高等数学(2015级版)：7_7 空间直线
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高等数学第七章 第6节 空间直线及其方程
6
, 例1 设P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 )是空间两点 求过P . 1P 2的直线方程
解 : 取M0 P1 ,
S P1 P2 { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 }
由对 称式 x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
4
称为直线的对称式方程(标准式)
说 明:
x x 0 y y0 z z 0 x x0 0 0 p y y0
A1 x B1 y C1 z D1 0 ( 2)若L A2 x B2 y C 2 z D2 0
( x0 , y0 )
例如， 直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
14
x 1 y z 3 例6 设L1 : 1 4 1 x y2 z L2 : 2 2 1 求两直线的夹角 .
(3)
建立方程
( A1 x B1 y C1z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
是参数
( A1 A2 ) x ( B1 B2 ) y (C1 C2 )z ( D1 D2 ) 0
(3)表示通过 L的任一平面 (除(2)外),
解 : M0 (3,2,5)
s n1 n2 1 0 4 {4,3,1} 2 1 5
x 3 y 2 z 5 直 线 方 程 4 3 1
11
i
j
k
x 1 y 2 z 3 例5 求 直 线 和平面 1 1 2 2 x y z 5 0的 交 点 . x 1 t
高数课件-空间直线
L2
:
x y 2 0
x 2z 0
i jk
直線 的方向向量為 s2 1 1 0 {2, 2, 1}
二直線夾角 的余弦為
10 2
1 2 (4) (2) 1 (1)
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
從而
4 17-1 目錄 上頁 下頁
2、 直線與平面的夾角
s n 2 4 (7) (2) 3 (2) 0 ，排除（D）。
而直线 L 上的一点 M (3, 4, 0) 不在平面 上，故直线 L 与平面 平行，且无交点，选（A）．
目錄 上頁 下頁
17-1
五、 平面束方程
定義 過直線L的平面的全體稱為直線L的平面束.
設直線L的一般方程為
A1x A2 x
mn p ABC
L //
sn0
mAnB pC 0
夾角公式： arcsin s n
sn
L
目錄 上頁 下頁
17-1
此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程)。
其中非零向量
稱為பைடு நூலகம்線 L 的方向向量.
說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零.
例如,
當m
n 0,
p
0 时,
直線方程為
x y
x0 y0
目錄 上頁 下頁
17-1
三、 參數式方程
令
x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
得參數式方程 :
則直線的對稱式方程為
x 1 y 2 z 4 2 3 1
目錄 上頁 下頁
17-1
例 4. 直线 L : x 3 y 4 z 与平面 : 4x 2y 2z 3
空间直线与平面认识空间直线与平面的特征与方程
空间直线与平面认识空间直线与平面的特征与方程空间直线与平面是几何学中重要的概念，它们在解决实际问题和研究几何性质中起着重要的作用。
本文将介绍空间直线与平面的特征与方程，并探讨它们在几何学中的应用。
一、空间直线的特征与方程空间直线是由无穷多点组成的一条直线，它具有以下特征：1. 直线上的任意两点可以确定一个向量，这个向量称为方向向量。
方向向量可以用来描述直线在空间中的走向。
2. 直线上的一个点可以用坐标表示，直线上所有点的坐标可以用参数方程表示。
3. 直线可以与平面相交，也可以平行于某个平面。
空间直线的方程有多种表示方法，其中一种常用的方法是点向式方程。
设直线上一点为P(x0, y0, z0)，直线的方向向量为a，那么直线的点向式方程为：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c其中a，b，c分别为方向向量的三个分量。
二、平面的特征与方程平面是由无穷多点组成的一个二维平面，它具有以下特征：1. 平面上的任意两点可以确定一个向量，这个向量称为法向量。
法向量垂直于平面，用来描述平面的朝向。
2. 平面上的一个点可以用坐标表示，平面上所有点的坐标可以用参数方程表示。
3. 平面可以与直线相交，也可以平行于某个直线。
平面的方程有多种表示方法，其中一种常用的方法是点法式方程。
设平面上一点为P(x0, y0, z0)，平面的法向量为n(x1, y1, z1)，那么平面的点法式方程为：n·(r-r0) = 0其中r(x, y, z)为平面上的任意一点坐标。
三、空间直线与平面的关系空间直线与平面之间有四种基本关系：1. 直线与平面相交，交点为直线上的一点。
2. 直线与平面平行，直线上的所有点都不在平面上。
3. 直线在平面内，直线上的所有点都在平面内。
4. 直线与平面重合，直线上的所有点都在平面上。
判断直线与平面之间的关系可以通过直线与平面的方程来进行。
四、空间直线与平面在几何学中的应用空间直线与平面在几何学中有广泛的应用，特别是在三维几何和立体图形的研究中。
高等数学7.6空间直线方程
( L 存在唯一)
M
0
L 的方向向量
:
M1
s M 0 M 1 ( x 1 x 0 , y1 y 0 , z1 z 0 ) ,
L 的方程 :
L
x x0 x1 x 0
y y0 y1 y 0
z z0 z1 z 0
.
