2018年高考数学分类题库 (50)
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编25-统计(含解析)
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编25-统计（含解析）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差2．（2022·全国·统考高考真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.63．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态4．（2022·天津·统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．185．（2021·全国·高考真题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间6．（2021·天津·统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）A ．20B ．40C ．64D ．807．（2020·全国·统考高考真题）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+8．（2020·全国·统考高考真题）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====9．（2020·全国·统考高考真题）设一组样本数据x 1，x 2，…，xn 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10xn 的方差为（ ） A ．0.01B ．0.1C ．1D ．1010．（2020·天津·统考高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A ．10B ．18C ．20D ．3611．（2019·全国·高考真题）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差12．（2018·全国·高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半13．（2019·全国·高考真题）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生二、多选题14．（2021·全国·统考高考真题）有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ） A ．两组样本数据的样本平均数相同 B ．两组样本数据的样本中位数相同 C ．两组样本数据的样本标准差相同 D ．两组样本数据的样本极差相同15．（2021·全国·统考高考真题）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（ ） A ．样本12,,,n x x x 的标准差 B ．样本12,,,n x x x 的中位数 C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数16．（2020·海南·高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;三、填空题17．（2020·江苏·统考高考真题）已知一组数据4,2,3,5,6a a 的平均数为4，则a 的值是_____.18．（2020·山东·统考高考真题）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______. 19．（2019·全国·高考真题）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 20．（2018·全国·高考真题）某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．21．（2019·江苏·高考真题）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.四、解答题22．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量i y0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9并计算得10101022i i i ii=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i ii=122i ii=1i=1(, 1.896 1.377)()()()nn nx x y yrx x y y--=≈--∑∑∑．23．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.24．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）25．（2021·全国·统考高考真题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥则不认为有显著提高）．26．（2020·全国·统考高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数28 17 34 21（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?27．（2019·全国·统考高考真题）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：P C的估计值记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.28．（2018·全国·高考真题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，29．（2018·全国·高考真题）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．30．（2019·全国·高考真题）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组 [0.20,0)- [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)企业数 2 24 53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 748.602.31．（2018·全国·高考真题）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数 151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）32．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.33．（2019·北京·高考真题）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．34．（2018·天津·高考真题）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．35．（2019·天津·高考真题）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A B C D E F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随,,,,,机抽取2人接受采访.员工项目 A B C D E F子女教育○○×○×○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.参考答案：1．B【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%-=，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错. 故选:B. 2．C【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 【详解】对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42+=，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416=<， C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616=>， D 选项结论正确. 故选：C 3．D【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误. 当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确. 故选：D 4．B【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)1+⨯＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B. 5．C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 6．D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=. 故选：D. 7．D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 8．B【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．C【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=，的方差是数据(1,2,,)i x i n =，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．B【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 11．A【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.12．A【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确； 故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 13．C【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样. 14．CD【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD 15．AC【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 16．CD【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误; 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确; 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题. 17．2【分析】根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=，即2a =.。
