江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题

南京师大附中2018届高三年级模拟考试

数 学 2018.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：

锥体的体积公式：V ＝1

3Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的

指定位置上）

1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x | x 2－x －2＜0}，则A ∩B ＝▲________．

2. 若复数z ＝1－i ，则z ＋1

z

的虚部是▲________．

3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验 产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的 产品中抽取▲________件．

4. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≤0，

x ＋y ＋1≥0，x －y ＋3≥0，

则目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值是 ▲ ．

5. 小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率 是▲________．

6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是▲________．

B

A 1

1

B 1

D

（第6题）

（第7题）

7. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是 ▲ ．

8. 已知双曲线x2a2－y2

b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝20x

的焦点相同，则双曲线的方程是▲________．

9. 若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝▲________．

10. “a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋1x

＋sin x －a 2为奇函数”的▲________条件．（填“充分不必要”，“必

要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）

11. 在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝▲________． 12. 已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B ．若O 是坐标原点，且

|OA →＋OB →

|≥

22

|AB →|，则实数b 的取值范围是▲________．

13. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →

，则cos C 的最小值是▲________．

14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x ＞0，

－x 2－6x －8，x ≤0，若方程g [f (x )]－a ＝0（a ＞0）有6个实

数根（互不相同），则实数a 的取值范围是▲________．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把

答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量→

m＝(－1，3)，

→

n＝(cos A，sin A)，且

→

m·

→

n＝1．

（1）求A的值；

（2）若1＋sin2B

cos2B－sin2B＝－3，求tan C的值．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），

平面ABE与棱PD交于点F．

（1）求证：AB//EF；

（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．

17．(本小题满分14分)

如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向

63千米处．

（1）警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；

（2）警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效

通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系

北

P

C A

B

（第16题）

（第17题）

的总时长？

18．(本小题满分16分)

如图，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆C 经过点(0，

3)，

离心率为1

2，直线l 过点F 2与椭圆C 交于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程；

（2）若点N 为△F 1AF 2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F 1NF 2与△F 1AF 2面积的 比值；

（3）设点A ，F 2，B 在直线x ＝4上的射影依次为 点D ，G ， E ．连结AE ，BD ，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于 定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是， 请说明理由．

19．(本小题满分16分)

已知函数f (x )＝ln x －ax ＋a ，a ∈R ．

（1）若a ＝1，求函数f (x )的极值； （2）若函数f (x )有两个零点，求a 的范围；

（3）对于曲线y ＝f (x )上的两个不同的点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，记直线PQ 的斜率为k ， 若y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，证明：f ′(x 1＋x 2

2)＜k ．

20．(本小题满分16分)

已知等差数列{a n }和等比数列{b n }均不是常数列，若a 1＝b 1＝1，且a 1，2a 2，4a 4成等比数列， 4b 2，2b 3，b 4成等差数列． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；

（2）设m ，n 是正整数，若存在正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列， 求m ＋n 的最小值；

（3）令c n ＝an bn ，记{c n }的前n 项和为T n ，{1an }的前n 项和为A n ．若数列{p n }满足p 1＝c 1，且对 n ≥2，

（第18题）