13813同文算指通编卷八
中国古代数学史话 正文
第一章走近中国古代数学史第1节中国古代数学发展史数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
1.1中国古代数学的萌芽中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。
到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。
这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。
名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”（无穷大）定义为“至大无外”，“小一”（无穷小）定义为“至小无内”。
还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
1.2中国古代数学体系的形成秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。
中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。
例如分数四则运算、今有术（西方称三率法）、开平方与开立方（包括二次方程数值解法）、盈不足术（西方称双设法）、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等，水平都是很高的。
高中历史史书精读中华帝国对外关系史(第二卷)素材
高中历史史书精读：Hosea Ballou MorseTHE INTERNATIONAL RELATIONS OF THE CHINESE EMPIREThe Period of Submission 1861~1893Kelly and Walsh, LimitedShanghai, Hong kong, Singapore & Yokohama根据上海，香港，新加坡及横滨别发图书公司1918年版译出本书原系三联书店1958年8月出版，共印1次，印数2,500册，自1963年4月起改由商务印书馆出版。
中华帝国对外关系史第二卷 1861~1893年屈从时期【美】马士著商务印书馆出版目录第二卷及第三卷弁言……………………………………………年表………………………………………………………………第二卷及第三卷各种单位说明…………………………………第一章、上海税务司……………………………………………第二章、总税务司…………………………………………….....第三章、政变…………………………………………….............第四章、太平天国的叛变；华尔……………………….............第五章、太平天国的叛变；戈登……………………….............第六章、合作政策；上海租界……………………….................第七章、海关权力的确定……………………….........................第八章、移民问题……………………….....................................第九章、蒲安臣的出使………………….....................................第十章、1869年的条约修改……………....................................第十一章、中国人对传教士的仇视…….....................................第十二章、天津的屠杀…….........................................................第十三章、同治成年、接见外使及其逝世.................................第十四章、1876年中英芝罘条约（烟台条约）.........................第十五章、1875~1883年间发生的各种事件..............................第十六章、俄国与伊犁…….........................................................第十七章、法国与东京…….........................................................第十八章、香港与澳门…….........................................................第十九章、和平年代（1886~1894年）及贸易发展..................附录…….........................................................................................第二卷及第三卷弁言在1910年完成这部历史第一卷的时候，基于两种理由，我曾经把它题做“冲突的时期”。
史梦兰与地方志
史梦兰与地方志周景宝【摘要】清同光年间,直隶永平府乐亭县举人史梦兰,受永平府知府及迁安、抚宁、乐亭三县地方官之聘,主持纂修了《永平府志》与三种地方县志.在数十年的修志过程中,史梦兰坚持独特的修志理念,不设艺文志,废除八景诗,其间还曾力邀直隶总督曾国藩、李鸿章为《乐亭县志》作序跋,但未能如愿.后编纂府志时,史梦兰统筹全局,对自己的主张有所修正,开始设置艺文志.四种方志的修撰始末,错综复杂.先人的经验与教训,值得我们认真总结.【期刊名称】《唐山师范学院学报》【年(卷),期】2018(040)001【总页数】9页(P10-18)【关键词】史梦兰;地方志;艺文志;八景诗【作者】周景宝【作者单位】北京市政工程管理处第一管理所,北京 100039【正文语种】中文【中图分类】K252地方志，亦称“方志”，以地域为记载中心，内容包括历史与现状，如建置沿革、疆域分界、社会经济、景物资源、风土人情、岁时民俗、古迹险要、人物轶事等。