这就是直线
L 的两点式方程
例 3 . 写出过
显然 :
MN L 0
M(2,1,3)
3 (3t 3) 2 2t (t 3) 0
N
得 t
3 7
2 13 3 因此 N ( , , ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 MN
12 6 24 , , }, 1, 3 } { MN { 2 , 7 7 7 7 7 7
( 是任意实数 )
检验 : 1 2
(3)
( 3 ) 式确是平面的方程
.
直线 L 上的点满足
( 1 ) , ( 2 ) , 必满足 ( 3 ) ,
.
从而 L 在 ( 3 ) 式确定的平面内
注:
( 3) 式中包括了过 L 的所有平面, 但缺一张 :
A2 x B2 y C 2 z D2 0
平面 : 2 x y 2 z 1 ,
求直线 L 与平面 的夹角 . 解 . 直线 L 的方向向量 s (1, 0 , 1 ) ( 4 , 1, 0 ) (1, 4 , 1 ) , 平面 的法向量 n ( 2 , 1 , 2 ) , ns 242 sin n s 4 1 4 1 16 1
所求平面束为 即
高等数学第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程教学教材
第五节 平面及其方程 P325
一、平面的点法式方程
如果一非零向 一量 平,这 垂 面向 直量 于就叫做
的法向量 .
法向量的:特 垂征 直于平面内的量任 . 一向 n
且 设 n 法 过 (A 平 ,B M ,向 0 C ( x )0 .点 , 在面 y 0 ,量 z 内0 ) 任 ,取
一 M ( x , y , z ) , 则 点 M 0 M n , 得 :M 0 M
7
例 4 . 求 x 轴 过 (4 ,和 3 , 1 ) 的 点 的 平 .方 面
解. 设平面 的方程为
A B x C y D z 0 由 ,点 ( 已 0 ,0 ,0 ) ,( 1 ,知 0 ,0 ) ,( 4 , 3 , 1 ) 都 平面 内, 所以,
A0B0C0D0 A1B0C0D0 A4B(3)C(1)D0 D0, A0, 3BC0,
平面的n 法 a 1向 ,b 1,1 c量 .
6
三、平面的一般方程
推知由 平面的一般点 方程为A (x 法 x 0 )n B 式 ( (y A ,B y 0 ,) C 方 ) C (z z 0 ) 程 0
A B C x D y 0 z ( 5 )
(D A 0 x B 0 C y0 )z
n M 0 M 0
M 0 M ( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 ( 1 ) 1
平 面 上的 M (x,ห้องสมุดไป่ตู้ y,z)都满(1 足 ), 方程
不在平面 上的点都不满 (1)足 , 方程
n
方(1 程 )称为 的 平方 面 , 程
(5)式也很容易 方 化 ,程 设 成 M 0(点 x0,y法 0,z0)式 是平面 ,即 内 M 0坐 一标 点满 (5)足 : 方程
一、平面的点法式方程
如果一非零向 一量 平,这 垂 面向 直量 于就叫做
的法向量 .
