判定中性随机泛函微分方程的Razumikhin指数稳定性条件
第２ｌ卷第３期 ２０１１年９月 洛阳理工学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｕｏｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌ０ｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．２１ ＮＯ．３ Ｓｅｐ．２０１１
判定中性随机泛函微分方程的Ｒａｚｕｍｉｋｈｉｎ指数稳定性条件
张五立，赵灿省．刘志伟
（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：近来随机微分方程引起了越来越多的关注，如微分方程的解的存在性、唯一性和指数稳定性，但很少有
人关注中性随机微分方程解的稳定性。本文讨论了中性随机功能微分方程和中性随机时滞微分方程 时刻的指数稳
定性，主要采用的是Ｒａｚｕｍｉｋｈｉｎ方法，目的是使用该方法比构造ｌｙａｐｕｎｏｖ函数判定方程解稳定性更易验证。
关键词：中性随机功能微分方程；Ｐ时刻指数稳定；Ｒａｚｕｍｉｋｈｉｎ方法
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－５０４３．２０１１．０３．０１６ 中图分类号：Ｏ２１１．６３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—５０４３（２０１１）ｏ３．００６６—０４
１预备知识
一般来说，我们研究的随机变量和过程都是定义在由标准的ｍ维布朗运动
∞＝｛ （ｆ）｝，０９，＝（０３１（ｆ），０９２（ ）…… （，）） 产生的具有自然滤子的完备概率空问（Ｑ， ，｛ ｝）中，即
，＝ ｛ （ ），０ Ｓ ）， 表示矩阵或向量的转置，用Ｉ．Ｉ来定义欧几里德范数，为了简便，迹泛数用
ｆ ］＝ＡＩ ，ｉＩＡＩｆ表示矩阵的算子范数，ｆＩＡＩｆ＝ｓ．ｐ｛ｌＡｘＩ： ＝ｌ， ∈ ”｝，ｃ（［＿ ，０】； ）为 从
［＿ ，０］到Ｒ 具有范数 ｌ＝ｓｕＰ－ｒ＿＜ａ＿＜ｏｌ （ｔ９）． （［一 ，０］； ”）ｌ的连续函数族，当 （［一 ，０］，Ｒ ］）是所有
Ｃ（［－ｒ，０］，Ｒ ）值随机变量 ＝｛ （ｔ９），ｔ９ ～ ０｝使得ｓｕｐ一 。 （１９） １＜。。，当且仅当这种情况下
（ （【一 ，０】；Ｒ ）ｃ （卜 ，ｏ］； ”）成立。
本文研究如下 维中性随机功能微分方程：
ｄ［ｘ（ｔ）一Ｇ（ｘ，）］＝／’（，，Ｘ，）ｄｔ＋ｇ（ｔ，Ｘ，） （，），，≥０ （１）
这里初值Ｘｏ＝ ＝｛ （１９），一 Ｉ９ ｏ）∈ （［＿ ，ｏ］；Ｒ”）， ，＝吼０，一 ｔ ０，方程系数满足：
Ｇ：ｃ（一 ，Ｏ）；Ｒ ）－－－）．Ｒ”，ｆ：Ｒ＋×ｃ（［一／－，０］；Ｒ”） ”．ｇ：Ｒ＋×ｃ（［－ｒ，Ｏ］；Ｒ”）
Ｇ，－厂，ｇ都是连续函数，Ｘ，＝｛ （ｆ＋ｔ９），一ｇ－ ｔ９ ０｝是一个Ｃ（［一 ，０］； ”）值随机过程。
一个 ，适应过程Ｘ＝｛ （，），一 ｆ＜００）是方程（１）的解如果满足初值和相应的可积方程几乎必然成
立，即对于任意ｔ ０，
）一Ｇ（ ，）＝ （０）一Ｇ（ ）十ｆｆ（ｓ，ｘ，） 十 ｇ（ ， （ ） （２）
０ ０
定义：存在一个常数ｋ∈（ｏ，１），并且对于所有 ｌ， ２∈ （卜 ，０］；Ｒ ）”
