辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线的标准方程导学案新人教B版1-1 精
辽宁省北票市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及标准方程2导学案无答案新人教B版选修1_1
2.1.1椭圆及标准方程（2）一、 学习目标及学法指导1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．二、预习案复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 __________________________ ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是 ．提问: 椭圆的定义,椭圆的标准方程及如何判别椭圆的焦点在哪个轴上基础训练:1.已知方程22+=1410x y k k-- ⑴若方程表示焦点在x 轴的椭圆，则实数k 的取值范围⑵若方程表示焦点在y 轴的椭圆，则实数k 的取值范围 .2. 过椭圆22+=1259x y 的左焦点()1F 4,0-作直线l 交椭圆于A,B 两点，()2F 4,0是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长为三、课中案题型一 求椭圆的方程(基本量运算)例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) 两焦点的坐标分别是()()4,0,4,0-,椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10;(2) 两个焦点分别是()()122,0,2,0F F -,且椭圆经过点53,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭分析: 可类比圆的方程的求法,先确定椭圆的标准方程的形式,用待定系数法求解 (椭圆有两种标准方程,要注意选择或分类讨论)变式(1) 椭圆的两个焦点的距离是8,椭圆上一点到两焦点的距离和等于10讨论: 方程类型是否确定,有几解?变式(2) 椭圆经过点35,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 思考: 此时类型不太明显,要不要分两种情况,如何设方程可避免讨论?得出: 可设方程()2210,0,x y m n m n m n+=>>≠练习:若椭圆的两焦点为()()124,0,4,0F F -,椭圆的弦AB 过21F ABF ∆，的周长20,求该椭圆的方程※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上．题型二 求轨迹方程例210=指出它所表示的曲线例3已知B,C 是两个定点,BC=6,且C AB ∆周长等于16,求顶点A 的轨迹方程.分析: 合理建立坐标系,而建立坐标系是为了直接用标准方程,两种中选一种注意:例4已知定圆221:40C x y x ++=,圆222:4600C x y x +--=,动圆M 和定圆1C 外切和圆2C 内切,求动圆的圆心M 的轨迹方程例5在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例6设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．四、课后案1.点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？2求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．3.一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．4.“m >n >0”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.设集合{}1,2,3,4A =m n A ,,∈,则方程221y x m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆的个数是 ( )A.6B.8C.12D.166.已知椭圆的标准方程为221(0)25y x m m +=>并且焦距为6,则实数m 的值为 .。
辽宁省北票市高级中学高中数学选修4-4导学案：2-3圆锥曲线的参数方程 精品
高二数学选修4-4第二章第三节圆锥曲线的参数方程
一、 学习目标及学法指导
1．学习目标：掌握椭圆的参数方程并能灵活应用它解题，了解抛物线、双曲线的参数方程 2．重、难、考点：椭圆的参数方程
二、预习案
自主学习：预习教材41-46页并完成下列问题
中心在点M 0(x 0,y 0)的椭圆1)()(2
2
0220=-+-b
y y a x x 的参数方程为_________________
三、课中案
典例分析
例1（1） 椭圆的方程为
15
)2(3)1(2
2=++-y x ，写出它的参数方程
（2）已知椭圆的参数方程为)(sin 4cos 2为参数t t
y t x ⎩⎨
⎧==，点M 在椭圆上，对应参数3π
=t ，
点O 为原点，求直线OP 的倾斜角α
变式1：（1）写出椭圆x 2+4y 2=16的参数方程
（2）椭圆的参数方程为)(sin 22cos 31为参数t t
y t x ⎩⎨
⎧+-=+=，点P 为椭圆上对应6π
=t 的点，求
直线OP 的斜率
四．课堂检测：
六．课堂小结。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质(1)导学案(无答案)新人教B版选修1-1
2.1.2椭圆的几何性质（1）一、 学习目标及学法指导1.掌握椭圆的几何性质,掌握椭圆中,,,a b c e的几何意义,以及,,,a b c e 的相互关系.2.对照图像理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.二、预习案学生阅读教材第38～40页到例1前要求:1.要抓住如何根据椭圆的标准方程推出椭圆的性质这一主线和重点.2.要理解第一次出现的有关概念,并加以识记.3.要结合教材上图2-5,2-6,体会形数结合与统一的奥妙.问题:1.讨论范围时,由标准方程怎样推出122≤a x ,122≤by 的?其推理的根据是什么? 2.讨论“对称性”时,为什么“把y 换成y -,方程不变”图形就关于x 轴对称呢?3.在讨论“离心率”时,教材中有句“从而22c a b -=越小,因此椭圆越扁吗?4.说出椭圆12222=+by a x (0,0>>b a )的范 围、对称性、顶点和离心率,注意其中哪些性质与椭圆的焦点在哪条坐标轴无关.总结:椭圆()222210x y a b a b+=>>的几何性质: ※ 学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？三、课中案※典型例题例1.求椭圆1162522=+y x 的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.练习:说出下列椭圆的范围、对称性、顶点和离心率.1. 4422=+y x2. 