初等数学研究答案第一章到第六章
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大学数学之初等数学研究,李长明,周焕山版,高等教育出版社 习题一
1答:原则:(1)A ⊂B
(2)A 的元素间所定义的一些运算或基本关系,在B 中被重新定义。而且对
于A 的元素来说,重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
(3)在A 中不是总能施行的某种运算,在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一
确定。
方式:(1)添加元素法;(2)构造法
2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。Θa=b ,M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴,
假设bc ac M c =∈,即,则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+=',
由归纳公理知M=N ,所以命题对任意自然数c 成立。
(2)若a
,由,使得 则ac (3)若a>b ,则ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即, ,由,使得 则ac>bc 。 3证明:(1)用反证法:若b a b,a b a <>≠或者,则由三分性知。当a >b 时,由乘法 单调性知ac >bc. 当a (2)用反证法:若b a b,a b a =>或者,则由三分性知不小于。当a >b 时,由 乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时,由乘法单调性知ac=bc.这与ac a < b 。 (3)用反证法:若b a b,a b a =<或者,则由三分性知不大于。当a 乘法单调性知ac 4. 解:(1)4313='=+ 541323='='+=+ 652333='='+=+ 763343='='+=+ 874353='='+=+ (2)313=⋅ 631323=+⋅=⋅ 93232333=+⋅='⋅=⋅ 123333343=+⋅='⋅=⋅ 153434353=+⋅='⋅=⋅ 5证明:当n=1时,的倍数。是9181n 154n =-+ 假设当n=k 时的倍数。是91k 154k -+ 则当n=k+1时的倍数。是)()(918k 451k 154411k 154k 1k +--+=-+++ 则对∀N n ∈,1n 154n -+是9的倍数. 6证明:当1n =时,141-=3-,n 21n 21-+=3-;则当1n =时成立。 假设当k n =时成立,即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241)(--)=k 21k 21-+ 当1k n +=时,(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241)(--)(21k 241) (+-) =k 21k 21-+(21k 241) (+-)=)()(1k 211k 21k 21k 23+-++=++- 当1k n +=时成立。 7解:(1)01x 3x 1 32=---==+,则,αββαΘ (2)3311=-=---ββαα,Θ 13 1313A n 2n n 2n n n 2 n 2n 2n ββααβαβα+--+-=-=∴+++++ 13 1311n 11n n n ) ()(-+-+---+-=βββαααβα 1 n 1n n n ++=;n 1n A ++ (3)当n=1 假设当n=k 时13A 3k 3k 3k βα-= 的倍数。是10 则当n=k+1时 131313 A 33k 33k 3k 33k 33k 31k 31k 31k 3)()()()()(βαβαβαββααβα-+-=⋅-⋅=-=+++ k 333k 3k 1013βαβα+-= 则对∀N n ∈,n 3A 是10的倍数. 8证明:;,,则,,使得,;,lar lc kaq kb ar c aq b Z r q c |a b |a ====∈∃∴Θ 。