考研数学 微积分 辅导上
高数微积分公式+三角函数公式考研
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
微积分人大修订本同步辅导与习题精解
微积分人大修订本同步辅导与习题精解
《微积分人大修订本同步辅导与习题精解》是一本以微积分学科为主要内容的教材，全书分为同步辅导部分和习题精解部分，其中同步辅导部分涉及微积分的基础知识，让读者掌握曲线的参数方程、变换、极限、导数和积分等概念；习题精解部分全面而深入地讲解了本书的全部习题，使读者能够掌握微积分的实践操作和实际应用。
该书以复旦大学数学系教授常书先生和人大附中微积分教研组
其他成员的多年教学和科研经验为基础，采用先进的学习辅导理论和教学方法，全面介绍了微积分学科的知识，是一本与教材紧密相关、着重突出实践操作能力和实际动手能力的精品读物。
该书针对1997年《高等数学人大修订本》提出的基本微积分概念，深入讲解了曲线的参数方程、变换、极限、导数和积分的概念，详细讲解了各种变换和定理的推导过程，使读者能够掌握给定定义和定理的概念，并能够熟练使用；同时，书中的习题涵盖了微积分学科的全部内容，深入浅出地讲解了各章习题的解题思路和注意事项，让读者能够更清楚地掌握微积分的实践操作和实际应用。
另外，本书还收录了详尽而全面的参考答案，对习题的解答进行了深入的指导，让读者能够更快更准确地掌握微积分的基本概念和实际应用，可作为全国高校中高一、高二学生学习微积分的专业和必修教材，也可作为考研应考者及其他学习该学科重要参考书籍。
总之，《微积分人大修订本同步辅导与习题精解》是一本以微积分学科为主要内容的教材，涵盖了微积分学科的全部内容，既有深入
浅出的基础理论教学，又有详尽而全面的习题解答，可作为本科生或考研应考者学习微积分的宝贵参考资料。
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
考研数学备考各个阶段的复习建议及资料
考研数学备考各个阶段的复习建议及资料考研数学备考各个阶段的复习建议及资料推荐数学是一个比较抽象的学科，复习起来并不容易，所以基础差的同学一定要早早地开始复习。
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考研数学备考阶段复习意见和资料基础阶段(现在——20xx.6)基础阶段的主要任务是复习基础知识，掌握基本解题能力。
主要工作是把课本上的重要公式、定理、定义概念等熟练掌握，将课本例题和习题研究透彻。
复习完基础知识之后要做课后习题，进行知识巩固，确保能够准确、深刻地理解每一个知识点。
【切忌】1.先做题再看书。
2.做难题。
这一阶段不易做难题。
难的题目往往会打击考生基础阶段复习的信心，即使答案弄懂了也达不到复习的效果。
【复习建议】1.以教材中的例题和习题为主，不适宜做综合性较强的题目。
做习题时一定要把题目中的考点与对应的基础知识结合起来，达到巩固基础知识的目的，切忌为了做题而做题。
2.在18考研大纲出来之前，不要轻易放弃任何一个知识点。
在基础复习阶段放弃的知识点，非常有可能成为后期备考的盲点，到最后往往需要花更多的时间来弥补。
3.准备一个笔记本，用来整理复习当中遇到过的不懂的知识点。
弄懂后，写上自己的理解，并且将一些易出错、易混淆的概念、公式、定理内容记录在笔记本上，定期拿出来看一下，避免遗忘出错。
4.对于基本知识、基本定理和基本方法，关键在理解，并且存在理解程度的问题。
所以不能仅仅停留在“看懂了”的层次上。
对一些易推导的定理，有时间一定要动手推一推;对一些基本问题的描述，特别是微积分中的一些术语的描述，一定要自己动手写一写。
这些基本功都很重要，到临场考试时就可以发挥作用了。
PS：复习不下去的时候建议看看数学视频。
【基础阶段复习教材】数学考试大纲：可先对照17考研大纲复习，一般变动不大。
高数：同济版，讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。
武忠祥教授高等数学考研第二三章
x
lim
______.
x0 f ( x02x) f ( x0 x)
【1】
【例 2】(2011年2,3）已知 f ( x) 在 x 0 处可导，且 f (0) 0,
则
lim
x0
x2
f
(
x) 2 x3
f
(
x3
)
（A） 2 f (0).
（B） f (0).
（C） f (0).
（D） 0.
