人教版八年级上册 14.1.4整式的乘法--多项式乘多项式 (15张PPT)

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【优质课多项式乘以多项式】2015-2016学年人教版八年级上册数学课件：14.1 整式的乘法(3)

( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) = am+an+bm+bn
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
三、研读课文
多项式与多项式相乘的法则应用
例6 计算知识 13 12 2 2 2 8 y y 3 y y y 点 2 2 解：原式 3 3 2 2 1 2 y 8 y 8 y 2 2 2 3 ________________ 二解：原式解：原式 x x y xy x y xy y ________________ _ 2 2 3 3 2 2 9 y 8 y =_________________ 3 3 2 x y 3 7 2 =_________________ _ =__________________
。
五、强化训练
x 3x 5 1、计算：
2
x 2 x 15
2
B 2、下列结果是a 3a 4的是（）
a 1a 4 C、
a 1a 4 B、
a 2a 2 A、
a 2a 2 D、
五、强化训练
x 3x 3 x 1x 2 3、计算：
=am+bm+an+bn
观察上述式子,你能的得到(x-3)(x-6)的结果吗?
( x – 3 )( y – 6 ) = x ( y – 6 ) – 3 ( y –+ 18
• 归纳得出: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

八年级数学上册14.1.6 多项式乘多项式课件

x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
问题:为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽m米的长方形绿地，长增加了b米，加宽了n米，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
a
b
m
n
长为 a+b 宽为 m+n S = (a+ b) (m +n）
a
m am
b
bm
n
an
bn
S = am+ bm+ an+ bn
所示的绿色部分，其中横向防风带为长
方形，纵向防风带为平行四边形，则剩
余耕地面积为（ B ）
c
A、bc-ab+ac+c2
B、ab-bc-ac+cc2
b
C、a2+ab+bc-ac
D、b2-bc+a2-ab
a
拓展提高
4、观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 …… 根据前面各式的规律可得到： (x-1)(xn+xn-1+xn-2+……+x+1)=__X_n_+1_-1___
你能总结出多项式乘以多项式的运算法则吗？
探索法则
（a b）（p q）=ap aq bp bq
你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？
多项式与多项式相乘的运算法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式
的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
探索法则
学一学感悟新知

人教版八年级数学上册作业课件第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法第2课时单项式乘以多项式

7．(3分)(易错题)要使x(x＋a)＋3x－2b＝x2 ＋5x＋4成立，则a，b的值分别为( C )
A．a＝－2，b＝－2 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝－2 D．a＝－2，b＝2 8．(3分)已知单项式M，N满足3x(M－5x)＝6x2y2＋N，则MN＝_____－__3_0_x_3_y_2_______．
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第十四章整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1.4 整式的乘法第2课时单项式乘以多项式
单项式乘多项式法则
1．(3 分)填空：3m(3m2－13 m)＝3m·__3_m_2_____＋3m·_(－__13___m_)___ ＝_____9_m__3_－__m_2____．
2．(3分)(柳州中考)计算：x(x2－1)＝( B ) A．x3－1 B．x3－x C．x3＋x D．x2－x 3．(3分)下列各题计算正确的是( D ) A．(ab－1)(－4ab2)＝－4a2b3－4ab2 B．(3x2＋xy－y2)·3x2＝9x4＋3x3y－y2 C．(－3a)(a2－2a＋1)＝－3a3＋6a2 D．(－2x)(3x2－4x－2)＝－6x3＋8x2＋4x
10．(8 分)先化简，再求值：(－13 xy)2·[xy(2x－y)－2x(xy－y2)]，其中 x＝－112 ，y＝－2. 解：原式＝19 x2y2·(2x2y－xy2－2x2y＋2xy2) ＝19 x2y2·xy2＝19 x3y4.当 x＝－112 ，y＝－2 时，原式＝19 ×(－112 )3×(－2)4＝－6
【素养提升】 11．(8 分)某同学在计算一个多项式乘以－3x2 时，算成了加上－3x2，得到的答案是 x2－12 x＋1，那么正确的计算结果是多少？

