第8讲 三角函数的图象与性质
三角函数的图像和性质
高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像一．基本初等函数图像：“五点法”和“两线一点法”如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ． 3．函数sin2xy =的最小正周期是（ ） (A)2π(B)π (C) 2π (D) 4π 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是( )(A)]3,0[π (B)]127,12[ππ (C) ]65,3[ππ (D)],65[ππ 5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是（ ）()2A - ()B ()1C - ()1D6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是__________________.8． 函数sin y x x =在区间[0,2π]的最小值为______.10．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。
三角函数的图像与性质考点及经典例题讲解
三角函数的图象与性质考纲解读 1.结合y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，进行简单的变换；2.利用y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 在一个周期内的性质，求解简单的三角方程、不等式、周期性等．[基础梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，()π，－1，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )且x ≠k π＋(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫作周期函数，非零常数T 叫作这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．[三基自测]1．函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案：B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案：D3．f (x )＝cos 2x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[0,1] C ．[－1,0] D ．[0，π]答案：A4．(必修4·习题1.4B 组改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 __________________． 答案：⎝⎛⎭⎫π8＋k 2π，58π＋k2π，k ∈Z 5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝3cos x －34的最小正周期为__________．答案：2π[考点例题]考点一 有关三角函数的定义域、值域、最值|模型突破角度1 单调性法求三角函数的最值(值域)[例1] 已知函数f (x )＝(cos x －sin x )·sin 2xcos x .(1)求函数f (x )的定义域及最小正周期； (2)当x ∈⎝⎛⎦⎤－π2，0时，求函数f (x )的最值． [解析] (1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }．因为f (x )＝(cos x －sin x )·2sin x ·cos xcos x＝2sin x cos x －2sin 2x ＝sin 2x －(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π2<x ≤0，所以－3π4<2x ＋π4≤π4.令－3π4<2x ＋π4<－π2，则－π2<x <－3π8；令－π2≤2x ＋π4≤π4，则－3π8≤x ≤0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，－3π8上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－3π8，0上单调递增． 所以当x ＝－3π8时，函数f (x )取得最小值，所以f (x )min ＝－2－1.因为f (0)＝2sin π4－1＝0，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π＋π4－1＝－2，所以f (x )max ＝0. 所以函数f (x )的最大值为0，最小值为－2－1. [模型解法]角度2 换元法求三角函数的最值(值域)[例2] 已知x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，则函数f (x )＝－cos 2x －sin x sin π6＋cos 2x ＋1716的最小值为__________．[解析] 因为f (x )＝－cos 2x －sin x sin π6＋cos 2x ＋1716，所以f (x )＝2sin 2x －12sin x ＋cos 2x ＋116＝sin 2x －sin x 2＋1716＝⎝⎛⎭⎫sin x －142＋1. 设t ＝sin x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以12≤t ≤1.又函数y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增， 所以当t ＝12时，y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1取得最小值y min ＝⎝⎛⎭⎫12－142＋1＝1716， 即函数f (x )的最小值为1716.[答案]1716[模型解法][高考类题](2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__________． 解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：1考点二 三角函数的性质及应用|方法突破命题点1 三角函数的单调性[例3] (1)(2018·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，2π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫2π3，π(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3(3)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94D.⎣⎡⎦⎤32，74[解析] (1)因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，所以2×π3＋φ＝2k π＋π2， 解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2可得k π＋π3<x <k π＋5π6，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π3，5π6. (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. (3)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，k ∈Z ，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.[答案] (1)B (2)B (3)D [方法提升]1．求三角函数单调区间的方法2.[母题变式]1．若本例(2)的条件改为函数f (x )＝m sin ωx (其中ω>0，m >0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，则ω的取值范围是__________．解析：因为ω>0，m >0， 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎡⎦⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . 因为f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，所以⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω. 所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. 答案：⎝⎛⎦⎤0，34 2．将本例(3)改为：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 则g (x )的单调递增区间为__________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间， 只需求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间． 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .故所给函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2命题点2 三角函数的奇偶性、对称性、周期性[例4] (1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2(3)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(4)(2018·湘西自治州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[解析] (1)由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.(3)由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.(4)由题意得2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x －2π)＝sin 2x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π6＝12. [答案] (1)C (2)C (3)B (4)A [方法提升][跟踪训练]3．(2018·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6D ．－π3解析：由已知得f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3为偶函数，由诱导公式可知φ＋π3＝k π.(k ∈Z ) 当k ＝0时，φ＝－π3.答案：D4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：已知函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，则其对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9，故选A.答案：A5．同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6解析：对于选项A ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的最小正周期T ＝2π12＝4π，故不满足①；对于选项B ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，k ∈Z 可解得其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ，故不符合③；对于选项C ，令y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝sin π2＝1，为最大值，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称，且其周期T ＝2π2＝π，具有性质①、②，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得：x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ，从而当k ＝0时，有函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎝⎛⎭⎫－π6，π3上是增函数，具有性质③，符合题意．对于选项D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的最小正周期T ＝2π12＝4π，故不满足①. 答案：C[真题感悟]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析：依题意得，函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝2π2＝π，选C.答案：C2．(2017·高考山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．πD ．2π解析：y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：由题意知：⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，则ω＝2k ＋1，其中k ∈Z .因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤12×2πω，ω≤12.接下来用排除法．若ω＝11，φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4， f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，若ω＝9，φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减．答案：B。
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)余弦函数y=cosx x [0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函 数 性 质例作以下函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求知足以下条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数概念：关于函数()y f x =，若是存在一个非零常数T ，使适当x 取概念域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做那个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一样称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
高三文科数学总复习课件：三角函数的图像与性质
递减区间.