ｌＧ（ ）一Ｇ（ ）２ ｋ ｓｕｐ￡ （ｔ９）一 （１９）ｌ
ｒ Ｏ
函数／，ｇ一致Ｉｉｐｓｃｈｉｔｚ连续或者局部ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续并且满足线性增长条件。
收稿日期：２０１１－０５—２７
作者简介：张五立（１９８Ｏ一），男，河南开封人，在读硕士研究生，主要从事随机微分方程方面的研究．
第３期 张五立等 判定中性随机泛函微分方程的Ｒａｚｕｍｉｋｈｉｎ￣数稳定性条件 ６７
此外，若 ∈ （［一 ，０］；Ｒ”）那么存在一个 时刻的解ｘ（ｔ， ），在后面的论述中，如果没有强调的
话，方程（１）存在唯一的解且满足ｓｕｐ一 Ｅｌｘ（ｔ；￣）ｌ ＜ｏ。，对所有 ＞ｏ所有勒贝格和 ＤＡ积分都是定义
好的。
下列不等式（３） 是在我们证明中常用的：
ｘ＋ｙ ＋ ］
式（３）中令 ＝ ／（１一 ），其中０＜ｓ＜１得到如下不等式：
Ｉｘ＋Ｙｌ ≤ ＋ ｐ
定理：Ｒａｚｌｌｍｉｋｈｉｎ方法 ：
￣３／（ｔ， ）＝ （，， （０））＋ ， （ｏ））Ｉ厂 ， ）＋（１／２）ｔｒ［ｇ ’ ， ） ， （０））ｇ ， ）］
引理１．１ 存在一个常数ｋ∈（０，１）使得 ｌＧ（ ）｝ ｋ ｓｕｐ （１９）Ｉ ，那么
Ｅｌ（０）一Ｇ（ ）Ｉ （１＋ｋ ｐ） ｓｕｐ １ （ｔ９）ｌ ’
一ｆ Ｏ
这里 ∈ （［一ｆ，ｏ１；Ｒ”）。
】 并引用不等式（３）这里 ：七 则 ＩＧ（ ｋ ｓｕｐ Ｅ］Ｏ（Ｏ）Ｉ
—ｆ≤ Ｏ
【 （０）一Ｇ（ ）『 （１＋ ） ｓｕｐ Ｅ【 （ ）『
１ Ｐ一１ （１＋ ） （ Ｉ （０）ｌ ＋ｋ・ｋ ｓｕｐ ＥＩ （ｔ９）Ｉｐ）
≤（１十足 ）ｓｕｐ ｆ （ｔ９）ｆ
引理１．２ 存在一个常数 ∈（０，１）使得ＥＩＧ（ ）Ｉ ｋ
—ｓ ｕ ｐ 。￡ （ｔ９）ｌ ，且 （ｆ）是方程（１）的解并存在
０，０＜ ＜一一１则对于所有Ｏ ｆ ， （３）
（４）
（５）
ＥＩｘ（ ）一Ｇ（ｘ『）ｌ （１＋ｋ ）ｐ ｓｕｐ Ｅ （ ）Ｉ （６） ２＂
Ｏ 洛阳理工学院学报（自然科学版） 第２１卷
那么 Ｅ （ ）ｌ ≤ ｓｕｐ Ｅ Ｊ （１９） 。 ｆ ０ （１一（ ） ）ｐ
证明：取占∈（Ｏ，１），且０≤ｔ Ｐ，并运用不等式（４）及假设（５）
ｅｒｔＥｘ（ｔ） ＝ｅ ｒｔＥｘ（ｔ）一Ｇ（ｘ，）＋Ｇ（ｘ ）
成立 ＥＩ ）一Ｇ（ ］＋ｓｕｐ［ｅ＂ｓｕｐ ＥＩ ＋ ）
≤ ｓｕ心ｐ Ｅ［ ） ｋｅ ｒｔ
—ｓｕ ｐ Ｉ㈤ｌ ］
不等式两边都取上确界，该不等式对一 ≤ｔ ０都成立，因此考虑到ｋｅ ＜ｏｅｐ ＜１，则下列式子
Ｉ ｓｕ脚ｐ Ｅ］ ＋筹 ｎ
＜ （１＋ｋ ） （１一ｓ）ｐ ｓｕｐ Ｅ ｘ（Ｏ） －ｒ４３ｇＯ （７）
在（７）式中令 ：（ｋｅ，ｒ、 １ 就得到所要证明的结论。
引理１．３ ＥＩＧ（￣）ＩＰ ｋｓ ｕ ｐ＜０ ｅｌｏ（ｓ）ｌｐ，对于所有 ∈ （［＿ ，０］；尺， ），ｇ＞（１一尼 １）一 存在 ＞ｏ —ｆ≤ ≤Ｕ 一一 ＼Ｌ ， Ｊ， ／， ＼ 一 ／
ｆ导 （。）一Ｇ（ ）Ｉ 一 （１ （。）一Ｇ（ ）Ｉ 【２（ （。）一Ｇ（ ）） 厂（ｆ， ）＋Ｉ ｇ（ｆ， ）『 】＋（ 一２）Ｉ（ （。）一Ｇ（ ）） ｇ（ ）Ｉ ｝
一 Ｅｌ （０）一Ｇ（ ）ｌ
对于所有，≥ｏ， ∈ （［一 ，０］；尺 ），一 ｌ９ ０满足：ＥＩ￣＜ｓ＞Ｉ ＜ｇＥ『 （０）一Ｇ（ ）Ｉ，，一 ０，对
