空间解析几何习题答案解析

一、计算题与证明题

1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a

2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）

4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）

()2

22)1(+得()252

=⋅b a

所以 5=⋅b a

4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρ

ρ, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a

则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即

()()()0

52525121252

51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k

y x j y x i z y z y

x k

j i

所以

()()()052522

22=-+++--y x x z z y

即010*********

2

2

=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π

()

30

3

25110cos 2

2

2

2

2

2

2

2

2

⋅++=

-++⋅++⋅=

=z y x z y x a

x

整理得 10

3

2

2

2

=

++z y x （3） 联立()()()321、、

解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫

⎝

⎛-51,21,101

6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B

AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得

()()()()()()2222

22321783++-++=

-+-+-z y x z y x

化简得027532=-++z y x

这就是线段AB 的中垂面的方程。

7．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为

)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．

解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21

cos r

b a b a =⋅⋅=

θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,

则11

cos 0112=⋅

⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r

r r b a y x z y x c a ϑ （1） 11

cos 1102

=⋅

⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c

所以22

2

2

=++z y x （3）

联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧-==-=313431z y x

所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭

⎫ ⎝⎛--

31,34,31 8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1) 求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积．

(3) 求BCD ∆的面积．

(4) 求点A 到平面BCD 的距离．

解：因为()103，，

A ，()1,4,2-

B ,()3,2,0-

C ,()3,0,2--

D 所以()0,10,1--=AB

()2,8,3--=AC ()4,6,5---=AD

（1）()

AD AC AB ,,是以它们为邻边的平行六面体的体积

()176121200010034

6

5

283

101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积

3

88

1766161=

⨯==V V T （3）因为()222，，-=BC ，()444--=，，BD

k j i k

j i

BD BC 016164

4422

2

+--=---=⨯

所以()()21616162

2=-+-=⨯BD BC ，这是平行四边形BCED 的面积

因此S S BCD 21=

∆□BCED 282162

1

=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积

H S V BCD T ⋅=∆3

1

所以221121128388

33==⋅

=

=

∆BCD

T S V H 1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程． 解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为

0=++D Cz Ax (1)

把点()123，，

A 和点()321--，，

B 代入上式得