2019-2020学年高中数学 数学归纳法1学案 苏教版选修2-3.doc

2019-2020学年高中数学 数学归纳法1学案 苏教版选修2-3 学习目标：

1.了解数学归纳法的原理.

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

学习重难点：

数学归纳法

学习过程：

探究一：数学归纳法的原理

问题1.有一串鞭炮相互连结在一起，点着第1个后，整串鞭炮便一个接着一个响了起来，直到最后一个.请问：为什么能响到最后一个？

问题2.对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n

，试写出a 1，a 2，a 3，a 4并由此作出猜想.请问这个结论正确吗？怎样证明？

以下为证明过程：

(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11

，所以结论成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k

， 则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k 1＋a k

(已知) ＝1k

1＋

1k

(代入假设) ＝1k

k ＋1k (变形)

＝1k ＋1

(目标) 即当n ＝k ＋1时，结论也成立.

由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n

成立.

问题4.你能否总结出上述证明方法的一般模式？ 自主学习：阅读教材P89例1,2,3 探究二：用数学归纳法证明数列问题

例.已知数列11×4，14×7，17×10，…，1n －n ＋，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根

据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明.

小结： 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想.

跟踪训练：

数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明.

小结：

证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等. 当堂检测：

1.某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么下列说法正确的是________.

①n ＝6时该命题不成立 ②n ＝6时该命题成立

③n ＝4时该命题不成立 ④n ＝4时该命题成立

2.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成________.

3.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________.

4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是______________.

5.用数学归纳法证明

(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2

(n ∈N *)． 6.用数学归纳法证明：

12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n n ＋2.

7.已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *

)，S n 为数列{a n }的前n 项和．

(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式；

(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．

参考答案：1. ③2. 假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确3. n ＝3时是否成立4. (2k ＋2)＋(2k ＋3)

9．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23

， 等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即

(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2

， 当n ＝k ＋1时，

(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3

) ＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝k ＋k ＋k ＋＝2k ＋3， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．

10．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，

右边＝(－1)1－1×1×22

＝1， 结论成立．

(2)假设当n ＝k 时，结论成立．

即12－22＋32－42＋…＋(－1)

k －1k 2＝(－1)k －1·k k ＋2， 那么当n ＝k ＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(－1)

k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k k ＋2＋(－1)k (k ＋1)2

＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋22

＝(－1)k ·k ＋k ＋2.

即n ＝k ＋1时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．

11．(1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，

a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，

猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5 n ＝5×2n －2， n ≥2，n ∈N *

. (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×2

2－2＝5，公式成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立，即a k ＝5×2

k －2， 当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2

k －2. ＝5＋－2

k －11－2＝5×2k －1.

故n ＝k ＋1时公式也成立．

由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为

a n ＝

⎩⎪⎨⎪⎧ 5 n ＝15×2n －2 n ≥2，n ∈N *.