等比数列及其前n项和

等比数列及其前n项和

一、选择题

1.已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么( )

A.{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列

B.{a n＋b n}一定是等比数列，但{a n·b n}不一定是等比数列

C.{a n＋b n}不一定是等比数列，但{a n·b n}一定是等比数列

D.{a n＋b n}，{a n·b n}都不一定是等比数列

解析两个等比数列的积仍是一个等比数列.

答案 C

2.(2017·华师附中调研)在等比数列{a n}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( )

A.1

B.±1

C.2

D.±2

解析由a2a3a4＝a33＝8，得a3＝2，所以a7＝a3·q4＝2q4＝8，则q2＝2，因此

a 1＝

a

3

q2

＝1.

答案 A

3.(必修5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( )

A.55 986

B.46 656

C.216

D.36

解析设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{a n}的通项公式a n＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.

答案 B

4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )

A.21

B.42

C.63

D.84

解析设等比数列{a n}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.

答案 B

5.(2017·石家庄质检)设各项都是正数的等比数列{a n}，S n为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )

A.150

B.－200

C.150或－200

D.400或－50

解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20).

即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，

又S20＞0，

因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，

故S40－S30＝80.

S

40

＝150.故选A.

答案 A

二、填空题

6.(2017·肇庆模拟)在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________.

解析两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得a

4

a

3

＝3.即q＝3.

答案 3

7.在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.

解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1舍去，a6＝a2q4＝1×22＝4.

答案 4

8.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝3S2，a3＝2，则a

7

＝________.

解析设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝

3S2，所以a

1

（1－q4）

1－q

＝

3a1（1－q2）

1－q

，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4

＝2×22＝8. 答案 8 三、解答题

9.在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；

(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得 ⎩⎨⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.

(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝

n （b 1＋b n ）2

＝

n 2－n

2

.

10.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式；

(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列. 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①

qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，

∴S n ＝a 1

（1－q n

）

1－q

，∴S n

＝⎩⎨⎧na 1

，q ＝1，

a 1

（1－q n

）1－q ，q ≠1.

(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，

a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，

a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q

k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.

∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n ＋1}不是等比数列.