伯努利方程及其应用
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由兰姆方程(引入理想流体假设1)：
0 假设流动为定常(2) t ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为：
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
pl12、 il12 其中， 、hl12，分别代表流体从１点流到２点时，损失的 总压力、总焓和总水头。
很显然，上面三个方程不是独立的。
4、关于不可压缩流体的判断 液体肯定是不可压缩的，气体从物性上来讲是可压缩的，但是， 如果在流动过程中，忽略位置水头的变化（一般所占比重小），并将 过程看作是等温的，p1 1 p2 2 ，密度的变化量取决于压力的变化 量，考虑一个绕流问题，流场中速度变化量最大的两点：滞止点和远 前方，有
2、 0 流动无旋。 3、 V 通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。
由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就 是说，此时我们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流 线或涡线上。面对流场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼 方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开 始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
V
2( p0 pa )
2 gh
又：①如容器不密封而与大气相通，有p0=pa 上式
V 2gh
2( p0 pa )
（托里拆利公式 ）
②如容器内为气体，则2gh为一般是小量，可忽略：
V
注意此时计算结果中V最大不能超过100m/s，否则压缩性不能忽略。
③如图，求Ｂ点的压力，由连续方程：
三、汽油机化油器的流动
1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设B 截面的速度分布均匀，空气密度为air，并已知通风流量Q，求B点的 压力pB。
设A点远离进口，则VA=0，pA=pa
B点的流速为： 写出A、B两点间的柏努力方程：
所以：
2、化油器的流动。化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面 到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空 air , oil 气流量。设空气与汽油的密度分别为： 欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有 一定的真空度，其最小真空度所对应的 油柱高度应为h。即： (a)
V 2 gz1 VB
即PＢ低于Pa，当ZＢ=0时 PＢ=Pa
pB gzB pa , pB pa gzB
上式也说明，B点的高度不能无限制的升高。如 果B点的高度过高导致 gzB pa时，在B点就会 出现负的绝对压力，对于流体这是不可能的。 实际上，当B点压力小于该点流体在该温度下的 饱和压力时，流体就会在该点发生汽化(亦称空 化 )。
注意压力函数的微分关系
，代入上式有：
这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线 上任意点的切线方向与向量 V 垂直，因而有： （沿流线或涡线假设4） 于是： 积分： 这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分，他表明： 在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动 能、压力能和势能之和是一个常数。
III、
V12 p1 V2 2 p2 z1 z2 2g g 2g g
物理意义：总水头高度的守恒。（水头表示） 其中第I、II式多用于气体流动，III式多用于液体流动分析。 2、应用条件 理想流体，定常流动，不可压缩流体（正压流体），质量力为重力 （质量力有势），沿流线或涡线成立。如为无旋流动，则全场成立。 3、应用拓展
注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同 的流线或涡线会有不同的值，C(L)会构成等值面。这个等值面是由相 交的流线或涡线决定的。 如果流场是正压流场，则压力函数与所取的曲线无关，上式为：
三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分
1、当质量力为重力时，质量力势为：U gz const
截面C处的真空度又与流过该截面的空气 流量有关。写出B与C截面的伯努利方程： (b) 连续方程：
(c)
由 (a)： 由 (b)： 另外，由
pC pa oil gh
(d)
1 1 d 4 2 2 2 pC pB air (VC VB ) pB airVC [1 ( ) ] 2 2 D 2 8air Q Q 4Q p p VC B a AC d 2 2 D4 8air Q 2 1 4Q d pC pa 2 4 air ( 2 )2 [1 ( )4 ] D 2 d D
1 1 V 2 p2 p1 p2 V 2 2 2 pa 105 Pa , 1kg / m3 , V 100m / s p1
设：
1 p 104 5 103 Pa 2
p
a
此时压力的相对变化量： p 0.05，故密度的相对变化量：
0.05 5%
pa V 2 pa gz1 gz 2
可得自由表面上z处的流速关系:
V 2 g ( z1 z ) 2 gh
