上海七年级第二学期数学知识梳理
沪教版(上海)-初中数学七年级、八年级、九年级数学全册章节知识点结构思维导图集
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第二十六章 二次函数的章节知识点结构思维导图 第二十七章 圆与正多边形的章节知识点结构思维导图
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第二十八章 统计初步的章节知识点结构思维导图
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第十四章 三角形的章节知识点结构思维导图 第十五章 平面直角坐标系的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）八年级数学全册章节思维导图 共八个章节
第十六章 二次根式的章节知识点结构思维导图
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第十七章 一元二次方程的章节知识点结构思维导图
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第十八章 正比例函数和反比例函数的章节知识点结构思维导图 第十九章 几何证明的章节知识点结构思维导图
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第七章 线段与角的画法的章节知识点结构思维导图 第八章 长方体的再认识的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）七年级数学全册章节思维导图 共七章
第九章 整式的章节知识点结构思维导图
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第十章 分式的章节知识点结构思维导图 第十一章 图形的运动的章节知识点结构思维导图
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第十二章 实数的章节知识点结构思维导图 第十三章 相交线 平行线的章节知识点结构思维导图
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第二十章 一次函数的章节知识点结构思维导图 第二十一章 代数方程的章节知识点结构思维导图
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第二十二章 四边形的章节知识点结构思维导图 第二十三章 概率初步的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年级数学全册章节思维导图 共五章
第二十四章 相似三角形的章节知识点结构思维导图
上海市（沪教版）初中数学全册思维导图集 共二十八章
上海七年级数学知识点归纳
上海七年级数学知识点归纳数学是一门重要的学科，也是学生在学习生涯中必修的学科之一。
在上海的中小学教育中，七年级的数学课程是一个很重要的节点，因为这个时候学生需要对之前学过的基础知识进行巩固，并且开始学习一些新的重要知识点。
本文将对上海七年级数学课程中的知识点进行归纳总结。
一、有理数有理数是指可以表示为 p/q 形式的数，其中 p 和 q 都是整数并且 q 不等于 0。
有理数分为正有理数、负有理数和 0。
在七年级数学中，学生需要了解有理数的概念、加减乘除运算规则和绝对值的定义等重要知识点。
同时，学生还需要学会有理数在数轴上的表示法和比较大小的方法。
二、平面直角坐标系平面直角坐标系是二维平面空间中的一种重要的坐标系，通过它可以描述平面上的任何一个点。
在七年级数学中，学生需要学会如何画出平面直角坐标系、坐标系中的点的表示以及如何计算两点之间的距离等知识。
三、代数ic式与方程式代数ic式和方程式是七年级数学的重点内容。
学生需要掌握如何通过给定的条件建立代数ic式和方程式，并且学会用各种方法求解代数ic式和方程式，如代入法、消元法等。
此外，学生还需要掌握关于代数ic式和方程式的基本运算规则。
四、几何几何是数学的一个重要分支，它研究的是空间的形状和大小。
在七年级数学课程中，学生需要掌握如何计算几何图形的周长和面积，并且熟悉各种几何图形的性质和特点。
此外，学生还需要学会通过计算几何图形的面积和周长来解决实际问题。
五、统计学统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，它在现代社会中起着非常重要的作用。
在七年级数学中，学生需要了解统计学的基本概念、统计数据的分类和表示方法、常用的统计方法（如均值、中位数和众数）以及通过统计数据解决实际问题等知识点。
六、函数函数是数学中一个非常重要的概念，它描述的是两个变量之间的关系。
在七年级数学中，学生需要了解函数的基本概念、函数的表示法、函数的性质及其图像的特点等知识点。
此外，学生还需要学会如何通过函数来解决实际问题。
上海数学七年级知识点总结
上海数学七年级知识点总结在中学数学教育中，数学知识点层出不穷，特别是七年级数学，因为这是一个基础知识的阶段，必须对这些知识点有一个清晰和掌握。
下面是对上海七年级数学知识点的总结。
一、整数与分数1. 整数的概念、代表、比较大小及数轴2. 分数的概念、表示法、约分及比较大小3. 整数与分数在实际生活中的运用二、代数表达式1. 代数表达式的概念及基本元素2. 代数式的等价变形3. 代数式的计算4. 规律数据的代数式表示三、一次函数1. 一次函数的概念、函数图象及基本性质2. 一次函数的表达式、斜率、截距及其意义3. 一次函数与实际问题的应用四、平面图形1. 图形的基本概念及判定几何图形2. 四边形的基本性质及分类3. 三角形的基本性质及分类4. 圆的基本性质及相关公式五、数据的分析与统计1. 数据的概念及分类2. 数据的图形表示及相关统计量3. 数据处理与分析4. 概率基本概念及计算这是七年级数学的基本知识点，可以作为导向，帮助学生更好地掌握和应用相关知识。
同时，为了让学生更好地学习数学知识，家长和老师也可以采取以下措施：1. 建立良好的学习习惯：每天固定的时间段进行数学练习，养成良好的学习习惯，提高学习效率。
2. 确定学习目标：根据学生的水平和学习进度，合理设置学习目标，目标越明确，行动越有方向。
3. 实践与巩固：数学知识点的掌握需要实践和巩固，通过做题、模拟考试等方式不断巩固相关知识点。
