初二几何动点问题专题教学内容

初二几何动点问题专

题

几何动点问题专题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

例题1.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D

始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知

t秒，问：

（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

（2）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？

（3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？

（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？

练习1. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？

例2：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OA⊥BC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。

（1）判断∆OEF的形状，并加以证明。

（2）判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化

而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它

的值.

（3）设AE=x，∆AEF的面积为y，求的y与x的关系式。

F

E

O

C

B

A

练习2：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点，（1）写出点O到△ABC的三个顶点 A、B、C距离的大小关

系。

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持

AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。

点评:这几题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

例3如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；

②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．

练习3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，cm BC AD 5==,AB =12

cm,CD =6cm , 点P 从A 开始沿AB 边向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t 秒。

（1）求证：当t =2

3

时，四边形APQD 是平行四边形；

（2）PQ 是否可能平分对角线BD ？若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若

不能，请说明理由；

（3）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。

A

B

C

D Q

P

O E C

D

A

α l

O

C

A

（备用图）

例4、如图，已知ABC

==厘米，8

BC=厘米，点D为AB的△中，10

AB AC

中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD

△

△与CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD

△全等？

△与CQP

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC

△三边运动，求经过多长时间点Array P与点Q第一次在ABC

△的哪条边上相遇？

E

练习4. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A （1）试判断四边形PQEF 是正方形并证明。 （2）PE 是否总过某一定点，并说明理由。 （3）四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？