IIR数字带通滤波器设计

目录前言 (2)工程概括 (3)1.1 IIR数字滤波器工作原理 (3)正文 (4)2.1 数字滤波器介绍 (4)2.2 数字滤波器的分类 (5)2.3 脉冲响应不变法 (5)2.4 双线性变换法 (7)2.5 滤波器的特性及使用函数 (8)3.1 设计步骤 (10)3.2 程序流程图 (11)3.3 MATLAB程序 (11)3.4 仿真结果 (14)3.5 总结 (16)致谢 (16)参考文献 (17)前言随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。

目前数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。

在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字滤波器（DF，Digital Filter）。

数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。

MATLAB是英文MA Trix LABoratory(矩阵实验室)的缩写。

它是美国的MathWorks公司推出的一套用于科学计算和图形处理可视化、高性能语言与软件环境。

它的信号处理工具箱包含了各种经典的和现代的数字信号处理技术，是一个非常优秀的算法研究与辅助设计的工具。

在设计数字滤波器时，通常采用MATLAB来进行辅助设计和仿真。

本次基课程设计将完成一个数字切比雪夫带通IIR滤波器的设计，利用双线性变换和无限冲激响应IIR原理完成设计，并利用MATLAB进行仿真。

工程概括1.1 IIR 数字滤波器工作原理数字滤波器是一个离散时间系统，输入x(n)是一个时间序列，输出y(n)也是一个时间序列。

如数字滤波器的系统函数为H(z)，其脉冲响应为h(n)，则在时间域内存在下列的关系。

)()()(n h n x n y ⊗=在z 域内，输入和输出存在下列关系：)()()(z X z H z Y =式中，X(z)、Y(z)分别为输入x(n)和输出y(n)的z 变换。

同样在频率域内，输入和输出存在下列关系：()()()ωωωj H j X j Y =式中，()ωj H 为数字滤波器的频率特性; ()ωj X 和()ωj Y 分别为x(n)和y(n)的频谱。

ω为数字角频率，单位rad 。

通常设计()ωj H 在某些频段的响应值为1，在某些频段的响应为0。

()ωj X 和()ωj H 的乘积在频率响应为1的那些频段的值仍为()ωj X ，即在这些频段的振动可以无阻碍地通过滤波器，这些频带为通带。

()ωj X 和()ωj H 的乘积在频率响应为0的那些频段的值不管()ωj X 大小如何均为零，即在这些频段里的振动不能通过滤波器，这些频带称为阻带。

ω为数字角频率，单位为弧度(rad)，Ω表示模拟角频率，单位弧度/秒（rad/s ）。

数字角频率ω在0～π范围内。

一个合适的数字滤波器系统函数H(z)可以根据需要改变输入x(n)的频率特性。

经数字滤波器处理后的信号y(n)保留信号x(n)中的有用频率成分，去除无用频率成分。

正文2.1 数字滤波器介绍数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。

它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。

数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。

时域离散系统的频域特性:,其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。

输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。

IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：系统函数为：设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

2.2 数字滤波器的分类按时间域特性，数字滤波器可以分为无限冲激（脉冲）响应数字滤波器（Infinite impulse response digital filter,简称IIR 滤波器）和有限冲激（脉冲）响应数字滤波器（Finite impulse response digital filter,简称FIR 滤波器）两类。

IIR 滤波器的传递函数为： ∑∑∑∞==-=--+===0101)()()()(n Nk kk M r r r n z a z b z n h z X z Y z H h(n)为滤波器的脉冲响应，n=0~∞均有值。

M 和N 为分解的分子和分母多项式的系数个数。

FIR 滤波器的传递函数为： ∑-=-==1)()()()(N n n z n h z X z Y z H 该滤波器的脉冲响应h(n)在n=0,1,…,N-1的有限个点(N 个点)上有值。

式中分母k a 全为零时，H(z)具有全零点形式，IIR 滤波器退化为FIR 滤波器。

按频率特性来讲，数字滤波器和模拟滤波器一样可分为低通、高通、带通和带阻等。

数字滤波器是一个离散时间系统，在频率特性中具有周期性，因此我们讨论的频率范围仅在πω~0=的范围内，相应的归一化频率在0~1之间，π和1对应于Nyquist 频率。