河北省2018年对口升学高考数学试题含答案
2018年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分） 1、设集合M={0,1,2,3,4}，N={xl0<x ≤3},则N M ⋂＝( ) Ａ ｛１,２｝ Ｂ｛０,１,２｝ Ｃ ｛１,２,３｝ Ｄ｛０,１,２,３｝２、若a,b,c 为实数，且a>b,则( )A a -c>b -cB a 2>b 2C ac>bcD ac 2>bc 23、2>x 是x>2的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4、下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )A x y 31=B 22x y =C 3x y -=D xy 1=5、函数)42sin(π-=x y 的图像可以有函数x y 2sin =的图像如何得到( )A 向左平移4π个单位B 向右平移4π个单位C 向左平移8π个单位D 向右平移8π个单位6、已知),,3(),2,1(m b a =-=a -=+m=( )A -23B23 C 6 D -67、下列函数中，周期为π的偶函数是( )A x y sin =B x y 2sin =C x y sin =D 2cos x y =8、在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=12, a 2+a 3+a 4=18,则a 3+a 4+a 5=( )A 22B 24C 26D 309、记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 2=10，S 4=40，则S 6=( )A 50B 70C 90D 13010、下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A x y =与2x y =B x y =与33x y =C x y =与2x y =D 2x y =与33x y = 11、过圆2522=+y x 上一点（3,4）的切线方程为( )A 3x+4y -25=0B 3x+4y+25=0C 3x -4y -25=0D 3x -4y+25=012、某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为两组进行对抗赛，每组两名队员，分配方案共有( )Ａ ２种 Ｂ ３种 Ｃ ６种 Ｄ １２种13、设（２x -1）2018=a 0+a 1x+a 2x 2+……….+a 2018x 2018,则a 0+a 1+a 2+ …….+a 2018=( )A 0B 1C -1D 22018-114、已知平面上三点A （1，-2），B （3,0），C （4,3），则点B 关于AC 中点是对称点的坐标是( )A （1,4）B （5,6）C （-1，-4）D （2,1）15、下列命题中正确的是( ) （1）平行于同一直线的两条直线平行 （2）平行于同一平面的两条直线平行 （3）平行于同一直线的两个平面平行 （4）平行于同一平面的两个平面平行Ａ （１）（２） Ｂ（１）（３） Ｃ （１）（４） Ｄ（２）（４） 二、填空题（共１５小题。
2018年北京高考数学及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回•第部分（选择题共40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5分，共40分.1.已知集合Ax|x 2， B2,0,1,2，则 A B( )A 0,1 B. 1,0,1C. 2,0,1,2D.1,0,1,22.在复平面内， 复数- 1 11的共轭复数对应的点位于（）iA 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）B.-C.-D.—124•“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做 出了重要贡献•十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一 个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 122 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为（）A 32fB. 3 22 fC.12 25 fD.1227 f5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为值为（A.1B.2 D.46.设a , b 均为单位向量，则“ a 3b 3a b 是“ a 丄b ”的（A 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d 为点 P cos ,sin 到直线x my0的距离，当，m 变化时，d 的最大A1B.2C.3D.48.设集合A x, y | x y 1, ax y 4, x ay2，则（A 对任意实数a , 2,1 AC.当且仅当a 0时，2,1 AB.对任意实数a , 2,1 A3D.当且仅当a 时，2,1 A2侧〔左）规图、填空题共6小题，每小题5分，共30分.四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 _________________ ;双曲线N 的 离心率为 ___________ .三、解答题共6小题，共80分。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2018年北京市高考数学试卷(理科)【附答案解析】
2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。
高考数学 专题50 排列组合解答策略黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题50 排列组合解答【高考地位】排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。
同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
其考试题型主要有填空题、选择题或者解答题中的应用，其难度不会太大．其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一相邻问题捆绑法使用情景：题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．解题模板：第一步首先将题目中规定相邻的几个元素作为一个整体；第二步然后运用排列组合求出其不同的排列中种数；第三步得出结论.例1.有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（）A. B. C. D.【答案】D【变式演练1】有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（）A．36 B．48C．72 D．120【答案】C【解析】试题分析：根据题意，分两种情况讨论；①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有种坐法；②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有种坐法．故共有种坐法．考点：排列组合.类型二不相邻问题插空法使用情景：题目中规定相邻的几个元素不相邻．解题模板：第一步可先把无位置要求的几个元素全排列；第二步再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端；第三步得出结论.例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ] A．1440 B．3600 C．4820 D．4800【答案】B.点评：不相邻问题最有效的方法之一就是插空法.【变式演练2】来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】解：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排，不同的安排方案总数有=2×2×2×6=48种．故选A类型三特殊元素“优先安排法”使用情景：对于带有特殊元素的排列组合问题解题模板：第一步一般应先考虑特殊元素，先满足特殊元素的要求；第二步再考虑其它元素；第三步得出结论.例3 . 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
2018年高考数学全国卷三理科试题(附答案)
2018年高考数学全国卷三理科试题(附答案) 2018年高考数学全国卷三理科考试已经落下帷幕，本试卷为考生带来了挑战，让大家从中更加深入的了解数学知识，本试卷的答案让大家从中收获了成长。
2018年高考数学全国卷三理科试题2018年高考数学全国卷三理科试题出炉，考生们做好了准备，及时解决遇到的问题，取得优异的成绩。
本次全国卷三包括4个部分组成，分别是选择题、填空题、解答题和分析题。
如下：一、选择题1. 若集合A＝{x|-2≤x≤2}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B= (A) {-2,2} (B) {-2,0,2} (C) {-1,1} (D) {0,2}2. 若平面上的两个点的坐标分别A（2，3），B（4，-3），那么它们之间的距离是（A）2（B）5（C）7（D）63. 若复数z1=1-i，z2=1+i，则z1、z2的共轭复数分别为（A）1-i，1+i（B）1+i，1-i（C）-1+i，-1-i（D）-1-i，-1+i4. 若函数y=3x3-6x2+9x+3在x=2处取得极值，则极大值为（A）-12（B）-9（C）15（D）185. 若两个圆O1,O2的半径分别是6,9，则O1, O2相切的条件是（A）r1=r2（B）r1+r2=15（C）r1-r2=3（D）r1+r2=3二、填空题1. 下列各式中，(1+√5)5次方的展开式中，常数项为a_1r_1+a_3r_3+a_5r_5，其中a_1，a_3，a_5分别为______，_______，_______。
