高等数学：第三讲 极限的性质
高等数学极限与连续性知识点梳理
高等数学极限与连续性知识点梳理在高等数学的学习中，极限与连续性是极为重要的概念，它们是后续学习微积分等知识的基础。
下面我们来对这部分知识点进行详细的梳理。
一、极限的概念极限是描述函数在某个过程中变化趋势的数学概念。
通俗地说，就是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的一个确定的数。
比如，考虑函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，分母趋近于 0 ，直接代入会导致无意义。
但通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，就可以发现当$x$趋近于 1 时，函数值趋近于 2 ，这就是极限的一个简单例子。
极限的定义有多种形式，常见的有$＼lim_{x ＼to a} f(x) ＝ L$，表示当$x$无限接近$a$时，＄f(x)＄的极限为$L$。
二、极限的计算方法1、代入法对于一些简单的函数，直接将趋近的值代入函数中计算极限。
但要注意分母不能为 0 。
2、化简法通过代数运算、约分、有理化等方法将函数化简，然后再求极限。
3、重要极限（1）＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$（2）＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$利用这两个重要极限，可以通过变形和代换来计算很多复杂的极限问题。
4、洛必达法则当遇到$＼frac{0}｛0}＄或$＼frac{＼infty}｛＼infty}＄型的极限时，可以使用洛必达法则，即对分子分母分别求导，然后再求极限。
三、极限的性质1、唯一性如果函数存在极限，那么这个极限是唯一的。
2、局部有界性如果函数在某个点的极限存在，那么在这个点的某个邻域内，函数是有界的。
3、局部保号性如果函数在某个点的极限大于 0 （或小于 0 ），那么在这个点的某个邻域内，函数值大于 0 （或小于 0 ）。
四、函数的连续性函数在某一点连续，意味着当自变量在该点的变化很小时，函数值的变化也很小。
具体来说，函数$f(x)＄在点$x_0$处连续，需要满足三个条件：1、函数$f(x)＄在点$x_0$处有定义；2、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x)＄存在；3、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在其定义域内的每一点都连续，就称该函数为连续函数。
高等数学极限公式汇总
高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。
极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。
一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。
2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。
（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。
（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。
3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。
（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。
高等数学第3章第1节函数极限的概念.
第三章函数极限§1函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势．此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即．但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、时函数的极限1．引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势．我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定义定义１设为定义在上的函数，Ａ为实数．若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有, 则称函数当时以Ａ为极限．记作或.3．几点注记（1）定义１中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n．（2）的邻域描述：当时，（3）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域．“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内．如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内．（4）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，或，或．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：当时，，当时，．（５）推论：设为定义在上的函数，则．４．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例１证明.例２证明１）；２）.二、时函数的极限１．引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ．本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，．现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列．先看下面几个例子：例１.（是定义在上的函数，当时，）例２.（是定义在上的函数，当时，）例３.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当时，的变化趋势．我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了．即对，当时，都有．此即．２．时函数极限的定义定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.3．说明如何用定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的定义的几点说明：（１）是结论，是条件，即由推出．（２）是表示函数与Ａ的接近程度的．为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的．这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了．以便通过寻找，使得当时成立．这即的第二特性——暂时固定性．即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色．也即的第三个特性——多值性；（）(3 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小．