向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

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《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲

《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念（1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量）（2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =，为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算（1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线（1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1）柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2）旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。

高等数学向量代数与空间解析几何题【精选文档】

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数

第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是（ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则（ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则（ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是（ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线垂直的平面方程为（ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示（ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

《高等数学》下册期末总复习第六版.

《高等数学》(下册期末总复习一、向量代数与空间解析几何（一）向量代数JJJJ G G G G1、点M (x , y , z ⇔向量OM =(x , y , z =xi +yj +zk ；JJJ G 2、点A (x 1, y 1, z 1, B (x 2, y 2, z 2 ⇒向量AB =(x 2−x 1, y 2−y 1, z 2−z 1 ；G G 3、设a =(a x , a y , a z , b =(b x , b y , b z ，则G G Ga ±b =(a x ±b x , a y ±b y , a z ±b z ；λa =(λa x , λa y , λa z （λ为数）； G G G G G G na ⋅b =|a |⋅|b |cos(a , b =a x b x +a y b y +a z b z ；G G G i j k G G G G G G G G G G G G G G na ×b =a x a y a z ，(|a ×b |=|a ||b |sin(a , b , a ×b ⊥b , a ×b ⊥a ；b x b y b zb x b y b z G Ga &b ⇔==（对应坐标成比例）；a x a y a zG G G Ga ⊥b ⇔a ⋅b =0；G G G a ⋅b G ncos(a , b =；|a ||b |G G G G n Prj b =|b |cos(a , bG a（二）曲面、空间曲线及其方程1、曲面及其方程Σ:F (x , y , z =0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作图 2、空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程；3、曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁4、会作简单立体图形（三）平面方程与直线方程：1、平面方程：1）一般方程：Ax +By +Cz +D =0，其中n =(A , B , C 为其一法向量．G第 1 页共 14 页 12）点法式方程：法向量n =(A , B , C ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Π，则A (x −x 0 +B (y −y 0 +C (z −z 0 =0 ． 3）截距式方程：Gx y z++=1 a b c⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0的平面束方程为⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=04）平面束方程：过直线⎨(A 1x +B 1y +C 1z +D 1 +λ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2 =02、直线方程：点M 0(x 0, y 0, z 0 ∈L ，则1）对称式方程（点向式方程）：方向向量s =(m , n , p ，Gx −x 0y −y 0z −z 0==m n p⎧x =x 0+mt⎪2）参数式方程：⎨y =y 0+nt⎪z =z +pt0⎩3）一般式方程：⎨⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=03、面面、线线、线面关系：G G |n G G 1⋅n 2|n n =1 面面：cos θ=|cos(n , |=12|n 1||n 2|G GΠ1⊥Π2⇔n 1⋅n 2=0⇔A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0； A 1B 1C 1G G Π1&Π（或重合）⇔n &n ⇔== 212A 2B 2C 2G G |s G G 1⋅s 2|n s == 2 线线：cos θ=|cos(s , |12|s 1||s 2|G GL 1⊥L 2⇔s 1⋅s 2=0⇔m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0； m 1n 1p 1G G L 1&L （或重合）⇔s &s ⇔== 212m 2n 2p 2G G |s ⋅n |G G m 3 线面：sin ϕ=|cos(s , n |==|s ||n |A B C G GL ⊥Π⇔s &n ⇔==；m n pG GL &Π(或L 在Π上⇔s ⊥n ⇔Am +Bn +Cp =0第 2 页共 14 页24、距离点面：d =JJJJJ J G 点线：d =|M G 0M ×s ||s |，其中Gs 为直线的方向向量，M 为直线上任意一点．