数学建模典型例题

一、人体重变化

某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/ 天。每天的体育运动消耗热量大约是69 焦/(千克? 天)乘以他的体重(千克) 。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1 千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。

一、问题分析

人体重W(t )随时间t 变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△ t 时间内体重W的变化值列出微分方

程。

二、模型假设

1、以脂肪形式贮存的热量100%有效

2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存

3、假设体重的变化是一个连续函数

4、初始体重为W0

三、模型建立

假设在△ t 时间内：

体重的变化量为W(t+ △t ) -W(t) ；

身体一天内的热量的剩余为( 10467-5038-69*W ( t ))

将其乘以△ t 即为一小段时间内剩下的热量；

转换成微分方程为：d[W(t+ △ t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt ；

四、模型求解

d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686

W(0)=W0

解得：

(-69t/41686)

5429-69W=(5429-69W0)e

即：

(-69t/41686)

W(t )=5429/69- (5429-69W0)/5429 e(-69t/41686)

当t 趋于无穷时，w=81;

二、投资策略模型

一、问题重述

一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。 5 年后，它将卖出所

有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个 5 年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j 的开始卖出汽车，将有净成本a ij (购入价减去折旧加上运营和维修成本)。以千元计数a ij 的由下面的表给出：

年

14691220

年2571116

年36813

年4811

年510

请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。

二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利

用图论法分析，用Dijkstra 算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。

三、条件假设

除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；

四、模型建立

运用Dijikstra 算法

1 2 3 4

12 20

9 12 20

12 20

20

可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现

6 9 12 20

即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200 第六年全部卖出

三、飞机与防空炮的最优策略

一、问题重述：

红方攻击蓝方一目标，红方有 2 架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略？

二、问题分析

该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。1、对策参与者为两方（红蓝两方）

2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1 ）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0 ）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0 ）。显然是不需要在某个区域布置 3 个防空炮的。

三、问题假设：

（1）红蓝双方均不知道对方的策略。

（2）蓝方可以在一个区域内布置3,4 门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。

（3）红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。

（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。四、模型建立

行动及其产生的结果

A B

A= 1 0

0.75 0.50

0.50 0.83 B= 0 0.25 0.5

1 0.5 0.17

没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题

设蓝方采取行动i 的概率为xi（i=1 ，2，3），红方采取行动j 的概率为yj（j=1,2），则蓝方与红方策略集分别为：

S1={ x=（x1，x2，x3）0< xi<1, ∑xi=1 }，S2={ y=（y1，y2）0< yi<1, ∑yi=1 }。

五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x* Max v1 0*x 1+0.25*x 2+0.5*x 3 >v1

x1+0.5*x 2+0.17*x 3 >v1 x1+x2 +x3 =1 xi<=1

列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y

Min v2

y2

0.25*y 1+0.5*y 2

0.5*y 1+0.17* y 2

yi<=1

四、雷达计量保障人员分配

开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。

现某雷达团共部署12种型号共16 部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示：

说明：1．保障任务分区域进行保障；

2 ．B、H、L 型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；

3 ．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；

4 ．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；

5 ．每个保障人员只能保障一个任务；

6 ．每个保障任务只由一个保障人员完成。雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。各雷达的重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）：