14.1.4整式的乘法-单项式乘以多项式

课题：14.1.4单项式乘以多项式一、教材分析：（一）学习目标：⒈掌握单项式与多项式相乘的法则，知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式.⒉会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算.⒊通过例题教学，培养灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.（二）学习重点和难点：重点：掌握单项式乘以多项式的法则难点：熟练地运用法则，准确地进行计算（三）学习方法：操作，归纳.二、问题导读单：⒈复习巩固⑴单项式与单项式相乘的法则?⑵完成下列各题。

①=-∙)4(22xy x ；②=-∙-)3()2(2xy x ；③=∙-)32()21(2ab ab ；④写出多项式122--x x 的项 ⑤=+-⨯)654332(12 = = ⒉在)654332(12+-⨯中，用什么样的方法较简单? ⒊代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，如何计算)(c b a m ++.⒋你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?⒌单项式与多项式相乘的法则:单项式乘以多项式,就是 .三、问题训练单：⒈计算⑴)13()4(2+∙-x x ⑵ab ab ab 21)232(2∙-⑶)(5)21(22222ab b a a b ab a --+- ⑷)2(6)2(23332x x x x x ++-⒉先化简再求值 ⑴21),1(3)3()3(222=----++x x x x x x x x 其中⑵已知22-=xy ,求)53(5273y y x y x xy ---的值.练习)293)(32()12(23222323b a a b a ab b a ----,其中3,31-==b a。