第 3 页共 14 页 3二、多元函数的微分学及其应用（一）极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外）：(x , y →(x 0, y 0limf (x , y =A ⇔∀ε>0, ∃δ>0, δ时,有|f (x , y -A |<ε(x , y →(x 0, y 0∆（二）连续性：∆limf (x , y =f (x 0, y 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, δ时,有|f (x , y -f (x 0, y 0 |<ε（三）偏导数：1、显函数：z =f (x , y1）定义：f x (x 0, y 0 =lim∆x →0f (x 0+∆x , y 0 −f (x 0, y 0，∆xf y (x 0, y 0 =lim∆y →0f (x 0, y 0+∆y −f (x 0, y 0∆y2）求导法则：对x 求偏导，暂时视y 为常量；对y 求偏导，暂时视x 为常量3）复合函数的求导法则（链式法则）：若z =f (u , v 具有连续偏导数，而u =g (x , y 与v =h (x , y 都具有偏导数，则复合函数z =f [g (x , y , h (x , y ]的偏导数为：∂z ∂z ∂u ∂z ∂v=⋅+⋅=f u ⋅u x +f v ⋅v x =f 1′⋅g x +f 2′⋅h x ；∂x ∂u ∂x ∂v ∂x∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅=f u ⋅u y +f v ⋅v y =f 1′⋅g y +f 2′⋅h y ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y特别的，设z =f [h (x , g (x ]，则dz=f 1′⋅h ′(x +f 2′⋅g ′(x dx例如，设z =f (xy , 2x +3y ，其中f 具有二阶连续偏导数：令u =xy , v =2x +3y ，则∂z ∂z=f 1′⋅y +f 2′⋅2=yf 1′+2f 2′，=xf 1′+3f 2′. ∂x ∂y∂2z ∂∂′′⋅x +f 12′′⋅3]+2(f 21′′⋅x +f 22′′⋅3 =(yf 1′ +2(f 2′ =[f 1′+y (f 11∂x ∂y ∂y ∂y′′+(3y +2x f 12′′+6f 22′′ =f 1′+xyf 11注意：1）解题时，要注意偏导数以及导数的写法． 2）其中f 1′=∂f (u , v∂u u =xyf 1′(xy , 2x +3y 】与原函数具有相同的复合结构. =f u (xy , 2x +3y 【即4v =2x +3y第 4 页共 14 页2、隐函数：1）一个方程的情形：F x dy ⎧=−⎪dx F y ⎪⎪y =y (x→⎨隐函数求导法：方程两边对x 求导，注意y =二元方程可确定一个一元隐函数：F (x , y =0⎯⎯⎯⎪微分法：方程两边取微分，F dx +F dy =0x y⎪⎪⎩y (x 为x 的函数F y ⎧F x ∂z ∂z=−, =−z =z (x , y ⎪dx F z dy F z ⎪三元方程可确定一个二元隐函数：F (x , y ，z =0⇒⎨隐函数求导法：方程两边对x (或y 求偏导,注意z =z (x , y 为x 、y 的函数⎪⎪⎩微分法：方程两边取微分，F x dx +F y dy +F z dz =0⇒dz ="2）方程组的情形：（隐函数求导法）⎧y =y (x⎨⎩z =z (x⎧F (x , y , z =0dy dz三元方程组确定两个一元隐函数：⎨⇒,对x 求导dx dx G x y z (, , =0⎩四元方程组可确定两个二元隐函数：{F (x , y , u , v =0G (x , y , u , v =0⎧u =u (x , y ⎨⎩v =v (x , y⇒对x (或y 求偏导，视y (或x 为常量,得∂u ∂v , ∂x ∂x（或∂u ∂v ）∂y ∂y（四）全微分：可微函数z =f (x , y 的全微分为：dz =z x dx +z y dy . 定义为：∆z [=f (x 0+∆x , y 0+∆y −f (x 0, y 0]=A ∆x +B ∆y +o (ρ ，其中ρ=（五）应用：1、几何应用：1）曲线的切线与法平面：∆⎧x =x (t ⎪a 、若曲线Γ的方程为参数方程：⎨y =y (t ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ↔t =t 0，则⎪z =z (t ⎩G切向量为T =(x ′(t 0, y ′(t 0, z ′(t 0 ，切线方程为x −x 0y −y 0z −z 0； ==x ′(t 0 y ′(t 0 z ′(t 0法平面方程为x ′(t 0 ⋅(x −x 0 +y ′(t 0 ⋅(y −y 0 +z ′(t 0 ⋅(z −z 0 =0G ⎧y =f (x，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ，则切向量为T =(1,y ′(x 0, z ′(x 0 ，从而可b 、若曲线Γ的方程为：⎨⎩z =g (x得切线方程与法平面方程．⎧F (x , y , z =0，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ，则切向量为c 、若曲线Γ的方程为一般方程：⎨G (x , y , z 0=⎩第 5 页共 14 页5G dy dz T =(1,y ′(x 0, z ′(x 0 （利用隐函数求导法，方程两边对x 求导，可得, ），从而可得切线方程与法dx dxG G G G G平面方程．【另解：n 1=(F x , F y , F z |M ，n 2=(G x , G y , G z |M ，可取切向量为T =n 1×n 2】2）曲面的切平面与法线：a 、若曲面Σ的方程为F (x , y , z =0，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Σ，则法向量为：n =(F x (x 0, y 0, z 0, F y (x 0, y 0, z 0, F z (x 0, y 0, z 0 ，切平面方程为：F x (x 0, y 0, z 0(x −x 0 +F y (x 0, y 0, z 0(y −y 0 +F z (x 0, y 0, z 0(z −z 0 =0；法线方程为：Gx −x 0y −y 0z −z 0==F x (x 0, y 0, z 0 F y (x 0, y 0, z 0 F z (x 0, y 0, z 0b 、若曲面Σ的方程为z =f (x , y ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Σ，则法向量为：n =(f x (x 0, y 0, f y (x 0, y 0, −1 ，切平面方程为：f x (x 0, y 0(x −x 0 +f y (x 0, y 0(y −y 0 −(z −z 0 =0；法线方程为：Gx −x 0y −y 0z −z 0==f x (x 0, y 0 f y (x 0, y 0 −1⎧f x (x , y =02、极值：1 无条件：设z =f (x , y ，由⎨解得驻点(x 0, y 0 ，f (x , y 0=⎩y令A =f xx (x 0, y 0, B =f xy (x 0, y 0, C =f yy (x 0, y 0 ，然后利用A , B , C 判定极值与否：AC −B 2>0有极值，A >0极小，A <0极大；AC −B 2<0无极值；AC −B 2=0用此法无法判定．