安徽师大附中安庆一中2013届高三联考理科数学2013.1
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a.∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC uuu r ＝(1,0，1BB u u u r ＝1AA u u u r ＝(－1，0)，1AC u u u r ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝11A C A C⋅u u u r n n＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF . 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
安徽省示范高中2013届高三第一次联考数学文试题(WORD版)
安徽省示范高中 2013届高三第一次联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第II 卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰：作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚：必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4．考试结束．务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R ，集合M={|U x y C M ==则A ．{|11}x x -<<B ．{|11}x x -≤≤C ．{|1}x x <-或x>1D ．{|1}x x ≤-≥或x 12．函数()lg f x x =+A ．（0，2）B ．[0，2]C ．[0,2)D ． (0,2]3．设函数211(),(())ln 1x x f x f f e x x ⎧+≤=⎨>⎩则=A ．0B ．1C ．2D ．2ln(1)e +4．“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”是"1"a =-的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数1()11f x x=+-的图象是6．下列函数中既是偶函数，又在区间（0，1）上是减函数的是A ．||y x =B ．2y x =-C ．x xy e e -=+D ．cos y x =7．若函数2()2(1)2(,4)f x x a x =+-+-∞在区间上是减函数，则实数a 的取值范围是A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．3a <-D ．3a >-8．已知集合A={0，1，2，3}，集合B={（x,y ）|,,,x A y A x y x y A ∈∈≠+∈},则B 中所含元素的个数为 A ．3B ．6C ．8D ．109．若抛物线2y x =在点（a,a 2）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则a=A ．4B ．±4C ．8D ．±810．函数131()2xf x x =-的零点所在区间是 A ．1(0,)6B ．11(,)63C ．11(,)32D ．1(,1)2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
2013年安徽高考理科数学压轴题
2013年安徽高考理科数学压轴题（16）（本小题满分12分） 已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π。
（Ⅰ）求ϖ的值；（Ⅱ）讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性。
【答案】 （Ⅰ） 1（Ⅱ） .]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y = 【解析】 （Ⅰ）2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f （Ⅱ） ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =（17）（本小题满分12分）设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间|()>0I x f x =（Ⅰ）求的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）；（Ⅱ）给定常数(0,1)k ∈，当时，求l 长度的最小值。
【答案】 （Ⅰ） 21aa +. （Ⅱ） 2)1(11k k -+- 【解析】 （Ⅰ）)1,0(0])1([)(22a a x x a a x x f +∈⇒>+-=.所以区间长度为21a a +. （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，a a a a l 1112+=+=恒成立令已知k kk k k k a k k -1110-111.1-10),1,0(2>+∴>⇒>++≤≤<∈。
22)1(11)1(1111)(k k k k l k a a a a g -+-=-+-≥⇒-=+=⇒这时时取最大值在 所以2)1(111k k l k a -+--=取最小值时，当.（18）（本小题满分12分） 设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 （Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线2F P 交y 轴与点Q ，并且11F P FQ ⊥，证明：当a 变化时，点p 在某定直线上。
2013年安徽数学高考试卷
第一部分：选择题（共15小题，每小题4分，共60分）1.已知函数f(x)=2x2+3x−4，则f(−1)的值为（） A．−1 B．3 C．5D．72.已知函数f(x)=x+1x−1，则f(2)的值为（） A．1 B．3 C．5 D．73.已知函数f(x)=√x+1，则f(3)的值为（） A．2 B．3 C．4 D．54.已知函数f(x)=log2(x+1)，则f(3)的值为（） A．2 B．3 C．4 D．55.已知函数f(x)=sinx，则f(π4)的值为（） A．12B．√22C．1 D．√26.已知函数f(x)=cosx，则f(π3)的值为（） A．12B．√22C．1 D．√27.已知函数f(x)=tanx，则f(π4)的值为（） A．1 B．√2 C．2 D．√38.已知函数f(x)=2x，则f(3)的值为（） A．8 B．16 C．32 D．649.已知函数f(x)=3x，则f(2)的值为（） A．9 B．18 C．27 D．3610.已知函数f(x)=10x，则f(2)的值为（） A．100 B．200 C．300D．40011.已知函数f(x)=log2x，则f(8)的值为（） A．3 B．4 C．5 D．612.已知函数f(x)=log3x，则f(9)的值为（） A．2 B．3 C．4 D．513.已知函数f(x)=log10x，则f(100)的值为（） A．2 B．3 C．4 D．514.已知函数f(x)=sin2x+cos2x，则f(x)的值为（） A．0 B．1 C．2D．315.已知函数f(x)=tan2x+1，则f(x)的值为（） A．0 B．1 C．2 D．3第二部分：填空题（共8小题，每小题4分，共32分）16.若x满足不等式x2−2x−3<0，则x的取值范围是（）17.已知函数f(x)=1x，则f(x)的定义域为（）18.已知函数f(x)=2x−1，则f(x)的零点是（）19.已知函数f(x)=x2+2x−3，则f(x)的最小值为（）20.已知函数f(x)=sinx−cosx，则f(x)的图像的周期为（）21.已知函数f(x)=tanx，则f(x)的图像的渐近线为（）22.已知函数f(x)=2x+3x，则f(x)的导函数为（）23.已知函数f(x)=x3−3x2+2x−1，则f(x)的极值点为（）第三部分：解答题（共5小题，共68分）24.（14分）已知函数f(x)=x+1，求f(x)的定义域、零点、单调区间和极值x−1点。
