【教育资料】山东省日照市五莲二中度第一学期人教版九年级数学上册_第24章_圆_单元测试卷学习专用
人教版九年级数学上册第24章《 圆：24.1.3 弧、弦、圆心角》
第二十四章 圆
问题
判别下列各图中的角是不是圆心角?
①
②
第二十四章 圆
③
④
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
第二十四章 圆
总结
圆心角的条件： (1)顶点在圆心； (2)两边和圆相交． 拓展：
(1)1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．这样，n°的圆心
角所对的弧就是n°的弧． (2)圆心角的度数与它所对的弧的度数是一致(或相等)的，
即圆心角的度数等于它所对弧的度数．注意这里仅指度数相 等．
第二十四章 圆
1.如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A⌒B所对的圆心 角等于(C )
A．40° B．80° C．100° D．120°
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，点C为圆 心⌒，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD的 度数为( C )
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
第二十四章 圆
问题
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得 的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把 圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称 中心.不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得 的图形都与原图形重合.即圆还具有旋转不变性.
【例2】如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C，∠ACB=60°.求证:∠AOB= ∠BOC=∠AOC.
证明：∵A⌒B=A⌒C， ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
第二十四章 圆
总结
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、 两个弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也分别相等．
人教版九年级数学上册第24章《 圆：24.1.2 垂直于弦的直径》
第二十四章 圆
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错
误的是( B )
A．CE＝DE
C. B⌒C＝B⌒D
B．A理的推论 通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步 得到垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
第二十四章 圆
【例3】如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm，
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM= 1 AB，
第二十四章 圆
【例1】求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在的直线都是圆的对称轴.
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任 意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆 上.
第二十四章 圆
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外 的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为
所以 AD= 1 AB= 1 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
第二十四章 圆
总结
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.2垂直于弦的直径(共30张PPT)
∴在Rt△OCE中，
CE= O C 2 O E 21 6 42 ，3
∴CD＝2CE＝4 3 .
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16．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已 知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为 200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P 点320 km处．
(1)试说明台风是否会影响B市； (2)若B市受台风的影响，求台风影响
240
∴台风影响B市的时间为 3 0 ＝8(h)．
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7 ． ( 中 考 ·呼 和 浩 特 ) 如 图 ， CD 为 ⊙ O 的 直 径 ， 弦 AB ⊥ CD ， 垂 足 为 M ， 若 AB ＝ 12 ， OM ∶ MD ＝ 5∶8，则⊙O的周长为( B )
A．26π
B．13π
96
C.
5 D.
39 10 5
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8．(中考·新疆)如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.5 圆周角——圆周角和直径的关系(共31张PPT)
11．下列结论正确的是D ( )
A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
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12．(中考·兰州)如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y
轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则 ∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
∴CE＝AC－AE＝2a.∴CE＝EF.∴∠ECF＝∠EFC.
∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，∴∠EFC＝30°.
∴∠AFC＝∠EFA＋∠EFC＝60°＋30°＝90°.
∴CF⊥AB.
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于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是( D )
①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；
③FP⊥AB；④BD⊥AF.
A．①③ B．①④
C．②④ D．③④
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8．(中考·龙东)如图，CD是⊙O的直径，CD＝4，∠ACD
＝20°，点B为弧AD 的中点，点P是直径CD 上的一个
动点，则PA＋PB的最小值为____2____．
∴M，N点均符合P点的要求．
∵MN是⊙C的直径，∴∠MON＝90°.
∵∠BMO＝∠BAO＝60°，∴△OBM是等边三角形．
∴∠BOM＝60°.∴∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－60°＝
30°.
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故存在符合条件的P点，∠BOP的度数为60°或30°.
题型
3
直径所对的圆周角是直角 在求线段长中的应用
如图，过点 A 作 AM⊥DF 于点 M，设 AF＝2a. ∵△AEF 是等边三角形， ∴FM＝EM＝a，AM＝ 3a， AE＝EF＝AF＝2a. 在 Rt△DAM 中，DA＝ 7AF＝2 7a，AM＝ 3a， ∴DM＝5a.∴DF＝BF＝6a.
九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版
【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．【答案】 ；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°， 求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝ ，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝ ．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ． 解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此， 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣 弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（ ）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
人教版九年级上册数学第24章 圆 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
完成教材P101T2
知2－讲
归纳
知2－讲
如果画图后直线和圆的位置关系不明显，一般不 选用公共点个数来判断直线和圆的位置关系．应采 用比较圆心到直线的距离与半径大小的方法来确定 它们之间的位置关系；在没有给出d与r的具体数值 的情况下，可先利用图形条件及性质求出d与r的值， 再通过比较大小确定其位置关系．
知2－练
1在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，4为半 径的圆( )A A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相离 D．与x轴相切，与y轴相交
知识点 1 直线和圆的位置关系与圆的
公共点个数间的关系
知1－讲
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系： 直线和圆相交两个公共点d＜r 直线和圆相切一个公共点d＝r 直线和圆相离没有公共点d＞r
知1－讲
已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O
的位置关系是( B )
A．相切
B．相交
C．相离 D．无法确定
知识点 2 直线与圆的位置关系的性质
知3－导
O
O
O
l
A
l
l AB
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．
这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．
这条直线叫做圆的割线，公共点叫直线和圆的交点．
总结
1. 直线和圆相离→d＞r； 2. 直线和圆相切→d=r； 3. 直线和圆相交→d＜r.