16422=+y x小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；②注意焦点所在坐标轴．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长为20,离心率为53 分析:1.求椭圆的标准方程,关键是求什么?用什么数学方法来解?2.所求的标准方程是否唯一,为什么? 3.在无法判断焦点位置时,如何解?(2)焦距为6,离心率为53(3)经过点)0,3(-P ,)2,0(Q练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程1) 经过点)0,2(P ,)233,1(Q 2) 与椭圆369422=+y x 有相同的焦点,且离心率为55 例3.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点）距地面439km,远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，AB 是椭圆的长轴，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程.四、课后案离心率e =，则m 的值是 1．若椭圆2215x y m +=的（ ）．A ．3B ．3或253C ．2．，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ）．A ．3B ．6C ．12D ．243．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．4．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．5．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ．6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．7、 设F 是椭圆的一个焦点，1BB 是短轴，160BFB ∠=o ,求椭圆的离心率 .8、下列方程表示的曲线关于x 轴,y 轴和原点都对称的是 ,关于三者都不对称的是⑴223820x y += ⑵2213y x -= (3)220x y += (4) 220x xy y ++=9、若椭圆()2222 +=10x y a b a b >>过点（3，－2），离心率为33,求,a b 的值.。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2
2.1.2椭圆的几何性质（4）一、 学习目标及学法指导1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系及弦长公式．二、预习案复习1： 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（ ）（ ）；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？复习3、怎样求直线与圆的交点坐标？问题：直线与椭圆的位置关系如何判断？1、对于直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b+=的位置关系的判断常通过联立方程组，讨论解的个数 方程组222201Ax By C x y ab ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩2、弦长公式：设对于直线y kx m =+与椭圆22221x y a b+=交于AB 两点，则AB =_______三、课中案※ 典型例题例1：当m 取何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？例2：已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点交椭圆于,A B 两点，求弦长AB例3：椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，若AB =OC 的斜率为2，求椭圆方程例4：（11江苏，18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆22142x y +=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB※ 学习小结 1 ．椭圆在生活中的运用；2 ．椭圆与直线的位置关系：相交、相切、相离（用∆判定）．3 ．直线与椭圆相交，得到弦，弦长12l x -= 其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．四、课后案1.点(),1A a 在椭圆22142x y +=的内部,则a 的取值范围是2. 若直线1()y kx k R =-∈与椭圆2214x y m +=恒有公共点，求实数m 的取值范围是3.过椭圆2224x y +=的左焦点作倾斜角为30的直线,则弦长AB=4.椭圆22116x y m+=的两个焦点为12,F F 且126F F =,弦AB 过点1F ,且△2ABF 的周长为20,则m =5.AB 是过椭圆()222210x y a b a b+=>>中心的弦,(),0F c 是椭圆的右焦点,则△AFB 的面积的最大值是6.中心在原点,一个焦点为(F 的椭圆被直线32y x =-所截得的弦的中点的横坐标是12,求椭圆的方程7.已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积8.已知椭圆221164x y +=和直线20x y +-=,椭圆上是否存在一点P,使得P 点到直线的距离最大?最大距离是多少?9.求椭圆内接矩形的最大面积.。
[推荐学习]高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课堂导学案
![[推荐学习]高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课堂导学案](https://img.taocdn.com/s3/m/8259d2c35ef7ba0d4a733bf3.png)
