16.∴△ABC 面积的最大值S ＝12ab sin C ≤12×16×sin π3＝4 3.四、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ,b 满足b ＝(1,3),a ·b ＝4,(a －2b )⊥a . (1)求向量a 与b 的夹角； (2)求|2a －b |的值；(3)若向量c ＝3a －4b ,d ＝m a ＋b ,c ∥d ,求m 的值．[解析] (1)因为(a －2b )⊥a ,所以(a －2b )·a ＝0,|a |2＝8,即|a |＝2 2.设向量a 与b 的夹角为θ,则cos θ＝b ·a |b ||a |＝22,又θ∈[0,π],所以θ＝π4.(2)由向量模的计算公式|a |＝a ·a ,得|2a －b |＝2a －b2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝32－16＋4＝2 5.(3)因为c ∥d ,所以c ＝λd ,设3a －4b ＝λ(m a ＋b ),则⎩⎪⎨⎪⎧3＝λm ，－4＝λ，解得m ＝－34.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (－1,－2),B (2,3),C (－2,－1)．(1)求以线段AB ,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0,求t 的值． [解析] (1)AB →＝(3,5),AC →＝(－1,1),求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小．由AB →＋AC →＝(2,6),得|AB →＋AC →|＝210,由AB →－AC →＝(4,4),得|AB →－AC →|＝4 2.∴以线段AB ,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为210和4 2. (2)OC →＝(－2,－1),∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2, 易求AB →·OC →＝－11,OC →2＝5, ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.19．(本小题满分12分)(2021·新高考全国卷Ⅰ)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b 2＝ac ,点D 在边AC 上,BD sin ∠ABC ＝a sin C ．(1)证明：BD ＝b ；(2)若AD ＝2DC ,求cos ∠ABC ．[解析] (1)由BD sin ∠ABC ＝a sin C 得,BD ＝a sin C sin ∠ABC ,在△ABC 中由正弦定理知：csin C＝bsin ∠ABC ,即sin C sin ∠ABC ＝cb,∴BD ＝acb,又b 2＝ac ,∴BD ＝b . (2)由题意知：BD ＝b ,AD ＝2b 3,DC ＝b3,∴cos ∠ADB ＝b 2＋4b 29－c 22b ·2b 3＝13b 29－c 24b 23,同理cos ∠BDC ＝b 2＋b 29－a 22b ·b 3＝10b 29－a22b 23, ∵∠ADB ＝π－∠CDB ,∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ,即13b 29－c 24b 23＝a 2－10b 292b 23, 整理得2a 2＋c 2＝11b 23,又b 2＝ac ,∴2a 2＋b 4a 2＝11b 23,整理得6a 4－11a 2b 2＋3b 4＝0,解得a 2b 2＝13或a 2b 2＝32,在由余弦定理知：cos ∠ABC ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝43－a 22b 2,当a 2b 2＝13时,cos ∠ABC ＝76>1不合题意； 当a 2b 2＝32时,cos ∠ABC ＝712； 综上,cos ∠ABC ＝712.20．(本小题满分12分)△ABC 是等腰直角三角形,∠B ＝90°,D 是边BC 的中点,BE ⊥AD ,垂足为E ,延长BE 交AC 于F ,连接DF ,求证：∠ADB ＝∠FDC ．[解析] 如图,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设A (0,2),C (2,0),则D (1,0),AC →＝(2,－2)．设AF →＝λAC →,则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ,－2λ)＝(2λ,2－2λ)． 又DA →＝(－1,2),BF →⊥DA →, ∴BF →·DA →＝0,∴－2λ＋2(2－2λ)＝0, ∴λ＝23.∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23,DF →＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.又DC →＝(1,0),∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55,cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55,又∠ADB ,∠FDC ∈(0,π), ∴∠ADB ＝∠FDC ．21．(本小题满分12分)如图所示,甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A 1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处,此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处,此时两船相距10 2 n mile,问乙船每小时航行多少n mile?[解析] 如图,连接A 1B 2,由题意知A 2B 2＝10 2 n mile,A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile. 所以A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°, 所以△A 1A 2B 2是等边三角形． 所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2 n mile.由题意知,A 1B 1＝20 n mile,∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°,在△A 1B 2B 1中,由余弦定理,得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝10 2 n mile.因此,乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2＋sin x,1),b ＝(2,－2),c ＝(sin x －3,1),d ＝(1,k ),(x ∈R ,k ∈R )．(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2,且a ∥(b ＋c ),求x 的值； (2)若函数f (x )＝a ·b ,求f (x )的最小值；(3)是否存在实数k ,使得(a ＋d )⊥(b ＋c )？若存在,求出k 的取值范围；若不存在,请说明理由．[解析] (1)∵b ＋c ＝(sin x －1,－1),又a ∥(b ＋c ), ∴－(2＋sin x )＝sin x －1,即sin x ＝－12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2, ∴x ＝－π6.(2)∵a ＝(2＋sin x,1),b ＝(2,－2), ∴f (x )＝a ·b ＝2(2＋sin x )－2＝2sin x ＋2.又x∈R,∴当sin x＝－1时,f(x)有最小值,且最小值为0.(3)∵a＋d＝(3＋sin x,1＋k),b＋c＝(sin x－1,－1),若(a＋d)⊥(b＋c),则(a＋d)·(b＋c)＝0,即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0,∴k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5.由sin x∈[－1,1],∴－5≤(sin x＋1)2－5≤－1,得k∈[－5,－1]．∴存在k∈[－5,－1],使得(a＋d)⊥(b＋c)．。