Ｙ＂ ∈（０，ｏ９，ｔ≥０，有
ｅ？ｔＥ ｘ（ｔ） Ｉ （１＋ｋ ） ｓｕｐ Ｅ （ ）ＩＰ，Ｏ Ｐ ｒｇＳ￣Ｏ （１一（ ） ）ｐ
２主要结论
像通常一样，假定Ｇ（０）＝０，ｆ（ｔ，０）兰０，ｇ（ｔ，０）兰０，方程（１）允许产生一个微解 （ ，０）三０，若方程（１）
的微解满足如下条件，则称为第Ｐ时刻指数稳定。存在一对正常数 ，Ｍ使得
Ｉ （ｆ； ）Ｉｐ Ｍｅ一 ｓｕｐ Ｉ （ ） ， ０，
或 ｌｉｍｓｕｐ÷ｌｎＥ『 ； ）ｌ 一 ，
—｝∞ ｒ 。 ’
第３期 张五立等 判定中性随机泛函微分方程的Ｒａｚｕｍｉｋｈｉｎ指数稳定性条件 ６９
定理：存在～个常数ｋ∈（０，１）使得
ＥＩＧ（￣）Ｉ 后
一ｓ ｕ ｐ 。 （ ）ｆｐ，对于所有 ∈ （［－
，ｏ】；尺，ｚ），ｑ＞（１一尼 １）一，存在 ＞０使得
Ｅ（ （０）一 ）ｒ （ 卜Ｇ（ ）ｌ２）【２（ ）一Ｇ（ （ｆ． ） （ｐ－２）Ｉ（ ）一 ｇ（ｆ ｝
≤一 （ｏ）～Ｇ（ ）ｆ
对于所有ｔ ０ ∈ （［一 ，０】；Ｒ ），满足
ＥＩ （１９）ｌ ＜ｇＥ】 （ｏ）一Ｇ（ ）Ｉ ，一 ≤０，
那么对于每一个 ∈三 （［－ ，０］）；Ｒ”），方程（１）的解满足：
Ｅ ｘ（ｔ， ）Ｉ ｌ ｑ（１＋ｋｐ、 ｅ一 ｓｕｐ ｒ≤ Ｏ
（ 、＝ 证明：取 ｊ （ｔ９） ， ０，其中 ．ｒ．１ ｍｉｎ￣Ｚ・一 ｇ
（１＋（幻）
一（ ） １） 当 ＜１时该函数是递增的，取一个整数ｇ使它满足：
ｇ＞ ＞
（１一（ｋｅ ） ） （１一（ｋｅ ） ）
由于引理３成立，式（８）及引理１、引理２我们易推出下面结论
ｅ ＥＩｘ（ ） 车
（１一（ｋｅ ） ） ＞ １ （１一ｋｐ）
ｓｕｐ Ｅｌ （Ｉ９）Ｉ ≤ｇ（１＋ｋ，）ｐ ｓｕｐ Ｅ ｘ（８）ｐ
—ｒ Ｏ —ｆ≤ Ｏ ｝＞０
（８）
其中ｆ≥０， －－－＞（）．，我们完成了定理的证明。
参考文献：
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ＺＨＡＮＧ Ｗｎ—ｌｉ，ＺＨＡＯ Ｃａｎ—ｓｈｅｎｇ，ＬＩＵ Ｚｈｉ—ｗｅｔ （Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｃｅｎｔｌｙ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ａｔｔｒａｃｔｅｄ ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｌ・ｅ ａｔｔｅｎｔｉｏｎｓ，ｅｓｐ．ｏｎ ｉｔｓ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，ｕｎｉｑｕｃｈｅｓｓ ａｎｄ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，ｂｕｔ ｆｅｗ ｆｏｃｕｓｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｕｔｒａｌ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｐｔｈ ｍｏｍｅｎｔ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｎｅｕｔｒａｌ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａＩ
ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｅｕｔｒａｌ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｅｌａｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｉｔｈ Ｒａｚｕｍｉｋｈｉｎ ａｓ ｔｈｅ ｐｒｉｍａｒｙ ｍｅｔｂｏｄ．Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｕｒｐｏｓｅ ｉｓ
ｔｏ ｆｉｎｄ ＳＵｆｆｉｃｉｅｎｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｖｅｒｉｆｉｅｒＩ ｍｏｒｅ ｅａｓｉｌｙ ｔｈａｎ ｌｙａｐ ｆｌｕｏｖ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｅｕｔｒａｌ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｐｔｈ ｍｏｍｅｎｔ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｒａｚｕｍｉｋｈｉｕ
带跳变时滞随机微分方程E-M方法指数稳定性
带跳变时滞随机微分方程E-M方法指数稳定性
黄斌;王拉省;孙洁
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2008(021)003
【摘 要】研究了带跳变时滞随机微分方程Euler-Maruyama方法的指数稳定性.在全局Lipschitz条件及解析解和数值解在均方有界的条件下,证明了SDVDEJs的指数稳定性的充要条件是Euler-Maruyama方法下构造的数值解是指数稳定性.避免了寻找Lyapunov函数的困难,将指数稳定性的等价关系推广到带跳变时滞情形.
【总页数】6页(P336-341)
【作 者】黄斌;王拉省;孙洁
【作者单位】西安工程大学,理学院,陕西,西安,710048;西安工程大学,理学院,陕西,西安,710048;西安工程大学,理学院,陕西,西安,710048
【正文语种】中 文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.带跳时滞随机微分方程E-M方法指数稳定性 [J], 王拉省;黄斌;孙洁
2.带泊松跳的随机脉冲时滞偏微分方程的指数稳定性 [J], 陈玲;陈旻;郭利芳
3.带泊松跳的中立型随机时滞微分方程解的指数稳定性 [J], 卢俊香;王珊珊;付蓉
4.随机时滞微分方程的随机线性θ方法的均方指数稳定性 [J], 赵梅; 兰光强
5.不确定随机时滞跳变系统的均方指数稳定性及H_∞控制 [J], 许莉娟;张天平;裔扬;鲁瑶 因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买
有界滯量脉冲泛函微分系统零解的指数稳定性
有界滯量脉冲泛函微分系统零解的指数稳定性
王华丽;褚玉明;符海龙
【摘 要】利用Halanay微分不等式建立了Dini导数微分不等式,并证明了有界滞量的脉冲泛函微分系统的零解是全局指数稳定的.