2.4.1 抛物线的标准方程课堂导学三点剖析一、求抛物线的方程【例1】 分别求适合下列条件的抛物线方程.(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为25. （3）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x+3y+15=0上.解：(1)由题意,方程可设为y 2=mx 或x 2=ny,将点A(2,3)的坐标代入,得32=m\52或22=n\53,∴m=29或n=34. ∴所求的抛物线方程为y 2=29x 或x 2=34y. (2)由焦点到准线的距离为25,可知p=25, ∴所求抛物线方程为y 2=5x 或y 2=-5x 或x 2=5y 或x 2=-5y.（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.∴抛物线的焦点为（0，-5）或（-15，0）.∴所求抛物线的标准方程为y 2=60x 或x 2=-20y.温馨提示(1)抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.(2)抛物线的标准方程中只有一个参数p,即焦点到准线的距离,常称为焦参数.二、求动点的轨迹方程【例2】 平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程.解法一：设P 点的坐标为（x ，y ），则有 22)1(y x +-=|x|+1，两边平方并化简得y 2=2x+2|x|.∴y 2=⎩⎨⎧<≥,0,0,0,4x x x 即点P 的轨迹方程为y 2=4x （x≥0）或y=0（x ＜0）.解法二：由题意，动点P 到定点F （1，0）的距离比到y 轴的距离大1.由于点F （1，0）到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y=0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P 到点F （1，0）与到直线x=-1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x=-1为准线的抛物线，方程为y 2=4x.故所求动点P 的轨迹方程为y 2=4x （x≥0）或y=0（x ＜0）.温馨提示求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解.三、利用抛物线的定义解题【例3】如右图，若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则｜PA ｜+｜PF ｜取得最小值时点P 的坐标是…（ ）A.(0，0)B.(1，1)C.(2，2)D.(12，1) 解析:∵｜PF ｜等于P 点到准线的距离，A 在抛物线内部，∴｜PA ｜+｜PF ｜的最小值是由A 点向抛物线的准线x=-21作垂线(垂足为B)时垂线 段AB 的长度.∴｜PA ｜+｜PF ｜最小时，P 点的纵坐标为2，从而得点P 的横坐标为2.∴P 点的坐标为(2，2).答案:C温馨提示本题根据抛物线的定义，运用数形结合的方法简捷地得出了答案.各个击破类题演练 1抛物线y 2=2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y=2x ，斜边长是53，求此抛物线方程.解:设△AOB 为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ，AO 边的方程是y=2x,则OB 边方程为y=-21x. 由⎩⎨⎧==.2,22px y x y 可得A 点坐标为（2p ，ｐ）. 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x y 2,212,可得B 点坐标为（8p,-4ｐ）. ∵｜ＡＢ｜＝５3， ∴,35)82()4(22=-++p p p p . ∵p＞0,解得p=13392, ∴所求的抛物线方程为y 2=13394x.变式提升 1根据下列条件，求出抛物线的标准方程.（1）过点（-3，2）.（2）焦点在x 轴上，且抛物线上一点A （3，m ）到焦点的距离为5.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=-2px ，或x 2=2py （p ＞0）.∵抛物线过点（-3，2），∴4=-2p （-3），或9=2p×2， ∴p=32或p=49， ∴所求抛物线方程为y 2=34 x ，或x 2=29y. （2）由题意，可设抛物线的方程为y 2=2px （p ＞0）.A （3，m ）到焦点距离为5，∴2p +3=5.即p=4.∴所求抛物线方程为y 2=8x.类题演练 2过点A （3，0）且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线 答案：D变式提升 2已知圆A ：（x+2）2+y 2=1与定直线l ：x=2，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程.解析：依题意可知，P 到圆心A （-2，0）的距离和到定直线x=2的距离相等.∴P 点轨迹为抛物线，且p=4.∴P 点轨迹方程为y 2=-8x.类题演练 3求到（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1的动点的轨迹方程.解析：∵动点到（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1.∴动点到点（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，则动点轨迹是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线.故动点的轨迹方程为y 2=4x.变式提升 3抛物线y 2=16x 上一点P 到x 轴的距离为12，则点P 与焦点F 间的距离|PF|=_________________.答案：13。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修11
方法技巧 涉及平面内到定点距离与定直线(点不在直线上)距离相等 的点的轨迹可直接用抛物线定义求方程.
即时训练1:若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,
则点M的轨迹方程是
.
解析:依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x=-4的距离,因此其轨迹 是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,所以其方程为y2=16x. 答案:y2=16x
2
|PF|=|y|+ p . 2
课堂探究 素养提升
题型一 定义法求抛物线的方程
【例1】 若动圆M与圆C:(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,求动圆圆心 的轨迹方程.
名师导引:根据动圆与定圆及定直线相切的几何条件,列出动圆圆心满足 的等量关系式求解.
解:设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,由已知可得定圆圆心为 C(2,0), 半径 r=1. 因为两圆外切,所以|MC|=R+1. 又动圆 M 与已知直线 x+1=0 相切, 所以圆心 M 到直线 x+1=0 的距离 d=R.所以|MC|=d+1. 即动点 M 到定点 C(2,0)的距离等于它到定直线 x+2=0 的距离. 由抛物线的定义可知,点 M 的轨迹是以 C 为焦点,x+2=0 为准线的抛物
题型三 抛物线定义的应用
【例3】 若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则
|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为
.
解析:将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6 . 因为 6 >2,所以 A 在抛物线内部,如图.