“方志”一词始见于《周礼·地官·诵训》：《周礼·地官·诵训》：“诵训，掌道方志，以诏观事。
”注：说四方所识久远之事。
《文选》晋左太冲（思）《吴都赋》：“方志所辨，中州所羡。
”唐张铣注：“方志，谓四方物土所记录者。
”[1]魏晋南北朝时期，已产生了多种方志。
隋唐年间各种方志趋于成熟。
至明清时期，方志编撰数量极多，种类亦多样化，有总志、有通志、有府志，还有厅志、州志、县志、镇志等。
据朱士嘉《中国地方志综录》统计，现存志书（指解放前所修）共7 413种，109 143卷，其中宋志860种、清以下6 514种。
而《中国地方志联合目录》，收历代地方志8 200余种。
估计总数还要多，当在8 500种以上（不算1949年后编修的新方志）。
[2]这些旧志，记载着大量有关当地政治、经济、历史、地理、人文等信息，成为名副其实的“地方百科全书”，从中可以发掘出取之不尽、足资参证的宝贵史料，对于研究地方史具有十分重要的史料价值。
中国近代史名词解释
中国近代史名词解释闭关政策18世纪中叶，英国已在西方各国的对华贸易中居首位。
但是，在中国自给自足的自然经济的壁垒面前，西方的工业品很难找到市场，屡屡亏损。
同时，昧于世界大势的清政府在对外关系方面采取“闭关”政策，使中国处于与世隔绝的状态。
清政府把对海外的贸易严格限制在广州一口，规定外国商人销售商品和购买土货都必须通过少数特许的“行商”（即“十三行”）之手，进行严格控制。
这种外贸政策也严重阻碍了西方工业品在中国的销售。
虎门销烟在林则徐主持下，自1839年6月3日起，在虎门“就海滩高处，周围树栅，开池漫卤，投以石灰，顷刻汤沸，不爨自燃，夕启涵洞，随潮出海”，将所缴获的鸦片当众销毁。
直到6月25日，全部销毁干净。
各地群众闻讯赶来观看，万众欢腾，无不称快。
虎门销烟是中国禁烟运动的一个重大胜利。
它打击了外国侵略者的气焰，鼓舞了中国人民的斗志，表明了中国人良反抗外国侵略、维护民族尊严的坚强决心。
林则徐林则徐（1785―1850年），字少穆，福建侯官（今福州市）人。
嘉庆进士。
曾与龚自珍、魏源、黄爵滋等提倡经世之学。
历官道员、按察使、布政使、东河河道总督、巡抚，以干练廉明名重于时。
1838年7月，他遵旨筹议《严禁鸦片章程》六条，极力赞成黄爵滋的主张。
他说：“（吸烟）论死之说，私相拟议者，未尝乏人，而毅然上陈者，独有此奏。
然流毒至于已甚，断非常法之所能防，力挽颓波，非严蔑济。
”林则徐在两湖地区厉行禁烟，成绩斐然。
同年9月，他再陈道光皇帝，痛切指出：鸦片“迨流毒于天下，则为害甚巨，法当从严。
若犹泄泄视之，是使数十年后，中原几无可以御敌之兵，且无可以充饷之银”。
林则徐的言行，使他成为主张禁烟的著名代表人物。
《穿鼻草约》：琦善与义律签定的 ,《穿鼻草约》的内容是：（1）中国割让香港与英国，但中国得在香港设关收税，如在黄浦一样。
（2）赔款六百万元，五年交清。
（3）中、英官吏平等。
（4）广州于道光二十一年正月初旬复市。
在英国方面，即时退还定海。
中华再造善本书目
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第三章 中世纪的中国数学
第三章中世纪的中国数学希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的欧洲湮没不彰．数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的东方时期．除了埃及外，河谷地区再次成为数学活跃的舞台．中世纪（公元5-17世纪）数学的主角是中国、印度与阿拉伯地区的数学．与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推导．所谓“算法”，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法．算法倾向本来是古代河谷文明的传统，但在中世纪却有了质的提高．这一时期中国与印度的数学家们创造的大量结构复杂、应用广泛的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则，它们是一种归纳思维能力的产物．这种能力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同却又相辅相成．东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生．本章介绍中国数学史．就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的．从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰．3.1《周髀算经》与《九章算术》3.1.1古代背景第一章中已涉及了中国远古数与形概念的萌芽．殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数．至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位值制筹算记数．我们今天还可以从现存的公元前3世纪的刀币上看到这种记数法．《孙子算经》中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其位．一纵十横，百立千僵．千十相望，百万相当”．据此我们知道筹算记数有纵横两种形式.