安徽省师大附中2013-高二上学期期中考查 数学理试题
安师大附中2013～2014学年第一学期期中考查高 二 数 学 试 题（理）命题教师：李 娟一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、下列说法错误的是（ ）A 、用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.B 、有两个面平行，其余各个面都是梯形的几何体一定都是棱台.C 、圆锥的轴截面是等腰三角形.D 、用一个平面去截球，截面是圆.2 、如图所示为一平面图形的斜二测画法的直观图，则此平面图形可能是下图中的（ ）A B C D3、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是（） A.122ππ+ B. 12ππ+ C. 144ππ+ D. 142ππ+ 4、 如图，平面EFGH 为长方体1111-ABCD A B C D 的截面，E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，11//EH A D ，则四边形EFGH 的形状是（ ）A. 平行四边形B. 梯形C. 菱形D. 矩形5、下列命题正确的是（ ）1o 'x 'A. 直线a 与平面α不平行，则直线a 与平面α内的所有直线都不平行 B ．如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行 C ．垂直于同一直线的两个平面平行D ．直线a 与平面α不垂直，则直线a 与平面α内的所有直线都不垂直6、下图中三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =（ ）A. 6B. 8C. 4D. 12第6题图第8题图第9题图7、已知点,,,,P A B C D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 的边长为3的正方形. 若=6PA ，则球O 的表面积为（ ） A. 9π B. 12π C. 18π D. 6π8、如图，ABCD 四边形为矩形，CF ABCD ⊥平面，DE ABCD ⊥平面，==2CF BC ，AB = 4，P 为AB 的中点，则四面体EPCF 的体积为（ ）A. 8B.83 C. 2 D. 439、如图，正方体1111-ABCD A B C D 中，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（ ） A. 有无数条B ．有2条C ．有1条D ．不存在10、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围为（ ）A. 062)+（，B. 12)（，2C. 6-262)+（，D. 2)（0，2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上） 11、如图，直角梯形ABCD 绕直线AD 旋转一周形成的曲面所围成的几何体是______________.12、在正方体1111-ABCD A B C D 中，与对角线1AC 异面的棱有 条.第11题图 第13题图 第15题图13、如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为 .14、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成的角的大小为 . 15、正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为1，P 为线段BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则所有正确的命题是_______.①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ =12时，S 为等腰梯形； ③当CQ =34时，S 与11C D 的交点R 满足1RD =13；④当34<CQ <1时，S 为五边形；⑤ 当CQ =1时，S 的面积为3.安师大附中2013～2014学年第一学期期中考查高二数学答题卷D ABC一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上） 11、 12、 13、 14、 15、三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、(本题满分9分)如图，已知P 平行四边形ABCD 所在平面外的一点，,E N 分别是,AB PC 的中点.（Ⅰ）求证：//EN PAD 平面；（Ⅱ）若==EN BC 4，=PA 43，求异面直线PA ,EN 所成角的大小.17、(本题满分9分)已知点P 在矩形ABCD 的边DC 上，=2,1AB BC =，点F 在AB 边上且DF AP ⊥，垂足为E ，将ADP ∆沿AP 边折起，使点D 位于1D 位置，连接11,D B D C得四棱锥1D ABCP -.（Ⅰ）求证：1D F AP ⊥；（Ⅱ）若=1,PD 且平面1D AP ⊥平面ABCP ，求四棱锥1D ABCP -的体积.18、(本题满分10分)在圆锥PO 中，已知2,PO O =的直径2,,AB C AB D AC =∠点在上,且CAB=30为的中点．（Ⅰ）求证：AC POD ⊥平面；（Ⅱ）求直线OC PAC 和平面所成角的正弦值.19、(本题满分10分)已知如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且6PA =A 点关于平面PBC 的对称点为A '，连线AA '交面PBC 于O 点.（Ⅰ）求证：PO BC ⊥； （Ⅱ）求线段AA '的长度；（Ⅲ）求二面角A AB C '--的余弦值.20、(本题满分12分)在棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 中，点12,P P 分别是线段1AB BD ，（不包括端点）上的动点，且线段12P P //平面11A ADD .(1) 证明： 121PP A D ；(2) 求四面体211P P AB 的体积最大值.安徽师大附中2013～2014学年第一学期期中考查高 二 数 学 试 题（理）答案1---10题. .........B C A D AC B B A A11.圆台 12.6 13.213S S S >> 14. 60 15. ①②④ 16. （1）PD 取的中点,M 连,MN AM ，M 为PC 的中点，得1//2MN CD . E 为AB 的中点.得//MN AE .AMNE ∴为平行四边形. //NE AM AM APD ⊂平面，NE APD⊄平面//NE PAD 平面（2）连AC 并取其中点O ，连,ON OE1//2ON PA ，1//2OE AD,NOM PA MN ∴∠或其角是所成的角。
2013年安徽高考理科数学最后一卷
安徽第一卷·2013年安徽高考最后一卷数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U C =（复数集），i 是虚数单位，集合M Z =（整数集）和221(1),,,1i i N i i i i ⎧⎫-+=⎨⎬+⎩⎭的关系韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．∅ B ．{}1- C ．{}1,2- D ．{}1,1,2-2．在平面直角坐标系中，直线cos 10x y α-+=倾斜角的取值范围是（ ） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．设函数(),()22x x x xe e e ef xg x --+-==，则22[()][()]f x g x -=（） A ．1B ．1-C ．4D ．04．函数()f x = ）A ．B ．C ．D ．5．下列命题中的假命题是（ ）A ．任意,()cos()R f x x ϕϕ∈=+都不是偶函数B ．任意,()lg a R f x x a ∈=-有零点C ．存在,,cos()cos cos sin sin R αβαβαβαβ∈+=+D ．存在2,()(1)m m R f x m x-∈=-⋅是幂函数6．