部编版2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程课时作
2.3.1 抛物线及其标准方程【基础巩固】1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D )(A)直线 (B)椭圆 (C)线段 (D)抛物线解析:因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选D.2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为( B )(A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(-1,0)解析:因为准线方程为x=-2=-,所以焦点为(,0),即(2,0).故选B.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( D )(A)y=-3x2 (B)y2=9x(C)y2=-9x或y=3x2(D)y=-3x2或y2=9x解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=my,将(1,-3)代入得m=-,所以方程为y=-3x2.故选D.4.(2018·南昌高二月考)已知P(8,a)在抛物线y2=4px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( B )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:根据题意可知,P点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选B.5.(2017·海南高二期中)过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是( D )(A)y2=12x (B)y2=-12x(C)x2=-12y (D)x2=12y解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.故选D.6.(2016·泉州南安三中期中)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )(A)(B)3 (C)(D)解析:依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F(,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|==.故选A.7. (2018·贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系(图略),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,解得x=±.所以水面宽为2米.答案:28.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)因为点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,所以抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p>0),因为M到焦点的距离为5,所以3+=5,所以p=4.所以抛物线的方程为y2=-8x.把点M(-3,m)代入抛物线方程得m2=24.所以m=±2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.【能力提升】9.(2018·杭州高二质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( C )(A)(B)(C)3 (D)2解析:过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.10.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为( D )(A)12 (B)24 (C)16 (D)32解析:当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,所以+=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,所以y1+y2=,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,+≥32.所以+的最小值为32.故选D.11.(2018·成都诊断)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为.解析:如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.答案:-112.(2017·孝感高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线是直线l:x=-2,焦点是F.(1)求抛物线C的方程;(2)若l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,且M到焦点F的距离为8,求△AFM的面积S.解:(1)由已知得-=-2,所以p=4,所以抛物线C的方程是y2=8x.(2)由已知得A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4,设抛物线上的点M(x0,y0),由抛物线的定义知|MF|=x0+=x0+2=8,所以x0=6,代入y2=8x,得=8×6=48,所以|y0|=4,所以S=|AF||y0|=×4×4=8.【探究创新】13.(2018·沈阳高二质检)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是.解析:抛物线焦点F(1,0),由题意0<a<1,且∠AFB=90°并被x轴平分,所以点(-1,2)在双曲线上,得-=1,即b2==c2-a2,即c2=+a2=,所以e2===1+, 因为0<a<1,所以e2>5,故e>.答案:(,+∞)。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程课时作
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.3.1 抛物线及其标准方程【基础巩固】1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D )(A)直线 (B)椭圆 (C)线段 (D)抛物线解析:因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选D.2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为( B )(A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(-1,0)解析:因为准线方程为x=-2=-,所以焦点为(,0),即(2,0).故选B.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( D )(A)y=-3x2 (B)y2=9x(C)y2=-9x或y=3x2(D)y=-3x2或y2=9x解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=my,将(1,-3)代入得m=-,所以方程为y=-3x2.故选D.4.(2018·南昌高二月考)已知P(8,a)在抛物线y2=4px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( B )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:根据题意可知,P点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选B.5.(2017·海南高二期中)过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是( D )(A)y2=12x (B)y2=-12x(C)x2=-12y (D)x2=12y解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.故选D.6.(2016·泉州南安三中期中)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )(A)(B)3 (C)(D)解析:依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F(,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|==.