和模拟滤波器一样，理想数字滤波器的频率特性()ωj H d 在通带内必须满足：()()⎩⎨⎧-=∠=αωωωj H K j H d d 式中，K,α均为常数。

和模拟滤波器一样，数字滤波器的设计目的是使滤波器的频率特性达到所给定的性能指标。

其性能指标也包括通带波纹Rp(dB)、阻带衰减Rs(dB)、通带边界频率（Hz ）、阻带边界频率（Hz ）等。

2.3 脉冲响应不变法所谓脉冲响应不变法就是使数字滤波器的脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的脉冲响应h a (t)的采样值，即()()nT h t h n h a nT t a ===)(式中，T 为采样周期。

因此数字滤波器的系统函数H(z)可由下式求得：[]()[]nT h Z n h Z z H a ==)()(Z[-]表示对[-]的内容进行Z 变换，Z 变换的内容请参考相应的数字信号处理教材。

如果已经获得了满足性能指标的模拟滤波器的传递函数()s H a ，求与之对应的数字滤波器的传递函数H(z)的方法是：（1） 求模拟滤波器的单位脉冲响应()t h a 。

()()[]s H L t h a a 1-=式中，()[]s H L a 1-表示对()s H a 的Laplace 逆变换。

Laplace 变换内容请参考高等数学的积 分变换或信号处理教材。

（2） 求模拟滤波器单位冲激响应()t h a 的采样值，即数字滤波器冲激响应序列h(n)。

（3） 对数字滤波器的冲激响应h(n)进行z 变换，得到传递函数H(z)。

由上述方法推论出更直接地由模拟滤波器系统函数()s H a 求出数字滤波器系统函数H(z)的步骤是：（1） 利用部分分式展开将模拟滤波器的传递函数H(s)展开成： ∑=-=Nk k k a p s R s H 1)( 在MATLAB 中这步可通过residue 函数实现。

若调用residue 函数的形式为[R,P,K]=residue(a,b) 形式，则将下式（传递函数形式）：)1()()2()1()1()()2()1()()()(11++++++++++==--na a s na a s a s a nb b s nb b s b s b s a s b s H na nb nb nb a 变换为：)1()2()1()(11+++++-=-=∑M K s K s K p s R s H M M Nk k k a这种形式为极点留数商向量形式，对于本节所讲的特定情况，K 为空矩阵。

若为[b,a]=residue(R,P,K)则为上面调用形式的反过程。

（2） 将模拟极点p k 变换为数字极点T p k e 即得到数字系统的传递函数 ∑=--=N k T p k z e R z H k 111)( 其中T 为采样间隔。

(3)将 ∑=--=Nk T p k z e R z H k 111)(转换为传递函数形式，在该步骤中，可采用[R,P,K]=residue(b,a).，MATLAB 中已经提供了冲激响应不变法设计数字滤波器的函数，调用格式为：[bz,az]=impinvar(b,a[[,Fs[，Fp])式中，b,a 为模拟滤波器分子和分母多项式系数向量；Fs 为采样频率（所滤波数据），单位Hz ，缺省时为1Hz 。

Fp 为预畸变频率（Prewarped frequency ）,是一个“匹配”频率,在该频率上，频率响应在变换前后和模拟频率可精确匹配。

一般设计中可以不考虑。

bz,az 分别为数字滤波器分子和分母多项式系数向量。

前面已提到过，函数输入变量中的[]表示可添加也可略去的内容。

下面我们用例子说明如何使用这个函数。

（1）脉冲响应不变法将模拟滤波器13223)(2+++=s s s s H a 变换为数字滤波器H(z)，采样周期为T=0.1s 。

%Samp6_1b=[3 2];a=[2 3 1];T=0.1; %模拟滤波器分子和分母多项式系数及采样间隔[bz1,az1]=impinvar(b,a,1/T)程序输出为：bz1 = 0.3000 -0.2807az1 = 2.0000 -3.7121 1.7214在应用冲激响应不变法设计数字滤波器时要注意它的特点。

脉冲响应不变法由sT e z =这一基本关系得到数字角频率ω和模拟角频率Ω满足T Ω=ω线性变换关系，T 为采样间隔。

这使得Ωj 轴上每隔π2便映射到z 域中的单位圆一周。

如果模拟滤波器频率响应是有限带宽的话，通过变换得到的数字滤波器的频率响应非常接近于模拟滤波器的频率响应。

由于数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，因此对于高通和带阻滤波器存在混叠效应，会造成频率响应失真，因此这种方法原则上只适用于有限带宽滤波器。

对于高通、带阻等滤波器，由于它们高频成分不衰减，势必产生严重的混迭失真。