14.1 整式的乘法

第十四章整式的乘法与因式分解教材分析本章主要包括整式的乘法、乘法公式和因式分解等知识．整式的乘法运算和因式分解是基本且重要的代数初步知识，这些知识是以后进一步学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义．同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其科学技术不可缺少的数学基础知识．整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分，是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的．幂的运算性质（即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方）是整式乘法的基础，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义．整式的乘法首先是单项式与单项式相乘，它是进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提．乘法公式是整式乘法的特殊情形，教科书在第一小节安排了平方差公式的教学．最后，举例说明运用平方差公式进行有关的计算．第二小节引进了乘法的完全平方公式和添括号法则．因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等．教学目标1．掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2．会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算．3．掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算．4．理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解．课时安排14.1 整式的乘法6课时14.2 乘法公式3课时14.3 因式分解3课时小结2课时14.1 整式的乘法教学目标1．掌握正整数幂的乘、除运算性质，2．能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．3．掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则及其几何含义．4．运用单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则进行运算．教学重点1．正确理解同底数幂的乘法法则．2．准确掌握幂的乘方法则及其应用．3．准确掌握积的乘方的运算性质．4．准确运用法则进行计算，单项式与多项式乘法法则及其应用，多项式乘法法则．教学难点1．正确理解和运用同底数幂的乘法法则．2．同底数幂的乘法和幂的乘方的综合运用．3．用数学语言概括运算性质．4．灵活运用已有知识解决问题，单项式与多项式相乘时结果的符号的确定，利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则．课时安排6课时．教案A第1课时教学内容同底数幂的乘法．教学过程一、导入新课二、探究新知1．同底数幂乘法公式问题1 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？分析：它工作103 s 可进行运算的次数为1015×103，怎样计算1015×103呢？列式：你能写出运算结果吗？．教师引导学生探究规律，并写出计算过程．探究：根据乘法的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律吗？（1）23×24＝2（）．（2）53×54＝5（）．（3）a 3×a 4＝a （）．通过以上多个式子的计算过程，我们猜想：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，N ，因此，我们有同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 都是正整数）．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．提示：①同底数幂是指底数相同的幂．如(－3)2与(－3)5，(ab 3)2与(ab 3)5，(x －y )2与(x －y )3 等．②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边两个幂的底数相同，且是相乘的关系；右边得到一个幂，且底数不变，指数相加．2．公式的应用例1 计算：（1）x 2·x 5 （2）a ·a 6；（3）(－2)×(－2)4×(－2)3；（4）x m ·x 3m ＋1．提示：不要忽视指数为1的因数，如（2）．注意：以上是公式的正用，公式也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．如：25＝23×22＝2×24等．练习已知a m ＝3，a n ＝8，求a n ＋m 的值．让学生把a m ＋n 改写成a m ·a n 的形式，再带入已知完成此题．a m ＋n ＝a m ·a n ＝3×8＝24．三、课堂小结1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，•使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，•底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，也可取单项式或多项式．3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．四、布置作业习题14.1.1第（1）（2）题．第2课时教学内容幂的乘方．教学过程一、导入新课我们知道：a·a·a·a·a＝a5，那么类似地a5·a5·a5·a5·a5能否写成(a5)5，(a5)5是一种什么形式？二、探究新知1．幂的乘方探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）(32)3＝32×32×32＝3（）；（2）(a2)3＝a2·a2·a2＝a（）；（3）(a m)3＝a m·a m·a m＝a（）（m是正整数）．通过以上多个式子的计算过程，我们猜想：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有：(a m)n＝a mn（m、n都是正整数）．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：同底数幂的乘法与幂的乘方的区别：相同点都是底数不变；不同点，前者是指数相加，后者是指数相乘．2．公式的应用例2 计算：（1）(103)5；（2）(a4)4；（3）(a m)2；（4）－(x4)3．让学生完成例题的解答．练习已知x2n＝3，求(x3n)2求的值？参考答案：27三、课堂小结1．理解幂的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算．2．会双向运用幂的乘方运算法则．四、总结扩展同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：四、布置作业习题14.1 第1题．