上式在形式上与小孔出流公式一 样。由上式可见，随着z的减小或落差 h的增大，速度V增大，由连续方程知 其流管宽度应减小。同时，由于在溢 口B处流速VB已不能忽略，故此时的 液面已低于远处的z1，也就是说，水 库水面的高度在靠近溢口处时就已开 始降低了。
我们知道音速： a 340m / s
因而：
M
V 100 0.294 0.3 a 340
说明当Ｍ＜ 0.3 时，流速的变化导至密度的变化量小于5%，流体可看 作不可压缩的流体。有的定为M＝0.25，M＝0.2，要求更严。而在地 面工程中，绝大多数情况M都小于0.3，喷管流例外，当M大于0.2或 0.3以后，我们就不能直接应用以上方程计算气体流动了。
2、当流体不可压时，压力函数为： p const
V2 p gz C ( L) 3、代入伯努利积分，有： 2
或者：
这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压 缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。
四、伯努利积分与所取曲线无关的情况
在正压流场中，如果恒有 V 0 。则以上伯努利积分与所取曲 线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数C，等式两边的1点和2点 可以不必在同一流线或涡线上。 V 0 的情况有三种： 1、 V 0 流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。
(e)
令(d)式与(e)式相等，可得： 8air Q 2 8air Q 2 d 4 [1 ( ) ] oil gh 2 4 2 4 D d D 最终得：
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
二、沿流线和涡线成立的伯努利积分
柏努利方程由理想流体流动分析得出，说明流动过程中的机械能 守恒。如果流体不是理想流体，则流动必有旋（粘性产生旋涡），这 时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应，旋涡流动将把 一部分机械能耗散为热能（不可逆），这时沿流线的能量守恒应该是 机械能+耗散能的守恒。
Fra Baidu bibliotek
机械能的损失不会体现在动能上，因为速度的关系还要服从连续方程 的规定；一般也不会体现在势能上，因为势能的关系由位置确定。所 以更多的是体现在压力（静压头）上。
密闭容器，D>>d，即小孔足够小，设 流体为理想流体，求小孔的出流速度。有流 线如图，知柏努利方程沿流线总焓不变，而 每一根流线的起始点机械能相等，即可得结 论，柏努利方程积分全场为同一个常数，亦 可得出流动是无旋的，为此，设液面为1， 出口为2，写出方程：
V0 2 p0 p V2 gz0 a gz 2 2 p pa V2 0 g ( z0 z ) 2
联立以上两式消去l，即可将ρ表示为p的函数，注意，此时并不要求流 场是正压流场。 代入压力函数定义式：
可知L在曲线上，压力函数沿l的变化率为：
一般情况下，曲线L上的函数关系 ( p, L)是未知的，但是当流 场是正压流场时，这时 ρ仅是p 的函数（根据定义），与所取曲线就无 关了。所以只要已知 ( p) ，压力函数就可以积分。
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
第六章 伯努利方程及其应用
在第五章，我们建立了流体力学微分形式的基本方程组，并通过 引入了无粘流假设，完全气体假设，建立了理想流体（或理想气体） 的动力学基本方程组，这一方程组虽解决了封闭性问题，并使未知数 数量及方程的复杂程度得到了很大简化，但由于方程组仍是非线性的， 以至于还是无法得到一般形式的解，或精确积分求解的一般方法。 在第四章，我们通过对一段流管的能量方程进行分析，在引入五 项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上，通过对上一章中的欧拉 方程进行积分，同样可以得到著名的伯努利方程，不过在积分过程中 同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的 发展产生了重要的影响，使得这一方程在以后的一百多年里，直到今 天，都是流体力学中应用最广（不论在计算还是在理论分析上）的方 程，本章将对其理论和应用进行介绍。
称速度水头。
z p g ＋V 2 2 g：称总水头。
那么，例题中③所示情况怎样标出他的各
种水头呢？
例题中③所示情况的各种水头大小的变化如图所示：
二、溢水道问题
今有理想不可压重力流体流过一垂直 墙，墙顶水层的厚度较水库水深为无穷小 量，试确定流体自由表面处的速度。
假定水库的容积足够大，故可以认为远离溢水口处的水面高度是 不变的，并且流动是定常的。流体自由表面上的压力等于大气压力pa， 溢口处水层厚度较水库深度为小量，故远离溢口处的流速近似为V=0， 自由表面是流线。可写出沿流线的伯努利方程:
五、总结
1、伯努利方程的形式
p1 1 1 V12 gz1 p2 V2 2 gz2 2 2
I、
物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。 II、
V12 p1 V2 2 p2 gz1 gz2 2 2
物理意义：单位质量流体的能量守恒。（焓表示）
④理想流体柏努利方程的几何意义 柏努利方程第三式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图：
z
：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头。
p g ：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的
液柱高度，称压强水头。