【例3】（2013年，1）设函数 y f ( x) 由方程 y x e x(1 y)
2） ( x ) x 1
3） (a x ) a x ln a
5） (loga
x)
1 x lna
7) (sin x) cos x
4） (e x ) e x 6) (ln x ) 1
x 8) (cos x) sin x
9) (tan x) sec2 x
10) (cot x) csc2 x
第二章 导 数 与 微 分
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考试内容概要
（一）导数与微分的概念
1. 导数的概念
定义1(导数)
f ( x0 )
lim y lim x0 x x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) x0
f ( x0 ) 0 定理9（极值的第一充分条件）
设 f ( x) 在 U( x0 , ) 内可导,且 f ( x0 ) 0（或 f ( x) 在 x0 处连续）
（1）若 x x0 时， f ( x) 0; x x0 时， f ( x) 0, 则 f 在 x0 处取极大值.
考研数学三(微积分)模拟试卷60(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷60(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二元函数其中m，n为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则m，n需满足( )A．m≥2，72＜2B．m≥2，n≥2C．m＜2，n≥2D．m＜2，n＜2正确答案：B解析：当(x，y)沿y=kx(k≠0)趋向点(0，0)时，当m≥2，n≥2时，k取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续．又因为同理可得f’y(0，0)=0，故偏导数存在．当n＜2时，有n=1，因而，函数f(x，y)在(0，0)处连续．同理，当m＜2时，函数f(c，y)在(0，0)处连续．综上，应选(B)．知识模块：微积分2．函数z=f(x，y)=在(0，0)点( )A．连续，但偏导数不存在B．偏导数存在，但不可微C．可微D．偏导数存在且连续正确答案：B解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手．知识模块：微积分3．函数z=x3+y3一3x2一3y2的极小值点是( )A．(0，0)B．(2，2)C．(0，2)D．(2，0)正确答案：B解析：由=3y2一6y=0，可得到4个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0)．在(0，2)点和(2，0)点，均有AC—B2＜0，因而这两个点不是极值点．在(0，0)点，AC—B2=36＞0，且A=一6＜0，所以(0，0)点是极大值点．在(2，2)点，AC—B2=36＞0，且A=12＞0，所以(2，2)点是极小值点，故选(B)．知识模块：微积分4．函数y=f(x，y)在点(x0，y0)处连续是它在该点偏导数存在的( )A．必要而非充分条件B．充分而非必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件正确答案：D解析：在多元函数中，一点连续与一点可偏导无必然联系．知识模块：微积分5．函数( )A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：C解析：当xy≠0时，≤|x|+|y|，当(x，y)→(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为0．知识模块：微积分6．设函数，则点(0，0)是函数z的( )A．极小值点且是最小值点B．极大值点且是最大值点C．极小值点但非最小值点D．极大值点但非最大值点正确答案：B解析：由极值点的判别条件可知．知识模块：微积分填空题7．设=________．正确答案：一sin θ解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得u=cosθ，知识模块：微积分8．设=________．正确答案：1解析：f’x(0，1)= 知识模块：微积分9．设f可微，则由方程f(cx一ax，cy—bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足az’x+bz’y=________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f’1.(cdx—adz)+f’2.(cdy—bdz)=0，即知识模块：微积分10．设函数z=z(x，y)由方程sin x+2y—z=ez所确定，则=________．正确答案：解析：方程两端对x求偏导数知识模块：微积分11．函数f(x，y，z)=-2x2在x2一y2一2z2=2条件下的极大值是________．正确答案：一4解析：由拉格朗日乘数法即得．知识模块：微积分12．函数的定义域为________ ．正确答案：解析：知识模块：微积分13．设z=esin xy，则dz= ________ ．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：z’x=esinxycos xy.y，z’y=esinxycos xy.x，则dz=eesinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021考研-高数0基础课-第2章导数与微分-第4节隐函数及参数方程求导
求摆线在
处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
现以每秒
给容器中加水.试求
秒时水面上升的速率.
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :
适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式 2）等式两端对 t 求导
作业 P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.
第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参 数方程确定的函数的导数
主讲 武忠祥 教授
一、隐函数的导数 显函数： 隐函数：
一般的 例1 求由方程
确定的隐函数
的导数.
例2 设
由
所确定，求
例3 设
求.
