整式的乘除与因式分解知识要点及典型例题

m n
4 4
p
mnp
练习：判断下列各式是否正确。
(a ) a
4 4
a , [(b ) ] b
8 2 3 4 4n2 4 m
234
b
24
( x )
2 2 n 1
x
, (a ) (a ) (a )
m 4
2m 2
3、积的乘方
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘。 符号表示：
1 1 2 (1)已知a 2 5, 求( a ) 的值. a a 2 2 2 ( 2)若 x y 2, x y 1, 求xy的值.
2
(3)如果( m n) z m 2mn n ,
2 2 2
则z应为多少 ?
(4)( x 3 y 2 z )( x 3 y 2 z ) (5)1999 , (6)2001 1999
3.分解因式：
（1）.
x
m 3
2x
m 2
yx
m 1
y
2
（2） 25x y 2 10 y x 1
（3）
4a b (a b )
2 2 2
2 2
(4)( 2)1999 (2)1998 (2)1997 (2)3 (2)2 (2) 1
(a b)( a b) a b
2
2
其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式
说明：平方差公式是根据多项式乘以多 项式得到的，它是两个数的和与同样的 两个数的差的积的形式。
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共
的因式，叫做这个多项式各项的公因式
（2）找公因式：找各项系数的最大公约
数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
（3）.提公因式法：一般地，如果多项式的各
项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每 一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因 式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式 分解 的方法提公因式法。
典型例题：
典型例题：
典型例题：
典型例题：
例11（1）
例11（2）
典型例题：
典型例题：
典型例题：
1求证:(n2+3n+1)2-1是连续四 个整数的积(其中n为整数) 2.已知:a+b=1,求证:a3+b3+3ab=1. 3已知:a+b=-3,ab=-4, 求多项式a2+a2b+ab2+b2的值. 4已知:(a+b)(x+y)=2(ax+by),求证:a=b或x=y.
典型例题：
典型例题：
典型例题：
一、整式的有关概念
数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 1、单项式： 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数： 单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式：几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫 多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做 这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不 是组成多项式的所有字母指数和！！！
a 1( a 0)
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同 底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一 个因式。 （3）、多项式除以单项式
法则：多项式除以单项式，先把这个多项 式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加。
( ab) a b , (其中n为正整数),
n n n
( abc) a b c (其中n为正整数)
n n n n
练习：计算下列各式。
1 2 3 2 3 3 2 3 (2 xyz) , ( a b) , (2 xy ) , (a b ) 2
4
4.单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们 的系数、相同字母分别相乘，对 于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因 式。
1、利用因式分解计算：
1001 （1） 2 2 2003 2001 1 1 （2）(1－ 2 2 )(1－3 2
1 1 )(1－ 2 )…(1－ 10 2 ) 4
（3）20042-4008×2005+20052 （4）9.92－9.9×0.2＋0.01 2、若a、b、c为△ABC的三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC 的形状。
6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含 有字母的代数式不是整式）
二、整式的运算 （一）整式的加减法 基本步骤：去括号，合并同类项。
（二）整式的乘法
1、同底数幂的乘法
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
a a a
m n
4 8 2 2
m n
练习：判断下列各式是否正确。
八年级数学（上册）
知识结构：
一、整式的概念
1、代数式 4、多项式 2、单项式 3、单项式的系数及次数 6、整式 5、多项式的项、次数
二、整式的运算 (一)整式的加减
基本步骤：去括号，合并同类项。 1、同底数幂的乘法 2、幂的乘方 3、积的乘方 4、同底数的幂相除 5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式 7、多项式乘以多项式 8、平方差公式 9、完全平方公式
2 2 2
练习：计算下列各题。
1 6 4 3 (1)( a b c) (( 2a c) 4 1 5 2 ( 2) 6( a b ) [ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( a b ) ] 3 2 3 3 2 (3)(5 x y 4 x y 6 x) (6 x) 1 3m 2 n 2 m1 2 3 2 m1 3 2 m 1 2 (4) x y x y x y ) (0.5 x y ) 3 4
(二)整式的乘法
(三)整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解
或分解因式。
分
解
与整式乘法的关系：
互为逆过程，互逆关系
提公因式法
因
式
方法
公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
一提：提公因式 a2±2ab+b2=(a±b)2 步骤 二用：运用公式 三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
a a 2a , b b b , m m 2m
3 3 3 4
2
( x) ( x) ( x) ( x) x
3 2 6
6
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
(a ) a
m n
mn
[( a ) ] a （其中m、n、P为正整数）
5 .多项式与多项式相乘： ( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
• 法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把 所得的积相加.
6.乘法公式：
（1）、平方差公式
一般的，我们有：
(a b) a 2ab b ;
2 2 2
(a b) a 2ab b
2 2
2
其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即 : (a b) a 2ab b
2 2
2
法则：两数和（或差）的平方，等于它们的 平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
注意：
• • • • （1）(a-b)=-(b-a) (2 )（a-b)2=(b-a)2 (3) (-a-b)2=(a+b)2 (4) (a-b)3=-(b-a)3
7.添括号的法则：
• 添括号时，如果括号前面是正号， 括到括号里的各项都不变符号；如 果括号前面是负号，括到括号里的 各项都要改变符号。
8.整式的除法：
（1）、同底数幂的除法
一般地，我们有
a a a
m n
0
mn
（其中a≠0，m、n为 正整数,并且m＞n ）
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。