z p g ：称测压管水头。
V 2 2 g ：表示研究点处速度大小的高度，
0 假设流动为定常(2) t ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为：
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
pl12、 il12 其中， 、hl12，分别代表流体从１点流到２点时，损失的 总压力、总焓和总水头。
很显然，上面三个方程不是独立的。
4、关于不可压缩流体的判断 液体肯定是不可压缩的，气体从物性上来讲是可压缩的，但是， 如果在流动过程中，忽略位置水头的变化（一般所占比重小），并将 过程看作是等温的，p1 1 p2 2 ，密度的变化量取决于压力的变化 量，考虑一个绕流问题，流场中速度变化量最大的两点：滞止点和远 前方，有
2、 0 流动无旋。 3、 V 通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。
由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就 是说，此时我们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流 线或涡线上。面对流场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼 方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开 始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
V
2( p0 pa )
2 gh
又：①如容器不密封而与大气相通，有p0=pa 上式
V 2gh
2( p0 pa )
（托里拆利公式 ）
②如容器内为气体，则2gh为一般是小量，可忽略：
V
注意此时计算结果中V最大不能超过100m/s，否则压缩性不能忽略。
③如图，求Ｂ点的压力，由连续方程：
三、汽油机化油器的流动
1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设B 截面的速度分布均匀，空气密度为air，并已知通风流量Q，求B点的 压力pB。
设A点远离进口，则VA=0，pA=pa
B点的流速为： 写出A、B两点间的柏努力方程：
所以：
2、化油器的流动。化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面 到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空 air , oil 气流量。设空气与汽油的密度分别为： 欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有 一定的真空度，其最小真空度所对应的 油柱高度应为h。即： (a)
V 2 gz1 VB
即PＢ低于Pa，当ZＢ=0时 PＢ=Pa
pB gzB pa , pB pa gzB
上式也说明，B点的高度不能无限制的升高。如 果B点的高度过高导致 gzB pa时，在B点就会 出现负的绝对压力，对于流体这是不可能的。 实际上，当B点压力小于该点流体在该温度下的 饱和压力时，流体就会在该点发生汽化(亦称空 化 )。
注意压力函数的微分关系
，代入上式有：
这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线 上任意点的切线方向与向量 V 垂直，因而有： （沿流线或涡线假设4） 于是： 积分： 这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分，他表明： 在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动 能、压力能和势能之和是一个常数。
III、
V12 p1 V2 2 p2 z1 z2 2g g 2g g
物理意义：总水头高度的守恒。（水头表示） 其中第I、II式多用于气体流动，III式多用于液体流动分析。 2、应用条件 理想流体，定常流动，不可压缩流体（正压流体），质量力为重力 （质量力有势），沿流线或涡线成立。如为无旋流动，则全场成立。 3、应用拓展
注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同 的流线或涡线会有不同的值，C(L)会构成等值面。这个等值面是由相 交的流线或涡线决定的。 如果流场是正压流场，则压力函数与所取的曲线无关，上式为：
三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分
1、当质量力为重力时，质量力势为：U gz const
截面C处的真空度又与流过该截面的空气 流量有关。写出B与C截面的伯努利方程： (b) 连续方程：
(c)
由 (a)： 由 (b)： 另外，由
pC pa oil gh
(d)
1 1 d 4 2 2 2 pC pB air (VC VB ) pB airVC [1 ( ) ] 2 2 D 2 8air Q Q 4Q p p VC B a AC d 2 2 D4 8air Q 2 1 4Q d pC pa 2 4 air ( 2 )2 [1 ( )4 ] D 2 d D
1 1 V 2 p2 p1 p2 V 2 2 2 pa 105 Pa , 1kg / m3 , V 100m / s p1
设：
1 p 104 5 103 Pa 2
p
a
此时压力的相对变化量： p 0.05，故密度的相对变化量：
0.05 5%
pa V 2 pa gz1 gz 2
可得自由表面上z处的流速关系:
V 2 g ( z1 z ) 2 gh