答案：a_1=5 ; a_3=-5 ; a_5=12.函数f (x）=2x2+8x+9，x≤1时的最大值为_________。
答案：13三、解答题1.求实数a，b满足等式|a-3|-|b+3|=4的解。
答：解得a=-1、b=-72.曲线y=x3+3x2+3x+c的图象经过点(1,1),求参数c的值。
答：设y=x3+3x2+3x+c设点P(1,1)在曲线上，即1=1+3+3+cc=0四、分析题1.已知实数x，y满足约束条件2x+y≤12，x，y≥0，求此约束条件下的最大值。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(含答案)
绝密★启用前2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）考试时间：120分钟；试卷整理：微信公众号--浙江数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．iB．C．D．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分80分）17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k （k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．23．（10分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．iB．C．D．【考点】A5：复数的运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：==+．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．3．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3A：函数的图象与图象的变换．【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．0【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；91：向量的概念与向量的模．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】KC：双曲线的性质．【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．7．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4【考点】EH：绘制程序框图解决问题；E7：循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，由此知空白处应填入的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．故选：B．【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．8．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有=45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P==，故选：C．【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA 1=，∴A（1，0，0），D 1（0，0，），D（0，0，0），B 1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．50【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．12．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F 1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（5，4），目标函数有最大值，为z=9．故答案为：9．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为40π．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠AMB==．△SAB的面积为5，可得sin∠AMB=5，即×=5，即SA=4．SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：=2．则该圆锥的侧面积：π=40π．故答案为：40π．【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三．解答题（共7小题，满分80分）17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；（2）由a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，得S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出S n以及S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即可；（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，即可得出模型②的预测值更可靠些．【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：=99+17.5t，计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k （k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．【解答】解：（1）证明：∵AB=BC=2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，∴PO⊥AC，PO=2，则PB2=PO2+BO2，则PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（﹣2，2，0），设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面MPA的法向量为=（x，y，z），则=（0，﹣2，﹣2），则•=﹣2y﹣2z=0，•=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0令z=1，则y=﹣，x=，即=（，﹣，1），∵二面角M﹣PA﹣C为30°，∴cos30°=|=，即=，解得λ=或λ=3（舍），则平面MPA的法向量=（2，﹣，1），=（0，2，﹣2），PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．23．（10分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题。
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考点15 函数y=Asin（x）的图象及三角函数
模型的简单应用
一、选择题
1.(2018·天津高考理科·T6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长
度,所得图象对应的函数 ( )
A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
【命题意图】本题考查考生对三角函数的图象与性质的掌握以及三角函数图
象变换知识的理解与应用,考查考生对三角函数数形结合思想的运用以及三
角函数的逻辑推理能力.
【解析】选A.因为将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,得到函
数y=sin2x的图象
.
用五点法作出草图,如图:从图中可以看出选项A正确,其他都不正确.
2.(2018·天津高考文科·T6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长
度,所得图象对应的函数 ( )
A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
【命题意图】本题考查考生对三角函数的图象与性质的掌握以及三角函数图
象变换知识的理解与应用,考查考生对三角函数数形结合思想的运用以及三
角函数的逻辑推理能力.
【解题指南】先求出平移后函数的解析式,再用五点法画出函数的草图,观察
图象即可得出结论.
【解析】选A.因为将函数y=sin2x+的图象向右平移个单位长度,得到函
数y=sin2x的图象;用五点法作出草图,如图:从图中可以看出选项A正确,
其他都不正确
.
二、填空题
3.(2018·江苏高考·T7)已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线
x=对称,则φ的值是 .
【解析】正弦函数的对称轴为+kπ(k∈Z),故把x=代入得+φ=+kπ(k∈
Z),φ=-+kπ(k∈Z),因为-<φ<,所以k=0,φ=-.
答案:-
三、解答题
4.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T16)
已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.
【命题意图】考查三角函数图象与性质,以及三角恒等变换,意在考查灵活运
用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,数形结合思想,体现了逻
辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】(1)由已知,f(x)=(1-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x+
=sin(2x-)+,所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)方法一:显然m>-,
若x∈,则2x∈,
2x-∈,
①若2m-<即m<,
则f(x)在[-,m]上的最大值小于,不合题意.
②若2m-≥即m≥,
当2x-=即x=时,f(x)在[-,m]上取得最大值,符合题意,
综上,m的最小值为.
方法二:
显然m>-,因为f(x)在[-,m]上的最大值为,
所以y=sin(2x-)在[-,m]上的最大值为1,
又因为当且仅当2x-=+2kπ,即x=+kπ(k∈Z)时,
y=sin(2x-)=1.
所以[-,m]∩{x|x=+kπ(k∈Z)}≠∅,
令+kπ≥-(k∈Z)得k≥-,即k=0,1,2,…
所以x=+0×π=∈[-,m],即m≥,
所以m的最小值为.
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