高等数学(空间解析几何)习题及解答
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
空间解析几何习题答案解析
一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。
空间解析几何习题答案
空间解析几何习题答案空间解析几何习题答案在学习数学的过程中，解析几何是一个重要的分支。
它通过坐标系和代数方法来研究几何图形的性质和变换。
而空间解析几何则是解析几何的一个延伸，它研究的是三维空间中的几何图形。
在空间解析几何的学习过程中，我们经常会遇到一些习题，下面我将给出一些空间解析几何习题的解答。
习题一：已知直线L1过点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，直线L2过点C(7, 8, 9)且与直线L1垂直，求直线L2的方程。
解答：首先，我们可以求出直线L1的方向向量。
直线L1的方向向量可以通过两点的坐标差来得到，即(4-1, 5-2, 6-3)，即(3, 3, 3)。
因为直线L2与直线L1垂直，所以直线L2的方向向量与直线L1的方向向量垂直，即两个向量的点积为0。
设直线L2的方向向量为(a, b, c)，则有3a + 3b + 3c = 0。
再代入直线L2过点C(7, 8, 9)，得到7a + 8b + 9c = 0。
所以直线L2的方程为7x + 8y + 9z = d，其中d为常数。
习题二：已知点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，求直线AB的方程。
解答：直线AB的方向向量可以通过两点的坐标差来得到，即(4-1, 5-2, 6-3)，即(3, 3, 3)。
设直线AB的方程为x = 1 + 3t，y = 2 + 3t，z = 3 + 3t，其中t为参数。
习题三：已知平面P过点A(1, 2, 3)、点B(4, 5, 6)和点C(7, 8, 9)，求平面P的方程。
解答：平面P的法向量可以通过两个方向向量的叉积来得到。
设向量AB为(4-1, 5-2, 6-3)，即(3, 3, 3)，向量AC为(7-1, 8-2, 9-3)，即(6, 6, 6)。
则平面P的法向量为(3, 3, 3) × (6, 6, 6)，即(0, 0, 0)。
因为法向量为零向量，所以平面P的方程为0x + 0y + 0z = d，即0 = d，其中d为常数。
空间解析几何与向量代数三
高等数学（ B ）—向量代数与空间解析几何练习题及解答1、 已知 M 11,2,3 ， M 2 0,1, 2 ，M 1M 2 的坐标式？ M 1M 2 ？与 M 1M 2 平行的单位向量？方向余弦？[解]：1） M 1M 20 1,1 2, 2 31,1,5M 1M 2 21 222)1 5 273） cosx 2 x 1 1,cosy 2 y 1 1,cosz 2 z 1 5M 1M 227 M 1M 227M 1M 2274）与 M 1M 2 平行的单位向量为：cos ,cos ,cos1 , 1 , 5 。
272727x 1y z 1 x y 1z 2 2、 设直线n4与直线1平行，求 n,m 。
2m3[解 ] ： s 12,n,4 , s 2 m,1,3 ，因为两直线平行，r m 1 n 1 p 1 2 n 4 4 3 所以 l 1 / /l 2s 1 / / s 2s 1s 2。
m 2n 2 p 2n, m2m 1 333Ax y 2z 1 与平面： 3x y z3垂直，求 A 。
、 已知平面：[解 ] ： n 1A,1, 2 , n 2 3, 1,1 ，因为两平面垂直，所以12n 1 n 2 n 1 n 2 0 A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 2 0 A 3 1 1 210 A14、 已知平面x 1 y z 1 : x By 3z 1 0 与直线4垂直，求 B ， m 。
m6[ 解 ]： n 1,B, 3 , s m,4,6 ，因为垂直，所以有n/ / s n s 0m4 6 。
1BB2, m 235、 求由 a 1,2,3 , b 1,2,4 为邻边组成的平行四边形的面积。
[ 解] ：由两向量叉积的几何意义知：以a ，b 为邻边组成的平行四边行的面积S a bi j k86, 43,222,7,4a b 123，因为124故 S a b22269 。
7426、求以A x1, y1, z1, B x2, y2, z2, C x3 , y3, z3为顶点的三角形面积。
空间解析几何参考答案
空间解析几何参考答案练习一一1 D 2 B 3 D 4 C 5 B二1，2； 2，2； 3，1,1,1}3- 4, {}4,2,3-- 三， 222240A B a b λλ∙=+=+=得2λ=-； ()222b 226,15A B a b b a a b A B a λλλλλ⨯=⨯+⨯=-⨯⨯=-=-==-，解得，或 四222216913a b a b a b a b ±=+±∙=±=，；五()()()22220c 232a b a b c a b a c b c a b a c b c =++=+++∙+∙+∙=+∙+∙+∙ 32a b a c b c ∙+∙+∙=- 六 ()()a 2a 33a 2a 5a b b b b b +⨯-=-⨯+⨯=-⨯,5a 5a sin4b b ∏-⨯==练习二 一1 C 2 C 3 D 4 A 5.C 6.C二 1,m=1,m=3 2, 1 三(1) 2113;340110ij k n i j k x y z ==+-+--=-所求平面方程为(2) 11123;30211ij k n i j k x y z =-=-++--=所求平面方程为2；(3) 10024;20542i j kn j k y z ==++=-所求平面方程为；(4)，,2,2x y z A A x y z ++==++=设所求平面方程为则有所求平面方程为 ；(5)，333396;20310i j k n i j k y z =-=---=所求平面方程为x-3；(6) 2,A 8A x y z A ++=-设所求平面方程为8则有其在X 、Y 、Z 轴截距分别为-， 31,18,12,21202616A A A x y z ⨯==±++±=-故有解得，所求平面方程为8 ； 四()222000000113,,,,3,449122x y z M x y z t AM t t t --+====++=设球心则由得 ()()()()()2222,3,10,31,5,2319M M x y z ±----+-++=得t=1,球心或则球为()()222159y z ++++=或x五(1)直线，平面(2)圆，圆柱面(3)双曲线，双曲柱面(4)抛物线，抛物柱面(5)原点，z 轴练习三一1 B 2 D 3 D 4 C 5 B 6B二，1.24231x y z --==- ；2. 124213x y z -+==--- 三， ()11143,1,0,0213i j ks i j k ==----点在直线上，故对称式方程为1414133x t x y z y t z t =-+⎧+⎪=-⎨--⎪=-⎩==参数方程为 四()12,2,124,7,6,9x t y t z t t =+=-=-+=---代入平面方程得故交点为()()()2,1,,27,5,92,1,10,3u u u u u u u ++-++∙==-设另一直线上点由得()7691,8,6,186x y z s +-+=-==-所求直线为 五()()223220,2312220x y y z x y z λλλλ--+-+=+---+=设经过直线的平面为即242403140,1,220x y z y z λλλ-+-=⎧--==-⎨+-=⎩由两平面垂直，得故所求直线为 自测题 一 1，2；3.0x y z -+=；3，20y z x +=⎧⎨=⎩； 4，210y z x ⎧+=⎨=⎩；5，3λ=-二，1 C 2 D 3 B 4 A 三，1，1293110x y z -++==--；2，23,231x y z x y z +-=--= 3，sin cosx t y t z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩；42 ；5，40x y z ++-=。
(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc
空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。
1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。
空间解析几何例题
第4章 向量代数与空间解析几何习题解答习题一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=kj i kj i kj i 41614321252325331532312-+=--+-----=---=所以，力矩的大小为()13641614222=-++=M4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有==,由矢量合成的三角形法则有+=+=+=+=所以CD BA =即BA 平行且等于CD四边形ABCD 是平行四边形6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。