注意：最后必须求出极值． 2）条件极值：z =f (x , y 在条件ϕ(x , y =0下的极值：构造Lagrange 函数，令⎧L x (x , y =0⎪L (x , y =f (x , y +λϕ(x , y ，联立方程⎨L y (x , y =0，其解(x 0, y 0 为⎪ϕ(x , y =0⎩是否为极值点，一般可由问题的本身性质来判定．3、方向导数与梯度：（以二元函数为例）1）、方向导数：设z =f (x , y 可微分，∂f Ge l =(cosα,cos β ，则∂l=f x (x 0, y 0 c os α+f y (x 0, y 0 cos β(x 0, y 02）梯度：grad f (x , y =(f x (x , y , f y (x , y ，方向导数的最大值为梯度的模，取得方向导数的最大值的方向为梯度的方向．三、积分 (一求法1、重积分I 、二重积分I =∫∫f (x , y d σD⎧b dx y 2(x f (x 若D :⎧⎪⎨a ≤x ≤b ⎪[X :上下]a 、直角坐标：I =∫∫f (x , y dxdy =⎪⎨∫a ∫y , y dy , 1(x⎩y 1(x ≤y ≤y 2(xD⎪⎩∫dcdy ∫x 2(yx f (x , y dx ,若D :⎧⎪⎨c ≤y ≤d 1(y ⎪x x ≤x [Y ：左右] ⎩1(y ≤2(y若D 既不是X －型也不是Y －型，则适当分割之．注意：通过二重积分，可交换二次积分的积分次序，这是一类常考的题型．⎧⎨x =ρcos θb 、极坐标： I ZZZZZZ YZZZZZ ⎩y =ρsin θd σ=ρd ρd θX Z ∫∫f (ρcos θ, ρsin θ ⋅ρd ρd θDZZZZZZZZZ D :⎧⎨α≤θ≤βYZZZZZZZZ ⎩ρ1(θ ≤ρ≤ρ2(θX Z ∫βρ2(θαd θ∫ρ(θ f (ρcos θ, ρsin θ ρd ρ1II 、三重积分I =∫∫∫f (x , y , z dvΩa 、直角坐标I =∫∫∫f (x , y , z dxdydz ：Ω1）投影法：i ）先一后二公式： I ZZZZZZZZZZZZZZZZX YZZZZZZZZZZZZZZZZ Ω={(x , y , z |z 1(x , y ≤z ≤z 2(x , y ,(x , y ∈D xy}z 2(x , yD ∫∫dxdy ∫z f (x , y , z dz1(x , yxy⎧a ≤x ≤b Ω:⎪⎨y 1(x ≤y ≤y 2(x ii 三次积分公式：I ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZ ⎪⎩z 1 (x , y ≤z ≤z 2(x , yX Z ∫b dx ∫y 2(xz 2(x , ya y (x dy ∫z 1(x , y f (x , y , z dz12）截面法：（先二后一公式）I ZZ ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZZZ Ω={(x , y , z |c ≤z ≤d ,(x , y ∈D z }X Z∫dcdz ∫∫f (x , y , z dxdyD z⎧⎪x =ρcos θ⎨y =ρsin θ⎪b 、柱面坐标：I ZZZZZZ YZZZZZZ ⎩z =z dv =ρd ρd θdzX ∫∫∫f (ρcos θ, ρsin θ, z ⋅ρd ρd θdzΩ⎧α≤θ≤βΩ:⎪⎨ρ1(θ ≤ρ≤ρ2(θ ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZ ⎪⎩z 1(ρ, θ ≤z ≤z 2(ρ, θX Z∫β, θαd θ∫ρ2(θρ1(θρd ρ∫z 2(ρz (ρcos θ, ρsin θ, z dz1(ρ, θf⎧⎪x =r sin ϕcos θ⎨y =r sin ϕsin θ⎪c 、球面坐标：I ZZZZZZZZ YZZZZZZZ ⎩z =r cos ϕdv =r 2sin ϕdrd ϕd θX Z ∫∫∫f (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ⋅r 2sin ϕdrd ϕd θΩ⎧α≤θ≤Ω:⎪β⎨ϕ1(θ ≤ϕ≤ϕ2(θ ZZZZZZZZZX YZZZZZZZZ ⎪⎩r 1 (ϕ, θ ≤r ≤r 2(ϕ, θZ Z Z∫βϕ2(θαd θ∫ϕϕd ϕ(ϕ, θ1(θsin ∫r 2r 1(ϕ, θf (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ r 2dr2、曲线积分I 、第一类（对弧长）：L :⎧⎨x =x (t a 、平面曲线：∫⎩y =y (tLf (x , y ds ZZZZZ YZ ZZZZ α≤t ≤βX∫βαf [x (t , y (t ](α<β⎧x =x (tΓ:⎪⎨y =y (t b 、空间曲线：∫⎪⎩z =z (t Γf (x , y , z ds ZZZZZ YZZZZZ Xβα≤t ≤β∫αf [x (t , y (t , z (t ](α<βII 、第二类（对坐标） a 、平面曲线：I =∫L P (x , y dx +Q (x , y dyi 参数法：I ZZZZZZ L :⎧⎨x =x (tYZZZZZ ⎩y =y (tβt 由α变到βX Z ∫α{P [x (t , y (t ]x ′(t +Q [x (t , y (t ]y ′(t }dtii 与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续．定理设函数P (x , y , Q (x , y 在单连通区域D 内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价：（1）∫LP (x , y dx +Q (x , y dy 在D 内与路径无关；（2）沿D 内任意一条闭曲线C ，v ∫CP (x , y dx +Q (x , y dy =0；（3）在D 内恒有：∂P ∂Q∂y =∂x；（4）P (x , y dx +Q (x , y dy 在D 内为某函数u (x , y 的全微分，即存在函数u (x , y ，使得P (x , y dx +Q (x , y dy =du (x , y ．