纵式用来表示个位、百位、万位……数字；横式用来表示十位、千位、十万位……数字．纵、横相间，零则以空位表示．这样，数76 031用算筹表示出来是．这种十进位值记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献．关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是带直角的拐尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．战国（公元前475-前221）诸子百家，与希腊雅典学派时代相当．“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”（代表人物是墨翟,前468-前376）与“名家”（代表人物是庄子、惠施、公孙龙），其著作包含有理论数学的萌芽．如《墨经》（约公元前4世纪著作）中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义：点：“端，体之无厚而最前者也”（部分中没有空间大小并处于最前缘者．厚，即“体”．）；直线：“直，参（叁）也”（三点相齐）；圆：“圜(圆)，一中同长也”（从中心到周界有相同的长度）；正方形：“方，柱隅四讙（权）也”（四边四角皆正．权,意“正”．）；平行：“平，同高也”（高度相同）；体积：“厚，有所大也”（物体有厚度就意味着有一定的体积）．等等，大约有17条之多．《墨经》中甚至涉及到“有穷”与“无穷”，说“或（域）不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”．梁启超《墨经校释》云：“凡《墨经》所谓尺，皆当几何学之线．”以善辩著称的名家，对无穷概念则有更进一步的认识，如据《庄子》记载，惠施曾指出：“至大无外谓之大一；至小无内谓之小一”．这里“大一”、“小一”有无穷大和无穷小之意．意思是说：大到无外部为无穷大，小到无内部为无穷小．名家主要是辩论哲学概念，但《庄子》（庄子，前369-前286）中记载他们的多条名辩也可以从数学的意义上去理解，其中最有名的如：“矩不方，规不可以为圆”；“飞鸟之影未尝动也”；“镞(zu)矢之疾,而有不行不止之时”；“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．等等，可以说与希腊芝诺学派的悖论遥相呼应．不过名、墨两家在先秦诸子中是属例外情形，其他包括儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，而只注重社会伦理、修心养身、经世治国之道，这与古代希腊的学派有很大的不同．秦始皇统一中国，结束了百家争鸣的局面．到东汉独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，便失去进一步成长的机会．两汉时期的数学，主要是沿着实用与算法的方向发展，并取得了很大的成就．3.1.2《周髀算经》在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部．《周髀算经》作者不祥，成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世纪）．这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系．从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出．《周髀算经》卷上记载西周开国时期（大约公元前1100年）武王之弟周公姬旦与大夫商高讨论勾股测量的对话．周公向商高求教：“……夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”意思是说，没有台阶供你上天，又没有一种尺子可以让你用来丈量大地，那么怎样才能得到天高地大的数值呢？商高所提供的测量方法是“勾股术”：“……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．……”意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长（后来也称弦长）便是五．卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”． 这是从天文测量中总结出来的普遍定理．《周髀算经》主要是以文字形式叙述了勾股算法．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽（吴）．赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理．如图，考察以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有.22b a +如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为2c ，因此.222c b a =+赵爽这一简洁优美的证明，可以看作是对《周髀算经》中紧接在“勾三股四弦五”特例之后的一段说明文字的诠释．《周髀算经》的这段文字说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五．两矩共长二十有五，是谓积矩”． 3.1.3《九章算术》《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代．《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中有一门是“九数”，刘徽（三国魏人）《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（?