第二十四章圆
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
第2课时直线和圆的位置关系—— 相交、相切、相离
1 课堂讲解 直线和圆的位置关系与圆的公
最新人教版九年级上册数学第二十四章《圆》优秀课件(含复习共12课时)
集合定义
圆 弦（直径） 有关 概念 弧 劣弧 半圆 优弧 等弧 能够互相重合的两段弧
同 圆 半径 相等
直径是圆中 最 长 的 弦 半圆是特殊的弧
同圆
等圆
课后作业
见本课时练习
谢谢！
[义务教育教科书]( R J ) 九 上 数 学 课 件
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD.
A
D
O
B C
∴A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上.
二 圆的有关概念
弦:
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫
A
·
B
O
C
做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意 1.弦和直径都是线段.
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦 不一定是直径.
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧． 以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 AB”或“弧AB”． 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成 两条弧，每一条弧都叫做半圆． A ( O · B
C
九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课件新版新人教版
ADC＝60°.
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•10
当堂测评
1．[2017·徐州]如图 24-1-38 所示，点 A，B，C 在⊙O 上，∠AOB＝72°，
则∠ACB＝( D )
A．28°
B．54°
造直角三角形”是常见的辅助线作法．
例2答图
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•8
类型之三 圆内接四边形的性质
[2016·兰州]如图 24-1-37，四边形 ABCD 内接于⊙O，四边形 ABCO
是平行四边形，则∠ADC＝( C )
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
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图24137
•9
【解析】 设∠ADC＝α，∠ABC＝β.∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴∠
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角
学习指南
知识管理
归类探究 当堂测评
分层作业
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•1
★教学目标★
学习指南
1．了解圆周角的概念，理解圆周角定理；
2．熟练掌握圆周角定理并灵活运用．
★情景问题引入★
如图是一个圆柱形海洋馆的横截面示意图，甲、乙、
丙、丁四位同学所站的位置如图所示．
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•4
4．圆内接四边形的性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形 叫做圆内接多边形． 多边形的外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆叫 做这个多边形的外接圆． 性 质：圆内接四边形的对角互补．
(名师整理)最新人教版数学九年级上册第24章第1节《圆》精品课件
从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的 距离等于定长r 的点组成的图形． 类比：“线段垂直平分线可以看成是到线段两个 端点的距离相等的所有点的集合”你能从集合的 角度定义圆吗
求证：A，B，C，D四个点在以点O 为圆心的同一个圆上
D
C
O
A
B
与圆有关的概念
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦，如 图中的 AC．经过圆心的弦叫做直径，如 图中的 AB．
B
O
A
C
与圆有关的概念
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
C
6.判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
练习
【1】如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由. 【解析】首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆 心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所 形成的图形就是所画的圆.
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
等弧。
应用拓展，培养能力
1．判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
×
（2）半圆是弧；
√
（3）过圆心的线段是直径；
×
（4）半圆是最长的弧；
×
（5）半径相等的两个半圆是等弧． √
应用拓展，培养能力
2．写出图中的弧、弦． A
O
B
C
2.如图,半径有:__O_A__、__O_B__、__O_C_
数学九年级上册第24章圆 课件 新人教版
解：如图，作点 A 关于 MN 的对称点 A′，连接 A′B 交 MN 于点 P， 此时 PA＋PB 的值最小，连接 OB、OA′.∵PA＝PA′， ∴PA＋PB＝PA′＋PB＝BA′，∵∠AMN＝30°，点 B 是 AN 弧中点， ∴∠BON＝∠AMN＝30°，∵∠AMN＝∠A′MN＝30°，OM＝OA′， ∴∠OMA′＝∠OA′M＝30°，∴∠NOA′＝∠OMA′＋∠OA′M＝60°， ∴∠BOA′＝90°，∴A′B＝ 2 OB＝4 2 ， ∴PA＋PB 的最小值为 4 2
数为(
)
B
A．70° B．55° C．45° D．35°
6．如图所示，C 为半圆上一点， AC ＝ CE ， 过点 C 作直径 AB 的垂线 CP，P 为垂足，弦 AE 交 PC 于点 D，交 CB 于点 F.求证：AD＝CD.
