高等数学期末试题(含答案)

高等数学检测试题

一 .选择题 （每题4分，共20分） 1.

=⎰

-dx x 1

1

（ ）

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1 （B ）

2，极限242

(,)(0,0)2lim

x y x y

x y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在 （D ） 3.积分=-⎰

dx x

11( )

A.c x x +--1ln

B. c x x +--)1ln (2

C.c x x +-+1ln

D. -c x x +-+)1ln (2 （D ）

4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a

()

lim

2f x x a

→'=-，则 （ ） A.x=a 是f(x)的极小值点 B.x=a 是f(x)的极大值点 C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点 D.x=a 不是f(x)的极值点 (A)

5.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=， 则⎰=0

x (t)dt x F'd （ ）

A. (x)dx xF'-

B. (x)dx xF'

C. (x)dx]xF'[F(x)+-

D. (x)]dx xF'[F(x)+-

（D ）

二．填空：（每题4分，共20分）

1. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=

⎰⎰dxdy y x D （ 21

） 2、2

lim()01

x x ax b x →∞--=+，则a = 1 ，b = -1 ；

3．设由方程0=-xyz e z

确定的隐函数

()=

∂∂=x z

y x f z 则

,,（ ()1-z x z ）

4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0，常数）

，若2

3D

π=，则

a= (-1)

5 数列极限

lim

(cos cos cos )→∞

-+++=2

2

2

21

n n n

n

n

n π

π

π

π .

2π

三．解答题 （每题5分，共20分）

1. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且]

,[)()()(b a x dt

t f t x x F x

a

∈-=⎰，试求出)(x F ''

解：

⎰⎰-=x

a

x

a

dt

t tf dt t f x x F )()()(

⎰⎰=-+='x

a

x

a

dt

t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(

)()(x f x F =''

2. 求不定积分

=

+⎰

dx x x

1

5

9

3．求极限4

20

sin 1lim

2x tdt t x x ⎰+→（5分）

解：21

sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim

224032404

20

2

=+=⋅+=+→→→⎰x

x x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）

4．求表面积为a 2

而体积为最大的长方体的体积.

解 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件

2(xy +yz +xz )=a 2

下求函数V =xyz 的最大值. 构成辅助函数

F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),

解方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(a xz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z

y x λλλ,

得

a

z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在,

所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时

3

366a V =.

四．计算题．（共20分）

1．求由曲线x

x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形

绕x 轴旋转所成旋转体体积．（10分）

解：曲线x

e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与x

e y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1

-e ）,所围平面图形如图阴影部分， 取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为

dx

e e S x x )(1

--=⎰-----

2(|)(1

10-+=+=--e e e e x x ）------------- 所求旋转体体积为

)

)21

1

2dx e dx e V x x -⎰⎰-=ππ---