但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的．这即的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”．（５）定义中的不等式；．从而定义２，当时，都有，使得．（６）定义的几何意义．例1．设，证明.例2．证明１）；２）.例3．证明.例4．证明.练习：１）证明; ２）证明.三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论在时的极限．要在的左右两侧分别讨论．即当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念．２．单侧极限的定义定义３设函数在内有定义，Ａ为定数．若对任给的，使得当时有, 则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作或或．类似可给出左极限定义（，，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限．３．例子例5讨论在的左、右极限．例6讨论函数在处的单侧极限．４．函数极限与的关系．定理３.１.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知不存在．２），，可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3，7。
高数极限讲解
高数极限讲解高等数学中的极限是一个重要的概念，它在微积分中扮演着重要的角色。
在这篇文章中，我将对高数极限进行详细讲解。
极限是数学中的一个概念，用来描述一个函数在某一点附近的行为。
它可以帮助我们研究函数的性质和行为规律。
在讨论极限时，我们通常会使用一些符号来表示。
比如，当自变量趋近于某个值时，我们会使用“→”来表示。
例如，当自变量x趋近于a时，我们会写作x→a。
在极限的讨论中，我们常常会遇到无穷大和无穷小的概念。
当函数f(x)在某一点x=a的左（右）侧取值越来越大（小）时，我们称f(x)在x=a处的极限为正无穷大（负无穷大）。
而当函数f(x)在某一点x=a的附近取值越来越接近0时，我们称f(x)在x=a处的极限为无穷小。
接下来，我将通过几个例子来说明极限的一些基本概念。
例子1：计算极限考虑函数f(x) = 2x + 3。
当x趋近于2时，我们可以通过代入计算得到f(x)的极限为7。
这个例子中，函数在x=2处的极限存在，并且等于7。
例子2：无穷大与无穷小考虑函数f(x) = 1/x。
当x趋近于0时，函数的取值越来越大，我们称之为正无穷大。
而当x趋近于正无穷大时，函数的取值越来越接近0，我们称之为无穷小。
例子3：极限的性质极限具有一些特性和性质。
例如，如果一个函数的极限存在，那么它在该点处的取值必须等于其极限。
这个性质被称为极限的唯一性。
另外，如果两个函数在某一点处的极限存在且相等，那么它们的和、差、积和商的极限也存在且相等。
除了以上的例子，极限还可以应用于解决一些实际问题。
例如，在物理学中，我们可以通过极限来计算速度的变化率，从而得到加速度。
在经济学中，我们可以通过极限来描述需求和供给的变化趋势。
在工程学中，我们可以通过极限来计算电路中的电流和电压。
总结一下，高等数学中的极限是一个重要的概念，用来描述函数在某一点附近的行为。
它可以帮助我们研究函数的性质和行为规律。
通过极限的计算和性质，我们可以解决一些实际问题。
高等数学中的极限理论
高等数学中的极限理论在高等数学中，极限理论是一门重要的数学概念和工具。
它在数学的各个领域中都有广泛的应用，包括微积分、数值分析、概率论等。
通过研究极限，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和定理，也可以解决一些实际问题。
1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数或数列在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们通常用极限来刻画一些无法直接计算的量或情况。
极限的定义可以用数列的极限来说明。
对于数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么我们就说数列{an}的极限是a，记作lim(an)=a。
极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个数列的极限存在，那么它只能有一个极限值。
其次，如果一个数列的极限存在，那么它一定是有界的。
这意味着，无论数列的前面有多少项，我们总能找到一个上界和下界，使得数列的所有项都在这个上下界之间。
2. 极限的计算方法在实际计算中，我们常常需要用到一些方法来计算极限。
这些方法包括代数运算法则、夹逼定理、洛必达法则等。
代数运算法则是最基本的计算极限的方法之一。
根据代数运算法则，我们可以对极限进行四则运算、乘法法则、除法法则等。
通过这些法则，我们可以将复杂的极限计算化简为简单的运算。
夹逼定理是一种常用的计算极限的方法。
夹逼定理的基本思想是，如果一个函数在某一点附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个共同的极限值。
洛必达法则是一种重要的计算极限的方法。
它适用于求解一些特殊的极限，例如0/0型和∞/∞型。
洛必达法则的核心思想是，如果一个函数的极限是一个不定型，那么我们可以对这个函数进行导数运算，然后再计算导函数的极限。
3. 极限的应用极限理论在数学的各个领域中都有广泛的应用。
在微积分中，极限是微积分的基础，它可以用来定义导数和积分。
高等数学第七版1-3函数极限
解: 利用定理 3 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
4x 1 9 , lim4x 1 9 x2
13
3. 左、右极限(单侧极限)
例如,
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
y 1 x y
x0
x0
1
lim f ( x) 1.
O
x0
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
x从左侧无限趋近 x0 , 记作 x x0—-;
x从右侧无限趋近 x0 ,
记作
x
x+. 0
y x2 1 x
14
左极限 0, 0, 使得 x0 x x0时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A x x0
或
f ( x0 ) A.
右极限 0, 0,使得 x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A x x0
lim(3x 1) 5 x2
10
例3 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
分析： 函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点
是否有极限并无关系．
证
x2 1 f (x) A x 1 2 x 1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x x0
时,
成立 ,
故
lim
xx0
x
x0
.