这里u (x , y 可由下列三种方法求得：①曲线积分法：u (x , y =∫(x , y(x x , y dx +Q (x , y dy +C ；0, y 0P (②凑全微分法：利用微分的运算法则，将P (x , y dx +Q (x , y dy 凑成d (" ，则u (x , y ＝(" +C ；③偏积分法：由du =Pdx +Qdy ，得u x =P (x , y ；两边对x 求偏积分可得u (x , y =P (x , y dx =f (x , y +C (y 两边对y 求偏导可得u y =f y (x , y +C ′(y ，再由u y =Q (x , y ，可解得C (y ，从而得u (x , y ． iii ）Green 公式：∫v ∫P (x , y dx +Q (x , y dy =∫∫(∂Q ∂P− dxdy ；不闭则补之．注意条件：LD∂x ∂y偏导数处处连续，L 为D 的正向边界．iv ）化为第一类：∫LP (x , y dx +Q (x , y dy =∫L[P (x , y cos α+Q (x , y cos β]ds b 、空间曲线：I = ∫ΓP (x , y , z dx +Q (x , y , z dy +R (x , y , z dz⎧Γ:⎪x =x (t⎨y =y (t i 参数法：I ZZZZZZ YZZZZZ ⎪⎩z =z (t t 由α变到βX Z ∫βα{P [x (t , y (t , z (t ]x ′(t +Q [x (t , y (t , z (t ]y ′(t +R [x (t , y (t , z (t ]z ′(t }dtii *与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续． iii Stokes公式：cos αcos βcos γdydz dzdx dxdy v ∫ΓPdx +Qdy +Rdz =∫∫∂∂∂∂∂∂Σ∂x ∂y ∂z dS =∂x ∂y ∂z ；或∫∫ΣP Q R P Q R不闭则补之．注意方向：L 的方向与Σ的侧符合右手规则． iv 化为第一类：∫ΓPdx +Qdy +Rdz =∫Γ(P cos α+Q cos β+R cos γ ds3、曲面积分I 、第一类（对面积）：⎧⎪∫∫D f [x , y , z (x , y ]Σ:z =z (x , y I =∫∫Σf (x , y , z dS =⎪xy⎪⎨⎪∫∫D f [x , y (z , x , z ]Σ:y =y (z , xzx ⎪⎪⎩∫∫D f[x (y , z , y , z ]Σ:x =x (y , z yzII 、第二类（对坐标）：I =∫∫P (x , y , z dydz +Q (x , y , z dzdx +R (x , y , z dxdy Σ1） Gauss公式：w ∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫∫(∂P ∂x +∂Q ∂RΣΩ∂y +∂zdxdydz 若不闭则补之．注意条件：偏导数处处连续及方向性：Σ为Ω的整个边界曲面的外侧． 2）投影法：注意垂直性．若不垂直，则∫∫P (x , y, z dydz Σ:x =x (y , z ±∫∫P [x (y , z , y , z ]dydz 【前正后负】ΣD yz∫∫Q (x , y , z dzdx Σ:y =y (z , x ±∫∫Q [x , y (z , x , z ]dzdx 【右正左负】ΣD zx∫∫R (x , y , z dxdy Σ:z =z (x , y ±∫∫R [x , y , z (x , y ]dxdy 【上正下负】ΣD xy3）化为第一类：∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫(P cos α+Q cos β+R cos γ dSΣΣ4）化为单一型：∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫(Pcos αΣΣcos γ+Q cos βcos γ+R dxdy (二应用1、面积：平面A =∫∫dxd y ；D曲面A =∫∫d S ，A =Σ∫∫dy（D ∫∫∫∫或）xy D yz D zx2、体积： V =∫∫∫dv ；V =∫∫f (x , y d σ【曲顶柱体】ΩD3、物理应用：质量、功、转动惯量、质心、引力、流量（通量）、环流量等等【自学之】设A G=(P (x , y , z , Q (x , y , z , R (x , y , z ，则散度div A G =∂P ∂x +∂Q ∂y +∂R∂z， G i Gj k G 旋度rot A G =∂∂∂∂x ∂y ∂z P Q R四、级数（一）常数项级数及其收敛性 1、定义：∑u n =1 ∞ n 收敛（发散）⇔ lim sn 存在（不存在）【部分和sn = u1 + u2 + n →∞ ∞ ∞ un 】 2、基本性质：1）∞ ∞ ∑ kun (k ≠ 0 与∑ un 具有相同的收敛性；n =1 n =1 ∞ n =1 2）∑ un 与∑ vn 都收敛⇒ ∑ (un ± vn 收敛【口诀：收加收为收，收加发为发，发加发未必发】 n =1 n =1 3）改变有限项的值不影响级数的收敛性 4）收敛的级数可以任意加括号5）若∑u n =1 n →∞ ∞ n 收敛，则 lim un = 0 ；反之未必．n →∞ ∞ 6）若lim un ≠ 0 ，则∑u n =1 n 发散 3、特殊级数的收敛性【必须牢记之】：①调和级数∑ n 发散；n =1 ∞ ∞ 1 ② p －级数∑n n =1 1 p （常数 p > 0 ）：当 p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发散；∞ ③等比级数（几何级数）∑ aq n=0 n ，当| q |≥ 1 时发散，当 | q |< 1 时收敛，且∞ ∑ aq n=0 n = a (| q |< 1 ．1− q 4、正项级数∞ ∑u n =1 ∞ n ，其中un ≥ 0(n = 1, 2, ： I、∑u n =1 n 收敛⇔ {sn } 有界； II、比较：1）un ≤ vn ( n > N 【大的收，小的也收；小的发，大的也发】 2）lim un = l (0 < l < +∞ 【同敛散】n →∞ v n 11 第 11 页共 14 页III、比值（根值） lim ：n →∞ un +1 = ρ (lim n un = ρ ，当ρ < 1 时收敛；当ρ > 1( ρ = +∞ 时发散；而当ρ = 1 时n →∞ un 用此法不能判定其收敛性． IV、极限：lim n un = l (0 < l < +∞ ，当 p > 1 时收敛；当p ≤ 1 时发散．p n →∞ ∞ 5、交错级数∑ (−1 u (u n n =1 n n > 0, n = 1, 2, ： {un } 单调减少趋于零． 