高中数学-三角函数图像及性质与值域及最值

高中数学总复习- 三角函数

第5课 三角函数的图像和性质（一） 【考点导读】

1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22

ππ

-

上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】

1. 已知简谐运动()2sin()()3

2f x x ππ

ϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运

动的最小正周期T =_____6____；初相ϕ=______6

π

____．

2. 三角方程2sin(2

π

－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2

,0)(sin(R x x A y ∈π

<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达为

_)48sin(4π

+π-=x y _．

4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛

⎫=- ⎪3⎝

⎭的图象向右平移

______π

6

____个单位．

【范例解析】

例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．

（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的图象，长度为一个周期；

（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到．

{2,}3x x k k Z ππ=±∈

分析：化为sin()A x ωϕ+形式．

解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=

)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x ．

列表，取点，描图：

x 8

3π

- 8π-

8π 83π 8

5π y

1

21-

1

21+

1

故函数)(x f y =在区间]2

,2[-上的图象是：

（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移

4π个单位，得到sin()4

y x π=-的图像，再把sin()4

y x π

=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不

变），得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4

y x π

=-的图像上所有点纵坐标

伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4

y x π

=-的图像，再将

2sin(2)4y x π

=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到

12sin(2)4

y x π

=+-的图像．

解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的1

2

（纵坐标不变），得

到sin 2y x =的图像，再把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π

个单位，得到

sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4

y x π

=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来

，得到)4y x π=-

的图像，再将)

4

y x π

=-的图像上所有点向上平移1

个单位，即得到1)4y x π

=+-的图像．

例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；

（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．

分析：识别图像，抓住关键点．

解：（1）

由图知，A =22(62)16π

ω

=⨯+=Q ，8π

ω∴=

，即sin()8

y x π

ϕ=+． 将2x =

，y =代入，

得

sin()4

π

ϕ+=，解得4πϕ=，

即

1()sin()84

f x x ππ

=+．

（2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为

(,)M x y '''，

得8,2.x x y y '+⎧=⎪

⎨⎪'=⎩解得16,.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代

入

1()sin()84

f x x ππ

''=+中，

得

2()sin()84

f x x ππ

=-．

（3

）12()()sin()sin()2cos

y f x f x x x x πππππ

=+=+--=，简图如图所

示．

点评：由图像求解析式，A 比较容易求解，困难的是待定系数求ω和ϕ，通常利用周期确定ω，代入最高点或最低点求ϕ．

【反馈演练】

1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π

的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图

像上所有的点 ①向左平移6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3

1倍（纵坐标不变）； ②向右平移6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）； ③向左平移6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．

其中，正确的序号有_____③______．

2．为了得到函数)62sin(π

-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移

__3

π__个单位长度．