(完整版)平面向量测试题(含答案)一
必修 4 第二章平面向量教学质量检测一.选择题（ 5 分× 12=60 分） :1．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．（AB＋CD）＋BC；B ．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM； D ．OC－OA＋CD；3．已知a =（ 3， 4），b =（ 5， 12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知 a、 b 均为单位向量 ,它们的夹角为60°,那么 |a+ 3b| =（）A ．7B．10C．13D． 45．已知 ABCDEF 是正六边形，且AB ＝ a ， AE ＝ b ，则BC＝（）（ A ）12( a b) （B）12(b a ) （C） a ＋12b（D）12(a b)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5 a－ 3 b , 则下列关系式中正确的是（）（A）AD＝BC（B）AD＝2BC（C）AD＝－BC（D）AD＝－2BC7．设e1与e2是不共线的非零向量，且k e1＋e2与e1＋ k e2共线，则 k 的值是（）（ A） 1（B）－1（C）1（D）任意不为零的实数8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝ 0，则四边形ABCD是（）（ A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9．已知 M （－ 2， 7）、 N（ 10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且PN ＝－2PM，则P点的坐标为（）（ A ）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）10．已知a＝（ 1，2），b＝（－ 2，3），且 k a + b与a－ k b垂直，则k＝（）（A）12（B） 21（C） 2 3（D） 32r r(2 x 3, x) 互相平行，其中r r）11、若平面向量a(1, x) 和 b x R .则a b （A.2或0；B.25；C.2或2 5；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 0 a0 ② a b b a ③a2 a 2④(a b )c a (b c)⑤a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二. 填空题 (5 分× 5=25 分 ):13．若AB(3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a(3, 4), b (2,3) ，则 2 | a | 3a b．15、已知向量 a 3, b (1,2) ，且a b ，则a的坐标是_________________。
2019新版高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量 检测
第二章检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列等式成立的是( )A .MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.a ·0=0C.(a ·b )c =a (b ·c )D.|a +b |≤|a |+|b |答案:D2.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B .PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C .PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0解析:由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得P 是边AC 的中点,从而PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.答案:B3.已知非零向量a ,b 满足向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2,则下列结论中一定成立的是() A.a=b B.|a|=|b|C.a ⊥bD.a ∥b解析:因为向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2,所以(a+b )⊥(a-b ),即(a+b )·(a-b )=0,所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.答案:B4.已知点A (1,2),B (2,-1),C (2,2),若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .5B .-5C .3D .-3解析:由已知,得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3). ∴BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,1)=(1,−2), AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,2)=(1,−1). ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+(−2)×(−1)=3. 答案:C5.设O ,A ,M ,B 为平面上四点,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且λ∈(1,2),则( ) A .点M 在线段AB 上B .点B 在线段AM 上C .点A 在线段BM 上D .O ,A ,M ,B 四点共线解析:由题意可知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴A ,M ,B 三点共线.又λ∈(1,2),∴|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,点B 在线段AM 上. 答案:B6.已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABC 是( )A .等边三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .钝角三角形解析:AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 故△ABC 为直角三角形.答案:C7.已知C 为△ABC 的一个内角,向量m =(2cos C-1,-2),n =(cos C ,cos C+1).若m ⊥n ,则角C=( )A .π6B.π3C .2π3D.5π6解析:由m ⊥n ,得(2cos C-1)·cos C-2(cos C+1)=0,即2cos 2C-3cos C-2=0,解得cos C=−12或cos C=2(不符合题意,舍去).∵C ∈(0,π),∴C =2π3. 答案:C8.