4. 发挥个性化处理：不同的学生有不同的学习方式，教师应该发挥个性化处理的优势，为学生提供更好的学习环境，提高学习兴趣。
总之，在学习数学知识点时，要打好基础，循序渐进，多实践，多巩固。
只有这样，才能真正掌握数学知识，更好地应用到实际生活中。
上海版七年级下数学学习笔记
第6章实数6.1平方根与立方根学法导引1.平方根与算术平方根的区别与联系.释疑:平方根和算术平方根是两个不同的概念,它们既有区别又有联系.从定义上看:如果一个数的平方等于a(a≥0),那么这个数就叫做a的平方根,正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.0的平方根和算术平方根都是0,从形式上:非负数a的平方根有两个,它们互为相反数,求一个正数的平方根可以先求出这个数的算术平方根,再写出相反数,从性质上看:负数没有平方根,平方根可以是正数、0、负数,而算术平方根只能是正数或0.2.如何求一个数的平方根.根据平方根的意义,我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根,例题精讲【例题1】求下列各数的平方根与算术平方根:(1)100;(2)16;(3)0;(4)(-0.49)×(-1.21).答案:D6．2 实数Ⅰ学法导引1．从有理数到实数，这是数的范围的一次重要扩充．它和以前由自然数扩充到整数，由整数扩充到有理数一样，是认识范围的一次大的跨越．2．学习本节知识时，要明确新加进来的无理数也是数，以前关于有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立，涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行计算．Ⅱ要点精讲1 重点：实数的概念和性质1．有理数扩大到实数以后，在有理数范围内定义的一些概念（如倒数、相反数、绝对值等）在实数范围内仍然适用；2．在进行实数的运算时，有理数的运算律和运算性质同样适用；3．任何两个实数都可以比较大小；4．实数和数轴上的点一一对应．2 难点：无理数的意义的理解．无限不循环小数叫做无理数．1．理数应满足三个条件：是小数；是无限小数；不循环；4．无理数可以分为正无理数和负无理数．3 易错点：对无理数的概念理解不透彻易出现错误．Ⅲ精典例题解析重点【例1】指出下列数哪些是有理数，哪些是无理数，哪些是实数：解析目前为止，我们所学的数均为实数．其中根号形式表示开不尽方的数，以及圆周率π等是无理数．但并不是说所有带根号的数都是无理数，不带根号的数就不是无理数．点拨分清有理数，无理数，实数的概念，知道它们之间的联系和区别．剖析难点点拨对实数进行分类时，要抓住有理数与无理数的定义．无理数的定义是无限不循环小数．解析要化简带绝对值符号的式子，首先按绝对值定义，将绝对值符号去掉，再去括号，合并同类项或进行数的运算．（3）∵a＜b＜c∴a－b＜0，b一c＜0，c－a＞0．∴｜a－b｜＝b－a，｜b－c｜＝c－b，｜c－a｜＝c－a．∴｜a－b｜＋｜b－c｜－｜c－a｜＝（b－a）＋（c－b）－（c－a）＝b－a＋c－b－c＋a＝0．点拨去绝对值符号的关键在于确定绝对值里面式子的值与0的大小关系．点击易错点【例4】下列各数中是无理数的是Ⅳ能力升级综合能力升级本节知识常与数轴、绝对值综合进行计算或化简．是中考热点内容之一，往往以计算或化简题型出现，分值约5分左右．解析本题综合考查实数的运算，在解答过程中，一是要注意运算顺序，二是要特别注意符号．点拨计算是初中生必备的一种基本技能，而计算能力的提高又建立在对概念、定理的理解和运算律的灵活运用之上．【例6】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，试化简：解析由图示可知a＜0，b＜0，c＞0，｜a｜＞｜b｜＞｜c｜，则a －b＜0，c－a＞0，b－a＞0，解析本题的特点是未知数多、条件简单，要注意这里a，x，y都是自然数．否则将与左边是无理数相矛盾，故有x＋y＝a，xy＝6，又显然x＞y，x，y为自然数，所以当x＝6时，y＝1，得a＝7；当x＝3时，y＝2，得a＝5．即a＝5，x＝3，y＝2或a＝7，x＝6，y＝1．答案1．以数轴的单位长线段为直角边作等腰直角三角形．（即Rt △OBC）［想一想］原题变为：是否存在这样的实数，它的平方等于29．如果不存在，请说明理由；如果存在，指出等于多少，并用上述画图的方法在数轴上找出这样的实数点．试试看．第7章一元一次不等式与不等式组7.1不等式及其基本性质Ⅰ学法导引学习本节需经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，不等式性质是以后学习不等式的重要基础和必备技能，所以一定量的练习是完全必要的，练习时能准确说出每一步变形的依据，加强对不等式基本性质的理解．Ⅱ要点精讲1 重点：理解并掌握不等式三个基本性质．2 难点：不等式基本性质3及不等式基本性质的变形和应用．3 易错点：不等式两边都乘以（或都除以）同一个负数时，常出现不等号方向不改变的错误．Ⅲ精典例题解析重点【例1】依据不等式基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”形式：（1）x－6＞－4；（2）4x＜4y；（3）－2x＞5．解析（1）由不等式性质1可把不等式两边都＋6，即可变成x＞a形式．（2）不等式两边都除以4．（3）不等式两边都除以－2，注意不等号方向改变．点拨合理选择不等式基本性质，并能准确运用其性质．点拨解此类题关键是先由已知条件入手，得出a、b符号，再选择．Ⅳ能力升级综合能力升级不等式性质常与有理数运算联系在一起，在中考题中的选择题中出现．【例4】如果m＜n＜0，那么下列结论中错误的是（）解析本题主要考查不等式的三条基本性质．答案依据性质1 不等式两边都加上－9，得m－9＜n－9，故A正确；7.2 一元一次不等式学法导引1.理解一元一次不等式的概念.2.会解一元一次不等式.3.会用一元一次不等式解决一些实际问题.例题精讲分析:特别注意:(1)去分母时,不等式两边各项都应乘以公分母,没有分母的项不要漏乘. (2)不等式两边同除以一个负数时,不等号的方向要改变.解:去分母,得30－3(x－2)＞6＋2x,去括号,得30－3x＋6＞6＋2x,移项,得－3x－2x＞6－30－6,合并同类项,得－5x＞－30,系数化成1,得x＜6.所以不等式的解集为x＜6.在数轴上表示为(如图13－4):分析:本题先根据题意列出不等式,然后求出不等式的解集,而后在解集中寻找符合条件的正整数.所以x的正整数解为1,2,3.