-公元前152）、耿寿昌等人删补．1984年出土的湖北张家山汉初古墓竹简《算术书》，有些内容与《九章算术》类似．因此可以认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学著作．《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田、粟米、衰（cui ）分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股．其中所包含的数学成就是丰富和多方面的．（一）算术方面（1）分数四则运算法则．《九章算术》“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则．其中“约分术”给出了求分子、分母最大公约数的“更减相损”法：“约分术：可半者半之．不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”意思是，约分分为两步： 首先是判断分子、分母是否都是偶数．若是，则用2约简．接着以较大的数减较小的数，把所得的差再与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，求得“等数”．最后，约掉“等数”即可．可见，其中所说的“等数”，就是最大公因数．求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法，它与欧几里得《原本》卷Ⅶ中给出的方法是一致的．（2）比例算法．《九章算术》“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法：“今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法．实如法而一．”这是从比例关系a :c b =:x 求x 的问题．《九章算术》称a 为“所有率”，b 为“所求率”，c 为“所有数”，x 为“所求数”．“今有术”给出的答案是bc x a=． 以“今有术”为基础，“衰分”章处理正、反比例分配问题，“衰分”就是按一定级差分配．“均输”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配．（3）盈不足术．“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法．《九章算术》中典型的盈亏类问题如：“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四．问人数、物价各几何？”意思就是说几个好朋友合伙买一个东西，每人出8块钱还多出3块．每人拿7块又少四块．问这件东西多少钱，几个人买?《九章算术》的解法是：“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下．令维乘所出率，并，以为实．并盈、不足为法．实如法而一．盈、不足相与同其买物者，置所出率，以少減多．余，以约法、实．实为物价，法为人数．”一般地假设人数为x ，物价为y ，每人出钱1a 盈1b ，出钱2a 不足2b ．《九章算术》“盈不足术”的解法分两部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，其公式是：211221b b b a b a x y ++=． 这是用于解一般算术問題的．第二部分是求人数、物价的公式：2112212121,a a b a b a y a a b b x -+=-+=．刘徽以“齐同”原理论证了术文的正确性．任何算术问题（不一定是盈亏类问题），通过两次假设未知量的值，都可以转换成盈亏 类问题来求解．《九章算术》“盈不足”章就用这种方法解决了许多不属于盈亏类的问题．如果我们所求算术问题的答数x 满足一个方程0)(=x f ．先假设一个答数1x ，此时对应的)(1x f 为1y ；再假设一个答数2x ，此时对应的)(2x f 为2y -，则可按盈不足术求出)()()()(212112211221x f x f x f x x f x y y y x y x x --=++=． 对一次函数，这个解答是精确的；对非线性函数这个解答只是x 的一个线性近似值．盈不足术实质上是一种线性插值法．“盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”．“契丹”是当时西方和阿拉伯人对中国的称呼，俄语至今还把中国叫Китай（契丹）．13世纪意大利数学家斐波那契《算经》一书中也有一章讲“契丹算法”．由此可见，盈不足术是中国古代数学家的独创．（二）代数方面《九章算术》在代数方面的成就是具有世界意义的．（1）方程术．“方程术”即线性联立方程组的解法．以“方程”章第1题为例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问：上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三．方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左禾列如右方．以右行上禾遍乘中行而以直除．又乘其次，亦以直除．然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除．左方下禾不尽者，上为法，下为实．实即下禾之实．求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实．