下列说法中正确的个数为( )①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ; ②若a ·b <0,则a 与b 的夹角是钝角;③向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34)能作为平面内所有向量的一组基底;④若a ∥b ,则a 在b 方向上的投影为|a |.A .1B .2C .3D .4解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,①正确; 当|a |=|b |=1且a 与b 反向时,a ·b =-1<0,但a 与b 的夹角为180°,②不正确;因为e 1=4e 2,所以e 1∥e 2,所以向量e 1,e 2不能作为基底,③不正确;若a ∥b ,则a 与b 的夹角为0°或180°,所以a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ=±|a |,④不正确.故选A .答案:A9.已知O 是△ABC 外接圆的圆心.若3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则∠ACB=( ) A .π6B.π3C.5π6D.2π3解析:由O 是△ABC 外接圆的圆心,设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=R,由3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−17(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),平方可得R 2=149(9R2+30R2cos2∠ACB+25R 2),解得cos2∠ACB =12,故由题意得,∠ACB =π6. 答案:A10.已知k ∈Z ,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4).若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√10,则△ABC 是直角三角形的概率为( ) A .17B.27C.37D.47解析:由|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√10及k ∈Z ,知k ∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}. 若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)垂直, 则2k+4=0,解得k=-2;若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k −2,−3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)垂直, 则k (k-2)-3=0,解得k=-1或3;若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直, 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,(2,4)·(k-2,-3)=2k-4-12=0,即k=8,不符合题意,所以△ABC 是直角三角形的概率是37.答案:C11.若非零向量a ,b 满足|a |=2√23|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( )A .π4B.π2C.3π4D.π 解析:由(a -b )⊥(3a +2b )知(a -b )·(3a +2b )=0,即3|a |2-a ·b -2|b |2=0.设a 与b 的夹角为θ,所以3|a |2-|a ||b |cos θ-2|b |2=0,即3·(2√23|b |)2−2√23|b |2cos θ-2|b |2=0,整理,得cos θ=√22,故θ=π4. 答案:A12.如图,四边形ABCD 是正方形,延长CD 至点E ,使得DE=CD.若动点P 从点A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A ,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列判断中正确的是( )A.满足λ+μ=2的点P 必为BC 的中点B.满足λ+μ=1的点P 有且只有一个C.λ+μ的最大值为3D.λ+μ的最小值不存在解析:由题意可知,λ≥0,μ≥0,当λ=μ=0时,λ+μ的最小值为0,此时点P 与点A 重合,故D 错误;当λ=1,μ=1时,点P 也可以在点D 处,故A 错误;当λ=1,μ=0,λ+μ=1时,点P 在点B 处,当点P 在线段AD 的中点时,λ=μ=12,亦有λ+μ=1.所以B 错误.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设向量a =(x ,3),b =(2,1).若对任意的正数m ,n ,向量m a +n b 始终具有固定的方向,则x= . 解析:当a 与b 共线时,向量m a +n b 始终具有固定的方向,所以x=6.答案:6。
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．32．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A ．31-B ．221-C ．231-D ．71-3．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ） A ．31+ B ．31- C ．3 D ．14．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．5．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．326．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN -的最大值为（ ）A ．53+B ．53-C ．523+D ．57．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-8．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为43AC 的长为（ ）A．43B．433C．3 D．239．在ABC∆中，D为BC边上一点，且AD BC⊥，向量AB AC+与向量AD共线，若10AC =，2BC=，0GA GB GC++=，则ABCG=（）A．3 B．5C．2 D．10210．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．62km/h B．8 km/hC．234km/h D．10 km/h11．如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且3BD DC=，若AD AB ACλμ=+，则λμ=（）A．12B．13C．2 D．2312．设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．33B．32C．12D．1二、填空题13．如图，已知四边形ABCD，AD CD⊥，AC BC⊥，E是AB的中点，1CE=，若//AD CE，则AC BD⋅的最小值为___________.14．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 15．已知向量(1,1,0)a →=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→是共面向量，则x =__________．16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.18．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，12a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________19．