第二十一页，编辑于星期日：二十二点 四十八 分。
备选例题.已知函数f (x) sin(x )( 0, 0 ) 是R上的偶函数，其图象关于点M (3 , 0)对称，且在
4
区间[0, ]上是单调函数，求和的值.
2
第二十二页，编辑于星期日：二十二点 四十八 分。
(方法一) 由于f (x)是R上的偶函数，所以f (x) f (x),
（其中 0） 6
6
2
（1）求函数 f (x) 的值域；
（2）若函数 y f (x)的图象与直线 y 1
的两个相邻交点间的距离为 ，求函数
y f (x)的单调增区间.
2
第十一页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
点评 研究三角函数 y Asin(x )( A 0, 0)
的单调性，基本思想是把 x 看作
f
6
1.
(1)求实数a的值；
(2)求f (x)的单调区间、周期和最值.
第十三页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
练习2.已知函数
f (x) cos(2x ) 2sin(x ) sin(x ).
3
4
4
（1）求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f (x)在区间[ , ]上的值域.
的1 图象，
2
第八页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
第九页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
类型二 三角函数的图象与性质
定义域 周期性 奇偶性
值域、最值 单调性
对称性
第十页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
例1
设函数 f (x) sin(x ) sin(x ) 2 cos2 x，
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质Ⅰ、基础知识精要：一、正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像二、三角函数的单调区间：)(Z k ∈x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-，递减区间是[]πππ+k k 22，，tan y x =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，， cot y x =的递减区间是()πππ+k k ，三、函数sin()y A x k ωϕ=++00A ω>>（，）平衡位置是()()2A k k A k ++-=+=最大值最小值2，最小值是k A -，振幅A =()()2A k k A +---=最大值最小值2，周期是512T x x πω==-()()213142x x x x =-=-，频率是12f T ωπ==，相位是ϕω+x ，初相是ϕ，令1230,,,2x x x πωϕωϕωϕπ+=+=+=453,22x x πωϕωϕπ+=+=解得的ϕ即为所求，关键是从“五点法”中的第一个零点（平衡点）,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，从图象的升降情况找准该点的位置；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线y k =的交点都是该图象的对称中心四、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换移也常出现无论哪种变形，切记每一个变换总是对x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象五、由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置 六、对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 tan y x =的对称中心为2(,0)k π.七、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间. 八、求三角函数的周期的常用方法：经过变形化成“sin()y A x k ωφ=++、cos()y A x k ωφ=++，tan()y A x k ωφ=++”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法 九、判断三角函数的奇偶性()Z ∈k①y = sin (x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔．②y = sin (x ＋φ)是偶函数2k πϕπ⇔=+．③y =cos (x ＋φ)是奇函数2k πϕπ⇔=+．④y = cos (x ＋φ)是偶函数k ϕπ⇔=．十、五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是由ωx +ϕ取0、2π、π、2π3、2π来求. Ⅱ、典型例题精讲1. （2011课标5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x=上，则cos 2θ= A ．45-B ．35-C ．35D ．45解析：本题考查三角公式和直线斜率定义，属于容易题．易知tan θ=2，cos θ=51±.由cos2θ=22cos 1θ-=35-．解法2：tan θ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.选A ． 2．（08全国Ⅰ 8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位解：55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像.选A ．3．（01新课程）若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2解法1：利用sin cos ),m θθθϕ++其中tan nmϕ=，得),),0,,444444a b πππππππαβαβαβ=+=+∴+ <<<<<+<2sin()sin(),1))24444ππππαβαβ∴++∴++<<<1<<<1<<<a b ∴选A ．解法2：0<<<sin >0,cos >0,sin >0,cos >0,>0,>04a b παβααββ∴∴ ，221sin 2>0,1sin 2000sin 2sin 22a b ><<<<<<παβαβαβ∴=+=+∴，22，1，21<2<a <b ∴，2 1<<<a b ∴选A ．解法3：利用导数研究函数()sin cos f x x x =+在04π⎛⎫⎪⎝⎭，上的单调性．()cos sin f x x x '=- 在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒大于0，故()f x 在04π⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以()()()04f ff f παβ⎛⎫<<⎪⎝⎭，1<<<a b ∴选A ．解法4：令0,30,αβ=0=15则0001sin cos15sin 30cos30,22a b =+==+=0151<<<a b ∴（特殊值估算法）选A ．解法5：取04παβ→→，，则1,a b →，排除B 、C 、D （极限排除法）选A ．4．(07全国Ⅰ12)函数22()cos 2cos2xf x x =-的一个单调增区间是 A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解：函数22()cos 2cos2x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增函数，选A ．或者用排除法.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负.利用单调性比较函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间. 5．（08天津）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数. 令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sinπππf c f b f a ，则 A ． c a b << B ． a b c << C ．a c b << D ． c b a <<解析：5(cos)(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-=. 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ．6.（2012新课标理9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