分析:本题将原方程变形,用含a的代数式来表示x,从而利用x＞1的条件解关于a的不等式.【例4】一个工程队原定在一周内完成340土方的工程,第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成任务,问以后几天平均每天至少要完成多少土方?分析:本题可从两个方面分析不等关系:(1)从工作量的角度分析,不等关系是:第一天的工作量＋后几天工作量≥总工作量.(2)从时间的角度分析,不等关系是:以后工作的时间≤7－1－2.而前者能列出我们所熟悉的一元一次不等式,后者列出的不等式中含有未知数,我们还没学到.解:设以后平均每天完成x土方,根据题意,列不等式得60＋(7－1－2)x≥340,解得x≥70.答:以后平均每天至少要完成70土方.练一练选择题(1)下列说法中,正确的有______个.①－2x＜8的解集是x＞－4 ②－4是2x＜－8的解③x＜8的整数解有无数个A.1B.2C.3D.4答案：CA.5(2＋x)＞3(2x－1)B.10＋5x＞6x－3C.5x－6x＞－3－10D.x＞13答案：D(3)四个连续的正整数的和小于34,则这样的自然数组有A.5组B.6组C.7组D.8组答案：B(4)如图13－5所示,天平向左倾斜,当天平中的x取_______时天平会向右倾斜.7.3 一元一次不等式组1.了解一元一次不等式组及其解集的概念,理解一元一次不等式组与一元一次不等式的区别与联系.2.会利用数轴确定一元一次不等式组的解集.例题精讲分析:先求出每一个不等式的解集,再利用数轴找出不等式解集的公共部分,从而确定不等式组的解集.解不等式②,得2x＋16＜10－4x＋12,所以x＜1.在数轴上表示出不等式①、②的解集:分析:本题先求出方程组的解,再根据题目要求对解进行讨论,从而列出不等式,最终寻找到符合条件的p的值.【例3】某宾馆底层客房比二楼少5间,某旅游团有48人,若全安排在底层,每间住4人,房间不够,每间住5人,则有的房间没有住满5人;又若安排住二楼,每间住3人,房间不够,每间住4人,有的房间没有住满4人.你知道这家宾馆的底层有多少间客房吗?分析:若设底层有x间房间,每间住4人,房间不够就是入住人数小于48人,列出不等式为4x＜48,其他条件也要转化成不等式,于是得到不等式组,解之即可.所以此不等式组的解集为9.6＜x＜11.所以x=10.所以该宾馆底层有客房10间.练一练选择题A.x＞2B.x＜－1C.－1＜x＜2D.无解答案：DA.9B.10C.231D.6答案：BA.－1＜a＜5B.a＞－1C.a＞5D.无解答案：C(4)如图13－7,天平右盘中的每个砝码的质量都是1 g，则物体A 的质量m g的取值范围在数轴上可表示为答案：A(5)某地出租车的收费标准:起步价7元(即行驶距离不超过3 km都需付7元车费),超过 3 km以后,每增加1 km,加收2.4元(不足1 km 按1 km算).某人乘此种出租车从甲地到乙地共付车费19元.设此人从甲地到乙地经过的路程是x km,那么x的最大值是A.11B.8C.7D.5答案：B第8章整式乘除与因式分解8.1 幂的运算学法指导1.如何运用幂的运算法则.释疑:幂的运算法则有同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.同底数幂相乘底数不变指数相加,幂的乘方底数不变指数相乘,积的乘方是把积中的每个因式分别乘方再把所得的幂相乘.同底数幂相乘时如底数不同不能直接利用公式,可以根据乘方的运算法则对符号进行处理,对于底数,可以是单项式,也可以是多项式,这时把多项式看作一个整体.不要把同底数幂的乘法与整式的加减混淆了,在运用幂的乘方和积的乘方时要注意底数中的符号.2.如何运用转化思想解决幂的有关运算.释疑:利用幂的运算法则可以进行幂的运算,在应用时要正确把握法则中的条件,但有时逆用法则会使一些复杂问题迎刃而解:例题精讲【例题1】(2006福建福州中考卷Ⅰ,4)下列运算中,正确的是( ) 解析:根据幂的运算性质选项A、B中两个单项式均不是同类项无法合并;选项C是幂的乘方应为底数不变,指数相乘;选项D是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加,所以选项D正确.答案:D【例题2】变为以(x-y)为底的同底数幂,再进行计算.【例题4】【例题5】计算:分析:同底数幂乘法的逆运用,关键是记准法则,当指数相加时,是幂相乘.当指数相减时,是幂相除.【例题7】分析:把所有的幂化为以11为指数的形式,比较底数的大小.8．2 整式的乘法Ⅰ学法导引运用不同方式自主探索、自主发现、自主体验三类整式乘法的运算法则，达到真正理解法则的来源及实质．对于法则并能用自己的语言进行描述，明白多项式乘以多项式可转化为单项式乘以多项式，而单项式乘以多项式则可以化为单项式乘以单项式．Ⅱ要点精讲1 重点：三类整式乘法的法则．理解三者之间的转化思想方法．单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．单项式乘法中若有乘方，乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．单项式与多项式相乘的法则：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，即单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加．单项式乘以多项式转化成单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，多项式中每一项都包含它前面的符号．多项式乘以多项式的法则：（m＋n）（a＋b）＝m（a＋b）＋n（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb，即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式先转化成单项式乘以多项式，运算结果中有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列．2 难点：灵活运用整式的乘法法则．运用单项式乘以单项式法则实际上把单项式的乘法变成了有理数的乘法和同底数幂的乘法运算．运用单项式乘以多项式的法则：法则中的“每一项”都包括它前面的符号；单项式乘以多项式其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，计算时不要漏乘项；混合运算应注意运算顺序，最后结果中不允许有同类项．