余如中禾秉数而一，即中禾之实．求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实．余如上禾秉数而一，即上禾之实．实皆如法，各得一斗．”题中“禾”为黍米(黍,音“署”)，“秉”指捆，“实”是打下来的粮食．设上、中、下、禾各一秉打出的粮食分别为z y x ,,（斗），则问题就相当于解一个三元一次联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.2632,3432,3923z y x z y x z y x《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将z y x ,,的系数和常数项排列成一个方阵（如下图，其中已将筹算数码换作阿拉伯数码），这就是“方程”一词的来源．注意这里采取的是自右至左纵向排列．“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用图(i)右行上禾)(x 的系数3“遍乘”中行和左行各数，然后从所的结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行各数，就得到图(ii)所示的新方程．其次以图(ii)中行中禾)(y 的系数5遍乘左行各数，从所得结果直除中行并约分，右得到图(iii)所示的新方程．其中左行未知量系数只剩一项，以4除11，即得下禾324()z =（斗）． 为求上禾)(x 和中禾)(y ，重复“遍乘直除”程序．以图(iii)左行下禾)(z 的系数4遍乘中行和右行各数，从所得结果按行分别直除左行并约分，最后得到图(iv)所示的新方程．由此方程计算得 上禾194()x =，中禾144()y =，下禾324()z =． 很清楚，《九章算术》方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们今天所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消去法”．《九章算术》方程术，是世界数学史上的一颗明珠．（2）正负术．《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进．在方程术中，当我们用遍乘直除法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，不引入负数就不可能保障“直除”程序的进行．《九章算术》正是在“方程”章中提出了“正负术”，即正、负数的加减运算法则： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”“同名”、“异名”即同号、异号；“相益”、“相除”指二数绝对值相加、相减；“无”即零．这段话的前一半说的是减法法则，后一半说的是加法法则．它的意思是：同号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加；零减正得负，零减负得正．异号两数相加，等于其绝对值相减；同号两数相加，等于其绝对值相加；零加正得正，零加负得负．对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤．如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么如前所述可以看到，中算负数则是算法思维的产物．中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼与迷惑．《九章算术》之后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数．7世纪时的印度数学家也开始使用负数．对负数的认识在欧洲却进展缓慢，直到16世纪韦达的著作还回避使用负数．（3）开方术．《九章算术》“少广”章（淳风等按：一亩之田，广一步，长二百四十步．今欲截取其从少，以益其广，故曰少广．讨论已知面积或体积求边长问题．）有“开方术”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法．方法如下：“开方术曰： 置积为实．借一算，步之，超一等．议所得，以一乘所借一算为法，而以除．除已，倍法为定法．其复除，折法而下．复置借算，步之如初．以复议一乘之，所得副以加定法，以除．以所得副从定法．复除，折下如前．若开之不尽者为不可开，当以面命之．若实有分者，通分内子为定实．乃开之，讫，开其母报除．若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一．开立方术曰：置积为实．借一算，步之，超二等．议所得，以再乘所借一算为法 ，而除之．除已，三之为定法．复除，折而下．以三乘所得数置中行．复借一算置下行．步之 ，中超一，下超二等．复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法．以定法除．除已，倍下，并中从定法．复除，折下如前．开之不尽者，亦为不可开．若积有分者，通分内子为定实．定实乃开之，讫，开其母以报除．若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之．讫，令如母而一．”对比开平方术和开立方术，不难看出，两种开方的程序基本上是统一的，都是通过筹式布算，机械重复地实施“超”、“议”、“除”和“折”四大步骤，直至适尽结束．《九章算术》开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河．《九章算术》开方术实际上还包含了二次方程c bx x =+2的数值求解程序，称为“开带从平方法”．