在极坐标系中，若3ρ=上有n 个点到曲线cos()4πρθ+=则n 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数2(),f x x bx c =++则x 0满足关于x 的方程2x +b =0的充要条件是（ ） A ．存在0,()()x R f x f x ∈≥ B ．存在0,()()x R f x f x ∈≤ C ．任意0,()()x R f x f x ∈≥ D ．任意0,()()x R f x f x ∈≤8．若从A 、B 、C 、D ，4个班级中各选一名同学去参加3个不同的社团组织，每个社团组织要都有人参加，则不同的方法数是（ ） A ．72B ．36C ．43D ．349．设向量(OZ =-，把OZ 按顺时针方向旋转60︒得到1OZ ，则向量1OZ =（ ）A ．(4,0)-B ．(1C ．D ．10．设二面角l αβ--的平面角为150︒，球O 与二面角的棱l 有且只有一个公共点P ，且被平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为O 的表面积为（ ） A ．16π B ．28π C ．112π D ．196π第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．11．如图是求2222123999+++⋅⋅⋅+的值的程序框图，则正整数n = .12．15321x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 .（用数字作答）13．已知棱柱1111ABCD A BC D -的底面为正方形，其三视图如图所示，则其体积为 .14．设,x y 满足60,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩若z ax y =+的最大值为39,a +最小值为33,a -则a 的取值范围为 .15．若点(,)M x y 在运动过程中，总满足下列关系式：3=； 4±；6=； ④221(21)13x y m m m +=-<<-++； ⑤22(0)Ax By C A B -=⋅>.则点M 的轨迹是双曲线的有 .（请把正确的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 16．（本小题满分12分） 已知函数1()2cos sin().62f x x x π=+- （Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 的取值的集合；（Ⅱ）设α为锐角，且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求212f απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）某学校在全体教职工中进行了主题为“你幸福吗？”的问卷调査，并在已被问卷调查的教职工中随机邀请部分教职工参加“幸福教育”或“幸福—中国梦”的座谈会，被邀请的教职工只能选择其中一场座谈会参加．已知语文组有1人，数学组有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若语文组被邀请的人参加“幸福—中国梦”座谈会的概率是34，数学组被邀请的人参加“幸福—中国梦”座谈会的概率均是12． （Ⅰ）求语文组、数学组两个小组已收到邀请的人选择“幸福—中国梦”座谈会的人数相等的概率；（Ⅱ）在参加“幸福—中国梦”座谈会的人中，记语文组、数学组两个小组参会人数的和为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）在三棱台111A B C ABC -中，侧棱1B B ⊥底面ABC ，且1,2ABC AAC π==∠∠11122.AB BB A B ==（Ⅰ）求证：平面1AAC ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求二面角1A BC A --的大小.19．（本小题满分13分）等比数列{}n a 中，152522,8,a a a a a ==->. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）记lg ,n n n b a a =⋅12()n n S b b b n N *=+++∈，求n S .20．（本小题满分13分）设函数()(1).xaf x e x=-（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0x >时，若函数()f x 的极大值为,M 极小值为,m 且5,M m e ⋅=求a 的值.21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为2且与抛物线2y =有相同的焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||,MA MB = 求证：222112||||||OA OB OM ++为定值．。
安徽省2013届高三高考模拟(六)数学(理)试题 含答案
安徽省2013届高三高考模拟（六）数学（理）试题考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在试卷的相应位置。
3．请将第I 卷的答案填在第Ⅱ卷前面的答案栏上。
第Ⅱ卷用0．5毫米黑色墨水签字笔答题。
4．本次考试时间120分钟，试卷满分150分。
第I 卷（选择题共50分）一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若i 为虚数单位，则关于1i，下列说法不正确的是（ ） A ．1i 为纯虚数B ．1i 的虚部为－iC ．|1i|=lD ．1i在复平面上对应的点在虚轴上2．若1n[ln （lnx ）]=0，则x=（ ）A ．1B ．eC ．e 2D ．e e3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1 6 4．设集合{|()(2)},{|()(1)}p x f x t f Q x f x f =+<=<-，若()f x 是R 上的增函数，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ≤l B ．t >－1 C ．f ≥3 D ．t>35．已知数列{}n a 的前n 项和*32,n n S n N =-∈，则（ ）A ．{}n a 是递增的等比数列B ．{}n a 是递增数列，但不是等比数列C ．{}n a 是递减的等比数列D ．{}a 不是等比数列，也不单调6．在△ABC 中，若0tan A <·tan 1B <，那么△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．形状不确定7．已知双曲线22:145x y C -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2=|F 1F 2|·则1PF u u u r ·2PF u u u u r等于（ ）A ．24B ．48C ．50D ．568．在平面直角坐标系xOy 中，( 4.0)(1.1),OP R λλ=-+∈u u u r以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p=4sin θ，则点P 的轨迹和曲线C 的公共点有（ ） A ．O 个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个9．已知等式43243212344641(1)(1)(1)(1)x x x x x b x b x b x b ++++=-+-+-+-+，则1234b b b b +++=（ ）A ．0B ． 15C ．16D ．80 10．已知集合M={1，2，3，4），N=|（a ，b ）|a ∈M ，b ∈M ），A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y=x 2+1有交点的概率是 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．18第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题（本大题包括5小题，每小题5分，其25分．把答案填写在题中横线上） 11．如图是七位评委为某位参加面试的教师打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分 和一个最低分后，所剩数据的标准差为 ．（结果保留根号）12．已知x ，y 满足 113x x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数z=2x－y 的最大值为 .13．已知0<0<x ，1an 1()47x θ+=，则sin θ+cos θ= . 14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 15．若对于函数sin ||()x f x b x=+，现给出四个命题： ①b=0时，()f x 为奇函数；②y=()f x 的图像关于（o ，b ）对称；③b =－1时，方程()f x =0有且只有一个实数根；④b =－1时，不等式()f x >0的解集为空集．其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题包括6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且（a 2+b 2－c 2）3cos ab C 。