6、一般项级数∑u n =1 ∞ n=0 ∞ n （ un 为任意常数）：发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）∞ （二）幂级数∑a x n n 或∑ a (x − x n=0 n 0 n ：∞ 1、Abel 定理：若幂级数∞ ∑ an x n 在当x = x0 ( x0 ≠ 0 时收敛，则∑ an x n 当 | x |<| x0 | 时必绝对收敛；反之，n=0 n=0 ∞ n=0 ∞ 若∑ an x n 当 x = x0 时发散，则∑ an x n 当 | x |>| x0 | 时必发散. n=0 ρ = 0, ⎧ +∞, an +1 ⎪： 2、收敛半径：1）若an ≠ 0 【不缺项】ρ = lim (lim n | an | ， R = ⎨1/ ρ , 0 < ρ < +∞, n →∞ a n →∞ n ⎪ 0, ρ = +∞; ⎩ 2）若缺项：lim n →∞ un +1 ( x = un ( x < 1 ，解得收敛区间． 3、收敛域：先求收敛半径 R ，可得收敛区间( − R, R ，再讨论端点 x = ± R 处的收敛性可得所求的收敛域 4、幂级数和函数的求法：先求收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数． 5、函数展开成幂级数f ( x = ∑ a (x − x n=0 n 0 ∞ n (x ∈ I ： 1）直接展开法：【利用 Taylor 展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式． 2）间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式．注：以下 7 个常用的展开式必须牢记：①e = x xn ∑ n ! (| x |< +∞ ; n =0 ∞ ② sin x = ∑ (−1n n=0 ∞ x 2 n +1 (| x |< +∞ (2n + 1! 第 12 页共 14 页 12③ cos x = ∑ (−1n n=0 ∞ x2n (| x |< +∞ ; (2n! ④ ∞ 1 = ∑ x n (| x |< 1 1 − x n=0 ∞ ∞1 ⑤ = ∑ (−1 n x n (| x |< 1 ; 1 + x n=0 x n +1 ⑥ ln(1 + x = ∑ (−1 (−1 < x ≤ 1 n +1 n =0 n⑦ (1 + x = 1 + α x + α α (α −1 2 2! x + + α (α −1 (α − n +1 n n! x + α >0 ⎧[−1,1] ⎪ (| x |< 1 【α 为常数， I = ⎨ ( −1,1] −1 < α < 0 】⎪α ≤ −1 ⎩(−1,1 （三）傅里叶级数：只复习T = 2π 情形，一般周期 T = 2l 类似． an = 1、系数：1 π 1 ∫ π f ( x cosnxdx(n = 0,1, 2, − π bn = f ( x sin nxdx(n = 1, 2, π ∫π − π 2、收敛性：条件为在一个周期上 1）处处连续或只有有限个第一类间断点；2）只有有限个极值点． f ( x ⎧ a0 ∞ ⎪ 3、和：+ ∑ (an cos nx + bn sin nx = ⎨ f ( x + + f ( x − 2 n =1 ⎪⎩ 2 4、傅里叶级数展开式： f ( x = x为f ( x的连续点 x为f ( x的间断点a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sinnx ， ( x ∈ C 2 n =1 f ( x+ + f ( x− } 2 其中 C = {x | f ( x = 5、函数展开成傅里叶级数： 1）若 f ( x 为T = 2π 的周期函数，则对 f ( x 验证收敛定理的条件，求出 f ( x 的间断点，利用收敛定理，写出 f ( x 的傅氏级数的收敛性，再求出傅氏系数，最后写出所求的傅氏级数展开式．注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅氏级数的收敛性． 2）若 f ( x 只在[ −π , π ] 上有定义，则必须对 f ( x 进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数 F ( x 的傅氏级数展开式限制在[ −π , π ] 上讨论． 3）若 f ( x 只在[0, π ] 上有定义，对 f ( x 进行奇（偶）延拓再周期延拓，可得正弦（余弦）级数．注意：间断点或连续点的判定，必须为周期函数的！第 13 页共 14 页 13五、微分方程——续（一）全微分方程：P ( x, y dx + Q ( x, y dy = 0( ∂Q∂P ，= ∂x ∂y 1）曲线积分法：通解为 u ( x, y = C ，其中u ( x, y = ∫ ( x, y ( x0 , y0 P ( x, y dx + Q( x, y dy ； 2）凑微分法：利用微分的运算法则，设法将原方程凑成 d [∆ ] = 0 ，则可得通解为∆ = C ，．（二）常系数线性微分方程： 1、齐次：y′′ + py′ + qy = 0 ，其中 p, q 都为常数 1）特征方程 r + pr + q = 0 ⇒ r1 , r2 = ? 2 ⎧C1e r1x + C2 e r2 x r1 ≠ r2 ∈⎪ r1 x r1 = r2 ∈ 2）通解： y = ⎨(C1 + C2 xe ⎪eα x (C cos β x + C sin β x r = α ± iβ ∈ 1 2 1,2 ⎩ 2、非齐次：y′′ + py′ + qy = f ( x ，其中 p, q 都为常数 1）先求出对应的齐次方程y′′ + py′ + qy = 0 的通解： Y = Y ( x ； 2）后求原非齐次方程的特解． A、 f ( x = e Pm ( x 型：令 y = x e Qm ( x ，其中 k 是特征方程含根λ 的重数λx * k λx B、f ( x = e [ P ( x cos ω x + Pn ( x sin ω x] 型： l 令 y = x e [Qm ( x cos ω x + Rm ( x sin ω x] ，其中 m = max{l , n} ， k 是特征方程含根λ + iω 的* λx k λx 重数（三）线性微分方程的解的结构： 1）齐次：y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = 0 ，通解： y = C1 y1 ( x + C2 y2 ( x ，其中 y1 ( x, y2 ( x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f ( x 通解： y = Y ( x + y *( x ，其中 Y ( x 为对应的齐次方程的通解， y *( x 为原方程的一个特解． 3）设 y1 *( x, y2 *( x 分别为y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f1 ( x 与y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f 2 ( x 的特解，则 y* = y1 *( x + y2 *( x 为y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f1 ( x＋f 2 ( x 的特解．第 14 页共 14 页 14。

