线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结

第二章 矩阵及其运算

第一节 矩阵 定义

由m n ⨯个数()1,2,

,;1,2,

,ij

a i m j n ==排成的m 行n 列的数表

11121212221

2

n

n m m mn

a a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。简称m n ⨯矩阵，记作111212122

211

n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪

⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

，简记为()

()m n ij ij m n

A A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。

说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展

几种特殊的矩阵：

方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可

表示为E )（课本P29—P31）

注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得

其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节 矩阵的运算

矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()

ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，

规定为111112121121212222

221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫

⎪

+++

⎪

+= ⎪

⎪

+++⎝⎭

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律

()1A B B A +=+；

()()()2A B C A B C ++=++

()()1112

12122211

3,()n n ij ij m n

m n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫

⎪--- ⎪

=-=-= ⎪

⎪---⎝⎭

设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵

()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

（课本P33） 数与矩阵相乘

,A A A λλλ数与矩阵的乘积记作或规定为

1112

121

22

211

,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪

⎪⎝⎭

数与矩阵的乘积记作或规定为

数乘矩阵的运算规律（设A B 、为m n ⨯矩阵，,λμ为数）

()()()1A A λμλμ=； ()()2A A A λμλμ+=+；

()()3A B A B λλλ+=+。

（课本P33） 矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵，(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵，那么规定矩阵

A

与矩阵

B

的乘积是一个m n ⨯矩阵(c )ij C =，其中

()1212

1122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪

=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

1

s

ik kj k a b ==∑，()1,2,

;1,2,

,i m j n ==，

并把此乘积记作C AB = 注意

1。A 与B 能相乘的条件是：A 的列数＝B 的行数。

2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB BA ≠，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

3。对于n 阶方阵A 和B ，若AB=BA ，则称A 与B 是可交换的。

矩阵乘法的运算规律

()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==

()()3A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯==

()5若A 是n 阶方阵，

则称 A k 为A 的k 次幂，即k

k A A A A =个

，

并且m k m k

A A A +=，()k

m mk A A =(),m k 为正整数。规定：A 0＝E

注意 矩阵不满足交换律，即AB BA ≠，()k

k k AB A B ≠（但也有例外）（课本P36）

纯量阵 矩阵0E 0λλ

λλ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

称为纯量阵，作用是将图形放大λ倍。且有()(E)E A A A λλλ==，A 为n 阶方阵时，有()(E )n n n n n E A A A λλλ==，表明纯量阵与

任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36） 转置矩阵

把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A T ，

如122458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，142528T

A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪

⎝⎭

。 转置矩阵的运算性质

()()

1T

T A

A =；

()()2T

T T A B A B +=+；

()()

3T

T A A λλ=；

()()

4T

T T AB B A =。

（课本P39） 方阵的行列式

由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A 或

记住这个符号）

注意

矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表，而n

阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。 运算性质

()

1T A A =；

()2n

A A λλ=；

(3)AB A B B A BA ===（课本P40）