安徽省师大附中2013-2014学年高一下学期期中考试_数学试题_Word版含答案
安徽省师大附中2013-2014学年高一下学期期中考试 数学试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1、在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且bc a c b 3222=-+，则A 等于 ( )A ．ο30B ．ο60C ． ο120D ． ο1502、在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，ο30=B ，则ABC ∆的面积等于 ( )A ．23B ．43C ．23或3D ．23或433、在ABC ∆中，角A ,B 均为锐角，且B A sin cos >，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形4、已知A 、B 、C 为平面上不共线的三点，若向量AB u u u r)1,1(=，)1,1(-=，且·AC u u u r 2=，则·BC u u u r等于 ( )A ．－2B ．2C ． 0D ． 2或－25、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则2a 等于（ ）A ．4B ．2C ．1D ．－26、在数列{}n a 中，21-=a ，n nn a a a -+=+111，则2012a 等于 ( ) A ．－2B ．31-C ．21D ．37、一个各项均为正数的等比数列，其任何一项都等于它后面两项之和，则其公比是 ( )A ．251--B ．251+-C ．251+D ．251--或251+-8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB ＝100a OA ＋101a OC ，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O )，则200S 等于 ( )A ．100B ．101C ．200D ．2019、在数列{}n a 中，已知对任意13,321-=++++∈*n n a a a a N n Λ，则2232221na a a a ++++Λ等于 ( )．A ．2)13(-nB ．)19(21-nC ．19-nD ．()1341-n10、已知a 、b 是单位向量，0=⋅b a ，若向量c 满足1=--b a c ，则c的最大值为 ( )A ．12-B ．2C ．12+D ．22+二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上)11、若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则31AB = .12、在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且A c a sin 23=，则角C ＝________.13、已知数列{}n a 中，1,273==a a ，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11na 为等差数列，则11a ＝ . 14、如图，在ABC ∆中，DB AD =，EC AE =，CD 与BE交于F ，设AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，AF u u u rb y a x +=，则()y x , 为 .15、 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）. ①总存在某内角α，使21cos ≥α；②若A B B A sin sin >，则A B >；③存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++CB A ；④若02=++AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π； ⑤若()10≤<<t tb a ，则tB A <.三、解答题(本大题共6个大题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、（8分）设(,1)a x =r ，(2,1)b =-r．(1) 若b a ⊥，求x 的值；(2）若a r 与b r的夹角为钝角，求x 的取值范围.17、（8,361)2()32(=+⋅-b a b a .(1)求a 与b 的夹角θ； (2)若b t a t c ρρρ)1(-+=,且0=⋅c b ρρ,求t18、（8分）设递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知31a =,4a 是3a 和7a 的等比中项.（l ）求数列{}n a 的通项公式；（2）若252412-+=n a b n n ，求数列{}n b 的前100项和100T .19、（8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边长，,2,3==b a0)cos(21=++C B ，（1）求A 的值； （2）求边BC 上的高.20、（8分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别是c b a ,,.(1)若3,2π==C c ，且ABC ∆的面积为3，求b a ,的值；(2)若A A B C 2sin )sin(sin =-+，试判断ABC ∆的形状．21、（10分）已知各项均不相等的等差数列{}na的前四项和为14，且731,,aaa恰为等比数列{}nb的前三项．(1)分别求数列{}na，{}nb的前n项和nS，nT；(2)记为数列{}nnba的前n项和为nK，设nnnn KTSc=，求证：)(1*+∈>Nnccnn.高一数学参考答案一．选择题1-5 ADCBA 6-10 DBABC 二．填空题11. (-3,-2) 12.ο60 13. 2114.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,31 15.①④⑤三．解答题16.(1)由012=-x ，解得21=x （4分）（2）由题知：210a b x ⋅=-<r r ，解得12x <；又当2x =-时，a r 与b r 的夹角为π， 所以当a r 与b r 的夹角为钝角时， x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．（8分）17.解 (1)(2a-3b)·(2a+b)=61,解得a ·b=-6 ∴cos θ=a ·b |a||b|=－64×3=-12,------又0≤θ≤π,∴θ=2π3（4分）(2) 0915)1())1((2=+-=-+⋅=-+⋅=⋅t b t b a t b t a t b c b ρρρρρρρρΘ53=∴t25108)5253(22=+=b a c ρρρ,536=∴c ρ（8分） 18.