法向量的:特 垂征 直于平面内的量任 . 一向 n
且 设 n 法 过 (A 平 ,B M ,向 0 C ( x )0 .点 , 在面 y 0 ,量 z 内0 ) 任 ,取
一 M ( x , y , z ) , 则 点 M 0 M n , 得 :M 0 M
7
例 4 . 求 x 轴 过 (4 ,和 3 , 1 ) 的 点 的 平 .方 面
解. 设平面 的方程为
A B x C y D z 0 由 ,点 ( 已 0 ,0 ,0 ) ,( 1 ,知 0 ,0 ) ,( 4 , 3 , 1 ) 都 平面 内, 所以,
A0B0C0D0 A1B0C0D0 A4B(3)C(1)D0 D0, A0, 3BC0,
平面的n 法 a 1向 ,b 1,1 c量 .
6
三、平面的一般方程
推知由 平面的一般点 方程为A (x 法 x 0 )n B 式 ( (y A ,B y 0 ,) C 方 ) C (z z 0 ) 程 0
A B C x D y 0 z ( 5 )
(D A 0 x B 0 C y0 )z
n M 0 M 0
M 0 M ( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 ( 1 ) 1
平 面 上的 M (x,ห้องสมุดไป่ตู้ y,z)都满(1 足 ), 方程
不在平面 上的点都不满 (1)足 , 方程
n
方(1 程 )称为 的 平方 面 , 程
(5)式也很容易 方 化 ,程 设 成 M 0(点 x0,y法 0,z0)式 是平面 ,即 内 M 0坐 一标 点满 (5)足 : 方程
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
空间直线及其方程【高等数学PPT课件】
第六节 空间直线及其方程
一、直线方程
1
1. 一般式方程
A1 x
B1
y
C1z
D1
0,
2
其中
A2 n1
x B2 y C2z ( A1, B1,C1 )与
D 2 n2
0, ( A2
,
L
B2 ,C2 )
不平行.
2. 对称式、参数式方程
平行于直线l的非零向量 称为直线的方向向量,
x y
x0 y0
0 0
s 的方向余弦称为直线 l 的方向余弦.
若令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
则
x y
x0 mt y0 nt
——直线的参数式方程
z z0 pt
t 为参数
例1 求过点 M0(2,6,3) 且平行于 (2,1,3)
过直线 l 的平面有无穷多个，称为过l 的平面束,
其方程为:
A1 x B1 y C1z D1 m( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
其中m为待定参数.
例3
求直线l:
x y z 1 0 在平面 x yz10
x y z 0 上的投影直线方程.
n ( A, B,C )
若直线与平面斜交, 则该直线与它在平面上的
投影的夹角 (0 f π ) 称为
直线与平面的夹角. 2
设 n与 s的夹角为 , 则 或
2
n
2
l
2
2
一、直线方程
1
1. 一般式方程
A1 x
B1
y
C1z
D1
0,
2
其中
A2 n1
x B2 y C2z ( A1, B1,C1 )与
D 2 n2
0, ( A2
,
L
B2 ,C2 )
不平行.
2. 对称式、参数式方程
平行于直线l的非零向量 称为直线的方向向量,
x y
x0 y0
0 0
s 的方向余弦称为直线 l 的方向余弦.
若令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
则
x y
x0 mt y0 nt
——直线的参数式方程
z z0 pt
t 为参数
例1 求过点 M0(2,6,3) 且平行于 (2,1,3)
过直线 l 的平面有无穷多个，称为过l 的平面束,
其方程为:
A1 x B1 y C1z D1 m( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
其中m为待定参数.