这是证明吗？
非 常 非 常
同济大学高等数学第七版1-3函数极限
如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得 x 满足不等式 x X 时,所对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式
x x0
证明 lim4 x 1 9
x2
证 0, 由于 4 x 1 9 4 x 2 要使 4 x 1 9 解不等式, 解出 x 2 ( ) 只要 x 2 , 可取 4 4 当0 x 2 时, 有
4 x 1 9 ,
lim 4 x 1 9
x2
3. 左、右极限(单侧极限) 例如,
y 1 x y
y x2 1
1 x, x 0 设 f ( x) 2 x 1, x 0
lim f ( x ) 1.
x0
1
O
x
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
y
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x2 x 1 1 求 f ( x) x 1 在 x = 1 处的左、右极限. 2 x 1 x 1
f ( x) A ,
那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
函数极限的性质和收敛准则
§1.6 函数极限的性质和收敛准则上一节我们引入了六种函数极限，即 ⑴ )(lim x f x +∞→ ⑵ )(lim x f x −∞→ ⑶ )(lim x f x ∞→⑷ )(lim x f ax +→ ⑸)(lim x f ax −→ ⑹ )(lim x f ax → 它们具有与数列极限相类似的性质和收敛准则，证明方法也相类似。
我们这里仅就第⑹种类型的极限作为代表来叙述其某些性质并证明其中一些，其他五种情形的性质及证明只要相应修改一下即可。
一、函数极限的性质1Th （唯一性）如果)(lim x f ax →存在，则必定唯一。
证一：设)(lim x f ax →A =，B x f ax =→)(lim 。
则,0,01>∃>∀δε当1||0δ<−<a x 时，ε<−|)(|A x f (1),02>∃δ当2||0δ<−<a x 时，ε<−|)(|B x f (2)取{}2,1min δδδ=，则当δ<−<a x 0时（1）和（2）同时成立。
因而有ε2)()())(())((<−+−≤−−−=−B x f A x f B x f A x f B A ……（3） 由ε的任意性，（3）式只有当0=−B A 时，即B A =时才成立。
证二：反证，如)(lim x f ax →A =，B x f ax =→)(lim 且B A >，取20BA −=ε，则0>∃δ，使当δ<−<a x 0时，00)(,)(εε<−<−B x f A x f 即2)(200BA B x f A B A +=+<<−=+εε 矛盾。
2Th （局部有界性）如果)(lim x f ax →存在，则()U a ∃o使)(x f 在()U a o内有界。
证：设b x f ax =→)(lim ，则对10=ε，00>∃δ，当00δ<−<a x 时有1)(<−b x f从而()()1f x f x b b b ≤−+<+令b M +=1，则当00δ<−<a x 时有 ()f x M <。
极限的定义与基本性质
极限的定义与基本性质极限在数学中是一个十分重要的概念，被广泛应用于微积分、数学分析等领域。
极限主要是描述函数在某一点上的特定性质，这个特定的性质可以用一些简单的公式来表示。
定义对于实数序列或函数序列来说，如果它的极限值存在，我们就称这个序列或函数序列是有极限的。
在函数中，极限的定义表述如下：对于一个函数f(x)，如果x从c点的左侧或者右侧越来越接近于c值时，f(x)也相应地越来越接近于一个数L，那么我们称L 为f(x)当x趋向于c时的极限，记作：lim x->c f(x) = L.其中 L 可以是实数、负无穷大或正无穷大。
基本性质极限有以下几个基本的性质：(1) 有限性原理：如果极限的值存在，那么它一定是唯一的。
这是因为如果有两个极限值，那么函数在这两个极限值处的取值是不同的。
(2) 局部有界性原理：如果函数f(x)在某一点c的极限存在，那么必定存在一个邻域，使得除了c点外这个邻域内的所有函数值都是有界的。
(3) 存在性原理：如果函数f(x)在某一点c的左侧和右侧的极限都存在，并且这两个极限值相等，那么f(x)在这个点的极限也存在。
(4) 夹逼定理：如果存在两个函数g(x)和h(x)，它们在某个点c的左侧和右侧都满足：g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x) 和 h(x)的极限都等于L，那么f(x)的极限也将是L。
(5) 算术性原理：如果存在函数f(x)和g(x)，它们在某一点c的极限都存在，并且L和M是它们的极限值，那么：① f(x) ± g(x) 的极限存在且等于 L ± M。
② f(x)×g(x) 的极限存在且等于 L × M。
③ k×f(x) 的极限存在且等于 k×L，其中 k 是任意的实数。
④如果 M 不等于0，而且 f(x) 与 g(x) 的极限也都存在且等于L 和 M ，则 f(x)/g(x) 的极限L/M 也存在。