解:(1)在递增等差数列{}n a 中,设公差为0>d ,Θ⎩⎨⎧=⨯=137324a a a a ⎩⎨⎧=++⨯=+⇒12)6(1)3(1121d a d a d a 解得⎩⎨⎧=-=231d a522)1(3-=⨯-+-=∴n n a n , （4分）(2))111(41)1(41+-=+=n n n n b n ，10125)10111(41=-=∴n T . （8分）19.解:（1）由1＋2cos(B ＋C)＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cosA ＝0，cosA ＝12，sinA ＝32，故A=3π. (4分）（2）由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝22. 由b ＜a 知B ＜A ，所以B 不是最大角，B ＜π2，从而cosB ＝1－sin2B ＝22.由上述结果知 sinC ＝sin(A ＋B)＝22×(32＋12). 设边BC 上的高为h ，则有h ＝bsinC ＝3＋12.（8分） 20.解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C 得a2＋b2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3， ∴12absin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. （4分）(2)由sin C ＋sin(B －A)＝sin 2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sin Acos A ， 即2sin Bcos A ＝2sin Acos A ， ∴cos A·(sin A －sin B)＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A<π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．（8分）21.解析：(1)设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a1＋6d ＝14(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a1＝2，所以an ＝n ＋1，Sn ＝n(n ＋3)2，bn ＝2n ，Tn ＝2n ＋1－2.（4分）(2)因为Kn ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ，① 故2Kn ＝2·22＋3·23＋…＋n·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，② ①－②，得 －Kn ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1， 所以Kn ＝n·2n ＋1，则cn ＝SnTn Kn ＝(n ＋3)(2n －1)2n ＋1， cn ＋1－cn ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2＞0，所以cn ＋1＞cn(n ∈N*)．（10分）。
[VIP专享]2013年高考数学全解全析-安徽卷(理)
2013年高考数学全解全析－安徽卷（理）第Ⅰ卷一、选择题1．设i 是虚数单位.是复数z 的共轭复数．若z ·i ＋2＝2z ，则z ＝( )z z A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b iz 则Error!解得Error!因此z ＝1＋i.2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.B.C.D.162524341112答案 D解析 赋值S ＝0，n ＝2进入循环体：检验n ＝2<8，S ＝0＋＝，1212 n ＝2＋2＝4；检验n <8，S ＝＋＝，121434 n ＝4＋2＝6；检验n <8，S ＝＋＝，34161112 n ＝6＋2＝8，检验n ＝8，脱离循环体，输出S ＝.11123．在下列命题中，不是公理的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析 B 、C 、D 选项是公理．4．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ＝0，f (x )＝|x |在(0，＋∞)上单调递增；若a ≠0，f (x )＝|(ax －1)x |＝(ax －1)2x 2f ′(x )＝；2a 2x (x －12a )(x －1a )|(ax －1)x |当x >0时，若a <0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上递增．若a >0，由f ′(x )>0解得0<x <或x >.12a 1a 因此“a ≤0”⇔“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”．5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案 C解析 男＝(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x 15女＝(88＋93＋93＋88＋93)＝91，x 15s ＝(42＋42＋22＋22＋02)＝8，2甲15s ＝(32＋22＋22＋32＋22)＝6.2乙156．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为，则f (10x )>0的解集为( ){x |x <－1或x >12}A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}答案 D解析 由已知条件0<10x <，解得x <lg ＝－lg 2.12127．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝(ρ∈R )和ρcos θ＝2π2C ．θ＝(ρ∈R )和ρcos θ＝1π2D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1答案 B解析 如图，在极坐标系中圆ρ＝2cos θ与圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝和π2ρcos θ＝2.8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得＝f (x 1)x 1＝…＝，则n 的取值范围为( )f (x 2)x 2f (xn )xnA ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}答案 B解析 过原点作直线与函数y ＝f (x )的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n 的取值范围是{2,3,4}．9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足||＝||＝·＝2，则点集OA → OB→ OA → OB →{P |＝λ＋μ.|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )OP → OA → OB→ A ．2B ．2C ．4D ．42323答案 D解析 由||＝||＝·＝2，OA OB OA OB 知cos ∠AOB ＝，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝，12π3点集{P |＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域如图所示；OP → OA → OB→其面积为4S △AOB ＝4.310．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知x 1≠x 2，且Error!若x 1<x 2，作y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点．即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同的实根．