故选A.7. (2018·贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系(图略),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,解得x=±.所以水面宽为2米.答案:28.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)因为点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,所以抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p>0),因为M到焦点的距离为5,所以3+=5,所以p=4.所以抛物线的方程为y2=-8x.把点M(-3,m)代入抛物线方程得m2=24.所以m=±2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.【能力提升】9.(2018·杭州高二质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( C )(A)(B)(C)3 (D)2解析:过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.10.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为( D )(A)12 (B)24 (C)16 (D)32解析:当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,所以+=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,所以y1+y2=,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,+≥32.所以+的最小值为32.故选D.11.(2018·成都诊断)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为.解析:如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.答案:-112.(2017·孝感高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线是直线l:x=-2,焦点是F.(1)求抛物线C的方程;(2)若l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,且M到焦点F的距离为8,求△AFM的面积S.解:(1)由已知得-=-2,所以p=4,所以抛物线C的方程是y2=8x.(2)由已知得A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4,设抛物线上的点M(x0,y0),由抛物线的定义知|MF|=x0+=x0+2=8,所以x0=6,代入y2=8x,得=8×6=48,所以|y0|=4,所以S=|AF||y0|=×4×4=8.【探究创新】13.(2018·沈阳高二质检)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是.解析:抛物线焦点F(1,0),由题意0<a<1,且∠AFB=90°并被x轴平分, 所以点(-1,2)在双曲线上,得-=1,即b2==c2-a2,即c2=+a2=,所以e2===1+,因为0<a<1,所以e2>5,故e>.答案:(,+∞)。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2
2.1.2椭圆的几何性质（2）一、 学习目标及学法指导1.进一步掌握椭圆的基本几何性质,对给定 的椭圆标准方程能熟练说出其几何性质,并 画出图形.2.能根据给定条件用待定系数法求椭圆的标 准方程.3.能根据椭圆的几何性质,解决有关问题. 二、预习案 （一）基础知识梳理1.椭圆的定义：①若P 为椭圆上任意一点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，则1PF PF +②若2a=21F F ,则轨迹为2.椭圆的几何性质（填写下表）3.椭圆类型的判断方法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设)0,0(122>>=+n m ny m x 可以避免讨论和繁杂的记算，也可设为)0,0(122>>=+B A By Ax 这种形式在解题中更简便。
练习:说出下列椭圆的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率. 1) 369422=+y x 2) 10042522=+y x三、课中案※ 典型例题例1：根据下列条件分别求椭圆的方程⑴和椭圆364922=+y x 有相同的焦点，且经过Q(2,-3)（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3，2)；求椭圆方程（3）已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例2.一个椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,P 是椭圆上的一点,P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于510-,试求该椭圆的离心率及其方程.例3：椭圆22+ =194x y 的焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动， ①求证：当点P 横坐标为0时，∠F 1P F 2最大。
②当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的变化范围是多少?例4：已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -，（m 是大于0的常数）（1）求椭圆方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，且Q 到点)P 的最远距离为求m 的值变式 已知M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中1F 是椭圆的一个焦点. 小结:1、待定系数法是十分重要的数学方法.2、函数思想求最值3、椭圆2222 +=1x y a b 和()2222 +0x y k k a b=>具有相同的四、课后案1.椭圆221259x y +=的焦点12,,F F P 为椭圆上的点,已知1290F PF ∠=o ,则△12F PF 的面积为 _____2.设12,F F 是椭圆22134x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一点,且121PF PF -=,则12cos F PF ∠=3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到,求该椭圆的标准方程.4.中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于35,则此椭圆的方程为5.椭圆的一个顶点()0,2,离心率为12e =,坐标轴为对称轴的椭圆方程为6.椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距是c ,若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ,求椭圆的离心率.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程导学案北师大版选修1-1