这里一次项称为从项．《九章算术》开方术中特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形，并给这种不尽根数起了一个专门的名字—“面”．《九章算术》时代的中国数学家，如同对待他们发现的负数一样，对在开方过程中接触到的无理量也这样泰然处之．这或许是因为引导他们发现不尽根数的算法本身，使他们能够有效地计算这种不尽根数的近似值．事实上，稍后的刘徽在“开方术注”中就明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为求“微数”法，并指出在开方过程中，“其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也”（三）几何方面《九章算术》“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题．其中“方田”章讨论面积问题，“商功”章讨论体积问题（商是估算，功是工程量），“勾股”章则是关于勾股定理的应用．《九章算术》中的几何问题具有很明显的实际背景，如面积问题多与农田测量有关，体积问题则主要涉及土方计算．各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源．如平面图形有“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圆田”（圆）、“弧田”（弓形）、“环田”（圆环）等；立体图形则有“仓”（长方体）、“方亭”（平截头方锥）、“阳马”（底面为长方形而有一棱与地面垂直的锥体）以及“刍童”（上、下底面都是长方形的棱台）等等．《九章算术》中给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的．如刍童（左图）体积公式为])2()2[(6c bd a d b h V +++= 羡除（右图）体积公式为：hl c b a V )(61++= 《九章算术》方田章“圆田术”圆面积公式2R A π=是正确的，但以3为圆周率失于粗疏．“开立圆术”则相当于给出球体积公式3316πD V =（D 为直径），这是不正确的，加之取π为3，误差过大．与欧几里得《原本》中将代数问题几何化的做法相反，《九章算术》将几何问题算术化和代数化．在“勾股章”中可以找到典型的例子．如第20题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木．出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？答曰：二百五十步．术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实．并出南门步数为从法，开方除之，即邑方．”如图，《九章算术》的解法是以710002=⨯⨯ED CB 为“实”（常数项），以34=+EF CB 为“从法”（一次项系数），然后“开方除之”，相当于解一个二次方程 71000342=+x x ．这种几何代数化的做法，经过刘徽和更晚的宋、元数学家的发扬，成为中国古典数学的重要特征．《九章算术》对于它所给出的几何问题的算法，一律没有推导证明．可以说《九章算术》中的几何部分主要是实用几何．但稍候的魏晋南北朝，却出现了证明《九章算术》中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章．3.2从刘徽到祖冲之从公元220年东汉分裂，到581年隋朝建立，史称魏晋南北朝．这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期．在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起．在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是要寻求两部著作中一些重要结论的数学证明．这方面的先锋是三国的赵爽，而最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子．他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期．3.2.1刘徽的数学成就关于刘徽的生平，我们几乎什么都不了解．《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》．《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位．刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论．（一）割圆术刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．术曰：“假令圆径二尺，圆中容六觚（即正六边形）之一面，与圆径之半，其数均等．合径率一而外周率三也．又按为图，以六觚之一面乘半径，因而云之，得十二觚之冪．若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之冪．割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积和周长．刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数点后二位的近似值14.3≈π，化成分数为15750，这就是有名的“徽率”．刘徽一再声明：“此律尚微少”，需要的话，可以继续算下去，得出更精密的近似值来．我们知道，《九章算术》使用的圆周率是3．