【期刊名称】《湖州师范学院学报》
【年(卷),期】2010(032)002
【总页数】5页(P13-17)
【关键词】Halanay不等式;脉冲泛函微分系统;指数稳定性
【作 者】王华丽;褚玉明;符海龙
【作者单位】厦门大学,数学科学学院,福建,厦门,361005;湖州师范学院,理学院,浙江,湖州,313000;浙江大学附属中学,浙江,杭州,310007
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.21
MSC 2000:34K20 34K38
近年来,脉冲泛函微分系统已被广泛应用于神经网络、光学控制、人口动力学、生物技术、经济学等领域,对这类系统解的性质研究已经成为许多数学工作者的热门研究课题[1～3].稳定性理论已经取得了许多成果,其中研究指数稳定性主要是利用Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧[5].众所周知,微分不等式在微分系统的定性和定量理论研究中起到了非常重要的作用[1,3,4],其中Halanay不等式是一个典型的例子.本文首先将Halanay微分不等式推广到Dini导数微分不等式,并用它研究有界滞量滞后型脉冲泛函微分系统的指数稳定性.
考虑如下的脉冲泛函微分系统
其中Z+是全体正整数集合,xt脉冲时刻tk满足0tk=+∞,x′(t)表示x在t处的右导数.F(t,xt)∈C([tk-1,tk)×Cn,Rn),F(t,0)=0.Ik(t,x)∈C(R× PC([-τ,0],Rn),Rn),Ik(t,0)=0,k∈Z+.PC(I,Rn)={ψ∶I→Rn|ψ是除去点列tk的连续函数,在t =tk∈I处,ψ都存在,且ψ=ψ(tk),其中I表示R上的一个区间;Cn={ψ:ψ∈PC([-τ, 0],Rn)}.我们总假设F(t,ψ),Ik满足适当的条件以保证系统(1)解的整体存在性和唯一性[6～7].
一类随机微分方程Runge-Kutta方法的指数稳定性
第３６卷第３期 ２００８年５月 河海大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｏｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏ１．３６ Ｎｏ．３ Ｍａｙ ２００８
一类随机微分方程Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ方法的指数稳定性
庞立君，朱永忠
（河海大学理学院，江苏南京２１００９８）
摘要：为进一步研究随机微分方程的稳定性，给出了随机微分方程的二级Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ方法的算法
格式，研究了二级显式随机Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ方法的均方稳定和指数稳定的条件，并证明了对于线性检
验方程．均方稳定性和指数稳定性的关系．
关键词：随机微分方程；Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ方法；均方稳定性；指数稳定性；线性检验方程．
中图分类号：０２１１．６３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—１９８０（２００８）０３—０４３０—０３
随着随机微分方程数值解法的发展，随机微分方程稳定性的研究也引起了广泛的关注．Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ方法
用于求解常微分方程是经典的问题，但研究随机Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ方法求解随机微分方程则是近几年的事情，自 从１９８２年Ｒｕｍｅｌｉｎ…首次把随机Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法用于求解随机微分方程以来，Ｓａｉｔｏ等［２＿３］讨论了随机微分方
程的各种稳定性，Ｂｕｒｒａｇｅ等［４＿７］构造了多种求解随机微分方程的Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ方法并讨论了它们的稳定性，但
研究随机微分方程的稳定性时主要是针对均方稳定性，本文将讨论二级随机Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ方法的指数稳
定性．
１预备知识
依照不同的随机积分的定义，随机微分方程可分别表示为
ｄｙ＝厂（ｔ，Ｙ）ｄｔ＋ｇ（ｔ，Ｙ）ｄｗ（ｔ） （１）
