与圆有关的概念和性质专题复习

圆的有关概念及其性质专题复习

考点点拨

1．注意相关概念的区分

(1)弧与半圆：半圆是弧，但弧不一定是半圆．

(2)弦与直径：直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦．

(3)等弧与长度相等的弧：等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧．

(4)等圆和同心圆：等圆是半径相等圆心不同的圆，而同心圆是半径不等圆心相同的圆． 2．常用的辅助线

(1)作半径，利用同圆的半径相等；

(2)作弦心距，利用垂径定理进行计算或推理，或利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明；

(3)作半径和弦心距，构造直角三角形进行计算； (4)构造直径所对的圆周角——直角； (5)构造同弧或等弧所对的圆周角；

(6)遇到三角形的外心常连结外心和三角形各顶点． 3．分类讨论解“圆”题，防止漏解

如：一条弦所对的圆周角有两种，所以在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补．圆内两条平行弦与圆心的位置关系有两种等．

【考题研究】

考点 1 圆的概念和性质

例1 下列命题中，假命题是( ) A ．两条弧的长度相等，它们是等弧 B ．等弧所对的圆周角相等 C ．直径所对的圆周角是直角

D ．一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍

考点 2 圆的弦、半径、弦心距的计算

例2 如图1-9-1，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，若大圆半径为10 cm ，小圆半径为6 cm ，则弦AB 的长为___________．

意图：在一个圆中，若已知圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式

r 2

=d 2

+2a 2

⎛⎫

⎪⎝⎭

成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．

考点 3 圆心角、弧、弦之间的关系

例3如图1-9-3所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在

格点上，则∠AED 的正切值等于___________．

考点 4 圆心角与圆周角的关系及应用 例4如图1-9-5，已知点E 是圆O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED 的度数为___________．

【考点训练】

1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，则ACB ∠的度数为（ ）

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

2、如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若16C ∠=︒,则BOC ∠的度数是（ ）

A.74︒

B. 48︒

C. 32︒

D. 16︒

3、一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10OB =，截面圆圆心O 到水面

的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）

A.16

B.10

C.8

D.6

4、如图，100AOB ∠=，点C 在O 上，且点C 不与A 、B 重合，则ACB ∠的度数为

（ ）

A ．50

B ．80或50

C ．

130 D ．50 或

130

第1题

5、如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（ ）

A ．正方形 B.长方形 C ．菱形 D ．以上答案都不对

6、如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =，

3cm OC =，则⊙O 的半径为 cm ． 7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧的圆心，C 是弧AB 上一点，OC ⊥AB 于D ， AB =300m ，CD =50m ，则这段弯路的半径是 m ．

8、如图，半圆的直径AB ＝___ ．

9、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是 . 11、如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，

的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则

∠ABD 十∠CAO = °

12、如图，CD 是⊙O 的弦，直径AB 过CD 的中点M ，若∠BOC=40°，则∠ABD=( ) A ．40° B ．60° C ．70° D ．80°

A C

B O 第6题

第8题 0 1

2

-1

-2

1

A B 第5题 第7题

13、已知：如图，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，

以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长．

30分钟小测

1、下列命题中，正确的是（ ）

① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③ 90的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ⑤ 同弧所对的圆周角相等

A ．①②③

B ．③④⑤

C ．①②⑤

D ．②④⑤

2.如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（ ）

A ．

156

B ．78

C ．39

D ．12

3、.如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C =15°,则∠BOC 的度数为【 】

A ．15°

B . 30°

C . 45°

D ．60°

4、 如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500，点D 是BAC 上一点，则

∠D ＝___ _

5、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A =40°，则∠OBC 的度数为_______．

6、如图， A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且A 是优弧BAC 上与点B 、点C 不同的一点，若

BOC ∆是直角三角形，则BAC ∆必是【 】

A.等腰三角形

B.锐角三角形

C.有一个角是︒30的三角形

D.有一个角是︒45的三角形

O A D B C

E

F

P 第2题