从西汉末年开始，新率陆续出现，但仍然很不精确并且没有推算方法．刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家．（二）体积理论像阿基米德一样，刘徽倾力于面积和体积公式的推证，并取得了超越时代的漂亮结果． 刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变．在平面的情形，刘徽利用这条原理成功地证明了《九章算术》中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用即使对于像“阳马”这样看似简单的立体也遇到了很大的困难．这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等．但这是到20世纪才弄清楚的（见希尔伯特问题）．古代数学家并未明确认识到这一点，不过为了在体积问题上有所作为，一些一流的数学家都不约而同地借助于无限小方法来绕越上述的障碍，我们已经看到了古希腊阿基米德等人的例子．在这方面，刘徽同样表现出了惊人的智慧．他在推算《九章算术》中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法．(1) 阳马术 刘徽关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和检验法无法解决其体积．为了解决这个问题，他提出了一个重要原理：“斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”今称为刘徽原理．《九章算术》“商功章”阳马术给出阳马的体积公式．术曰：“广袤相乘，以高乘之，三而一．”即“阳马”的体积为其三条直角边乘积的三分之一．为了证明这一公式，刘徽从一长方体出发（见下图），将它斜分成两个“壍堵”（同“堑”，壕沟），然后再斜分壍堵得到两个立体图形，其中一个就是阳马，另一个是鳖臑（音“闹”，牲畜的前肢，这里当然是鳖的前肢）．刘徽欲证阳马体积Y 与鳖臑体积B 之比为2:1，由此即可推出阳马体积公式abc Y )3/1(=（c b a ,,分别为长方体的三边之长）．比率Y :2=B :1应该对任意长方体都成立，刘徽称之为“不易之率”．为了证明这个“不易之率”，在感到出入相补无能为力的情况下，刘徽使用了极限的方法，他的方法记载在《九章算术》阳马术注中．刘徽平分壍堵的长、宽、高，通过出入相补，可以证明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4与原壍堵的结构相同，可以重复上述分割，又可以证明其3/4中这个原理成立．这个过程可以无限继续下去，“半之弥少，其余弥细．至细曰微，微则无形．由是言之，安取余哉？”完成了该原理的证明．（2）球体积．刘徽首先证明了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径．刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖”．所谓“牟合方盖”是当一正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分．刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：。
为与士大夫治天下原文
为与士大夫治天下原文起神宗熙宁四年三月尽其月三月丙戌朔，上批：闻太原府有乡村妇人数千，叫号入府门，纳农器，未知虚实。
其调发荒堆夫速放散。
令河东缘边安抚司体问其事。
安抚司言，无之。
又诏陕西转运使修啰兀城等堡寨，其见科买物并权罢。
丁亥，判大名府韩琦言：怀州灾伤最甚，自春下户阙食。
近申转运司贷以米粟，已下诸县支给，而提举常平仓司指挥罢给，止令转运司以省仓米赈贷。
上批：方今河北有灾伤甚处，省仓岁计有限，必不能多赈给，常平、广惠仓斛斗须相兼支借。
令河北转运、提点刑狱、提举司觉察，州县无得阻抑，人户不尽支散，致逃移失所。
夔州路转运司孙构、张诜言：杜安行等奏讨平夷贼，斥地七百里，获铠甲器仗三百，粮六百余石，见安集夷户佃莳，起输租赋。
诏遣著作佐郎章惇乘驿同转运司制置以闻。
又诏：夷贼梁承秀、李光吉虽已授首，尚有王衮未获。
可令转运司速选人擒捕，及谕使归首。
六年二月末御批可考。
中书欲支章惇见任料钱、添支并给驿券。
上批：惇已请添支，又请驿券，恐碍条贯，检嘉佑以来至近岁例呈。
冯京言：近方有此例。
王安石曰：嘉佑、治平已有例，且陛下患人材难得，今无能之人享禄赐而安逸，有能者乃见选用，奔走劳费，而与无能者所享同，则人孰肯劝而为能？如惇以才选，令远使极边，岂可惜一驿券？纵有条贯，中书如臣者，亦当以道揆事，佐陛下以予夺驭羣臣，不当守法，况有近例。
上曰：有例须支与，兼其所得不过数百钱，不为多也。
四月二日丁亥，罢惇行。
先是，李承之荐惇于安石，安石曰：闻惇极无行。
承之曰：某所荐者才也，顾惇才可用耳，素行何累焉？公试与语，自当爱之。
安石见惇，惇素辩，又善迎合，安石大喜，恨得之晚。
此据邵伯温见闻录，或移入四月丁亥。
免河东运粮草入西界；义勇、强壮、捉生户今年两税支移、折变，仍免一料和籴支移。
义勇凡一万五千人，其逃亡者五千余人并放罪，令复业，及权倚阁随军系役人未纳残税，从转运使韩铎奏也。
权发遣延州赵卨言，西贼犯抚宁，新筑堡不守，将士千余人皆陷没。
北大秦简-中国科学院自然科学史研究所
田二百步。（03-018） 田三 （陋）者，半其一面以爲廣，【又】令一面五爲四從（縱）相乘，即成。·面