第3课时教学内容积的乘方．教学过程一、导入新课问题已知一个正方体的棱长为2×103cm，•你能计算出它的体积是多少吗？经学生讨论可得正方体的体积应是V＝(2×103)3cm3．这个结果是幂的乘方形式吗？从总体来看，底数是．因此（2×103）3应该理解为．如何计算呢？二、探究新知1．积的乘方探究：填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？（1）(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2；（2）(ab)3＝＝＝a（）b（）；（3）(ab)4＝＝＝a（）b（）；（4）(ab)n＝＝＝a（）b（）（其中n是正整数）．学生通过计算，观察结果之后，找出规律．师生共同总结得出积的乘方法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，因此，我们有(ab)n＝a n b n（n为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．利用此公式完成本节课的第一个问题（正方体的体积）．教师指出对于三个或三个以上的积的乘方，如(abc)n照样能利用上述公式．即(abc)n＝a n b n c n．2．公式的应用例3 计算:（1）(2b)3；（2）(－5b)3；（3）(xy2)2；（4）(－2x2)4．提示：要注意结果的符号；要注意积中的每一项都要进行乘方，不要掉项．练习：（1）(2×a3)2；（2）(－a)3．参考答案：（1）4a6（2）－a3教师指出以上是公式的正用，对于此公式还可逆用：a n b n＝(ab)n ．三、课堂小结1．理解积的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算．2．会双向运用幂的乘方运算法则．四、布置作业习题14.1 第2题．第4课时教学内容单项式乘以单项式、单项式与多项式相乘．教学过程一、导入新课问题2 光的速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？根据已知条件，我们很容易知道地球与太阳的距离约是：(3×105)×(5×102) km．二、探究新知1．单项式与单项式相乘思考：（1）怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac 5·bc 2，怎样计算这个式子？师生合作，通过讨论、观察结果之后，找出规律．ac 5·bc 2是单项式ac 5与bc 2相乘，我们可以利用乘法交换率、结合率及同底数幂的运算性质来计算：ac 5·bc 2＝(a ·b )·(c 5·c 2)＝abc 5＋2＝abc 7．最后总结得出单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．公式的应用例4 计算：（1）(－5a 2b )·(－3 a )；（2）(2 x )3·(－5xy 2)．让学生完成例题的解答．教师可适当指导．提示：①先把各因式的系数相乘，作为积的系数；②把各因式的字母相乘，底数不变，指数相加；③只在一个因式里出现的字母，连同它的系数作为积的一个因式．3．单项式相乘公式的几何意义因为边长是 a 的正方形的面积是a ·a ，反过来说，a ·a 也可以看作是边长为a 的正方形的面积．让学生思考3a ·2a 的几何意义．4．单项式与多项式相乘问题有3家连锁店以相同价格p (单位：元/瓶)销售某种商品，他们在一个月内的销售量(单位：瓶)分别是a ，b ，c ，•请你采用不同的方法计算他们在一个月内销售这种商品的总收入．让学生独立思考，寻求不同的表示方法．可得出以下方法：方法一：首先计算出这3家连锁店销售这种产品的总量（单位：瓶），•再计算出总的收入（单位：元）．即p (a ＋b ＋c )．方法二：采用分别计算出家连锁店销售这种产品的收入，•然后再计算出他们的总收入（单位：元）．即p a ＋p b ＋p c ．由此可得p (a ＋b ＋c )＝p a ＋p b ＋p c ．教师引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．5．公式的应用例5 计算（1）(－4x 2)(3x ＋1) ；（2）(32ab 2－2ab )·21ab ．教师让学生完成例题的解答．提示：单项式与多项式相乘，应注意“符号”与“不漏乘”．三、课堂小结1．理解并经历探索单项式乘以单项式法则的过程．2．熟练应用单项式乘以单项式的法则解决问题．3．理解并经历探索单项式乘以多项式法则的过程．4．熟练应用单项式乘以多项式的法则解决问题．四、布置作业习题14.1第3、4题．第5课时教学内容多项式与多项式相乘．教学过程一、导入新课问题如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块Array原长aｍ、宽pｍ的长方形绿地，加长了bｍ，加宽了qｍ．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？二、探究新知1．多项式与多项式相乘法则教师引导学生通过图形完成扩大后长方形绿地面积的计算．（1）扩大后的绿地可以看成长为(a＋b)ｍ，宽为(p＋q)ｍ的长方形，所以这块绿地的面积（单位：m2）为(a＋b) (p＋q)．（2）扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积（单位：m2）为ap＋aq＋bp＋bq．因此(a＋b) (p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq．上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法．一般地：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即例6 计算：（1）(3x＋1) (x＋2)；（2）(x－8y) (x－y)；（3）(x＋y) (x2－xy＋y2)．教师让学生完成例题的解答．提示：①解题前先确定多项式的每一项；②防止漏乘；③注意符号问题；④同类项需要合并；⑤最后结果应化成最简形式．练习：小明在计算(2x＋3)(3x＋2)－6x(x＋3)＋5x＋16的值时，把x＝－666错抄成x ＝666，但他的结果也正确，这是为什么？教师让学生完成例题的解答，及时点评．提示:化简后得到值为22，与字母x的值无关，所以他的结果也正确．三、课堂小结1．理解并经历探索多项式乘以多项式法则的过程．2．熟练应用多项式乘以多项式的法则解决问题．四、布置作业习题14.1第5题．第6课时教学内容整式的除法．教学过程一、导入新课复习前几节内容，导入新课的教学．二、探究新知1．同底数幂除法让学生计算a m÷a n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．教师及时点评学生的过程，并出示标准步骤：∵a m－n·a n＝a(m－n)＋n＝a m，∴a m÷a n＝a m－n．一般地，我们有a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．让学生思考为什么a≠0？教师指出当被除式的指数等于除式的指数时：如果根据这条性质计算a m÷a n结果是多少？如果根据除法意义计算a m÷a n结果是多少？于是规定a0＝1（a≠0）．这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1．