高等数学期末复习向量代数与空间解析几何

高等数学期末复习第八章向量代数与空间解析几何一、内容要求1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量二、例题习题1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )；（内容要求1）A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。

（内容要求2）3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ ;解：222123coscos cos 2θθθ++=，所以填2。

（内容要求2）4、向量)3,1,1(-=a，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；A.0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。

《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)

6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A

向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册（上海电机学院）

向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册（上海电机学院）第七章空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面3.直线312141:1+=+=-z y x l 与??=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ]A. 4πB.3πC. 2πD. 04. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13-B.13C. 23-D.237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22222x y z ab+=表示的是 [ B ]A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C. 椭球面D. 球面9. 已知a={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ]A. 3B.31-C. -1D.110．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=??--=?，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=??--=?，则1l 与2l 的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++=B.221x y z ++=C.21x y z ++=D.221x y z ++= 15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是CA.2a a a = B. 2()a ab a b ??= C. 2()a b b ab ??= D. 222()a b a b =? 16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 BA.20B. C.10D.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=??++=?与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 BA. ,a b 夹角4πB. ,a b 夹角34π C. ,a b 夹角可能34π或4πD.以上都不对19.已知||1=a，||=b (,)4π=ab ，则||+=a b （D ）. (A) 1(B) 1+ (C) 2(D)20.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=??--+=?及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。

上海电机学院高等数学考试及答案

上海电机学院高等数学考试及答案一、选择题（10分）1在yoz 坐标面上，求与三个点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,-1)等距离的点的坐标（）（若C 为（0，5，1）就选B ） A(0,1,-1) B(0,1,-2) C(1,0,-2) D(1,-2,0)2.直线341222--=+=-z y x 与平面x+y+z=4的关系是（ A ）A 直线在平面上B 平行C 垂直D 三者都不是 3.考虑二元函数f （x,y ）的下面四条性质（1）f(x,y)在点（x 0，y 0）连续（2）f x （x,y ）、f y (x,y)在点（x 0,y 0）连续. （3）f(x,y)在点（x 0,y 0）可微分（4）f x (x 0,y 0)、f y (x 0,y 0)存在若用“P →Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是（ A ）A （2）→（3）→（1）B （3）→（2）→（1）C （3）→（4）→（1）D （3）→（1）→（4） 4.设f （x,y ）在点（x 0,y 0）处存在偏导，则limℎ→0f (x 0+2ℎ,y 0)−f(x 0−ℎ,y 0)ℎ=( D )A.0B.f x (x 0,y 0)C.2f x (x 0,y 0)D.3f x (x 0,y 0)二、填空题（40分）1.两平行平面2x-3y+4z+9=0与2x-3y+4z-15=0的距离是＿√29＿＿。

2.求过点P(2,1,3)且与直线l:X+13=y−12=z−1垂直相交的直线方程＿＿x−22=y−1−1=z−34＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3.xoz平面上曲线z=e x(x>0)绕x轴旋转所得旋转曲面方程为＿＿＿+−√y2+z2=e x＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4球面z=√4−x2−y2与锥面z=√3(x2+y2)的交线在xoy面上的投影曲面方程为＿＿{x2+y2=1z=0＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

5.设u=f（x,xy,xyz）,f可微，则∂u∂x=＿＿f'1+yf'2+yzf'3＿＿＿＿＿6.求z=√xy 的全微分dz=＿＿12√xydx−√xy2y2dy＿＿＿＿＿＿＿＿。