证明：如图，连接 AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°.∵CP ⊥AB 于点 P，∴∠B＋∠DCB＝90°，∴∠ACD ＝∠B.又∵ AC ＝ CE ，∴∠B＝∠CAD＝ ∠ACD，∴AD＝CD
知识点三 点、直线和圆的位置关系
7．(百色中考)以坐标原点 O 为圆心，作半径为 2
的圆，若直线 y＝－x＋b 与⊙O 相交，则 b 的取
值范围是( D )
A．0≤b＜2 2 B．－2 2 ≤b≤2 2
C．－2 3 <b<－2 3
D．－2 2 <b<2 2
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，2.4 cm为 半径画圆．求：
B．75°
C．70°
D．65°
10．(武威中考)如图，在 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 D 在 BC 边上，⊙D 经过点 A 和点 B 且与边 BC 相交于点 E. (1)求证：AC 是⊙D 的切线； (2)若 CE＝2 3 ，求⊙D 的半径．
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山东省日照市五莲二中2019-2019学年度第一学期人教版九年级数学上册
_
第24章_圆 单元测试卷
考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
1.下列语句中正确的是（ ）
A.长度相等的两条弧是等弧 B.平分弦的直径垂直于弦
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2.
如图， 是 的直径， 为弦， 且相交于点 ，则下列结论中不
成立的是（ ）
A.
B.
C. D.
3.如果一个扇形的弧长和半径均为 ，则此扇形的面积为（ ）
A.
B. C. D.
4.下列有关圆的一些结论：①弦的垂直平分线经过圆心；②
平分弦的直径垂直
于弦；③相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；④等弧所在的扇形面积都
相等，其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
5.
如图， 是 的直径， 是 的弦，
，则 等于（ ）
A. B. C. D.
6.
是 内一点， 的半径为 ， 点到圆心的距离为 ，通过 点、长度是
整数的弦的条数是（ ）
A. B. C. D.
7.一个点到圆的最小距离为 ，最大距离为 ，则该圆的半径是（ ）
A. 或
B.
C.
D. 或
8.下列说法中，正确的是（ ）
相等的弦所对的弧相等 圆中两条平行弦所夹的弧相等
等弧所对的圆心角相等 相等的圆心角所对的弧相等．
A. ， B. ，
C. ，
D. ，
9.
如图，在 中， ， ， ， 、 分别是 、 的中
点，则以 为直径的圆与 的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C.相离
D.无法确定
10.
用一个圆心角为
，半径为 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底
面圆半径为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
11.
已知 的直径是 ，若 是 内部的一点，则 的长度的取值范围是
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________．
12.
一个扇形的圆心角是
，弧长为 ，那么这个扇形的半径是________ ．
13.
如图， 是 的直径， 是弦，且 ，若
，则
________
．
14.
在同一平面内，已知点 到直线 的距离为 ，以点 为圆心， 为半径画
圆．若 上有且只有 个点到直线 的距离等于 ，则 的取值范围是________．
15.
如图，已知 的半径 ，弦 ，且 ，点 在 上，
则图中的阴影部分的面积是________．
16.
水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 ，其中水面宽
，则截面上水的最大深度是________．
17.
如图，量角器外沿上有 、 两点，它们的读数分别是
、 ，则 的度
数为________度．
18.
如果圆柱的高为 ，底面半径为 ，那么这个圆柱的侧面积是
________
19.
如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转
后得到
，点 经过的路径为弧 ，则图中阴影部分的面积是________．
20.
如图， 中，
， ， ， 是线段 上的
一个动点，以 为直径作 分别交 、 于 、 ，连接 ，当线段 长
度取最小值时， ________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
21.如图，有一座石拱桥的桥拱是以 为圆心， 为半径的一段圆弧．
请你确定弧 的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证
明）
如果已知石拱桥的桥拱的跨度（即弧所对的弦长）为 米，拱高（即弧的中
点到弦的距离）为 米，求桥拱所在圆的半径．
22.
一个圆柱形容器的内半径为 厘米，里面盛有一定高度的水，将一个长 厘
米，宽 厘米的长方体金属块完全淹没，结果容器内的水升高了 厘米（没有溢
出），问这个金属块的高是多少厘米？ 的取值
23.
如图，已知 ，线段 与 交于 ， 两点，且 ．试比较线段
和 的大小，并说明理由．
24.
如图，等腰直角三角形 的斜边 ， 是 的中点，以 为圆心的半
圆分别与两腰相切于点 ， ，求图中阴影部分的面积．
25.
如图所示， 、 分别是弧
、
的中点， 交 于 、交 于 ．求证：
．
26.已知 是 的直径，弦 ，垂足为 ，
若半径为 ， ，求 及 的长度．
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若
，求 的度数．
答案
1.D
2.D
3.D
4.B
5.D
6.D
7.A
8.C
9.B
10.D
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.桥拱所在圆的半径为 ．
22.这个金属块的高是 厘米．
23.解：线段 ．理由如下：
如图，过 作 ，点 为垂足，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
24.解：如图，
连接 ， ．
∵
，
，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
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∴阴影部分的面积 大三角形的面积-扇形的面积
．
25.证明：连接 ， ，∵
是
中点， 是
中点，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
而 ， ，
∴ ．
∴ ．
26.解： ∵ 是 的直径，弦 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵
，
∴ ，
∴ ，
∵
，
∴ ； ∵ 是 的直径，弦 ，
∴
，
∴ ，
∵
，
∴
．