教师指导学生完成教材例7的解答．2．单项式除以单项式让学生思考如何计算12a3b2x3÷3ab2．学生完成后，教师及时点评，同时总结规律．∵4a2x3·3ab2＝12a3b2x3，∴12a3b2x3÷3ab2＝4a2x3．一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．3．多项式除以单项式请同学们观察(am＋bm)÷m算式，它是我们学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们学过的算式有什么不一样的特点．提示：要求一个多项式，使它与m的积是(am＋bm)．你知道这个多项式是什么吗？学生完成(am＋bm)÷m的解答，并总结规律．多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．三、课堂小结1．记住整式相除的法则．2．会熟练应用整式相除的法则解决问题．四、布置作业习题14.1第6题．教案B第1课时教学内容同底数幂乘法公式．教学过程一、创设情境，导入新课问题1一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？问题2 光在真空中的速度大约是3×105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需4.22年，一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？我们观察1015×103可以发现1015、103这两个因数是同底的幂的形式，所以1015×103我们把这种运算叫做同底数幂的乘法，1015×107也是同底数幂的乘法．由问题1和问题2不难看出，我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法．二、师生合作，探究新知学生通过做一做、议一议，推导出同底数幂的乘法的运算性质．1．做一做计算下列各式：（1）102×103；（2）105×108；（3）10m×10n(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述．（4）2m×2n等于多少？(m，n都是正整数)．我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议a m·a n等于多少(m，n都是正整数)？为什么？师生共析：a,m·a n表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得即有a m·a n＝a m+n(m，n都是正整数)．用语言来描述此性质，即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．三、例题讲解1．例1 计算：（1）x2·x5 （2）a·a6；（3）(－2)×(－2)4×(－2)3；（4）x m·x3m＋1．教师让学生计算，必要时可适当指导．2．计算：（1）52×57；（2）7×73×72；（3）－x2·x3；（4）(－c)3·(－c)m．解：（1）52×57＝59；（2）7×73×72＝71+3+2＝76；（3）－x2·x3＝－(x2·x3)＝－x5；（4）(－c)3·(－c)m＝(－c)3+m．四、课堂小结师：这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？生：在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．生：同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加．即a m·a n＝a m+n(m、n是正整数)．第2课时教学内容幂的乘方．教学过程一、导入新课1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少?2．计算：（1）a4·a4·a4；（2）x3·x3·x3·x3．3．你会计算(a4)3与(x3)5吗?由第1题得出幂的乘方的课题，第2题是复习同底数幂的乘法，第3题既是复习又是引入．对于第3题应着重让学生讨论．二、新课教学1．x3表示什么意义?2．如果把x换成a4，那么(a4)3表示什么意义?3．怎样把a2·a2·a2·a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式?4．由此你会计算(a4)5吗?5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空．（1）(23)2＝23×23＝2( )；（2）(32)3＝( )×( )×( )＝3( )；（3）(a3)5＝a3×( )×( )×( )×( )＝a()．6．用同样的方法计算：(a3)4；(a11)9；(b3)n(n为正整数)．7．思考：（1）(23)2＝23×2＝26；（2）(32)3＝32×3＝36；（3）(a11)9＝a11×9＝a99；（4）(b3)n＝b3×n＝b3n．观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系？怎样说明你的猜想是正确的?一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有：(a m)n＝a mn（m、n都是正整数）．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．三、巩固应用1．例1 计算：（1）x2·x5 （2）a·a6；（3）(－2)×(－2)4×(－2)3；（4）x m·x3m＋1．教师指导学生完成此例题，必要时教师可示范解题步骤．2．练习：下列计算过程是否正确?（1）x2·x6·x3＋x5·x4·x＝x ll＋x10＝x2l．（2）(x4)2＋(x5)3＝x8＋x15＝x23．（3）a2·a·a5＋a3·a2·a3＝a8＋a8＝2a8．（4）(a2)3＋a3·a3＝a6＋a6＝2a6．说明：①要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错．②进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系．五、课堂小结1．(a m)n＝a mn（m、n都是正整数），这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数．2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它们的联系与区别．在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆．并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯．第3课时教学内容积的乘方．教学过程一、导入新课复习回顾幂的乘方的运算性质，导入新课的教学．二、新课教学1．积的乘方活动：计算下列各题．（1）23×53；（2）28×58；（3）212×512.学生相互交流讨论，可能有多种做法，对于（1）：①原式＝(2×2×2)×(5×5×5)＝8×125＝1000．②原式＝(2×2×2)×(5×5×5)＝(2×5)×(2×5)×(2×5)＝10×10×10＝1000．