运用多项式乘以多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时，按一定顺序进行，多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在未合并同类项之前，积的项数为两个多项式的项数之积．3 易错点：（1）使用运算法则错误及运算顺序错误．（2）计算中的符号问题和丢项问题．Ⅲ精典例题解析重点点拨（1）计算时要注意系数符号，利用单项式乘法法则，转化为同底数幂的乘法．（2）把多项式乘以单项式转化为单项式乘以单项式注意符号和不要漏乘．（3）多项式的每一项都包括它前面的符号，最后结果中应不含同类项．剖析难点解析题中的系数化成假分数计算比较方便．点拨不要漏掉任何一项，特别是当常数项是±1时不要漏乘．点击易错点错解分析（1）题漏掉了只在一个单项式里出现的字母z．（2）忽略了符号．Ⅳ能力升级综合能力升级把整式乘法与解方程知识综合运用，可求出能化为一元一次方程的解．点拨应用整式乘法法则先去括号，然后再合并同类项，再按照解一元一次方程的步骤求出方程的解．应用创新能力升级利用长方形面积公式与多项式的乘法建立某些字母间的关系式．［例5］在一块长为30米，宽为20米的长方形场地上建造一个游泳池，使四周人行道的宽都是x米，请用含x的代数式表示游泳池的面积y．答案由题意知游泳池的长为（30－2x）米，宽为（20－2x）米，点拨通过画出图形，使条件更加直观，从而正确写出长与宽的表达式．8.3 平方差公式和完全平方公式Ⅰ学法导引亲身经历探索平方差公式的过程，善于总结规律，并尝试用语言描述这个规律．掌握公式的结构特征，理解平方差公式的实质是多项式乘法的特殊化，同时注意应用交换律，从中感受实践——理论——实践．Ⅱ要点精讲1 重点：掌握平方差公式，并会用公式熟练进行计算．平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2．公式左边：因式的两个特征①两个因式均是二项式，②这两个因式中一项相同，另一项互为相反数；公式右边：它是相同项的平方与相反项的平方的差的形式，前后位置不能颠倒；公式中a、b具有广泛性，可以表示一个数、一个单项式、一个多项式．2 难点：判断是否符合公式的形式，从而正确地运用公式计算，判断时注意两个因式中一项完全相同，而另一项互为相反数这一显著特征；公式的逆用．3 易错点：(1)对公式结构不熟悉，在运用公式时不知哪项相当子公式中的a，哪项相当于公式中的b．(2)出现错用公式的现象．Ⅲ精典例题解析重点剖析难点【例2】计算：(2)题中相同项是3x，相反项是b与－b及－2与2，在第一个因式中把b与－2结合，第二个因式中，把－b与2结合，原式变为［3x＋(b－2)］［3x－(b－2)］．答案点拨在(2)题中，b代表多项式(b－2)．＝［(x－1)＋(x＋2)］［(x－1)－(x＋2)］＝(2x＋1)×(－3)＝－6x－3；点击易错点【例4】计算：Ⅳ能力升级综合能力升级对于－些复杂计算，要多观察发现题的特点，恰当的运用公式．解析直接计算繁琐，观察连乘积的每个因式，从第二个因式起每个因式均为2的偶次幂与1的和，注意到2－1＝1，用1乘原式值不变，这样构造出－个因式(2－1)后可连续使用平方差公式计算．答案8．3 平方差公式和完全平方公式Ⅰ学法导引和平方差公式一样，完全平方公式也是由两个特殊的多项式相乘得到的结论通过几何图形用观察、变化总结的方法得出完全平方公式，明确它的结构特征，并与平方差公式的结构特征进行比较，分清它们的异同．Ⅱ要点精讲1．重点：完全平方公式及其运用．即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．完全平方公式的结构特征：公式左边为两数和(或差)的平方；公式右边为三项：左边两数的平方和加上(或减去)左边两数之积的2倍．特别注意：①符号对应关系；②a、b具有一般性，它可以表示单项式、也可以表示多项式．(2)把公式右边的积的2倍错记成“积”．Ⅲ精典例题解析重点［例1］运用完全平方公式计算：解析(1)题是两数和的平方；(2)题是两数差的平方；点拨当所给二项式中两项的符号相同时，选用“和”的完全平方公式．当所给二项式中两项符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式．剖析难点解析(1)题先运用平方差公式，再运用完全平方公式．点拨本题综合运用了幂的性质、平方差公式与完全平方公式．点击易错点错解分析(1)错解一错在误把(－2a－3b)看作是“两数之差”，运用了“差”的完全平方公式进行计算，导致乘积项的符号出错；另一种错在结果中乘积项漏乘“2”．(2)错在第二步中的两个二项式完全相同，因此应用完全平方公式，而不能用平方差公式．Ⅳ能力升级综合能力升级利用公式变形可直接求某些代数式的值．点拨可以不求x、y值，可用公式变形直接求出xy值．应用创新能力升级对于题目较长的问题，多读题，仔细分析，问题便可迎刃而解了．［例5］两个边长为a(a＞2)厘米的正方形，如果其中一个正方形的边长增加了2厘米，另一个正方形的边长减少了2厘米，请问这两个正方形面积的和有何变化?如有变化，请算出面积和增加(或减少)了多少?如果没有变化，说明为什么?答案有变化，两个正方形的面积和增加8平方厘米．8.4 整式的除法Ⅰ学法导引类比数的除法，单项式除法的意义与数的除法的意义相同都是已知两个因式的积和其中一个因式，求另一个因式的运算．单项式除以单项式的计算方法与单项式乘以单项式的方法类似分成系数、相同字母和被除式单独有的字母三个步骤进行．多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式进行运算．Ⅱ要点精讲1 重点：单项式除以单项式的法则及应用．单项式除以单项式分三步进行，首先确定其系数，再把同底数幂相除，最后考虑只在被除式中含有的字母，将它们的结果作为商的因式．多项式除以单项式的法则及应用．法则是多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．即(am＋bm＋cm)÷m＝am÷m＋bm÷m＋cm÷m．因此幂的运算性质是关键，同时注意指数及符号的准确性．2 难点：会灵活地利用法则进行运算．3 易错点：(1)单项式除以单项式，当字母的指数为1时，通常省略不写，但在计算时容易忽略该指数．(2)在多项式除以单项式的运算中，容易出现漏项的错误．(3)当除式的系数是分数时易出错．Ⅲ精典例题解析重点解析(1)题是单项式除以单项式，可直接用法则计算，计算时要弄清两个单项式的系数各是什么？哪些是同底数幂？