若x 1>x 2，如图同理方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根．二、填空题11．若8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.(x ＋a3x )答案 12解析 T r ＋1＝C x 8－r r ＝a r C x 8－r ，由8－r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C ＝7，则a 3＝，a ＝.r 8(a3x )r 8434338181212．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝，c ＝2a －b ＝5b 37b3cos C ＝＝－，又0<C <π，因此角C ＝.a 2＋b 2－c 22ab122π313．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a由Error!得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知Error!解得a ≥1.14．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2解析 由已知S 梯形A n B n B n ＋1A n ＋1＝S 梯形A n ＋1B n ＋1B n ＋2A n ＋2S △OB n ＋1A n ＋1－S △OB n A n＝S △OB n ＋2A n ＋2－S △OB n ＋1A n ＋1，即S △OB n A n ＋S △OB n ＋2A n ＋2＝2S △OB n ＋1A n ＋1由相似三角形面积比是相似比的平方知OA ＋OA ＝2OA ，即a ＋a ＝2a ，2n 2n ＋22n ＋12n 2n ＋22n ＋1因此{a }为等差数列a ＝a ＋3(n －1)＝3n －2，2n 2n 21a n ＝.3n －215．如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <时，S 为四边形；12②当CQ ＝时，S 为等腰梯形；12③当CQ ＝时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝；3413④当<CQ <1时，S 为六边形；34⑤当CQ ＝1时，S 的面积为.62答案 ①②③⑤解析 截面S 与DD 1的交点为M ，由平面与平面平行的性质定理知AM ∥PQ ，若0<CQ <，则M 在线12段DD 1上(不包括端点)如图S 为四边形，命题①正确；当CQ ＝时，M 点与D 1重合，四边形APQD 1为12等腰梯形，命题②正确；当CQ ＝时，由△PCQ ∽△ADM ，＝，则DM ＝AD ·＝.连接MQ 交34DM AD CQPC CQ PC 32C 1D 1于R 点＝＝，即D 1R ＝2C 1R ，又D 1R ＋C 1R ＝1，则C 1R ＝故命题③正确．当<CQ <1时，C 1RD 1R C 1Q D 1M 121334连接AM 交A 1D 1于N ，则截面S 为五边形APQRN ，命题④错误．当CQ ＝1时，截面S 为菱形，其对角线长分别为，，则S 的面积··＝，故命题⑤正确．23122362三、解答题16．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ω>0)的最小正周期为π.(ωx ＋π4)(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间上的单调性．[0，π2]解 (1)f (x )＝4cos w x ·sin(w x ＋π4)＝2sin ωx ·cos ωx ＋2cos 2ωx22＝(sin2 ωx ＋cos2 ωx )＋22＝2sin＋.(2 ωx ＋π4)2因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝π，故ω＝1.2π2ω(2)由(1)知，f (x )＝2sin＋.(2x ＋π4)2若0≤x ≤，π2则≤2x ＋≤.π4π45π4当≤2x ＋≤.π4π4π2即0≤x ≤时，f (x )单调递增；π8当≤2x ＋≤，π2π45π4即≤x ≤时，f (x )单调递减．π8π2综上可知，f (x )在区间上单调递增，[0，π8]在区间上单调递减．[π8，π2]17．设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解 (1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝.a1＋a 2故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝，(0，a1＋a 2)I 的长度为.a1＋a 2(2)设d (a )＝，a1＋a 2则d ′(a )＝.1－a 2(1＋a 2)2令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增；当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而＝＝<1.d (1－k )d (1＋k )1－k 1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )22－k 2－k 32－k 2＋k 3故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值.1－k2－2k ＋k 218．设椭圆E ：＋＝1的焦点在x 轴上．x 2a 2y 21－a 2(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．(1)解 因为焦距为1，所以2a 2－1＝，解得a 2＝.1458故椭圆E 的方程为＋＝1.8x 258y 23(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝.2a 2－1由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝.y 0x 0＋c 直线F 2P 的斜率kF 2P ＝.y 0x 0－c故直线F 2P 的方程为y ＝(x －c )．y 0x 0－c 当x ＝0时，y ＝，即点Q 坐标为.cy 0c －x 0(0，cy 0c －x 0)因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝.y 0c －x 0由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝·＝－1.y 0x 0＋c y 0c －x 0化简得y ＝x －(2a 2－1)①2020将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限．解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2.即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19．如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；(2)求cos ∠COD .(1)证明 设面PAB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l .由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)解 设CD 的中点为F ，连接OF ，PF .由圆及等腰三角形的性质知，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD .因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF .故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°＝h .3根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝＝.OPtan ∠OCP htan 22.5°由1＝tan 45°＝和tan 22.5°>0，2tan 22.5°1－tan222.5°可解得tan 22.5°＝－1.2因此OC ＝＝(＋1)h .h2－12在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝＝＝－.OFOC 3h(2＋1)h 63故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝2(－)2－1＝17－12.63220．设函数f n (x )＝－1＋x ＋＋＋…＋(x ∈R ，n ∈N *)．证明：x 222x 332xn n 2(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n∈，满足f n(x n)＝0；[23，1](2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <.1n 证明 (1)对每个n ∈N *，当x >0时，f n ′(x )＝1＋＋…＋>0.x 2xn －1n 故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，fn (1)＝＋＋…＋>0.故f n (1)>0.1221321n 2所以存在唯一的x n∈，满足f n(x n)＝0.[23，1](2)当x>0时，f n ＋1(x)＝f n (x)＋>f n (x)，xn ＋1(n ＋1)2故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f (n ＋1)(x)在(0，＋∞)内单调递增知x n ＋1<x n .故{x n }为单调递减数列．从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p <x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋＋…＋＝0.①x 2n 22xn nn 2f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋＋…＋＋＋…＋＝0.②x 2n ＋p 22x n n ＋pn 2xn 1n ＋p (n ＋1)2xn n ＋p (n ＋p )2①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得＝－<.∑n ＋p k ＝n ＋11k (k －1)1n 1n ＋p 1n 因此，对任意p ∈N *，都有0<x n －x n ＋p <.1n 21．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .解 (1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立．由于P (A )＝P (B )＝＝，故P ()＝P ()＝1－.因此学生甲收到A B C k －1n C k nk n A B kn 活动通知信息的概率P ＝1－2＝.(1－k n )2kn －k 2n 2(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C )2.当X ＝m 时，同时收到李老是和张老师k n转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －kx 由乘法计数原理知：事件|X ＝m |所含基本事件数为C C C ＝C C C .k n2k －m k m －k n －k k n m －k k m －k n －k此时P (X ＝m )＝＝.C k n C2k －m k C m －k n －k (Ck n )2C m －k k C m －k n －k C k n 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C C ≤C C ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )m －k k m －k n －k m ＋1－k k m ＋1－k n －k (2k －m )⇔m ≤2k －.假如k ≤2k －<t 成立．(k ＋1)2n ＋2(k ＋1)2n ＋2则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时．k ≤2k －<2k ＋1－≤t .(k ＋1)2n ＋2(k ＋1)2n ＋2故P (X ＝m )在m ＝2k －和(k ＋1)2n ＋2m ＝2k ＋1－处达最大值；(k ＋1)2n ＋2当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时．P (X ＝m )在m ＝2k －处达最大值．[(k ＋1)2n ＋2](注：[x ]表示不超过x 的最大整数)．下面证明k ≤2k －<t .(k ＋1)2n ＋2因为1≤k <n ，所以2k －－k ＝－1≥(k ＋1)2n ＋2kn －k 2n ＋2＝≥0.k (k ＋1)－k 2－1n ＋2k －1n ＋2而2k －－n ＝－<0.(k ＋1)2n ＋2(n －k ＋1)2n ＋2故2k －<n .显然2k －<2t .(k ＋1)2n ＋2(k ＋1)2n ＋2因此k ≤2k －<1.(k ＋1)2n ＋2。
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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 第 1 页 共 8 页 安徽师大附中安庆一中2013届高三联考 数 学 试 题（理工类） 一、选择题(每小题5分,共50分) 1. 1.复数)(12Raiai是纯虚数,则a ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 若双曲线1222yax的一个焦点为(2,0),则它的离心率为 ( )
A. 552 B. 332 C. 23 D. 2 3. 下列命题中,是真命题的是 ( ) A. 0,00xeRx B. 22,xRxx
C. 0ba的充要条件是1ba D. 1,1ba是1ab的充分条件 4. 已知△ABC中, 060,3,2Bba,则角A等于 ( ) A. 0135或045 B. 0150或030 C. 090 D. 045 5. 若mxxf)cos(2)(,对任意实数t都有1)8(),()4(ftftf,则实数m的值为 ( ) A. 1 B. 3 C. 3或1 D. 1或3 6. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是 ( )
A. 312 B. 12 C. 34 D. 3
7. 如图,函数)(xfy的图像是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的两段弧,则不等式xxfxf)()(的解集为 ( )
(第6题图) (第题7图) 安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 第 2 页 共 8 页 A. ]2,2()0,2( B. ]2,2()2,2[
C. ]2,22()22,2[ D. )2,0()0,2( 8. 已知集合4,3,2,1,3,2,1NM.定义函数NMf:,若点))2(,2()),1(,1(fBfA, ))3(,3(fC,△ABC的外接圆圆心为D,且)(RDBDCDA,则满足条件的函数)(xf的个数有
( ) A. 6个 B. 10个 C. 12个 D.16个
9. 设两圆21,CC都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离21CC ( )
A. 4 B. 24 C. 8 D. 28 10. 设函数)(xfy在R上有定义.对于给定的正数K,定义函数KxfKKxfxfxfK)(,)(),()(,取函数22)(xxxf.若对于任意的Rx恒有)()(xfxfK,则 ( )
A. K的最小值为49 B. K的最大值为49 C.K的最小值为2 D.K的最大值为2 二、填空题(每小题5分,共25分) 11. 设函数1)(2axxf,若2)(10dxxf, 则a . 12. 如图所示的程序框图，输出b的结果是 .
13.设等差数列na的前n项和为nS,若10,854aa,
则6S的最小值为 . 则14.如图,半径为1的⊙O上有一定点P和两个动点BA,,且1AB,PBPA的最大值是 .