ｄｙ＝ （ ，Ｙ）ｄｔ＋ｇ（ｔ，Ｙ）。ｄｗ（ｔ） （２）
其中 （￡，ｙ）：／（￡，ｙ）一 １ （￡，ｙ）
式（１）即为Ｉｔｏ型随机微分方程，式（２）为Ｓｔｒａｔｏｎｏｖｉｃｈ型随机微分方程．
数值微分方程的数值稳定性分析
数值微分方程的数值稳定性分析
在数值微分方程的求解过程中，我们需要关注的一个重要问题就是数值稳定性。数值稳定性是指在数值计算过程中，误差是否能够被有效地控制在一定范围内，以确保计算结果的准确性和可靠性。本文将介绍数值微分方程的数值稳定性分析方法。
一、数值微分方程的概念和数值求解方法
数值微分方程是用数值方法求解微分方程的一种数学模型。它将微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程，得到近似解。常见的数值求解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、隐式方法等。
二、数值稳定性的概念和判定标准
数值稳定性是指数值方法在求解微分方程时能否产生稳定的解。一个数值方法是稳定的，当且仅当其近似解对微小扰动不敏感，即当初始条件和参数有轻微变化时，数值解的变化也应该是微小的。
常见的数值稳定性判定标准有绝对稳定性和相对稳定性。绝对稳定性是指数值方法对任意给定步长和初始条件，数值解都保持有界。相对稳定性是指数值方法对特定的步长范围和初始条件，数值解在特定范围内保持有界。
三、稳定性分析方法
1. 行列式法 行列式法是一种常用的数值稳定性分析方法。通过构造数值方法的增量方程，将其转化为一个线性代数问题，然后通过求解行列式的特征值来确定数值方法的稳定性。
2. 谱半径法
谱半径法是一种基于特征值分析的数值稳定性分析方法。通过求解数值方法的增量方程的特征值，计算特征值的最大模长，即谱半径，来判断数值方法的稳定性。
3. 稳定性界面法
稳定性界面法是一种直观的数值稳定性分析方法。通过绘制数值方法的稳定性区域，即在复平面上画出稳定的解的区域，来判断数值方法的稳定性。
四、稳定性分析的应用
稳定性分析对于选择合适的数值方法和步长非常重要。通过稳定性分析，我们可以选择稳定的数值方法，以保证数值解的准确性和可靠性。
同时，稳定性分析还有助于优化数值方法和步长的选择。通过观察稳定性界面或谱半径的变化情况，我们可以找到最大的稳定步长，从而提高计算效率。
脉冲中立型随机微分方程的均方指数稳定性
脉冲中立型随机微分方程的均方指数稳定性
徐燕
【摘 要】利用Lyapunov稳定性定理,讨论了下列脉冲中立型随机时滞微分方程系统{d[x(t) －C(t)x(t －τ)] =f( x(t),x(t－τ),t,r(t))dt+g(x(t),x(t－τ),t,r
(t))dw(t),t≥0,t≠tk, x(tk) = Dk(r(t))x(tk－),k=1,2,…,其中tk是脉冲时刻,满足0=t0
＜ t1 ＜ … ＜ tk ＜ …, limtkk→∞=∞的均方指数稳定性,得到了一些新的结果.
【期刊名称】《宿州学院学报》
【年(卷),期】2019(034)002
【总页数】5页(P67-71)
【关键词】脉冲;马尔科夫调制;中立型随机微分方程;稳定性
【作 者】徐燕
【作者单位】河北大学数学与信息科学学院,河北保定,071002
【正文语种】中 文
【中图分类】O193
最近几十年，中立型随机时滞微分系统受到学者的大量关注，因为该模型可以描述很多领域的一些随机现象[1]，比如神经网络，种群生态学，化学工程仿真，计算机辅助设计，自动控制领域等，其研究热点是系统的渐近行为分析[2]。另外，脉冲效应存在于各种应用模型中，用于描述系统状态在某一时刻的突变。目前，脉冲中立型时滞微分方程已有很多研究结果，如文献[3]研究了一阶欧拉型中立型脉冲微分方程解的渐近行为，文献[4]研究了一类脉冲非线性中立型随机微分方程解的渐近性。许多物理系统经常遭受到不可预测的结构改变，例如机器突然失灵，瞬间的环境扰动等，在数学上经常用马尔科夫调制的系统来描述这类系统。2003年，Kolmanovskii等考虑了马尔科夫调制的中立型随机时滞微分方程解的存在和唯一性，并且研究了解了渐近有界性和均方指数稳定性[5]。尽管有很多文献讨论了脉冲中立型随机微分方程和马尔科夫调制的中立型随机微分方程的稳定性，但关于马尔科夫调制的脉冲中立型随机时滞微分方程指数稳定性的研究工作很少，如文献[6]利用Lyapunov方法结合线性矩阵不等式讨论了马尔科夫调制的脉冲中立型随机神经网络模型的均方指数稳定性。受此启发，本文利用文献[7]和[8]中的方法研究马尔科夫调制的脉冲中立型随机时滞微分方程的均方指数稳定性。
数学建模,微分方程稳定性理论简介
微分方程稳定性理论简介
一、 问题的背景