上式在形式上与小孔出流公式一 样。由上式可见，随着z的减小或落差 h的增大，速度V增大，由连续方程知 其流管宽度应减小。同时，由于在溢 口B处流速VB已不能忽略，故此时的 液面已低于远处的z1，也就是说，水 库水面的高度在靠近溢口处时就已开 始降低了。
我们知道音速： a 340m / s
因而：
M
V 100 0.294 0.3 a 340
说明当Ｍ＜ 0.3 时，流速的变化导至密度的变化量小于5%，流体可看 作不可压缩的流体。有的定为M＝0.25，M＝0.2，要求更严。而在地 面工程中，绝大多数情况M都小于0.3，喷管流例外，当M大于0.2或 0.3以后，我们就不能直接应用以上方程计算气体流动了。
2、当流体不可压时，压力函数为： p const
V2 p gz C ( L) 3、代入伯努利积分，有： 2
或者：
这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压 缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。
四、伯努利积分与所取曲线无关的情况
在正压流场中，如果恒有 V 0 。则以上伯努利积分与所取曲 线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数C，等式两边的1点和2点 可以不必在同一流线或涡线上。 V 0 的情况有三种： 1、 V 0 流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。
(e)
令(d)式与(e)式相等，可得： 8air Q 2 8air Q 2 d 4 [1 ( ) ] oil gh 2 4 2 4 D d D 最终得：
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
二、沿流线和涡线成立的伯努利积分
柏努利方程由理想流体流动分析得出，说明流动过程中的机械能 守恒。如果流体不是理想流体，则流动必有旋（粘性产生旋涡），这 时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应，旋涡流动将把 一部分机械能耗散为热能（不可逆），这时沿流线的能量守恒应该是 机械能+耗散能的守恒。
Fra Baidu bibliotek
机械能的损失不会体现在动能上，因为速度的关系还要服从连续方程 的规定；一般也不会体现在势能上，因为势能的关系由位置确定。所 以更多的是体现在压力（静压头）上。
密闭容器，D>>d，即小孔足够小，设 流体为理想流体，求小孔的出流速度。有流 线如图，知柏努利方程沿流线总焓不变，而 每一根流线的起始点机械能相等，即可得结 论，柏努利方程积分全场为同一个常数，亦 可得出流动是无旋的，为此，设液面为1， 出口为2，写出方程：
V0 2 p0 p V2 gz0 a gz 2 2 p pa V2 0 g ( z0 z ) 2
联立以上两式消去l，即可将ρ表示为p的函数，注意，此时并不要求流 场是正压流场。 代入压力函数定义式：
可知L在曲线上，压力函数沿l的变化率为：
一般情况下，曲线L上的函数关系 ( p, L)是未知的，但是当流 场是正压流场时，这时 ρ仅是p 的函数（根据定义），与所取曲线就无 关了。所以只要已知 ( p) ，压力函数就可以积分。
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
第六章 伯努利方程及其应用
在第五章，我们建立了流体力学微分形式的基本方程组，并通过 引入了无粘流假设，完全气体假设，建立了理想流体（或理想气体） 的动力学基本方程组，这一方程组虽解决了封闭性问题，并使未知数 数量及方程的复杂程度得到了很大简化，但由于方程组仍是非线性的， 以至于还是无法得到一般形式的解，或精确积分求解的一般方法。 在第四章，我们通过对一段流管的能量方程进行分析，在引入五 项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上，通过对上一章中的欧拉 方程进行积分，同样可以得到著名的伯努利方程，不过在积分过程中 同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的 发展产生了重要的影响，使得这一方程在以后的一百多年里，直到今 天，都是流体力学中应用最广（不论在计算还是在理论分析上）的方 程，本章将对其理论和应用进行介绍。
称速度水头。
z p g ＋V 2 2 g：称总水头。
那么，例题中③所示情况怎样标出他的各
种水头呢？
例题中③所示情况的各种水头大小的变化如图所示：
二、溢水道问题
今有理想不可压重力流体流过一垂直 墙，墙顶水层的厚度较水库水深为无穷小 量，试确定流体自由表面处的速度。
假定水库的容积足够大，故可以认为远离溢水口处的水面高度是 不变的，并且流动是定常的。流体自由表面上的压力等于大气压力pa， 溢口处水层厚度较水库深度为小量，故远离溢口处的流速近似为V=0， 自由表面是流线。可写出沿流线的伯努利方程:
五、总结
1、伯努利方程的形式
p1 1 1 V12 gz1 p2 V2 2 gz2 2 2
I、
物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。 II、
V12 p1 V2 2 p2 gz1 gz2 2 2
物理意义：单位质量流体的能量守恒。（焓表示）
④理想流体柏努利方程的几何意义 柏努利方程第三式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图：
z
：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头。
p g ：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的
液柱高度，称压强水头。
z p g ：称测压管水头。
V 2 2 g ：表示研究点处速度大小的高度，