二次函数与四边形(题)典型压轴题
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7
2
x = B(0,A(6,
E
F
x
y
O
二次函数与四边形
一.二次函数与四边形的形状
1、(浙江义乌市) 如图,抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2. (1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;
(2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值; (3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是
平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由.
2、 (河南省实验区)如图,对称轴为直线7
2
x =
的抛物线经过点A (6,0)和B (0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E (x ,y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; ①当平行四边形OEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形?
②是否存在点E ,使平行四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理
由.
3、(四川省德阳市)如图,已知与x 轴交于点(10)A ,和(50)B ,的抛物线1l 的顶点为(34)C ,,抛物线2
l 与1l 关于x 轴对称,顶点为C '.(1)求抛物线2l 的函数关系式;(2)已知原点O ,定点(04)D ,,
2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称,则当点P 运动到何处时,以点D O P P ',,,为
顶点的四边形是平行四边形?(3)在2l 上是否存在点M ,使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形?若存,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.
4、(山西卷)如图,已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -,,(20)B -,,(08)E ,.(1)求抛
物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式;(2)设抛物线1C 的顶点为M ,抛物线2C 与x 轴分别交于C D ,两点(点C 在点D 的左侧),顶点为N ,四边形MDNA 的面积为S .若点A ,点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点M ,点N 同时以每秒
2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A 与点D 重合为止.求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式,并写出自变量t 的取值范围;(3)当t 为何值时,四边形MDNA 的面积S 有最大值,并求出此最大值;(4)在运动过程中,四边形MDNA 能否形成矩形?若能,求出此时t 的值;若不能,请说明理由. 5-
4- 3- 2- 1- 1 2 3 4 5 5
4
3
2
1 A
C
B
C '
1- O 2l
1l
x
y
二.二次函数与四边形的面积
5、(资阳市)如图10,已知抛物线P :y=ax 2
+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴
上),与y 轴交于点C ,矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上,顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上,抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:
x … -3 -2 1 2 … y
…
-52
-4
-52
…
(1) 求A 、B 、C 三点的坐标;
(2) 若点D 的坐标为(m ,0),矩形DEFG 的面积为S ,求S 与m 的函数关系,并指出m 的取值范围; (3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时,连接DF 并延长至点M ,使FM=k ·DF ,若点M 不在抛物线P 上,求k 的取值范围.
6、(辽宁省十二市07年).如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ,点H 的坐标为(-8,0),
点N 的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ,并写出顶点A ,B ,
C 的坐标(点M 的对应
点为A , 点N 的对应点为B , 点H 的对应点为C ); (2)求出过A ,B ,C 三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m ,且E ,F ,G 分别在线段CO ,OA ,AB 上,求四边形BEFG 的面积S 与m 之间
的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;面积S 是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m 的值,
并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.
图10
7、(吉林课改卷)如图,正方形ABCD 的边长为2cm ,在对称中心O 处有一钉子.动点P ,Q 同时
从点A 出发,点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动,到点C 停止,点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动,到点D 停止.P ,Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2
cm y .
(1)当01x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x 值;
(3)当12x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉 子到运动停止时POQ ∠的变化范围;
(4)当02x ≤≤时,请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象.