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第七章空间解析几何参考答案第七章空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－ 2，3）在 [ D ]A.第一卦限 B. 第二卦限C.第三卦限D.第四卦限2. 方程 2 x 2y 22 在空间解析几何中表示的图形为[ C ]A.椭圆B.圆C.椭圆柱面D.圆柱面3. 直线 l 1 x 1y 1z 1x y 1 0 :23与 l 2 : x yz2，的夹角是 [ C ]4A.4B.3C.D. 024. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 xoy 平面的对称点是 [ D ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)5. 将 xoz 坐标面上的抛物线z 2 4 x 绕 z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]A.z 24 ( x y ) B. z 2 4 x 2 y 2C. y 2z 24 xD.y 2z 24 x6. 平面 2x-2y+z+6=0 与 xoy 平面夹角的余弦是 [B ]A.1 B.1C.2 23 33D.37. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 yoz 平面的对称点是 [ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)228. 方程xy z 2 表示的是 [ B ]a 2b 2A. 椭圆抛物面B. 椭圆锥面C. 椭球面D. 球面9. 已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b[ C ]A.3B.1 C. -1D. 1310．已知 a , b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA.a 2b 2(a b ) 2 B. a 2 b 2 ( a b ) 2C. (a b) 2(a b )2D.( a b ) 2( a b ) 2a 2b 211．直线l1的方程为x y z0，直线l 2的方程为x y z0，则l1与31 x30 y29 z30 x31 y30 z00l 2的位置关系是DA. 异面B.相交C.平行D. 重合12．已知 A 点与 B 点关于 XOY 平面对称， B 点与 C 点关于 Z 轴对称，那么 A 点与 C 点是CA. 关于 XOZ 平面对称B.关于 YOZ 平面对称C.关于原点对称D. 关于直线x y z 对称13．已知 A 点与 B 点关于 YOZ平面对称， B点与 C点关于 X 轴对称，那么 A点与 C点 CA. 关于 XOZ 平面对称B.关于 XOY 平面对称C.关于原点对称D. 关于直线x y z 对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的CA. x2y 2z21B. x2y 2z 1C. x2y z 1D. x y2z 2115. 已知a , b为不共线向量 ,则下列等式正确的是C2B. a ( a b ) a 2bC. a ( b b )ab 2D. a 2b 2(a b) 2A. a a a16．已知向量a(1, 2,1)，b(3, 4,3)，那么以a , b为两边的平行四边形的面积是BA.20B.102C.10D.5217．已知直线l方程x 2 y 3 z0与平面方程 x z20 ，那么 l 与的位置关系3 x 4 y 5 z0是 CA. l在内B. l垂直于C. l平行于D. 不能确定18．两向量 a , b所在直线夹角4， ab0 ，那么下列说法正确的是BA. a , b夹角4B. a , b夹角3C. a , b夹角可能3或D. 以上都不对44419.已知|a|1， | b |2，且 (a , b )，则 | a b |（ D）.4(A)1(B) 12(C)2(D)520.设有直线L :x 3 y 2 z10: 4 x 2 y z20，则直线 L（C）。

2 x y10 z3及平面(A) 平行于(B) 在上(C)垂直于(D) 与斜交x 2z 21绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为（21.双曲线45A） .2y22222(A) xz(B)xyz414155(C)( xy) 2z 2 1(D)x 2( yz) 24541522. 点 ( a, b, c ) 关于 y 轴对称的点是（ D ）.(A) ( a ,b, c)(B) ( a , b, c ) (C) ( a , b , c )(D) ( a , b , c )23. 已知 a{4, 3, 4}, b{2, 2,1} ，则 Prj b (a )（ A ） .(A) 2 (B)2 6(D)6(C)414124. x 2y 21 在空间表示（ D ）.(A) 双曲线(B)双曲面(C) 旋转双曲面(D) 双曲柱面25. 设 a 与 b 为非零向量，则 a b 0 是（C ）.(A) ab 的充要条件(B) a b 的充要条件(C) a // b 的充要条件(D) a // b 的必要但不充分条件26．设平面方程为 A x C z D0 ，其中 A , C , D 均不为零，则平面（B ） .(A) 平行于 x 轴(B) 平行于 y 轴 (C) 经过 x 轴(D) 经过 y 轴27．已知等边三角形 ABC 的边长为1，且BCa ， CAb， ABc ，则a bb cc a （ D ） .1(B)3(C)1(D)3(A) 222228.点 M(2 ， -3， 1)关于坐标原点的对称点是( A)(A)(-2 ，3， -1)(B) (-2， -3 ， -1) (C) (2 ，-3 ， -1)(D)(-2， 3，1)29. 平面 2x-3y-5=0 的位置是 ( B)(A) 平行于 XOY 平面 (B) 平行于 Z 轴 (C)平行于 YOZ 平面(D)垂直于 Z 轴30. 点 A(-2 ， 3， 1)关于 Y 轴的对称点是 ( D )(A) (2， -3， 1)(B)(-2 ，-3 ， -1)(C) (2， 3， -1)(D) (2 ， -3，-1)31. 过点 (0， 2， 4)且与平面 x+2z=1 和 y-3z=2 都平行的直线方程是 ( C)xz 4y 2z423yz(B)x(A)x y 2 z 4(C) 2 31(D) 2 x 3( y2) z 432．二个平面xy z 1 和 2x+3y-4z=1 位置关系是（ A）234（A ）相交但不垂直（ B ）重合（C. ）平行但不重合（ D. ）垂直x 2 y4 z 7 033. 过点 (2， 0， -3) 且与直线 3 x5 y2 z1垂直的平面方程是 ( A)(A)16 ( x 2 ) 14 ( y 0 ) 11 ( z 3)(B)( x2 ) 2 ( y0 ) 4( z 3)(C)3( x 2 )5( y0)2 ( z3)(D)16 ( x 2) 14 ( y0) 11 ( z 3 )34. 向量a, b, c 与三坐标轴的夹角分别为 , ,，则的方向余弦中的cos=(A)bbbb2 2 2 (B) a222(A) a b cb c (C) a b c(D)a b c35. 已知曲面方程zx 2 y 2 （马鞍面），这曲面与平面zh 相截，其截痕是空间a2b2中的（ B ）A. 抛物线；B.双曲线； C.椭圆； D.直线。