在ABC 中，22AB =26AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．20．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.三、解答题21．在ABCD 中，2AB =，23AC =AB 与AD 的夹角为3π． （Ⅰ）求AD ；（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值．22．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，//,,2AD BC BAD π∠=,3BDA BC BD π∠==．（1）求AE BD ⋅；（2）求AC 与BD 夹角的余弦值． 23．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 24．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+ （1）判断,a b 是否共线； （2）若//a c ，求x 的值 25．已知(2,0)a=，||1b =．（1）若a 与b 同向，求b ；（2）若a 与b 的夹角为120，求a b +． 26．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．C解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 3．B解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为12⎫⎪⎪⎝⎭，21⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得22124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求 【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ， 因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,02222x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以3,0⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆， 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为3，所以圆上的点到原点的距离的最小值为312-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题4．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选5．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果． 【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+， 令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6．A解析：A 【分析】根据条件可知22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，即可求出最大值. 【详解】由1MN =可知，OMN 为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=， 由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ON OM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为5+故选：A. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，属于中档题.7．B解析：B 【分析】求出2a b -)2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.8．B解析：B 【分析】设,,AB c AC b ==先化简2AB AC AB CD ⋅=⋅得3c b =，由ABC 的面积为16bc =，即得AC 的长.【详解】设,,AB c AC b ==由题得2AB AC AB CD ⋅=⋅，所以2()AB AC AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅， 所以3,3cos cos0,332cAB AC AB AD c b c c b π⋅=⋅∴⨯⨯⨯=⨯⨯∴=.因为ABC 的面积为1sin 1623b c bc π⨯⨯⨯=∴=.所以2316,b b =∴=所以3AC =.故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==.因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以22101,112, 5.2AB CE CG CG==+=∴== 本题选择B 选项.10．A解析：A 【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.11．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,23ABC π∠=，3DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==，a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb bbbπ++++=，22222222244cos 4231244a t a b t b a t aa t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.二、填空题13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ， 所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-， 故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.14．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以【详解】 两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以k =.15．-2【详解】由于不共线且和共面根据平面向量的基本定理有即即解得解析：-2 【详解】由于,a b 不共线，且和c 共面，根据平面向量的基本定理，有c ma nb =+，即()(),1,2,,2x m n m n -=--，即122x m n m n =--⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得1,112m n x ===--=-.16．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】 方法一：3cos 2OA OC AOC OAOC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内， 所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭，又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=，得()31,=32m n λ⎫⎪⎪⎝⎭，即 3=132m nλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3mn=. 