哪些只在被除式中出现？还要注意系数的符号；(2)题多项式除以单项式，其商仍是多项式且项数和原多项式的项数相同，这是检验是否漏除的方法之一，本题不要把＋1这一项漏掉．点拨(1)题不要忽略了只在被除式中出现的c2．(2)题不要漏项．剖析难点解析 (1)题为单项式混合运算，先明确运算顺序，先算乘方再算乘除．(2)题将2a－3b看作一个整体进行除法运算．点击易错点错解分析(1)题中除式里y的指数是1而不是0．与合并同类项混淆了，合并同类项的结果为0，而此项相除的结果不是0而是－1．Ⅳ能力升级综合能力升级多项式除以单项式常常与乘法公式等结合在一起进行化简与计算．解析从式子的结构可看到中括号中有完全平方式、有平方差公式，应先做中括号内的化简，再考虑做除法运算．点拨在运算过程中能运用公式的就用公式，仔细、认真是做此类题的关键．8．5 因式分解Ⅰ学法导引学习本节内容时，可通过与小学因数分解及乘法的类比，在自主探索的基础上，理解因式分解的概念及整式乘法与因式分解的互逆关系，发现因式分解的两种基本方法，再通过一定量的有层次的因式分解实践，掌握运用提公因式法和公式法两种基本方法进行因式分解的要领，并在积累经验的基础上达到熟练的程度，提高自己分析问题和解决问题的能力．Ⅱ思维整合解析重点本节的重点是会用提公因式法和公式法分解因式．提公因式法是分解因式最基本的方法，它又是后续学习的基础，所以学好提公因式法分解因式具有相当重要的意义．公式法分解因式不仅是本节的重点内容，它还是以后学习二次根式、一元二次方程、分式等知识的基础，也是中考的必考内容，所以必须牢固掌握．【例1】运用提公因式法分解因式．(2)x(a－b)－y(a－b)＝(a－b)(x－y)．(3)a(m－n)－b(n－m)＝a(m－n)＋b(m－n)＝(m－n)(a＋b)．点析①当多项式的第一项是负数时，一般先提出“－”号，使括号内的第一项系数为正数，在提出“－”号时应注意括号内的各项都要变号；②公因式可以是单项式，也可以是多项式．【例2】运用公式法把下列各式分解因式．分析(1)、(2)可直接利用平方差公式分解；(3)题利用完全平方公式分解；(4)可将(a＋b)看作一个整体，然后利用完全平方公式．点拨当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项式时，优先考虑运用完全平方公式分解．［想一想］你能利用因式分解解下列题吗?剖析难点本节的难点是灵活地选择恰当的方法，把一个多项式进行因式分解．因为由整式乘法寻找因式分解的方法是一种逆向思维的过程，而逆向思维对初学者还比较生疏，接受起来有一定的难度，又涉及到因式分解的方法选用，所以分解因式就感到困难．要突破这一难点须做到：①要透彻地理解每个公式的结构特点、应用条件，掌握运用公式法分解因式的基本思路和方法；②公式中的字母，可以表示单项式或多项式．【例3】把下列各式分解因式．分析(1)题中的第一项有“－”号，应先提“－”号，再提公因式；(2)题连结二次使用平方差公式分解；(3)题先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解较简单；(4)题先用完全平方公式分解，再用平方差公式继续分解．点拨此例题分解因式都需二次分解，意在考查学生分解因式必须分解到底，直到不能分解为止．点击易错点1．因式分解的结果不是积的形式．2．多项式中有公因式时不提公因式，直接运用公式法分解．3．公因式正好是某一项时，提公因式后另一因式的对应项应是1，而有的同学却把“1”“不翼而飞”了．4．因式分解不彻底，半途而废．5．做题马虎、粗心、乱用公式或错用公式．6．对分解因式的意义不清，与多项式乘法混淆，使结果“背道而【例4】把下列各式分解因式．错解分析“(x＋3)(x－3)＋8x”是和式，不是乘积式，不符合因式分解的定义．正解错解分析此题有公因式，应先提公因式．而错解中没有提公因式，而是直接运用平方差公式分解了．错解分析在本题中，错误地认为提公因式x后第三项就没有数了，把三项式变成二项式，“1”“不翼而飞”了．错解分析分解因式不彻底，因为分解结果中的x2－1还能继续分解．错解分析分解因式的结果是化成几个整式的乘积，2(y＋2)(y－2)就是最后的结果，不能再进行计算，即“到此为止”．正解原式＝2(y＋2)(y－2)．Ⅲ能力升级平台综合能力升级本节内容通常与以下知识综合出题：(1)整式乘法；(2)方程；(3)几何知识．通过因式分解用来化简求值或判断几何图形的形状或进行说理．因式分解在中考中还是一个热点，必须牢固掌握．分析如果按运算顺序先算乘方，再算减法的话，计算势必较麻烦．如果先运用平方差公式分解因式，再进行整式的乘法就较简单．点拨在进行整式乘法或分解因式的过程中，若能根据题目特征，对整式乘法与因式分解两种变形进行相互穿插使用，可使解题简捷方。
上海数学知识点七年级
上海数学知识点七年级
上海市七年级数学知识点
数学是一门非常实用和基础的学科，可应用到生活中的各个领域。
学好数学不仅有利于解决具体的数学问题，更可以提升思维
能力和解决问题的能力。
本文将介绍上海市七年级数学的主要知
识点。
一、整数
整数是数学中最基础的概念之一，是研究数学问题的基础。
上
海市七年级数学教学中，对整数的教学非常重要，要求学生深刻
理解负数的概念，并进行基本的加减乘除计算。
二、分数
分数是数学中的另一个重要概念，也是生活中常见的数学问题。
在七年级数学教学中，学生将会学习如何化简分数，以及如何进
行带分数的运算。
三、代数式
代数式是数学中的代数基本概念，学生在这个阶段要掌握扩张
与因式分解的方法，学习特殊算法并运用于实例中。
四、平面几何
平面几何是那些研究平面上的图形和变换的分支。
在七年级数
学教学中，学生将会学习如何计算图形面积和周长，进一步探究
三角形、直角三角形、正方形、长方形等图形的性质和应用。
五、数据和概率
数据和概率是数学中用于研究与预测随机事件的分支。
在七年
级数学教学中，学生将会学习如何处理数据，掏讨概率性事件对
数学建模的重要性，并学习一些基本的数据处理和概率分析方法。
总而言之，数学是一门普遍适用的学科，对学生的成长和发展
都具有积极的作用。
本文介绍了上海市七年级数学的主要知识点，让读者有一个清晰的认识，并对学生的学习起到指导作用。
上海初中数学七年级知识点
上海初中数学七年级知识点数学作为一门基础学科，其重要性不言而喻。
七年级数学是中学数学的起点，是为了奠定学生的数学基础。
在上海七年级的数学教学中，知识点十分重要。
下面我将为大家介绍上海初中数学七年级的知识点，让大家对七年级数学有一个更加详细的了解。
一、数的基本概念数是我们日常生活中经常使用的基本概念，是数学中最重要最基础的内容之一。