③原式＝(2×2×2)×(5×5×5)＝(2×5)×(2×5)×(2×5)＝(2×5)3＝1000．说明第一步的理由，对于（2）（3）可类似解决．探究：填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？（1）(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2；（2）(ab)3＝＝＝a（）b（）；一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，因此，我们有(ab)n＝a n b n（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．三、应用提高1．例3 计算:（1）(2b)3；（2）(－5b)3；（3）(xy2)2；（4）(－2x2)4．2．计算：（1）(－3xy)2；（2）(4b3)m强调：对于3个或3个以上的因式，运算性质同样适用，但要注意运算顺序，先算积的乘方，再算幂的乘方．四、课堂小结归纳积的乘方的运算性质及其应用．第4课时教学内容单项式乘以单项式、单项式与多项式相乘．教学过程一、导入新课什么是单项式？什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？我们已经学习了幂的运算性质，在这个基础上我们可以学习整式的乘法运算．先来学最简单的整式乘法，即单项式之间的乘法运算．二、新课教学1．单项式乘以单项式问题光的速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？思考：（1）怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？通过思考、计算，我们可以发现：ac5·bc2是单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换率、结合率及同底数幂的运算性质来计算：ac5·bc2＝(a·b)·(c5·c2)＝abc5＋2＝abc7．一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．单项式与多项式相乘问题为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长pｍ，宽bｍ的长方形绿地，向两边分别加宽aｍ和cｍ，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？方法一：先先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即为p (a＋b＋c)．①方法二：先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即为p a＋p b＋p c．②由于①②表示同一个数量，所以p (a＋b＋c)＝p a＋p b＋p c．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．三、实例探究例4 计算：（1）(－5a2b)·(－3 a)；（2）(2 x)3·(－5xy2)．例5 计算（1）(－4x 2)(3x ＋1) ；（2）(32ab 2－2ab )·21ab ．教师指导学生完成例题的解答，最后明确解题步骤．四、课堂小结复习本节内容，巩固所学知识．第5课时教学内容多项式与多项式相乘．教学过程一、导入新课关于整式的乘法有哪些情况呢？根据我们讲过的有单项式和单项式相乘，单项式乘多项式，余下的是多项式与多项式的乘法，可以想象，多项式乘多项式是一个复杂问题，也是一个重要问题，现在我们来学习多项式与多项式相乘．二、新课教学问题为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a ｍ、宽p ｍ的长方形绿地，加长了b ｍ，加宽了q ｍ．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？方法一：扩大后的绿地可以看成长为(a ＋b )ｍ，宽为(p ＋q )ｍ的长方形，所以这块绿地的面积（单位：m 2）为(a ＋b ) (p ＋q )．方法二：扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积（单位：M 2）为ap ＋aq ＋bp ＋bq ．因此 (a ＋b ) (p ＋q )＝ap ＋aq ＋bp ＋bq ．一般地：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即三、应用提高例6 计算：（1）(3x ＋1) (x ＋2)；（2）(x －8y ) (x －y )；（3）(x ＋y ) (x 2－xy ＋y 2)．教师指导学生完成例题的解答，最后明确解题步骤．结合例题讲解，提醒学生在解题时要注意：①解题书写和格式的规范性；②注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；③注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏．四、课堂小结启发引导学生归纳本节所学的内容：1．多项式的乘法法则：(a＋b) (p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq．2．解题步骤．3．解题注意事项．第6课时教学内容整式的除法．教学过程一、导入新课我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算，在整式运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况，今天我们就学习整式的除法．．二、新课教学整式的除法有以下几种情况．1．同底数幂除法a m÷a n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．步骤：∵a m－n·a n＝a(m－n)＋n＝a m，∴a m÷a n＝a m－n．一般地，我们有a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．特殊地a0＝1（a≠0）．这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1．2．单项式除以单项式计算12a3b2x3÷3ab2．∵4a2x3·3ab2＝12a3b2x3，∴12a3b2x3÷3ab2＝4a2x3．一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．3．多项式除以单项式(am＋bm)÷m．∵(a＋b)m＝am＋bm，∴(am＋bm)÷m＝a＋b．又am÷m＋bm÷m＝a＋b．∴(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m．一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．三、应用巩固例7 计算：（1）x8÷x2；（2）(ab)5÷(ab)2．解：（1）x8÷x2＝x8-2＝x6；（2）(ab)5÷(ab)2＝(ab)5-3＝(ab)3＝a3b3．例8 计算：（1）28x4y2÷7x3y；（2）－5a5b3c÷15a4b；（3）(12a3－6a2＋3a)÷3a．教师指导学生计算，完成后明确解题步骤．四、课堂小结复习本节内容，巩固所学知识．。