2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一 双曲线的定义思考1 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？－|2MF |＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|2MF |－|1MF |曲线上的点满足条件： 答案.常数，可得到另一条曲线＝|1MF | 思考 2 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？；6＝|x －52＋y2－x ＋52＋y2(1)| 6.＝x －42＋y2－x ＋42＋y2(2)、0)，5－(1F 到两定点)y ，x (P 表示点|x －52＋y2－x ＋52＋y2(1)∵|答案，|2F 1F 6<|＝||2PF |－|1PF ∴||，10＝|2F 1F |的距离之差的绝对值，0)，(52F 故点P 的轨迹是双曲线.的0)，(42F 、0)，4－(1F 到两定点)y ，x (P 表示点x －42＋y2－x ＋42＋y2(2)∵，8＝|2F 1F |距离之差， ，|2F 1F 6<|＝|2PF |－|1PF ∴| 故点P 的轨迹是双曲线的右支.的点的|)2F 1F |大于零且小于(的距离之差的绝对值等于常数2F ，1F 把平面内到两定点 梳理.双曲线的焦距，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦点叫作2F ，1F 定点.集合叫作双曲线 知识点二 双曲线的标准方程思考1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？的系数为正2x 当.的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴2y 与2x 双曲线标准方程中 答案.轴上，而与分母的大小无关y 的系数为正时，焦点在2y 轴上；当x 时，焦点在 思考2 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？.B 轴于点y 为半径画圆交2OF 为圆心，以线段A 轴的交点x 以双曲线与 答案类型一 双曲线的定义及应用命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题 例 1 (1)如图，已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为________.＝2PF 1F ∠使得P ，若双曲线上一点2F 、1F 的左、右焦点分别是1＝y216－x29已知双曲线(2)________.的面积为2PF 1F △，则60° 3(2)16 m 2＋a (1)4 答案 ，a 2＝|2AF |－|1AF |由双曲线的定义，知(1) 解析 .a 2＝|2BF |－|1BF | ，|AB |＝|2BF |＋|2AF |又 |AB |＋|1BF |＋|1AF |的周长为1ABF △所以 ＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m .5.＝c ，4＝b ，3＝a ，得1＝y216－x29由(2) ，±6＝|2PF |－|1PF |由定义和余弦定理，得 ，|cos 60°2PF |·|1PF 2|－2|2PF |＋2|1PF |＝2|2F 1F |，|2PF |·|1PF |＋2|)2PF |－|1PF (|＝210所以 ，64＝|2PF |·|1PF |所以 2PF 1F |sin∠2PF ||1PF |12＝∴.316＝32×64×12＝ 引申探究.的面积2PF 1F △，其他条件不变，求90°＝2PF 1F ∠中若(2)本例 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ，6＝a 2＝||2PF |－|1PF ||由双曲线的定义得 36.＝|2PF |·|1PF 2|－2|2PF |＋2|1PF |所以① 中，由勾股定理得2PF 1F Rt△在 100.＝2)c (2＝2|2F 1F |＝2|2PF |＋2|1PF |② ，32＝|2PF |·|1PF |得①代入②将 16.＝|2PF |·|1PF |12＝所以反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法；a 2＝||2PF |－|1PF ||根据双曲线的定义求出①方法一：(1) 之间满足的关系式；|2F 1F |，|2PF |，|1PF |利用余弦定理表示出② 的值；|2PF |·|1PF |通过配方，利用整体的思想求出③ .求得面积2PF 1F |sin∠2PF |·|1PF ×|12＝利用公式④ .求得面积)点的纵坐标P 为P y |(P y |×|2F 1F ×|12＝方法二：利用公式(2) ||2PF |－|1PF ||特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件.间的关系|2PF |·|1PF |，2|2PF |＋2|1PF |的变形使用，特别是与a 2＝ ＝|1PF |上，C 在P 的左，右焦点，点2＝2y －2x ：C 为双曲线2F ，1F 已知 1跟踪训练)(等于2PF 1F cos ∠，则|2PF 2| 45D.34C. 35B. 14A. 答案 C，22＝|2PF |－|1PF |由双曲线的定义得 解析 ，24＝|1PF |，22＝|2PF ∴|，|2PF 2|＝|1PF |又 ，4＝|2F 1F | 中由余弦定理：2PF 1F △在|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝2PF 1F cos ∠ .34＝422＋222－422×42×22＝命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程例2 已知在△ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，B (－1，0)，C (1，0)，求满足sin C －sin.的轨迹A 的顶点A sin 12＝B 解 如图所示，，A sin 12＝B sin －C ∵sin ∴根据正弦定理a sin A，c sin C ＝b sin B ＝|.BC 1<|＝|AC |－|AB |，即1＝×212＝a 12＝b －c 得 ∴点A 的轨迹符合双曲线的定义.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(不包括点A 在BC 上的情况).反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值.(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.内切，则2＝2y ＋24)－x (：2C 外切，与圆2＝2y ＋24)＋x (：1C 与圆M 已知动圆 2跟踪训练动圆圆心M 的轨迹方程为( )) 2≥x 1(＝y214－x22A.1＝y214－x22B. 1 ＝y22－x214C.1＝y214＋x22D.答案 A解析 设动圆M 的半径为r ，则由已知得，2－r ＝|2MC |，2＋r ＝|1MC | .22＝|2MC |－|1MC |所以 ，0)，(42C ，0)，4－(1C 又 ，|2C 1C <|22，所以8＝|2C 1C |所以 为焦点的双曲线的右支，0)，(42C ，0)，4－(1C 的轨迹是以M 根据双曲线定义知，点 ，4＝c ，2＝a 因为，14＝2a －2c ＝2b 所以 ).2≥x 1(＝y214－x22的轨迹方程是M 所以点 类型二 求双曲线的标准方程 例3 求下列双曲线的标准方程.；)10，2－(有公共焦点，且过点1＝x216＋y225与椭圆(1) (2)焦距为26，且经过点M (0，12)；.，且焦点在坐标轴上5)，163－(Q ，)154，(3P 过点(3) ，3)，－(01F 的焦点为1＝y225＋x216椭圆 方法一(1) 解 3).，(02F ，>0)b ，>0a 1(＝x2b2－y2a2设双曲线的方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧a2＝5，b2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧10a2－4b2＝1，a2＋b2＝9，则有 1.＝x24－y25故所求双曲线的方程为 轴上，y 知焦点在1＝y225＋x216由椭圆方程 方法二 <25).λ1(16<＝x2λ－16－y225－λ设所求双曲线方程为，1＝4λ－16－1025－λ，所以)10，2－(因为双曲线过点 解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 1.＝x24－y25故所求双曲线的方程为 (2)∵双曲线经过点M (0，12)，∴M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.25.＝2a －2c ＝2b ∴，13＝c ∴，26＝c 2又 1.＝x225－y2144双曲线的标准方程为∴ <0).mn 1(＝2ny ＋2mx 设双曲线方程为(3) 在双曲线上，5)，163－(Q ，)154，(3P 因为点⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，所以 1.＝x216－y29故所求双曲线方程为 反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.