稳定性的物理意义：用微分方程描述的物质运动的特解密切依赖于初值，而初值的计算或测定实际上不可避免地出现误差和干扰。如果描述这运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果。因此，这样不稳定的解不宜作为我们设计的依据，反之，稳定的特解才是我们最感兴趣的。
二、 一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程
()()xtfx （1）
方程右端不显含自变量t，称为自治方程。代数方程
()0fx （2）
的实根0xx称为方程（1）的平衡点（或奇点）。它也是方程（1）的解（奇解）
如果存在某个邻域，使方程（1）的解()xt从这个邻域的某个(0)x出发，满足
0lim()txtx （3）
则称平衡点0x是稳定的（渐进稳定）；否则称0x是不稳定的（不渐进稳定）。
判断平衡点0x是否稳定通常有两种方法。利用定义即（3）式称间接法。不求方程（1）的解，即不利用（3）式的方法称直接法。下面介绍直接法
将()fx在0x点作Taylor展开，只取一次项，方程（1）近似为
00()()()xtfxxx （4）
（4）称为(1)的近似线性鞥方程，0x也是（4）的平衡点，关于0x点稳定性结论如下：
若0()0fx，则0x对于方程（4）和（1）都是稳定的；
若0()0fx，则0x对于方程（4）和（1）都是不稳定的。
（事实上，若记0()fxa，则（4）的一般解是
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明
微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界中众多现象的变化规律。在微分方程的研究中，稳定性与解的存在性证明是两个基本问题。本文将从这两个方面展开讨论微分方程模型的特性。
稳定性是指系统在一定条件下的长期行为是否趋于稳定。在微分方程模型中，稳定性分为局部稳定性和全局稳定性。局部稳定性指的是系统在某一点附近的行为是否稳定，而全局稳定性则是指系统在整个定义域内的行为是否稳定。
稳定性的判断可以通过线性化的方法来进行。线性化是将非线性微分方程在某一点附近进行线性逼近，从而获得系统的线性化方程。通过对线性化方程的特征值进行分析，可以判断原方程在该点附近的稳定性。
解的存在性证明是指是否存在满足微分方程的解。在微分方程模型中，解的存在性通常需要借助一些数学工具和定理来证明。其中最常用的方法是皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理。
皮卡-林德洛夫定理是解的存在性证明中的重要定理之一。它指出，如果微分方程的右端函数在某个矩形区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解。利普希茨条件是指右端函数的偏导数存在且有界。
柯西-利普希茨定理则是解的存在性证明中的另一个重要定理。它指出，如果微分方程的右端函数在某个区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解，并且解的存在范围可以延伸到整个定义域。
除了皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理，还有一些其他的定理和方法可以用于解的存在性证明。比如，格朗沃尔不等式、逐步逼近法和拟凸函数法等。
总之，微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明是微分方程研究中的重要问题。通过线性化和定理的运用，可以对微分方程的稳定性进行判断和证明。而解的存在性证明则需要借助一些数学工具和定理来进行推导。这些方法和定理为我们研究微分方程提供了有力的工具和理论支持。
非线性脉冲混合微分系统集合稳定性有界滞量切换系严格稳定指数稳定Razumikhin技巧Lyapunov函数Lyapunov泛函
非线性脉冲混合微分系统的稳定性分析
【摘要】 本文主要考虑以下两类非线性脉冲混合微分系统：具有有界滞量的脉冲切换系统其中xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-h,0],fκ-1(t,xt):R+×PC([-h,0])→Rn以及脉冲混合微分系统其中f∈C[R+×Rn×Rm,Rn],Iκ∈C[Rn,Rn],λκ∈[Rn,Rm],κ=0,1,2,…,得出了系统(1.2.1)严格稳定性、指数稳定性以及系统(2.2.1)集合稳定性的相关结论.众所周知,脉冲现象普遍存在于现代科技各领域的实际问题中,其数学模型往往可以归结为脉冲微分系统.但仍有许多实际问题的数学模型不能用脉冲微分系统来描述,而是用脉冲混合微分系统来描述,比如厂房配电,在不同时间段电流微分方程不同,甚至依赖于前一时间段最后时刻电流的值.脉冲混合微分系统是一类很特殊但重要的具有可变结构的脉冲微分系统,它的特点是不同时间段内微分系统可以不同,并且后一段微分系统依赖于前一时间段,当不同时间段内微分系统相同时就转化为脉冲微分系统.切换系统是一种重要的混合系统,由一组有限(无限)个子系统组成,并且按照某种切换规则在各个子系统之间切换的动力系统,切换系统广泛存在于交通运输、航空调度、工程技术等领... 更多还原
