正弦定理余弦定理习题及答案

正 余 弦 定 理

1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2

2

cos cos 2sin

02

C

x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，

则ABC ∆一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.

3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23

C π

∠=，则a= 。

5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，

sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．

6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2

7

4sin cos 222

B C A +-= （1）求A ∠的度数

（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值

7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.

8、如图，在△ABC 中，已知3=

a ，2=

b ，B=45︒ 求A 、C 及

c .

1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．

2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222

C C

A B -=

⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-

A

B

3

23

π

cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，

所以ABC ∆一定是等腰三角形选C

3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.

【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C

【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得

1sin 60

A =

得1

sin 2

A =

，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C ==

4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33

a a π

+-⨯⨯⨯=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1

【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。

5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A.

【规范解答】由sin cos B B +=

12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0

所以B=45，又因为a =2b =，所以在ABC ∆2=sin 45

，解得1

sin A 2=

，又

6π

6．【答案】由题意得

[]2721cos()2cos 12B C A -+-+= ()2

721cos 2cos 12A θ+-+= ∴1cos 2

A = 03

A π

<<

2221

cos 22

b c a A bc +-==()2

23b c a bc +-=将3a b c =+=代入得2,bc =由

3b c +=及2bc =，得1,2b c ==或2,1b c ==.

7、 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可

将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA

sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0

A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形

解法2:由余弦定理: 2

222

2222bc

a c

b b a

c b c a a -+⋅

=-+⋅ 22

b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形.

8、 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角

【答案】解法1：由正弦定理得：23

2

45sin 3sin sin =

== b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b

当A=60︒时C=75︒ 22

645

sin 75sin 2sin sin +===

B

C b c 当A=120︒时C=15︒ 2

2

645sin 15sin 2sin sin -===

B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 22

2

2

-+=将已知条件代入，整理：

0162=+-x x 解之：2

26±=

x 当226+=

c 时2

)13(2312

26223

)226(

22cos 2

2221=++=+⋅

⋅-++=-+=

bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当2

2

6-=

c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒. 1.在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB . 解：在△ADC 中，

cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC ＝72＋32－522×7×3 ＝1114 ，

又0＜C ＜180°，∴sin C ＝53

14

在△ABC 中，AC sin B ＝AB

sin C

∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314· 2 ·7＝56

2

.