15.设),(11yxM、),(22yxN为不同的两点，直线l：0cbyax,cbyaxcbyax2211,以下命题中正确的序号为 ．
①不论为何值,点N都不在直线l上； ②若1,则过NM,的直线与直线l平行； ③若1,则直线l经过MN的中点； ④若1,则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN相交; ⑤若1,则点M、N在直线l的异侧且直线l与线段MN的延长线相交.
(第12题图) (第14题图) 安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com
第 3 页 共 8 页 三、解答题(共75分) 16.(12分) 若函数)0(cossinsin)(2aaxaxaxxf的图像与直线mmy(为实常数)相切,并且从
左到右切点的横坐标依次成公差为2的等差数列. (Ⅰ)求函数)(xfy的解析式; (Ⅱ)若点),(00yxA是)(xfy的图像的对称中心,且]2,0[0x,求点A的坐标.
17. (12分)某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)
满足xmfy，其中4264024xxxxxf，当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化. （Ⅰ）如果投放的药剂质量为4m，试问自来水达到有效净化一共可持续几天? （Ⅱ）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天之内（从投放药剂算起包括7天）的自来 水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的值.
18. (12分)如图,已知多面体ABCDEF中,AB⊥平面ACDF,DE⊥平面ACDF, △ACD是正三角形,且3,1,2DFAFABDEAD. (Ⅰ)求证:DF平面CDE; (Ⅱ)求多面体ABCDEF的体积.
19. (12)已知函数aaexfx)(ln()(为常数,71828.2e)是R上的奇函数. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)讨论关于x的方程mexxxfx2)(ln2的根的个.
(第18题图) 安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com
第 4 页 共 8 页 20.(13分) 点DCBA,,,在抛物线yx42上,DA,关于抛物线对称轴对称.过点D到ACAB,距离分别为21,dd,且ADdd221. (Ⅰ)试判断△ABC的形状(锐角三角形,直角三角形,钝角三角形),并说明理由; (Ⅱ)若△ABC的面积为240,求点A的坐标和BC的方程.
21. (14分)对于数列}{nx,如果存在一个正整数m,使得对任意的n（Nn）都有nmnxx成立,那么就把这样一类数列}{nx称作周期为m的周期数列,m的最小值称作数列}{nx的最小正周期,以下简称周
期.例如当2nx时}{nx是周期为1的周期数列,当)2sin(nyn时}{ny是周期为4的周期数列. (Ⅰ)设数列}{na满足nnnaaa12（Nn）,baaa21,（ba,不同时为0）,求证:数列}{na是周期为6的周期数列，并求数列}{na的前2013项的和2013S; (Ⅱ)设数列}{na的前n项和为nS，且2)1(4nnaS. ①若0na,试判断数列}{na是否为周期数列,并说明理由； ②若01nnaa,试判断数列}{na是否为周期数列,并说明理由； (Ⅲ)设数列}{na满足112nnnaaa（Nn）,21a,32a,数列}{na的前n项和为nS,试问是
否存在qp,,使对任意的Nn都有qnSpnn)1(成立，若存在，求出qp,的取值范围;不存在,说明理由. 安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com
第 5 页 共 8 页 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D D C D A C C A 二、填空题
11. 3 12. 16 13. 42 14.2
33 15. ①②③
三、解答题 16. 解:(Ⅰ) )42sin(222
1
)(axxf,……………..…….…..2分
由my与)(xfy的图像相切,则221m或221m,…………..4分 因为切点的横坐标依次成公差为2的等差数列, 所以2T,即2a,故)44sin(2221)(xxf……………..6分 (Ⅱ)由(1)知,令Zkkxx,164,0)44sin(00.…………..8分 由2,1,,21640kkZkk,………………………...11分 所以点A的坐标为)21,167(),21,163(………………………..………12分
17. 解：（Ⅰ）因为4m，所以
4224408xx
xxy,
当40x时48x显然符合题意. ………………………..……..3分 当4x时4224x84x， 综上80x. 所以自来水达到有效净化一共可持续8天. ………………..……..…..6分
（Ⅱ）由xfmy=4264024xxmxmmx, 知在区间4,0上单调递增， 即mym32， 在区间7,4上单调递减，即mym356，
综上mym356，…………………………………………….…..9分 为使104y恒成立，只要456m且103m即可，即310m. 所以为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量m应该为310.…12分