【Abstract】 .In this paper,we mainly study the
following two kinds of nonlinear impulsive hybrid differential systems:the impulsive switched systems
with time delay: where xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-h,0], fκ-1(t, xt):R+×PC([-h,0])→Rn,and the impulsive
hybrid differential systems: where f∈C[R+×Rn×Rm,Rn],Iκ∈C[Rn,Rn],λκ∈[Rn,Rm],κ= 0,1,2,we
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。
稳定性的概念
稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：
1. 渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。
2. 指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。
3. 李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。
4. 中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。
稳定性分析方法
微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：
李雅普诺夫方法
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。
极限环方法
极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。
拉普拉斯变换方法
拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。
应用领域
微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。 结论
微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。
微分方程的稳定性理论概览
微分方程的稳定性理论概览
微分方程是描述自然界中各种现象演化规律的数学工具，而微分方程的稳定性理论则是研究方程解的渐近行为的一个重要分支。在动力系统中，稳定性理论是研究系统在微小扰动下的性质，以此来预测系统的长期行为。本文将对微分方程的稳定性理论进行概述。
稳定性的概念
在微分方程的稳定性理论中，稳定性是指当自变量（通常是时间）趋于无穷远时，因变量（方程解）的行为。一个解在某些条件下可能会趋向一个有限值，这种情况被称为渐近稳定。另一方面，如果解在微小扰动下会发生显著的变化，这种情况被称为不稳定。
稳定性的分类
稳定性可以分为以下几种类型： 1. 渐近稳定：当时间趋于无穷时，解趋向于一个有限值。 2. 李亚普诺夫稳定：解在某种度量下趋向于零。 3. 指数稳定：解以某种指数速率趋近于零。 4. 分歧稳定：解在某些区域内保持稳定，但在其他区域内不稳定。
稳定性的判定方法
判定微分方程解的稳定性是微分方程理论的关键问题。常用的方法有： 1. 利雅普诺夫稳定性定理：通过证明存在一个李亚普诺夫函数，证明解在该函数下渐近稳定。 2. 极限环稳定性判据：利用系统的特征值研究系统的稳定性。 3. 稳定性的Lyapunov方法：通过构造Lyapunov函数判定系统的稳定性。
稳定性在实际问题中的应用
微分方程的稳定性理论在生物学、化学、物理学等领域都有广泛的应用。例如，在天体力学中，稳定性理论用于研究行星轨道的长期性质；在生物学中，通过稳定性理论可以研究生态系统的稳定性。稳定性理论为实际问题的预测和解决提供了有力的数学工具。
结语
微分方程的稳定性理论是微分方程理论中的一个重要分支，对系统的稳定性进行分析是研究微分方程解的基础。通过本文的概览，读者可以了解稳定性的概念、分类、判定方法和应用，进一步深入学习微分方程稳定性的理论。愿本文能给读者带来启发和帮助。