人教八年级数学上册整式的乘法

新知探究
零指数幂的示例：
指数为0
（- 2）0 1
底数是-2
结果为1
指数为0
1000 1
底数是100
结果为1
新知探究
拓展：a0 =1 （a≠0）的推导过程：当 m=n 时，am ÷an=am-n =a0 ，因为 m=n ，所以am ÷an =1 . 则 a0 =1 .
随堂练习 1
计算下列式子： (1) (-xy)13÷(-xy)8 ;
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 式子表示：p(a+b+c)=pa+pb+pc（p，a，b，c都是单项式）.
多项式中的每一项都包括它前面的符号，根据去括号的法则，积的符号由单项式的符号与多项式的符号共同决定.
新知探究
单项式与多项式相乘的步骤： (1) 利用乘法分配律，转化为单项式乘以单项式； (2) 将单项式与单项式相乘的结果相加.
新知探究
重点：(1) 对于三个或三个以上的单项式相乘，单项式乘法法则同样适用； (2) 单项式乘以单项式，若有乘方、乘法混合运算，应按“先乘方再乘法”的运算顺序进行； (3) 单项式乘以单项式的结果仍然是单项式，对于幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体进行运算.
新知探究知识点2 单项式乘多项式法则
新知探究
同底数幂的除法的示例：
指数相减
x9 x6 x96 x3
底数不变
新知探究知识点2 零指数幂
性质：任何不等于0的数的零次幂都等于1. 符号表示：a0=1（a≠0）.
(1) 零指数幂中的底数可以是单项式，也可以是多项式，但不可以是0； (2) 因为 a=0 时，a0 无意义，所以 a0 有意义的条件是 a≠0，常据此确定底数中所含字母的取值范围.

人教版八年级数学上册课件：14章整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)

A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则：系数、同底数幂分别相除只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.

多项式乘多项式

思
• 阅读课本100—101页，完成导学提纲
议
• 1、以组为单位解决自己不懂的问题 • 2、小组总结多项式乘以多项式的步骤
展：探索法则
1、若将原长方形绿地的长增加b m、宽增加 q m，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？ q （a b）（p q）；
（ a p q）（ b p q）；（ p a b）（ q a b）； ap aq bp bq.
检
1、完成课本102页练习1题的（5）和（6） 2、整理导学提纲
（ 3）（y 4）（y 2）；
（ 4）（y 5）（y 3） .
根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？
x P+q pqห้องสมุดไป่ตู้
评
1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
注意： 1、多项式乘以多项式本质是将其转化为几个单项式乘积的和的形式 2、多项式乘以多项式，结果仍为多项式，但通常有同类项，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式的项数之积
（ 3）（x y）（x 2 xy y 2） .
巩固法则
（m 2n）（3n m）；（ 4）
2 （ a 1 ）；（5 ）
（a 3b）（a 3b）；（ 6）
展
4、计算: （x 2）（x 3）；（ 1）（ 2）（x 4）（x 1 ）；
p a
b
探索法则
（a b）（p q） =ap aq bp bq
你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？