36. 点 (3 ，1， 2)关于 XOZ 平面的对称点是 (B)(A) (-3， 1， 2)(B) (3， -1，2)(C)(3， 1， -2)(D)(-3 ，-1 ， 2)22364 x 9 y37. 曲线z绕 X 轴旋转一周，形成的曲面方程是(C )(A) 222(B)2 2224 xz9 y 364 x z9 yz364 x 29 y 2z2364 x2236(C)(D)9 y38. 准线为 XOY 平面上以原点为圆心、半径为 2的圆周，母线平行于Z 轴的圆柱面方程是(B )222y 24(A)xy(B)x222 2 2(C) xy4(D) x y z 439.2y222与 xza 的交线在 XOY 平面上的投影曲线方程是 (球面 xzk D)az 2y 222k2za z 222kz(A)y z(B)x 22 ax2 222yk22x yaxkz(C)(D)40. 向量 α = A x , A Y , A z 、 β = B X ,B Y ,B Z 垂直的充分必要条件是( A )(A)α · β =0(B)α × β =0A x A y A z(C) B xB yB z(D)α- β =0二、填空题1. a3,b4, a b7 , 则 a b12 22. 有曲面方程xy2 z ，当 pq<0 时 , 方程表示的曲面称为双曲抛物面pq22216的柱面方程是 3 y2z23. 母线平行于 x 轴且通过曲线2 xy z16x2y2z24.已知 a , b , c 都是单位向量，且满足 a + b + c =0,则 a bb c c a3 22 z 绕 X 轴旋转，所得曲面方程为42z 25、XOZ 平面内曲线 xx y6．已知向量 O A(1, 2, 3) ，向量 OB(2, 3, 4) ，那么三角形 O A B 的面积是627、已知平面1 : x2 yz30 与2:3 xy z10 ，则其夹角为66 arccos338．点 (1, 2, 0) 在平面上 x2 yz 10 的投影为(5 2 2, , )3 3 39.设有直线 L 1 :x1 y 5 z 8与L 2 xy 6:z3 ，则L 1与L 2 的夹角为31212 y11. 已知向量a3i 2 j k与 b2 i3 j ，则 (2 a)(3b )0； a b3i2 j 13 k12、平面 x+2y-z+3=0 和空间直线x1 y 1z 2的位置关系是直线在平面上3 1113. 过点（ 2，-3 ，6）且与 Y 轴垂直的平面为y3，此点关于 XOY 平面的对称点是 2 ,3, 6，它与原点的距离为7三：计算与证明1.求过点 M(3, 1 -2) 且通过直线x4 y 3 z的平面方程521解：设 N(4, -3, 0), s(5,2,1) , 由已知，MN (1, 4 ,2 ) 是所求平面内的向量又设所求平面的法向量是n ，取 nMNs ，ij k即：n 14 28 i9 j 22 k5 2 1故，所求平面的方程为：－ 8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0即：－ 8x+9y+22z+59=0x3y5z x 10y 7 z 2. 求与直线 L 1 ：31相交且与直线L 2 ：4相交 , 与直线251L 3 ：x 2 y 1 z3平行的直线方程871解：将 L 1 ， L 2 分别化为参数方程：x 2t 3x 5 10 y3t5 ，y4 7ztz对于某个 t 及值 , 各得 L 1， L 2 上的一点 , 分别记为 M t , M则向量M tM=[(2t-3)-(5 +10)]i+[(3t+5)-(4 -7)]j+(t- )k=（2t-5 -13 ）i+(3t-4+12)j+(t- )k令向量 M t M平行于 L 3 ，即有2t - 5 - 13 3t - 4+ 12 t -871解得 t=25 ，于是 M t （-28 ，65 , 25 ）222y 65 z25x 282 2故所求直线为：8713. 直线 L 过点 M(2, 6，3),:x-2y+3z-5=0x 2y2 z 6平行于平面且与直线 L 1 :825相交 , 求L 的方程解：过点 M 平行于的平面方程为 (x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0即 : x-2y+3z=0再求它与直线L 1 的交点 , 将 L 1 写成参数方程 :x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得 : t=-1所以交点为 P(7, 10, 4), 又 L 过 M,P 两点故: L 的方程为x 2 y - 6 z - 37 - 210-64 - 3即：x5 2 y -6 z - 34 14．求过直线 x 1y z，且平行于直线 xy z1的平面方程。