十五步，爲田九十步。（03-036） 本題包括兩“術”和兩道例題。第一“術”的“一面正一面邪”說的應該是直角三角形， “正”指直角邊，“邪”指直角所對的斜邊。“正面相乘，二成一”是說兩直角邊相乘再除以 二。值得注意的是，其例題只給出了一條直角邊和一條斜邊，需要用勾股關係求出另一條直 角邊的長度；但從其面積“二百步”，一直角邊長“廿步”推算，另一條直角邊也應長“廿
箕田曰：并舌、 （踵）步數而半之，以爲廣，道舌中丈徹 （踵）中，以爲從 （縱），相乘即成積步。（64） “道舌中丈徹 （踵）中，以爲從（縱）”，是說梯形兩底邊中點之間的距離就是其“高”， 即“正從（縱）”。這說明秦漢時期的“箕田”確實是指等腰梯形，劉徽注說“中分箕田則爲 兩邪田”是正確的。 北大簡《算書》甲種的“箕田”術文較《九章算術》更爲簡略：
三、田三 （陋）術
《九章算術》的“圭田”指的是三角形土地，其術文非常簡單：“半廣以乘正從（縱）”， 即我們今天熟悉的“三角形面積=底×高÷2”。三角形土地面積計算不見於嶽麓簡《數》，但 在北大簡的《算書》甲種和丙種中都有發現。
《算書》甲種： ●田三 （陋）述（術）：丈其中以爲從（縱），半其廣，即廣殹（也），以乘從（縱），
北大秦簡《算書》土地面積類算題初識
韓巍
前言
北京大學藏秦簡牘中的數學類文獻非常豐富，共有竹簡四卷和“九九術”木牘一方。其 中竹簡卷七、卷八的形式和內容很接近，只列出矩形土地的“廣”、“從（縱）”和面積數字， 相當於有整數、無分數的簡單“方田術”，僅有例題而無術文。卷八有背題“田書”，應是這 類書的專名。這類書可能是爲了方便日常的田畝和租稅計算而編制的教材或參考書，與我們 通常所說的包含各種計算方法和例題的《數書》或《算書》有別。竹簡卷四正面前半段的 210 餘枚簡、背面起始處的近 40 枚簡，以及竹簡卷三的 82 枚簡，其內容都是各種計算方法 和例題的彙編，與《九章算術》、張家山漢簡《筭數書》和嶽麓秦簡《數》屬於同類文獻； 爲行文方便，本文分別稱之爲《算書》甲種、乙種和丙種。1
经史子集国学文库：集部·诗藏·同文馆唱和诗
败叶扫还飞秋容肃粉闱青钱如已选白璧防须归燕坐书横案孤吟月满衣还 同潘散骑鱼鸟性都违大轴累千箱鳬中见鹤
晁补之
髙堂置书几连幕与云齐暑服犹便葛秋盘已饤梨官醪聊具醉古锦不成 题空对灯花喜重城隔夜闺辍直雠书馆联裾校艺场腾骧来万里挺拔出千章 直钓何妨得飡风未必香搜才赖公等要助俗成康忆我蓬莱阁同听午唱鸡星 辰望天北簪组隔城西几日宣鱼钥长驱响月题更凭催邓子要剸玉如泥
同文馆唱和诗巻一
钦定四库全书
同文馆唱和诗巻二
懒散江湖客秋深念涤场端宜返田里安敢论文章山隝橙应熟霜篱菊正 香行归招隐客鼓腹咏时康【卜居南徐有招隐鹤林之胜】
国器来金马儒冠萃木鸡胜心争逐北鋭气鼓争西海峤鹏程息春风鴈塔 题应思连夜雨车马六街泥
李公麟
鎻寂身如隐幽清物向齐忘忧经露菊苏肺到霜梨白髪知谈笑朱籖厯品 题贤书天下望鹊喜遍深闺呦呦鸣鹿野皎皎白驹场朋盍连茅茹文程琢玉章 门通三级峻桂露一年香庆及飞龙旦同歌庶事康寄栖容幕燕覆节等醯鸡欲 雨风多北穷秋日易西官书便夜读家报索亲题早晩骖騑入重门坼印泥
宋 邓忠臣等 撰
张耒
骑列千牀直云罗万巻齐纾妍交孔翠争味杂柤梨白日诸侯贡青春天老 题秋清文酒健莫叹羽林闺声鸣皆出谷觜距各争场鐡网收明月霜铓倒豫章 湛恩终锡宴优礼合焚香最苦雠书客消愁赖杜康六街分夜鼔邻屋报朝鸡寒 引秋初老天将斗转西滞留聊饮酒谈笑亦分题须信家居乐休嫌穷巷泥
蔡肇
清月看初满黄花吐未齐小山思隐桂大谷忆佳梨节物信可美诗骚懒自 题长年谙独宿听雨闭秋闺匝合青云幕纵横帽散平康万里夷王子曽聴若木鸡泛 舟沧海外授馆国门西琛币来重译车书想旧题苍梧弓剑冷云雨泣芝泥【试 院乃馆髙丽使客】国学知识·集部·诗藏：同文馆唱和诗
华夏文明是人类最伟大的文明！ 为往圣继绝学，是每一个华夏人的历史使命和责任。
《四库全书》编纂中对民族语译音纠误探析
《四库全书》编纂中对民族语译音纠误探析作者：姚艳芳来源：《贵州文史丛刊》2021年第04期摘要：清代多民族统一的政治环境下的“一统同文”政策，反映在《四库全书》纂修中，即乾隆帝极其注重对书籍中民族语译音的纠误。
乾隆帝不仅下旨纂修了多部语言辞典，而且还在纂修《四库全书》时，多次谕旨馆臣译改辽、金、元三史及涉及三史的人、地、官等译名。
四库馆也组织相当规模的人员专门负责译改工作，其编纂的《钦定辽金元三史国语解》一书，是民族语译音纠误工作的主要成果。
《四库全书》在编纂中重视民族语译音的纠误：一是体现了乾隆皇帝在多民族统一国家下“一统同文”的文化政策;二是为纠正民族史书中民族语译音错误、消除背后蕴含的民族歧视思想作出了一定的贡献;三是重视三史国语解的重修刊定，有利于保护民族文献的民族特征，也为后人研究民族史提供可供查考的史料。
关键词：《四库全书》民族语译音《钦定辽金元三史国语解》乾隆帝中图分类号：K249 文献标识码：A 文章编号：1000-8705（2021）04-67-75纂修《四库全书》时，四库馆臣对史籍中民族语译音进行了系统的纠误，学界对此已有不少研究成果。
如何冠彪在《乾隆朝重修辽、金、元三史剖析》中梳理了三史重修过程及分析了乾隆皇帝重修三史的原因。
刘浦江在《从〈辽史·国语解〉到〈钦定辽史语解〉——契丹语言资料的源流》1中对乾隆皇帝纂修《钦定辽金元史三史国语解》的编纂过程及价值有过探析。
金鑫在《乾隆帝对少数民族语译名规范化的关注》2中就乾隆朝之前民族语旧译名存在的问题及乾隆朝新译名修改标准的建立与实施作研究，以及探究了乾隆皇帝关注民族语译音问题的原因;金鑫又在《乾隆改定辽金元三史译名探析》3中对改定辽金元三史译名具体过程作深入考察分析。
聂鸿音在《〈钦定辽史语解〉中的唐古特语》4中对改译《辽史国语解》过程中参证唐古特语（藏语）的词条作整理与分析。
陈晓伟在《〈庙学典礼〉四库底本与四库馆臣改译问题》5中认为《庙学典礼》四库底本中民族词汇依《庙学典礼应翻译者》改译，虽不依《钦定辽金元三史国语解》改译，但都是由四库馆中专门负责改译工作的人员完成。