例4 设
求.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设
在
上可导，
，则
若
二阶可导，则
例5 设
求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
考研数学三微积分-试卷2_真题-无答案
考研数学三（微积分）-试卷2(总分56,考试时间90分钟)3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f"(x)|≤|f(x)|．证明：f(x)一=0，x∈[x，1]．2. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ一η=(ea+eb)[f"(η)+f(η)]．3. 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且=一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．4. 一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．5. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：|f"(x)|≤(x∈[0，1])．设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：6. 对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf"[θ(x)x]；7.8. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(a)=f"(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得9. f(x)在[1，1]上三阶连续可导，且f(一1)=0，f(1)=1，f"(0)=0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f""(ξ)=3．10. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f"(b)|≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．11. 写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；12. 证明：|f(c)|≤2a+．设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．13. 写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；14. 证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得15. 设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f(4)(x)|≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x"为x关于x0的对称点．16. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f"+(a)f"一(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得17. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f"+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．18. 设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．19. 设f(x)在[a，b]上连续，且f"(x)＞0，对任意的x0，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：f[λx1+(1一λ)x2]≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)．20. 设f(x)二阶可导，=1且f"(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．21. 设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f"(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x＞0)．22. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且满足k1+k2+…+kn=1．证明：f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．23. 证明：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2．24. 当x＞0时，证明：25. 设0＜a＜b，证明：26. 求由方程x2+y3一xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．27. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f"(0)=f(1)=f"(1)=0．证明：方程f"(x)=f(x)=0在(0，1)内有根．28. 设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．。
考研高数讲解新高等数学上册辅导讲解第一章上课资料
第一章函数与极限第 1 页第一节映射与函数一、集合常用数集：自然数集：整数集：有理数集：实数集：开区间：闭区间：半开区间：；邻域：去心邻域：二、函数定义：都有唯一与之对应，记为。
三、函数性质讨论函数：，讨论区间：1、有界性有界：假设，使得，称在区间上有界无界：对，总，使得，那么称在区间上无界上界、下界：假设，使得，，称在区间上有上界；假设，使得，，称在区间上有下界定理：假设在区间上有界在区间上有上界也有下界。
2、单调性严格单调增〔减〕：假设，且，恒有广义单调增〔减〕：假设，恒有，3、奇偶性偶函数：奇函数：常见奇函数：等常见偶函数：等4、周期性周期函数：，对，有，且，那么称为周期为周期函数。
常见周期函数：等【例1】〔87二〕是〔〕（A）有界函数. 〔B〕单调函数.〔C〕周期函数. 〔D〕偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数设定义域为，定义域为，值域为，且，在定义域上有复合函数。
【例2】〔88一二〕，且，求并写出它定义域.2、反函数将函数称为直接函数，函数称为反函数。
与图形关于直线对称。
五、初等函数第二节数列与函数极限一、数列极限定义数列：，，称为整标函数。
其函数值：叫做数列〔序列〕。
数列每一个数称为项，第项称为数列一般项。
简记数列为数列极限：已给数列与常数，如果对于，都，使得对于，不等式恒成立，那么称当时，以为极限，或收敛于，记为或。
反之，假设无极限，说发散。
二、函数极限定义〔1〕：设函数在内有定义，为一常数，假设对于，都，使有，那么称当时，以为极限，记为或。
单侧极限：左极限：。
右极限：定理：〔2〕：设函数在充分大时有定义，为一常数，假设对于，都，使都有，那么称当时，以为极限，记为或。
单侧极限：；定理：【例1】设〔为常数〕，求值，使得存在。
三、极限性质性质1 〔极限唯一性〕数列——假设存在，那么极限值是唯一。
函数——假设存在，那么其极限值是唯一。
性质2 〔有界性〕数列——如果收敛，那么一定有界。
考研数学(二)考试大纲解析(多元函数微积分学)【圣才出品】
2y s2
2z x2
x s
2
2
2z xy
x s
y s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
z y
2y s2
2z t 2
2z x2
x t
2
2
2z xy
x t
z z x z y s x s y s z z x z y t x t y t
（2）二阶偏导数
多元复合函 数一阶、二
阶偏导数
2z s2
s
z x
x s
z x
s
x s
s
设二元函数 f 在有界闭区域 D R2 上连续，若 P1 ， P2 为 D 中任意两点，且
f (P1) < f (P2 ) ，则对 任何满 足不 等式 f (P1) < u < f (P2 ) 的实数 u ，必存 在点
P0 D ，使得 f (P0 ) = u ．
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x1, x2, , xn 称为自变量， u 称为因变量．当 n≥2 时，n 元函数就称为多元函数．
偏导数 全微分
z＝f(x，y)定义在
D
上， (x0, y0) D ，若 lim x0
f
(x0 x,
y0) x
f
(x0, y0)
存在，则称此极限为 z＝f（x，y）在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记作