故答案为：3.17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC=,得14AN AC=.设BP=n BN,所以AP AB BP AB=+=+n BN =AB+n(AN AB-)=(1-n)14AB nAC+=m211AB AC+.由14n=211,得m=1-n=311.18．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆解析：2【分析】作向量OA a=，OB b=，OC c=，根据已知条件可得出a与b的夹角为120︒，A，O，B，C四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.【详解】解：如下图，作向量OA a=，OB b=，OC c=，∴CA a c=-，CB b c=-，1 a b==，1cos,2 a b a b a b⋅=⋅⋅=-，∴a与b的夹角为120︒，即120AOB∠=︒.∴120AOB∠=︒.又a c-与b c-的夹角为60︒，即CA与CB夹角为60︒，∴A，O，B，C四点共圆.∴当OC为直径时c最大，在AOB中，由余弦定理得：2222cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =.∴AOB 的外接圆的直径为2sin120AB=︒.∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2.∴c 的最大值为2.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.19．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型解析：6 【分析】根据三角形重心的性质转化为()13AG AB AC =+，以及BC AC AB =-，再求数量积. 【详解】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-，所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：6 【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.20．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题解析：53-【分析】用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值. 【详解】O 为BC 的中点，()12AO AB AC ∴=+， 3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）2AD =；（Ⅱ）0. 【分析】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得AC a b =+，由23AC =b 的方程，即可解得AD b =；（Ⅱ）计算得出0AC BD ⋅=，可得出AC BD ⊥，进而可得出结果. 【详解】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，则AC a b =+，BD AD AB b a =-=-．向量AB 与AD 的夹角为3π，cos 3a b a b b π∴⋅=⋅=. ()22222242AC a b a ba ab b b b ∴=+=+=+⋅+=++=整理得2280b b +-=，0b ≥，解得2b =，即2AD =；（Ⅱ）()()220AC BD a b b a b a ⋅=+⋅-=-=，则AC BD ⊥， 因此，AC 和BD 夹角的余弦值为0. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，同时也考查了平面向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题．22．（1）0；（2）- 【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值． 【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠==所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD == 又E 为DC 的中点 所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪⎝⎭（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ====222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BDAC BD θ⋅=== 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.23．（1）(2,4)-；（2）5-. 【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标； （2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算． 【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+= ∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．24．（1）,a b 不共线；（2）23x = 【分析】（1）根据平面向量共线定理判断． （2）由平面向量共线定理计算． 【详解】解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量， 则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，6342λλ=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-， λ∴不存在，即a 与b 不平行.（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =， 即32m xn rm rn +=+， 即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础．25．（1）(1,0)b =；（2）3(,2a b +=-或33(,2a b +=． 【分析】（1）先设(,)b x y =，再根据向量共线定理即可求解即可；（2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解． 【详解】解：（1）设(,)b x y =，由题意可得，存在实数0λ>，使得b a λ=， 即(x ，)(2y λ=，0)(2λ=，0)，所以2x λ=，0y =， 由||1b =可得241λ=，即12λ=或12λ=-（舍)，所以(1,0)b =， （2）设(,)b x y =，所以1·cos12021()12a b a b =︒=⨯⨯-=-， 又因为()()·2,0,2a b x y x =⋅=， 故21x =-即12x =-，因为||1b =，所以221x y +=，故y =当y =，12x =-时，33(,2a b +=，当y =12x =-时，3(,2a b +=-．【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档试题． 26．（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【分析】（1）本小题先求出32a b ⋅=，再求3b =即可； （2）本小题先求出23210m m --=，再求解m .【详解】解：（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==， ∴3b =.（2）∵27a mb -=， ∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m=-或1m=.【点睛】本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.。