七年级数学的第一个知识点就是数的基本概念。
这个知识点包括自然数、整数、有理数和实数的概念，以及它们之间的关系。
这些概念是全世界认可的数学定义。
二、分数分数是生活中常见的一种数形式，它是整数之间的数字。
在七年级数学中，分数是重要的知识点之一。
学生需要学会比较分数的大小、通分、简化分数、加减乘除分数等操作。
三、代数式代数式包括多项式、标志系数和方程式的知识。
多项式是由一到多个单项式相加或相减而成的，单项式是数字或字母的积。
标志系数则是字母与数字相乘，如2x，3y。
而方程式则是一个包含未知量的等式，学生需要学会解方程、检验解是否正确等操作。
四、几何几何是数学的一个分支，是围绕着点、线、面和体的形状、大小、比例等性质而展开的学科。
在七年级的数学中，几何知识点包括平面图形的概念、长方形、正方形、三角形等的性质和计算、平移与旋转等。
五、函数函数是数学中非常重要的一个概念，它涉及到输入与输出之间的关系，可以用来解释各种生产、生活和实验现象。
在七年级的数学中，学生需要学习如何绘制函数图像、了解函数的性质、函数的概念以及一些常见的几何图形如何形成函数。
六、统计与概率统计学和概率学是数学的一部分。
在七年级数学中，学生需要学习如何分析数据、理解和绘制图表、计算方差与标准差等。
同时，学生也需要学习基本的概率概念，如事件、样本空间、试验等，并学会计算概率。
七、三角函数三角函数是一种数学函数，用来描述角度的性质。
在七年级数学中，学生需要学习角度的定义、弧度和角度的转化、三角函数的定义、以及三角函数的图像性质等。
七年级上海教育版数学知识点
七年级上海教育版数学知识点 七年级数学是初中阶段的入门课程，是学生从小学数学到初中数学的重要转折点。在此阶段，学生需要掌握一些基础的数学知识，以为将来更加深入地学习高中数学打下坚实的基础。下文将介绍七年级上海教育版数学的一些重点知识点。
一、整数的表示和比较 整数是数学的基础，七年级上海教育版数学的第一个单元就是整数。在这个单元中，学生需要学会整数的四则运算、正负数的加减法、绝对值的概念，以及在数轴上表示整数的方法等等。
二、分数的表示和比较 分数也是七年级数学的一个重点知识点。学生需要学会分数的基本概念、分数的约分和通分、分数的加减乘除运算等。此外，学生还需要学会用小数和百分数表示分数，并且学会分数在数轴上的表示方法。
三、平面图形的认识和作图 在平面几何学中，学生需要认识并掌握各种常见的平面图形，例如：点、直线、线段、射线、角、三角形、四边形、圆等。此外，学生还需要学会用尺规作图的基本方法，例如：平分线段、作等腰三角形、求相似形等等。
四、数的应用 数的应用是数学中最典型的应用题，七年级上海教育版数学中也有一整章讲述数的应用。在这个章节中，学生需要学会解决各种实际问题，例如：比例、百分数、利息、速度、读图、平均数等等。
五、代数的基本概念 代数是数学的重要分支，七年级上海教育版数学中也涉及到代数的基本概念。学生需要掌握代数中的变量、常数、系数、项、代数式等基本概念，以及用字母表示未知数的方法、代数式的加减乘除等基本运算。 六、解方程 解方程是代数学中的重要内容。七年级上海教育版数学中有一整章讲述如何解一元一次方程和一元一次不等式。学生需要学会应用方程和不等式解决实际问题，例如：求解图形的边长、周长、面积等等。
七、统计与概率 统计与概率是数学领域中一个重要的分支，七年级上海教育版数学中也有一章讲述统计与概率。学生需要学会统计数据的方法，例如：用频数表和频率表来表示数据、画直方图、折线图、饼图等等。此外，学生还需要学会概率的概念、基本事件和复杂事件的求解等。
上海七年级数学知识点
上海七年级数学知识点图形的初步认识一、立体图形与平面图形1、长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。
此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
2、长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
3、许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形。
二、点和线1、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
2、两点之间线段最短。
3、点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。
类似的还有线段的三等分点、四等分点等。
4、把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线。
三、角1、角是由两条有公共端点的射线组成的图形。
2、绕着端点旋转到角的终边和始边成一条直线，所成的角叫做平角。
3、绕着端点旋转到终边和始边再次重合，所成的角叫做周角。
4、度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1°;把1度的角60等分，每份叫做1分的角，记作1′;把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1″。
四、角的比较从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
类似的，还有叫的三等分线。
五、余角和补角1、如果两个角的和等于90(直角)，就说这两个角互为余角。
2、如果两个角的和等于180(平角)，就说这两个角互为补角。
3、等角的补角相等。
4、等角的余角相等。
六、相交线1、定义：两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2、注意：⑴垂线是一条直线。
⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。
⑶垂直是相交的特殊情况。
⑷垂直的记法：a⊥b，AB⊥CD。
3、画已知直线的垂线有无数条。
4、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
6、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
7、有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角。
上海七年级数学书知识点
上海七年级数学书知识点数学作为一门基础学科，是广大学生必须掌握的知识点之一。