；<0)AB 1(＝2By ＋2Ax 若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为① －1(＝y2b2＋k－x2a2－k 共焦点的双曲线的标准方程可设为0)＞b ，0＞a 1(＝y2b2－x2a2与双曲线②).2a ＜k ＜2b (3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程. 轴上；x ，焦点在2)，5－(A ，经过点6＝c (1) ；)22，6(2Q 和点2)，－(4P 经过点(2) 4).，15(有共同的焦点，且过点1＝y236＋x227已知双曲线与椭圆(3) ，>0)b ，>0a 1(＝y2b2－x2a2设双曲线标准方程为(1) 解 .2a －6＝2a －2c ＝2b ∴，6＝c ∵ ，1＝4b2－25a2由题意知 ，1＝46－a2－25a2∴ ).舍30(＝2a 或5＝2a 解得 1.＝2y －x25双曲线的标准方程为1.∴＝2b ∴ <0).mn 1(＝2ny ＋2mx 设双曲线方程为(2) 在双曲线上，)22，6(2Q 和点2)，－(4P 点∵ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，∴1.＝y24－x28双曲线的方程为∴ ，3)，(02F ，3)，－(01F 的焦点坐标为1＝y236＋x227椭圆(3) 1.＝x2b2－y2a2故可设双曲线的方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝9，42a2－152b2＝1，由题意，知 1.＝x25－y24故双曲线的方程为 类型三 由双曲线标准方程求参数1.＝y2m－x216－m 已知曲线 4例 (1)当曲线为椭圆时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标； (2)当曲线为双曲线时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标.⎩⎪⎨⎪⎧16－m>0，－m>0，16－m≠－m ，当曲线为椭圆时，依题意得(1) 解 解得m <0，即m 的取值范围为(－∞，0).此时，椭圆的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4，0).(2)当曲线为双曲线时，依题意得(16－m )m >0，解得0<m <16，即m 的取值范围为(0，16).此时，双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4，0).时表示<0n ，>0m 进一步，当.时表示双曲线<0mn ，当1＝y2n＋x2m 对于方程(1) 反思与感悟焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时表示焦点在y 轴上的双曲线.轴上的双x 时表示焦点在>0n ，>0m 且当.时表示双曲线>0mn ，则当1＝y2n－x2m 对于方程(2)曲线；当m <0，n <0时表示焦点在y 轴上的双曲线.(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围. .的值m ，求实数10表示双曲线，并且焦距为1＝y29m－x216m 已知方程 4跟踪训练 解 ∵2c ＝10，∴c ＝5.当m >0时，轴上的双曲线，x 表示焦点在1＝y29m－x216m 方程 ，m 9＝2b ，m 16＝2a ，m 9＋m 16＝25，得2b ＋2a ＝2c 由 故m ＝1；1＝y29m －x216m 时，方程<0m 当 ，1＝x2－16m－y2－9m 可化为表示焦点在y 轴上的双曲线，，m 16＝－2b ，m 9＝－2a ∴ ，2b ＋2a ＝2c 由 得25＝－16m －9m ，∴m ＝－1.故实数m 的值为1或－1.1.已知F 1(3，3)，F 2(－3，3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4，则P 点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线答案 B解析 因为|PF 1|－|PF 2|＝4，且4<|F 1F 2|， 由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支. 2.设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y224＝1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.48答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝2，3|PF1|＝4|PF2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|＝8，|PF2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形， 则＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.3.椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a －y22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B.1或－2 C.1或12D.1答案 D解析 由于a ＞0，0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 4.若方程y24－x2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A.m >－1B.m <－1C.m >3D.－1<m <3答案 A解析 由题意知，m ＋1>0得m >－1.5.与椭圆x 2＋5y 2＝5共焦点且过点(6，1)的双曲线的方程为________. 答案x23－y 2＝1 解析 椭圆方程x 2＋5y 2＝5可化为x25＋y 2＝1，故双曲线方程可设为x25－λ－y2λ－1＝1，将(6，1)坐标代入x25－λ－y2λ－1＝1，即65－λ－1λ－1＝1(1<λ<5)， 解得λ＝2或λ＝－3(舍去)， ∴双曲线方程为x23－y 2＝1.1.双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.2.在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立，要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解.40分钟课时作业一、选择题1.双曲线2x 2－y 2＝8的焦距是( ) A.2 B.2 2 C.4 3 D.4 2答案 C解析 双曲线方程可化为x24－y28＝1，∴a 2＝4，b 2＝8， ∴c 2＝a 2＋b 2＝12， ∴c ＝23，则2c ＝4 3.2.过点(1，1)且ba ＝2的双曲线的标准方程是( )A.x212－y 2＝1 B.y212－x 2＝1 C.x 2－y212＝1D.x212－y 2＝1或y212－x 2＝1 答案 D解析 由于ba ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x2a2－y22a2＝1，代入(1，1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为x212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y212－x 2＝1.3.若k ∈R ，方程x2k ＋3＋y2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A.－3<k <－2B.k <－3C.k <－3或k >－2D.k >－2答案 A解析 由题意知，k ＋3>0且k ＋2<0， ∴－3<k <－2.4.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k 的值是( ) A.1 B.－1 C.653D.－653答案 B解析 原方程可化为x21k －y28k＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B.5.若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m >0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是( )A.116B.80C.52D.20 答案 D解析 由抛物线y 2＝16x 可知其准线方程为x ＝－4.因为双曲线是轴对称图形，所以点A ，B 到x 轴的距离均为2 3.不妨设点A (－4，23). 