人教A版第六章平面向量及其应用综合检测卷
∴ .
故答案为： .
14．1或3
【分析】
由 可得 ，解出方程即可.
【详解】
由已知可得 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或3．
故答案为：1或3.
【点睛】
本题考查向量的垂直，向量的数量积，属于基础题．
15．
【分析】
根据正弦定理得到 之间的关系，再根据角 对应的余弦定理结合已知条件即可求解出 的值.
【详解】
（2）若 ， ，求 的面积 ．
21．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围．
22．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
参考答案
1．C
【分析】
先利用数量积定义求 ，再求 即可.
，
由 ，整理得： ，即 ，
由余弦定理得： ，即 ①，
与 联立，解得： ， ，
由正弦定理 ，得： ，
， ，
则 ．
故选： ．
5．A
【分析】
在等式 两边平方，利用平面向量数量积的运算性质可求得 的值.
【详解】
， ，在等式 两边平方可得 ，
即 ，解得 .
故选：A.
6．D
【分析】
先利用线性运算计算 ，再根据向量平行的坐标表示计算即可.
8．已知 ， 均为单位向量， ，则 （）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c分别为 内角A，B，C的对边， ，则当 的周长最大时， 的面积为（）
A． B． C． D．
10．已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 ，则 的形状为（）
单元检测卷-函数立体几何平面向量三角函数
单元检测卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )[答案] C2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R C ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝(12)x ，x ∈R[解析] B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；D 在其定义域内不是奇函数，只是减函数；故选A.[答案] A3．若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )[解析] 因为(a ·b )·c ＝|a |·|b |cos θ·c ，而a ·(b ·c )＝|b |·|c |cos θ·a ； 而c 方向与a 方向不一定同向． [答案] D4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x ＜1时，f (x )＝x 2＋1, 则x ＞1时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－4x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋5 C ．f (x )＝x 2－4x －5D ．f (x )＝x 2＋4x ＋5[解析] 因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (2－x )；当x ＞1时，2－x ＜1，此时，f (2－x )＝(2－x )2＋1，即f (x )＝x 2－4x ＋5.[答案] B5．若l ，m ，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β[答案] D6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等[答案] D7．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0上的点到直线x ＋y －9＝0的最大距离与最小距离的差为( )A. 3B ．23C ．3 3D ．6[解析] 圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝3，圆心(2,2)到直线x ＋y －9＝0的距离|2＋2－9|2＝552＞3，故直线x ＋y －9＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0相离，∴圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0上的点到直线x ＋y －9＝0的最大距离与最小距离的差为直径．[答案] B8．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49[解析] P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PM →＝－2|P A →|·|PM →|＝－2×23×13＝－49.[答案] A9．函数y ＝sin(2x －π4)的图象向左平移π8个单位，所得的图形对应的函数是( )A ．偶函数，但不是奇函数B ．奇函数，但不是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数[解析] y ＝sin(2x －π4)――→左移π8y ＝sin[2(x ＋π8)－π4]＝sin2x . ∴函数为奇函数，故选B.10．设a ，b ，c 均为正数，且122a log a ＝，1212()b log b ＝，2(2)1c log b ＝，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c[解析] 如下图：∴a ＜b ＜c . [答案] A11．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5[解析] 点P 关于y 轴的对称点P ′坐标是(－2,0)，设点P 关于直线AB ：x ＋y －4＝0的对称点P ″(a ，b )∴⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×(－1)＝－1a ＋22＋b ＋02－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2∴光线所经过的路程|P ′P ″|＝210. [答案] A12．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角的直线有且只有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B. [答案] B二、填空题(共4小题，每小题4分，满分16分)13．已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝8，则该四棱锥的体积是________．14．直线l 经过P (1,2)，且与A (2,3)、B (4，－5)距离相等，则直线l 的方程为________． [解析] (1)当A 、B 两点在直线l 的同侧时，直线l 平行于直线AB 故直线l 的方程是y －2＝k AB (x －1)，即4x ＋y －6＝0(2)当A 、B 两点在直线l 的异侧时，直线l 过AB 的中点(3，－1) 故直线l 的方程是y －2－1－2＝x －13－1，即3x ＋2y －7＝0.15．cos π5cos 2π5的值是________．[解析] 原式＝2sin π5cos π5·cos 2π52sin π5＝sin 2π5·cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sinπ54sinπ5＝14.[答案] 1416．已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b在a 方向上的投影等于________．