在上海市七年级的数学教学中，有着一些重要的知识点需要我们进行深入的了解和掌握。
本文将对上海七年级数学书中的知识点进行全面的介绍和分析，以期帮助广大学生更好地理解和掌握这些知识点。
数的集合在数学中，数的集合是一个很重要的概念。
在上海七年级数学书中，对于集合的定义和性质进行了较为详细的介绍，需要学生们根据实际情况进行理解和掌握。
同时，在集合的基础上，还需要深入了解并掌握有理数和无理数等概念。
整数的运算在上海七年级数学书中，整数的运算是一系列基础的数学运算之一。
需要学生们深入了解和掌握加减乘除等基础操作，同时还需要掌握负数的概念和运算规则。
同时，还需要学生们深入理解正数和负数的大小关系和性质，并进行相关的练习和实践操作。
分数的运算和整数一样，分数也是一个重要的数学概念。
在上海七年级数学书中，分数的运算是需要学生们深入掌握的一个重要概念。
需要学生们深入理解分数的化简、分数的加减乘除等运算规律，并进行相关的操作练习，以达到深度掌握的效果。
代数式的概念代数式是上海七年级数学书中的一个重点课程。
需要学生们深入理解代数式的含义和性质，并进行相关的操作练习。
同样，还需要掌握多项式的概念和性质，并进行相关的操作和练习，以达到全面掌握的效果。
几何基础知识在上海七年级数学书中，几何基础知识也是一个重点课程。
需要学生们深入理解几何图形的定义和性质，并进行相关的实践操作和练习。
同时，还需要学生们深入掌握角度的概念和性质，并进行相关的操作和练习。
本文对上海七年级数学书中的知识点进行了全面的介绍和分析。
需要学生们打好基础，深入理解和掌握这些知识点，并进行相关的操作和练习，以达到全面掌握的效果。
在执行学习时还要注意不要走歪。
上海7年级数学知识点总结
上海7年级数学知识点总结七年级数学是初中数学学习的重要阶段，它为后续的学习打下了坚实的基础。
以下是对上海 7 年级数学知识点的详细总结。
一、有理数有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
包括正有理数、0、负有理数。
1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上的点与有理数一一对应。
2、相反数：绝对值相等，符号相反的两个数。
例如，5 的相反数是－5，0 的相反数是 0。
3、绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0。
4、有理数的加减法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
5、有理数的乘除法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
0 乘以任何数都得 0。
除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数。
二、整式整式为单项式和多项式的统称。
1、单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
3、整式的加减：合并同类项，即将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
三、一元一次方程只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
1、等式的性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。
2、解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
四、图形的初步认识1、几何图形：包括立体图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）和平行图形（如线段、角、三角形、四边形、圆等）。
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第十二章 实数
第一节 实数的概念
12.1 实数的概念
A．无限不循环小数叫做无理数。
B．只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
C．有理数和无理数统称为实数。
正有理数
有理数 零 —有限小数或无限循环小数
负有理数
实数 正无理数
无理数 —无限不循环小数
负无理数
第二节 数的开方
12.2 平方根和开平方
A．如果一个的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。求一个数a的平方根的运算叫做
开平方，a叫做被开方数。
B．正数a的两个平方根可以用“a”表示，期中a表示a的正平方根（又叫算术平方
根），读作“根号a”；a 表示a的负平方根，读作“负根号a”。
零的平方根记作0，0=0
注：一个正数的平方根的平方等于这个数。
一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）。
12.3 立方根和开立方
A．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“3a”表示，读作“三次
根号a”，a叫做被开方数，“3”叫做根指数。求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
B．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
12.4 n次方根
A．如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根，当n
为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。求一个数a
的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数。
B．实数a的奇次方根有且只有一个，用“na”表示。其中被开方数a是任意一个实数，
根指数n是大于1的奇数。正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“na”
表示，负n次方根用“-na”表示。其中被开方数a>0，根指数n是正偶数（当n=2时，在
n
a
中省略n）。负数的偶次方根不存在。零的n次方根等于零。
第三节 实数的运算
12.5 用数轴上的点表示实数