又点A 在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程2x 2－y 2＝m ，得m ＝20，故选D.6.已知双曲线x 2－y22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF1→·MF2→＝0，则点M 到x轴的距离为( ) A. 3 B.233C.43D.53答案 B解析 设|MF1→|＝m ，|MF2→|＝n . 由⎩⎨⎧m2＋n2＝|F1F2—→|2＝12，|m －n|＝2，得m ·n ＝4.由＝12m ·n ＝12|F 1F 2|·d (d 为点M 到x 轴的距离)，解得d ＝233. 7.若椭圆x2m ＋y2n ＝1(m >n >0)和双曲线x2s －y2t＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( ) A.m －s B.12(m －s ) C.m 2－s 2D.m －s答案 A解析 如图所示，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝2m ，x －y ＝2s ，∴4xy ＝4(m －s ). ∴xy ＝m －s . 二、填空题8.已知动圆M 过定点B (－4，0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________. 答案x24－y212＝1 解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4，0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4，2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12， 故轨迹方程是x24－y212＝1.9.焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________. 答案x216－y29＝1 解析 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)， 则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过(42，－3)，∴32a2－9b2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9. ∴双曲线的标准方程为x216－y29＝1.10.已知双曲线x2m －y27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为________. 答案 9解析 由双曲线定义|AF 2|－|AF 1|＝2m ， ①|BF 2|－|BF 1|＝2m ，②①＋②可得|AF 2|＋|BF 2|＝4m ＋|AF 1|＋|BF 1|＝4m ＋4， △ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4m ＋8＝20， ∴m ＝9. 三、解答题11.已知A (－7，0)，B (7，0)，C (2，－12)，椭圆过A 、B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程.解 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC |＝2<|AB |＝14， ∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y248＝1(x ≤－1).12.已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型. 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y24－x2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0<k <1时，方程变为x24k ＋y24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x24k ＋y24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆.13.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且两条曲线都经过点M (2，4).(1)求这两条曲线的标准方程；(2)已知点P 在抛物线上，且它与双曲线的左、右焦点构成的三角形的面积为4，求点P 的坐标.解 (1)∵抛物线y 2＝2px (p >0)经过点M (2，4)， ∴42＝2p ×2，解得p ＝4， ∴抛物线的标准方程为y 2＝8x ， ∴抛物线的焦点坐标为(2，0)，∴双曲线的焦点坐标为F 1(－2，0)，F 2(2，0). ∵双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，则有a 2＋b 2＝c 2＝4. ∵双曲线经过点M (2，4)， ∴4a2－16b2＝1， 解得a 2＝12－82，b 2＝82－8.∴双曲线的标准方程为x212－82－y282－8＝1.(2)设点P 的坐标为()xP ，yP ， 由题意，得＝12|F 1F 2|·|y P |＝2·|y P |＝4， ∴y P ＝±2.∵点P 在抛物线上， ∴x P ＝12，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.。
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2.3.1抛物线的标准方程
【学习目标】
1、掌握抛物线定义，理解焦点、准线、方程的几何意义，根据已知条件写出标准方程。
2、进一步理解求曲线方程方法----坐标法，体会数形结合的思想。
【预习案】
预习教材59—60页，并完成下列内容：
1、抛物线的定义：
2、抛物线的标准方程的推导过程：
3、抛物线标准方程的四种形式，完成下表：
图形 标准 方程 准线 方程 焦点 坐标 对称
轴
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练习、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2=20x （2）212xy
（3）2y2+5x=0 （4）x2+8y=0
【课中案】
例1、已知抛物线的焦点是(3,0)F，写出它的标准方程和准线方程。
例2、已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离是3,求抛物线的标准方程、焦
点坐标和准线方程。
例3、写出2yax的焦点坐标和准线方程。
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变式写出2yax的焦点坐标和准线方程。
【课后案】
1、求焦点在y轴上，且过A(1,-4)的抛物线标准方程。
2、已知抛物线的焦点在x轴正半轴，且准线与y轴之间的距离为6，求抛物线的标准方程。
3、已知点M与点F（4,0）的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程。
4、已知点M在抛物线212yx上，它与焦点的距离等于9，求点M的坐标。
5、已知抛物线26yx和点A(4,0),点M在此抛物线上运动，点M与点A的距离的最小值，
并求此时点M的坐标。
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6（2016年浙江高考）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
7．焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝2x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．y2＝4x
8．抛物线y2＝ax的焦点与椭圆x26＋y22＝1的左焦点重合，则a的值为( )
A．－4 B．2 C．－8 D．4
9．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为( )
A．(32，±62) B．(74，±72) C． (94，±32) D．(52，±102)
10．已知F是抛物线y＝14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
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A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－116 C．x2＝y－12 D．x2＝2y－2