[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos ＜a ，b ＞ ＝4|b |cos45°＝22|b |，又(12a ＋b )·(2a －3b )＝|a |2＋12a ·b －3|b |2 ＝16＋2|b |－3|b |2＝12， 解得|b |＝2或|b |＝－232(舍去)． b 在a 上的投影为|b |cos ＜a ，b ＞＝2cos45°＝1. [答案] 2 1三、解答题(共6小题，满分74分)17．(本小题满分12分)设不等式2(log 12x )2＋9(log 12x )＋9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时，函数f (x )＝(log 2x 2)(log 2x8)的最大、最小值．[解] ∵2(log 12x )2＋9(log 12x )＋9≤0，∴(2log 12x ＋3)(log 12x ＋3)≤0.∴－3≤log 12x ≤－32.即log 12(12)－3≤log 12x ≤log 12(12)－32∴(12)－32≤x ≤(12)－3，即22≤x ≤8. 从而M ＝[22，8]．又f (x )＝(log 2x －1)(log 2x －3)＝log 22x －4log 2x ＋3 ＝(log 2x －2)2－1. ∵22≤x ≤8， ∴32≤log 2x ≤3. ∴当log 2x ＝2，即x ＝4时y min ＝－1； 当log 2x ＝3，即x ＝8时，y max ＝0.18．(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .[证明] (1)方法一：取A 1B 1的中点为F 1，连接FF 1，C 1F 1，由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1，因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1. 连接A 1D ，F 1C ，由于A 1F 1綊D 1C 1綊CD ，所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，因此A 1D ∥F 1C .又EE 1∥A 1D ，得EE 1∥F 1C ，而EE 1⊄平面FCC 1，F 1C ⊂平面FCC 1，故EE 1∥平面FCC 1.方法二：因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ，因此四边形AFCD 为平行四边形，所以AD ∥FC .又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1⊂平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面FCC 1.(2)连接AC ，在△FBC 中，FC ＝BC ＝FB ，又F 为AB 的中点，所以AF ＝FC ＝FB ，因此∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC .又AC ⊥CC 1，且CC 1∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C ，而AC ⊂平面D 1AC ，故平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .19．(2009·湖南，16)(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值． [解] (1)∵a ∥b∴2sin θ＝cos θ－2sin θ即4sin θ＝cos θ ∴tan θ＝14(2)由|a |＝|b |∴sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5即1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5化简得sin2θ＋cos2θ＝－1 故有sin(2θ＋π4)＝－22又∵θ∈(0，π)∴2θ＋π4∈(π4，94π)∴2θ＋π4＝54π或2θ＝π4＝74π∴θ＝π2或θ＝34π.20．(本小题满分14分)如图，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a .(1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．(1)[证明] ∵点E 为AC 的中点，且AB ＝BC ，AC 为直径，∴EB ⊥AC ， ∵FC ⊥平面BED ，且BE ⊂平面BED ，∴FC ⊥EB .∵FC∩AC＝C，∴EB⊥平面BDF，∵FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD.(2)[解]∵FC⊥平面BED，且BD⊂平面BED，∴FC⊥BD.又∵BC＝DC，∴FD＝FB＝5a.∴V E－FBD＝13·S△FBD·EB＝13·12·2a·5a2－a2·a＝2a33.∵EB⊥平面BDF，且FB⊂平面BDF，∴EF＝FB2＋EB2＝a2＋5a2＝6a.∵EB⊥BD，∴ED＝EB2＋BD2＝a2＋4a2＝5a，∴S△FED＝12·6a·(5a)2－(62a)2＝212a2，∴点B到平面FED的距离d＝V E－FBD1 3·S△FED ＝42121a.17．(本小题满分14分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．[解]圆C化成标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M 的坐标为(a，b)．∵CM ⊥l ，即k CM ·k l ＝b ＋2a －1×1＝－1∴b ＝－a －1∴直线l 的方程为y －b ＝x －a ，即x －y －2a －1＝0 ∴|CM |2＝(|1＋2－2a －1|2)2＝2(1－a )2 ∴|MB |2＝|CB |2－|CM |2 ＝－2a 2＋4a ＋7 ∵|MB |＝|OM |∴－2a 2＋4a ＋7＝a 2＋b 2，得a ＝－1或32，b ＝2当a ＝32时，b ＝－52，此时直线l 的方程为x －y －4＝0当a ＝－1时，b ＝0，此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0 故这样的直线l 是存在的，方程为x －y ＋4＝0或x －y ＋1＝0.22．（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,N 是PB 中点,过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M . （Ⅰ)求证:PD ∥平面ANC ; （Ⅱ)求证:M 是PC 中点;（Ⅲ)若PD ⊥底面ABCD ,PA AB =,BC BD ⊥， 证明:平面PBC ⊥平面ADMN ．证明：（Ⅰ）连结，，设，连结是平行四边形∴是中点，在中,又是中点∴…………………………………………………3分又平面,平面∴平面……………………………………4分底面为平行四边形, 平面，平面平面………………………………………6分因平面平面∴…………………………………………7分又是中点 ∴是中点…………………………………………………………8分 （Ⅲ），是中点∴………………………………………9分BD AC O AC BD = NO ABCD O BD PBD ∆N PB NO PD //NO ⊂ANC PD ⊄ANC //PD ANC ABCD //AD BC ∴ BC ⊄ADMN AD ⊂ADMN ∴//BC ADMN PBC ADMN MN =//BC MN N PB M PC PA AB =N PB PB AN ⊥,∴ 底面,底面, ，∴面∴………………………………………………………………………………11分 面面∴平面⊥平面…………………………………………12分,//BC BD AD BC ⊥AD BD ⊥ PD ⊥ABCD AD ⊂ABCD PD AD ∴⊥PD BD D = AD ⊥PBD PB AD ⊥ AD AN A ⋂=∴PB ⊥ADMN PB ⊂PBC PBC ADMN。