例3
求直线l:
x y z 1 0 在平面 x yz10
x y z 0 上的投影直线方程.
n ( A, B,C )
若直线与平面斜交, 则该直线与它在平面上的
投影的夹角 (0 f π ) 称为
直线与平面的夹角. 2
设 n与 s的夹角为 , 则 或
2
n
2
l
2
2
7-6第六节 空间直线及其方程
学 数
所求平面和已知平面夹角为π/3,则(n·n1)= π/3或2 π/3 因为n·n1=|n||n1|cos(n·n1),n1=2i+j-√5k,我们得到
高 等 数 学 电 子 教 案
2A + B − 5C A2 + B2 + C2
2
1 C=0 2A + B 1 = → = 22 +1+ 5 2 10( A2 + B2 ) 2
两直线的方向向量分别为S1和S2
i S1 = 1
j 2
k i j k −1 = i − 2 j − 3k .S2 = 2 −1 1 = − j − k 1 1 −1 1
1 −1
学 数
S1 = {1, −2, −3}, S 2 = {0, −1, −1}
于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直
5 2 7
=
5 2 7
ϕ = cos −1 故两直线的夹角为
高 等 数 学 电 子 教 案 四 直线与平面的夹角
n L φ θ π 1,定义: 直线与它在平面上的投影直线的夹角 θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角. 设直线L的方程是 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
学 数
和直线 L2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 . m2 n2 p2
高 等 数 学 电 子 教 案
它们的方向向量为
n1 = {m1, n1, p1}; n2 = {m2 , n2 , p2}
根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦
公式
cosϕ =
m1m2 + n1n2 + p1 p2 m +n + p
所求平面和已知平面夹角为π/3,则(n·n1)= π/3或2 π/3 因为n·n1=|n||n1|cos(n·n1),n1=2i+j-√5k,我们得到
高 等 数 学 电 子 教 案
2A + B − 5C A2 + B2 + C2
2
1 C=0 2A + B 1 = → = 22 +1+ 5 2 10( A2 + B2 ) 2
两直线的方向向量分别为S1和S2
i S1 = 1
j 2
k i j k −1 = i − 2 j − 3k .S2 = 2 −1 1 = − j − k 1 1 −1 1
1 −1
学 数
S1 = {1, −2, −3}, S 2 = {0, −1, −1}
于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直
5 2 7
=
5 2 7
ϕ = cos −1 故两直线的夹角为
高 等 数 学 电 子 教 案 四 直线与平面的夹角
n L φ θ π 1,定义: 直线与它在平面上的投影直线的夹角 θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角. 设直线L的方程是 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
学 数
和直线 L2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 . m2 n2 p2
高 等 数 学 电 子 教 案
它们的方向向量为
n1 = {m1, n1, p1}; n2 = {m2 , n2 , p2}
根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦
公式
cosϕ =
m1m2 + n1n2 + p1 p2 m +n + p
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y0
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c. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
得参数式方程 :
x x0 mt y y0 nt z z0 pt
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例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
7.7 空间直线方程
第七章
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a. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
(不唯一)
z
L 1
o x
y 2
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b. 对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
则
M (x, y, z)
故有
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M 0 (x0 , y0 , z0 )
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
例如, 当 m n 0, p 0 时, 直线方程为
x y
t
4 1
参数式方程为
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
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y z 2 ,得 y 3z 6
y 0,
z 2
是直线上一点 .
再求直线的方向向量 s .
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2
s n1 n2
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i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
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c. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
得参数式方程 :
x x0 mt y y0 nt z z0 pt
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例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
7.7 空间直线方程
第七章
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a. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
(不唯一)
z
L 1
o x
y 2
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b. 对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
则
M (x, y, z)
故有
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M 0 (x0 , y0 , z0 )
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
例如, 当 m n 0, p 0 时, 直线方程为
x y
t
4 1
参数式方程为
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
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y z 2 ,得 y 3z 6
y 0,
z 2
是直线上一点 .
再求直线的方向向量 s .
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2
s n1 n2
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i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y