八年级数学上册广东人教版同步课件第十四章 14-1-4 整式的乘法第2课时

D．6
3．若x＋y＝2，xy＝－1，则(1－2x)·(1－2y)的值是(A )
A．－7
B．－3
C．1
D．9
4．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)，宽为(3a＋b)的大长方形，则需要C类卡片( C )
A．5张
B．6张
C．7张
D．8张
5．三个连续奇数，若中间的一个为n，则它们的积为( C )
8．我校操场原来的长是 2x 米，宽比长少 10 米，现在把操场的长与宽都增加了 5 米，
则整个操场面积增加了____(2_0__x－___2_5_) ___平方米．
9．如图，有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余进行绿化(空白部分)，已知道路宽为 a 米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 a＝3，b＝2 时的绿化面积．
9．(素养提升题)定义：一个多项式A乘以另一个多项式B化简得到新的多项式 C，若C的项数比A的项数多不超过1项，则称B是A的“友好多项式”．特别地，当C的项数和A的项数相同时，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)如果A＝x－2，B＝x＋3，那么B是否是A的“友好多项式”？请说明理由． (2)如果A＝x－2，B是A的“特别友好多项式”，那么： ①请举出一个符合条件的二项式B＝________． ②若B是三项式，请举出一个符合条件的B，并说明理由． (3)若A是三项式，是否存在同样是三项式的B，使得B是A的“友好多项式”？若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由．
10．若(x＋3)(x－5)＝x2＋mx＋n，则( D )
A．m＝－2，n＝15 B．m＝2，n＝－15
C．m＝2，n＝15

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2 (2a-3)(3a+1)-6a(a-4) 其中a= 17
转化
pa+pb+pc
14.1.4 整式的乘法
（第三课时）
多项式乘多项式
问题3 如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长为 a 米，宽为 p 米的长方形绿地，加长了 b 米，加宽了q 米，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
a
b
p q
a
b
扩大后的绿地面积为：
p
q
多项式×多项式
(a+b)(p+q)
例6：计算 (1)
(3x+1) (x+2) (2) ( x – 8y) ( x – y )
运算时要注意哪些问题？
①不能漏乘； ②各项应包括前面的符号，并注意确定积中各项的符号； ③多项式×多项式=多项式; ④结果有同类项时，要合并.
练习
1.计算：
（ 1）（ 2）
(2x+1)(x+3) (a+3b)(a－3b)
= ap+aq+bp+bq
= a(p+q) +b(p+q) 单项式×多项式转化
单项式×单项式
上面的等式为我们提供了多项式与 (a+b)(p+q)= ap +aq + bp + bq 多项式相乘的方法
多项式与多项式相乘的法则：
(a+b)(p+q)= ap +aq + bp + bq
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(1) (2)
2 x •
3 x
=
5 x
6 x
；；
2 3 （x ） =
(3) (4)2 3 （3来自y ） =3 6 27x y
；
2 3 －3ab •2a bc
= －6a4b3c ；
2 6a -15ab
(5) 3a（2a-5b）=
.
单项式×多项式的解题思想：单项式×多项式转化单项式×单项式
（ p a+b+c）
2 (a－1)
2 （3） (2x －1)(x－4)
（ 4）
例6计算:
(3)
2 2 (x+y)(x -xy+y )
检查是否漏项的方法：
两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积.
练习
2.计算：
(
2 x
+2x +3) ( 2x – 5 )
1.多项式与多项式相乘的法则：
(a+b)(p+q)= ap +aq + bp + bq
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2.多项式×多项式的解题思想：
多项式×多项式转化
单项式×单项式
练习3 填空：
5 x __ 6 ( x 2)( x 3) x __ 2 ( x 4)( x 1) x (-3) __ x (-4) __ 2 2 y (-8) ( y 4)( y 2) y __ __ 2 (-8) ( y 5)( y 3) y __ y 15 __
2
2
你能根据这个规律解决下面的问题吗？观察上面等式，你能发现什么规律？
pq ( x p)(x q) (x) （ p+q __ ） x __
请观察右图后，填空：
( x p)(x q) (x) （ p+q __ ） x pq __
2
综合运用：
先化简,再求值: