江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题

南京师大附中2018届高三年级模拟考试数 学 2018.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x | x 2－x －2＜0}，则A ∩B ＝▲________．2. 若复数z ＝1－i ，则z ＋1z的虚部是▲________．3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验 产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的 产品中抽取▲________件．4. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≤0，x ＋y ＋1≥0，x －y ＋3≥0，则目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值是 ▲ ．5. 小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率 是▲________．6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是▲________．BA 11B 1D（第6题）（第7题）7. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是 ▲ ．8. 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝20x的焦点相同，则双曲线的方程是▲________．9. 若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝▲________．10. “a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋1x＋sin x －a 2为奇函数”的▲________条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）11. 在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝▲________． 12. 已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B ．若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是▲________．13. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是▲________．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x ＞0，－x 2－6x －8，x ≤0，若方程g [f (x )]－a ＝0（a ＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a 的取值范围是▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量→m＝(－1，3)，→n＝(cos A，sin A)，且→m·→n＝1．（1）求A的值；（2）若1＋sin2Bcos2B－sin2B＝－3，求tan C的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB//EF；（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．17．(本小题满分14分)如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向63千米处．（1）警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；（2）警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系北PC AB（第16题）（第17题）的总时长？18．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆C 经过点(0，3)，离心率为12，直线l 过点F 2与椭圆C 交于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△F 1AF 2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F 1NF 2与△F 1AF 2面积的 比值；（3）设点A ，F 2，B 在直线x ＝4上的射影依次为 点D ，G ， E ．连结AE ，BD ，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于 定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是， 请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋a ，a ∈R ．（1）若a ＝1，求函数f (x )的极值； （2）若函数f (x )有两个零点，求a 的范围；（3）对于曲线y ＝f (x )上的两个不同的点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，记直线PQ 的斜率为k ， 若y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，证明：f ′(x 1＋x 22)＜k ．20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }均不是常数列，若a 1＝b 1＝1，且a 1，2a 2，4a 4成等比数列， 4b 2，2b 3，b 4成等差数列． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设m ，n 是正整数，若存在正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列， 求m ＋n 的最小值；（3）令c n ＝an bn ，记{c n }的前n 项和为T n ，{1an }的前n 项和为A n ．若数列{p n }满足p 1＝c 1，且对 n ≥2，（第18题）n ∈N*，都有p n ＝Tn －1n ＋A n c n ，设{p n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜4＋4ln n ．南师大附中2018届高三年级模拟考试数学附加题 2018.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定．．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在△ABC 中，已知AC ＝12AB ，CM 是∠ACB 的平分线，△AM C 的外接圆交BC 边于点N ，求证：BN =2AM ．（第21A 题）B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线 段AB 的长．D．选修4—5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：12a＋1＋42b＋1≥94．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S＝32的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．（第22题）23．(本小题满分10分)设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；（2）若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对(A，B)的个数．南师大附中2018届高三年级校模考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．{0，1}2．－21 3．10 4．5 5．1076．4 7．3328．120522=-y x 9．－2ln210．充分不必要11．912．)23,6[]623Y --，（ 13．2314．），（451二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 解：（1） 因为1=⋅n m ，所以(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即1cos sin 3=-A A ， ………2分则1)21cos 23(sin 2=⋅-⋅A A ，即21)6sin(=-πA ， ………4分又π<<A 0 ，所以5666A πππ-<-<， 故66ππ=-A ，所以3π=A ． ………6分（2）由题知3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，整理得 0cos 2cos sin sin 22=--B B B B………8分易知0cos ≠B ，所以02tan tan 2=--B B ，所以2tan =B 或1tan -=B ，………10分而1tan -=B 时0sin cos 22=-B B ，不合题意舍去， 所以2tan =B ，………12分故)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=πtan tan 1tan tan A B A B +=-=-．………14分16．(本小题满分14分)证明：（1） 因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB //CD ．………2分又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以AB //平面PDC ，………4分又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ， 所以AB //EF ．………7分（2） 因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD ．………8分因为AF ⊥EF ，（1）中已证AB //EF ，所以AB ⊥AF ， ………9分 又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上（异于点C ），所以F 点异于点D ，所以AF ∩AD ＝A ， AF ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ， ………12分 又AB ⊂平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ． ………14分17．(本小题满分14分)解：（1）在ABC ∆中，6=AB ，︒=∠60A ，︒=∠75APB由正弦定理，ABPAPB AB sin sin =∠，即64BP ===，故PB 的距离是9 2－36千米． ………4分 （2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()t f ，要保持通话则需要()9≤t f ．︒1当10≤≤t 时，()()()()︒-⋅⋅--+=60cos 31262312622t t t t t f9=≤， ………6分即071672≤+-t t ，解得71587158+≤≤-t ，又[]1,0∈t 所以17158≤≤-t ， ………8分 时长为7115-小时． ︒2当41≤<t 时，()()()︒-⋅--+=60cos 31262312362t t t f9=≤， ………10分即0362≤+-t t ，解得6363+≤≤-t ，又]4,1(∈t所以41≤<t ， ………12分 时长为3小时．3＋7115-＝（小时）．小时． ………14分 （注：不答扣1分）18．(本小题满分16分)解：（1）由题意，b ＝3，又因为c a ＝12，所以b a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x24＋y23＝1. ………4分 （2）因为点N 为△F 1AF 2的内心，所以点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则S △F 1NF 2S △F 1AF 2＝12×F 1F 2×r 12×(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)×r＝F1F2AF1＋AF2＋F1F2＝c a ＋c ＝13. ………8分（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点(52，0)， ………9分下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，⎩⎨⎧y ＝k(x －1)，x24＋y23＝1化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以△＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k23＋4k2，x 1x 2＝4k2－123＋4k2. ………11分由题意，D (4，y 1)，E (4，y 2)， 直线AE 的方程为y －y 2＝y2－y14－x1(x －4)，令x ＝52，此时y ＝y 2＋y2－y14－x1×(52－4)＝2(x1－4)y2＋3(y2－y1)2(x1－4)＝2(x1－4)k(x2－1)＋3k(x2－x1)2(x1－4)＝8k ＋2kx1x2－5k(x2＋x1)2(x1－4)＝8k ＋2k·4k2－123＋4k2－5k ·8k23＋4k22(x 1－4)＝8k·(3＋4k2)＋2k·(4k2－12)－5k·8k22(x1－4)(3＋4k2)＝24k ＋32k3＋8k3－24k －40k32(x1－4)(3＋4k2)＝40k3－40k32(x1－4)(3＋4k2)＝0，所以点T (52，0)在直线AE 上，同理可证，点T (52，0)在直线BD 上. ………16分所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).19．(本小题满分16分) 解：（1）'11()axf x a x x-=-=，0x >， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值； ………2分 当0a >时，1(0,),x a∈'()0f x >，()f x 在1(0,),a上单调递增； 1(,),x a∈+∞'()0f x <，()f x 在1(,),a+∞上单调递减， 函数有极大值1()ln 1f a a a=--，无极小值． ………4分 （2）由（1）可知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a ＞0时，函数有极大值1()ln 1f a a a =--，令()ln 1g x x x =--（x ＞0）， 11'()1x g x x x -=-=，(0,1)x ∈，'()0g x <，()0g x <在(0，1)上单调递减；(1,)x ∈+∞，'()0g x >，()g x 在(1，＋∞)上单调递增， 函数()g x 有最小值(1)0g =．要使若函数()f x 有两个零点时，必须满足01a a >≠且， ………6分 下面证明01a a >≠且时，函数有两个零点．因为(1)0f =，所以下面证明()f x 还有另一个零点． ①当01a <<时，1()ln 10f a a a=-->，222112ln 12ln 1()2ln a a a a a a f a a a a a a-+--+=-+-==-， 令2()2ln 1h a a a a =-+(01a <<)，'()2(ln 1)22(ln 1)0h a a a a a =+-=-+<， ()h a 在(0,1)上单调递减，()(1)0h a h >=，则21()0f a <，所以()f x 在211(,)a a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减， 所以()f x 在211(,)a a 上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．②当1a >时，1()ln 10f a a a=-->，111()0a a a f a a a a e e e=--⨯+=-⨯<，易证ae a >，可得11a e a <，所以()f x 在11(,)a e a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在11(,)a e a上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．综上，a 的范围是(0,1)(1,)+∞U ． ………10分 （3）证明：121221()()ln ln ()f x f x x x a x x -=-+-， 12122112121212()()ln ln ()ln ln f x f x x x a x x x x k a x x x x x x --+--===----，又'11()ax f x a x x -=-=，'12122()2x x f a x x +=-+， ………12分'121212112121212212111222ln ln 2()21()[ln ]22(1)1[ln ]1x x x x x x x f k x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=-=-+--+-=--+不妨设0＜x 2＜x 1， t ＝x1x2，则t ＞1，则1211222(1)2(1)ln ln 11x x x t t x x t x ---=-++．令2(1)()ln 1t h t t t -=-+（1t >）， 则22(1)'()0(1)t h t t t-=-<+， 因此h (t )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (1)＝0. 又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0，所以f ′(x 1＋x 22)－k ＜0，即f ′(x 1＋x 22)＜k ． ………16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等差数列的公差为d （d ≠0），等比数列在公比为q （q ≠1），由题意得：222141112332411144()(3)4444a a a a d a a d b b b b q b q b q⎧⎧=+=+⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，，解得d ＝1，q ＝2， ………4分 所以1,2n n n a n b -==.（2）由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列， 有2m n i m j n k a a b a b a b =+， 即1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅ ，由于i j k <<，且为正整数，所以1,2j i k i -≥-≥， 所以22224j ik i mn m n m n --=⋅+⋅≥+， ………6分可得 2mn m n ≥+， 即211m n +≤， ①当1≤m ≤2时，不等式211m n+≤不成立；②当42m n =⎧⎨=⎩ 或 33m n =⎧⎨=⎩时 1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅成立； ………8分③当4n ≥时，01>n ，12<m，即2>m ，则有6>+n m ； 所以n m +的最小值为6，当且仅当1=-i j ，2=-i k 且42m n =⎧⎨=⎩ 或 33m n =⎧⎨=⎩时取得． ………10分（3）由题意得：1221(1)22c p c =++ 123311(1)323c c p c +=+++L123123111(1)()23111(1)23n nn nS p p p p c c c c n T n=++++=++++++++=++++L L L L ………11分123n n T c c c c =++++L （1）1211112222n n T c c c =+++L （2） （1）—（2）得1111111224822n n n nT -=+++++-L1122()()22n nn =-- ， ………12分求得 114(2)()42n n T n -=-+<，所以 1114(1)23n S n <++++L ，设1()ln 1(1)f x x x x =+->，则22111()0x f x x x x-'=-=>，所以 ()f x 在(1,)+∞上单调递增，有()(1)0f x f >=，可得 1ln 1x x>-. ………14分 当2k ≥，且k ∈N*时，11kk >-，有11ln 11k k k k k ->-=- ，所以12131ln ,ln ,,ln 21321nn n <<<-L ，可得1112311ln ln ln1ln 23121nn n n ++++<++++=+-K K ， 所以1114(1)4(1ln )23n S n n<++++<+L . ………16分南师大附中2018届高三年级校模考试 数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定．．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明： 如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以AC BC ＝AMBM． 又AC ＝12AB ，所以 AB BC ＝2AMBM ① …………… 4分因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以，BM ·BA ＝BN ·BC ，即 AB BC ＝BNBM② ……………8分 由①、②可知2AM BM ＝BNBM， 所以 BN =2AM ． ……………10分B ．选修4—2：矩阵与变换 解： 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4． …………… 3分因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x )－4＝0，解得x ＝1． …………… 6分 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1． ……………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆C ：ρ＝22cos θ直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2． 直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ． …………… 6分圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1． …………… 8分所以AB ＝2． ……………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：证法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(12a ＋1＋42b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋1≥5＋22b ＋12a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋1＝9． ……………8分 而 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94 ． …………… 10分证法二 因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得 (12a ＋1＋42b ＋1)[(2a ＋1)＋(2b ＋1)] ≥(12a ＋12a ＋1 ＋42b ＋12b ＋1 )2 ＝(1＋2)2＝9． …………… 8分 由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4， 所以12a ＋1＋42b ＋1≥94． ……………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C36种不同选法， 其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种， 所以P (S ＝32)＝12C36＝35. ……………3分 （2）S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种， 所以P (S ＝34)＝6C36＝310. ……………5分 S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，所以P (S ＝334)＝2C36＝110. ……………7分又由（1）知P (S ＝32)＝12C36＝35，故S 的分布列为所以E(S)＝34×310＋32×35＋334×110＝9320. ……………10分23．(本小题满分10分)解：（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，则A＝∅，{a1}，{a2}，则(A，B)的个数为3；若集合B含有1个元素，则B有12C种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，此时(A，B)的个数为12C×1＝2.综上，(A，B)的个数为5. …………3分（2）集合M有2n子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1). …………5分若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为C0n(C0n－1)＋C1n(C1n－1)＋C2n(C2n－1)＋…＋Cn n(Cn n－1)＝(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cn n)2－(C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cn n). …………7分又(x＋1)n(x＋1)n的展开式中x n的系数为(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cn n)2，且(x＋1)n(x＋1)n＝(x＋1)2n的展开式中x n的系数为Cn2n，所以(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cn n)2＝Cn2n.因为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cn n＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对(A，B)的个数为Cn2n－2n. …………9分所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1)－(Cn2n－2n)2＝22n－Cn2n2. …………10分。