高一数学第二章平面向量检测题及答案解析
高一数学平面向量测试题本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
参考公式：将点),(y x P 按向量),(b a 平移后得点),(y x P '''，则⎩⎨⎧+='+='b y y ax x第Ⅰ卷（选择题部分 共40分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷时，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，仅一项符合要求）1．已知向量b a ,,则“R b a ∈=λλ,”成立的必要不充分条件是 （ ）A ．0 =+b aB ．a 与b 方向相同C ．b a ⊥D ．a∥b2．在△ABC 中,AB =a ,AC=b ,如果|||=|a b ,那么△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形3．1(26)32+-a b b 等于 （ ）A ．2-a bB ．-a bC ．aD ．b4．下列命题正确的是（ ）A ．若ABC 、、是平面内的三点,则AB AC BC -= B ．若12e e 、是两个单位向量,则12e e =。
C ．若a b 、 是任意两个向量,则a b a b +≤+D ．向量12(0,0),(1,2)e e ==-可以作为平面内所有向量的一组基底5．一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成120 角,且12,F F 的大小分别为1和2,则有（ ）A ．13,F F 成90角B ．13,F F 成150角C ．23,F F 成90角D ．23,F F 成60角6．如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝2AB ＋1AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 A ．15B ．45 C ．14 D ．137．设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216,BCAB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）A ．8B ．4C ．2D ．18．平面上O,A,B 三点不共线,设,OA a OB b ==,则△OAB 的面积等于（ ）A ．222|||()|a b a b -B ．222|||()|a b a b +C ．2221|||()2|a b a b - D ．2221|||()2|a b a b + 9．函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于（ ）A ．)2,6(-πB ．)2,6(πC ．)2,6(--πD ．)2,6(π-10．定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的a=(m,n),b p,q)=（,令 a b=mq-np ,下面说法错误的是（ ）A ．若a 与b 共线,则a b=0B ．ab=b aC ．对任意的R λ∈,有a)b=(λλ（ab)D ．2222(ab)+(ab)=|a||b|第Ⅱ卷（非选择题部分 共60分）二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分。
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1
平面向量单元检测
一、选择题
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 单位向量都相等 B. 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C. 若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b D. 对于任意向量a、b, 必有|a+b|≤|a|+|b|
2. 当|a|=|b|≠0且a、b不共线时，a+b与a－b的关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 相等
3．下列命题中正确的是( )
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若a和b都是单位向量，则a＝b D．两个相等向量的模相等
4．如果两个非零向量a和b满足等式|a|＋|b|＝|a＋b|，则a，b应满足( )
A．a·b＝0 B．a·b＝|a|·|b| C．a·b＝－|a|·|b| D．a∥b
5． 若|AB|=8，|AC|=5，则|BC|的取值范围是（ ）
A.［3，8］B.（3，8）C.［3，13］D.（3，13）
6． 已知AM是△ABC的BC边上的中线，若AB=a,AC= b，则AM等于（ ）
A. 21(a - b) B. 21(b - a) C. 21( a + b) D. 12(a + b)
7. 设3(,sin)2ar，1(cos,)3br，且//arb，则锐角为（ ）
A．030 B．060 C．075 D．
0
45
8．已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中不正确的是( )
A.ABCBACuuuruuuruuur B. ABADACuuuruuuruuurC. ADCDBDuuuruuuruuur D.AOCOOBODuuuruuuruuuruuur0
9．下列各式结果是ABuuur的是( )
A.AMMNMBuuuuruuuuruuur B.ACBFCFuuuruuuruuur C.ABDCCBuuuruuuruuur D.ABFCBCuuuruuuruuur
10．在四边形ABCD中，若12ABCDuuuruuur，则此四边形是( )
A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形
11.设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11
12．设e1与e2为两不共线向量，AB→＝2e1－3e2，BC→＝－5e1＋4e2，CD→＝e1＋2e2，则( )
A．A、B、D三点共线 B．A、C、D三点共线
2
C．B、C、D三点共线 D．A、B、C三点共线
二、填空题,
1、化简：（1）（CDAB）－(BDAC)=
（2）()()PQMOQOQMuuuruuuuruuuruuuur .
2、已知：D为△ABC的边BC上的中点，E是AD上的一点，且AE=3ED，若AD=a，则
EA+EB
+EC=_____________.（用a表示）
3、若a、b是不共线向量，p＝2a－3b，q＝－a＋5 b，x，y∈R，x p＋y q ＝2a－b，则
x
＝
4、已知a＋b＝2e1－8e2，a－b＝－8e1＋16e2，其中|e1|＝|e2|＝1，e1⊥e2，则a·b＝________.
三、解答题,
1、向量a＝－e1＋3 e 2＋2 e 3，b＝4 e 1－6 e 2＋2 e 3，c＝－3 e 1＋12 e 2＋11 e 3，问a能否表
示a＝1b＋2c的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由.
2、已知a＝(1,1)，且a与a＋2b的方向相同，求a·b的取值范围
3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，
(1)ka＋b与a－3b垂直？(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向
4、设两个非零向量e1和e2不共线，如果AB=2 e1+3 e2，BC=6 e1+23 e2, CD=4 e1－8 e2，
求证：A、B、D三点共线