A．一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数a的绝对值记作
a
。绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零，非零实数a的相
反数是-a。
B．负数小于零，零小于正数。两个正数，绝对值大的数比较大；两个负数，绝对值大的数
较小。从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
12.6 实数的运算
第四节 分数指数幂
12.7 分数指数幂
A．我们规定分数指数幂：aanmnm(0a),
a
a
n
m
n
m
1
(0a),
其中m、n为正整数，n>1。
B．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂。
C．有理数指数幂的运算性质：
设a>0,b>0,p、q为有理数，那么
（1）.,*aaaaaaqpqpqpqp
（2）.aapqqp
（3）babappppppbaab,.
第十三章 相交线 平行线
第一节 相交线
13.1 邻补角、对顶角
13.2 垂线
A．如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条
直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
B．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条。
C．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
D．点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
13.3 同位角、内错角、同旁内角
第二节 平行线
13.4 平行线的判定
A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
B．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
D．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
13.5 平行线的性质
A．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
B．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
E．两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值
叫做这两条平行线间的距离。
第十四章 三角形
第一节 三角形的有关概念与性质
14.1 三角形的有关概念
A．三角形任意两边的和大于第三边。
B．三角形的高、中线、角平分线。
C、三角形的分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
D、三边互不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三遍
都相等的三角形叫做等边三角形。
14.2 三角形的内角和
A．三角形的内角和等于180°。
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与
它不相邻的内角。
C．三角形的外角和等于360°。
第二节 全等三角形
14.3 全等三角形的概念与性质
A．能够重合的两个图形叫做全等形。
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等。
14.4 全等三角形的判定
A．在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（SAS）。
B．在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等
（AAS）。
C．在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（SSS）。
第三节 等腰三角形
14.5 等腰三角形的性质
A．等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角。
B．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称三线合一。
C．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。
14.6 等腰三角形的判定
A．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角
形，简称等角对等边。
14.7 等边三角形
A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
第十五章 平面直角坐标系
第一节 平面直角坐标系
15.1平面直角坐标系
A．经过点A（a,b）且垂直于x轴的直线可以表示为直线x=a，经过点A（a,b）且垂直于y
轴的直线可以表示为直线y=b。
第二节 直角坐标平面内点的运动
15.2 直角坐标平面内的运动
A．在直角坐标平面内，平行于x轴的直线上的两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离AB=XX21;
平行于y轴的直线上的两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离CD=yy21。
B．一般地，如果点M(x,y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m（m>0）个单位，那么
向右平移所对应的点的坐标为（x+m,y）；向左平移所对应的点的坐标为（x-m,y）；
向上平移所对应的点的坐标为（x,y+m）；向下平移所对应的点的坐标为（x,y-m）。
C．一般地，在直角坐标平面内，与点M（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；与点
M(x,y)关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）。
D．一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。