三角函数的图像及性质
正弦函数的图象和性质正弦函数的图象和性质要点一：正弦函数性质类型一：正弦函数定义域与值域 例1．求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域 【解析】依题意得2sin x －1＞0，即1sin 2x >，∴52266k x k ππππ+<<+（k ∈Z ），∴函数的定义域为522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭．例2．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x（2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；【解析】 （1）∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤2sin x ≤2，∴－2≤－2sin x ≤2，∴1≤3－2sin x ≤5，∴函数的值域为[1，5]．（2）∵66x ππ-≤≤，∴20233x ππ≤+≤． ∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴02sin 223x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴0≤y ≤2．∴函数的值域为[0，2]． 举一反三：【变式】 求y=cos 2x+4sin x ―2的值域． 【解析】y=cos 2x+4sin x ―2=―sin 2x+4sin x ―1 =―(sin x ―2)2+3． ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x=―1时，y min =―6；当sin x=1时，y max =2． ∴函数的值域为[－6，2]． 类型二：正弦函数单调性例3．求2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调区间．【解析】∵2sin 2sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间就是函数2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间．∴322242k x k πππππ+≤-≤+（k ∈Z ），得372244k x k ππππ+≤≤+（k ∈Z ）．∴函数2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间为372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．举一反三：【变式】求函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间．【解析】已知函数sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．欲求该函数的单调递减区间，只需求sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间．由222232k x k πππππ-≤-≤+（k ∈Z ），解得51212k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）． 所以原函数的单调递减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．类型三：正弦函数的奇偶性 例4．判断下列函数的奇偶性：5())2f x x π=+；【解析】函数定义域为R ，且5()2s i n 2c o s 222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，显然有()()f x f x -=恒成立．∴函数5()22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数．举一反三：【变式1】()f x =； 【解析】由2sin x －1＞0，即1s i n 2x >，得函数定义域为52,266k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数． 类型四：三角函数图象的综合应用例5．（1）方程lg sin x x =的解的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）若02x π<<，则2x 与3sin x 的大小关系为（ ）A ．23sin x x >B ．23sin x x <C ．23sin x x =D ．与x 的取值有关【解析】（1） 作出lg y x =与sin y x =的图象，当52x π=时，5lg 12y π=<，5sin 12y π==，当92x π=时，9lg 12y π=>，lg y x =与sin y x =再无交点。
三角函数的图像与性质
1-
6
-
4
-
2
-
o
-1 -
-
2
4
6
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同
y
-
-
-
x
1-
6
4
-
2
x
x 2
x sin 2
0 0 0
2
1
2
3
3 2
4
2
0
-1
0
y
x y= sin ，xR 2
1
-3 -2 - o
-1
2 3
4
y=sinx，xR
x
反思总结:五点法作图的基本步骤是什么?
五点法作图的基本步骤是：列表、描点、连线
反馈训练 ： 画出下列函数的简图：
（1）y=1+sinx，x R
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx，x[0, 2]
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
问题3: 如何作出余弦函数的图像?
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
(2)y=cos2x, x R
(3) y=cos(x+ ), xR
三角函数图像与性质
图3－4－2 A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
自测后你觉得哪类题做起来困难呢？那我们一起来解决吧！
典例：
题型一三角函数的定义域和值域
(1)函数y＝ 的定义域为________．
A．向右平移 个单位B．向右平移 个单位C．向左平移 个单位D．向左平移 个单位
3．[2014·福建卷]将函数y＝sinx的图像向左平移 个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是()
A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝ 对称D．y＝f(x)的图像关于点 对称
导疑：由解析式求函数定义域应考虑________.
导学：由tanx-1 0得tanx 1所以x ________．
所以所求定义域为________.
(2)求下列函数的值域①y＝2cos2x＋2cosx②y＝3cosx－ sinx，x∈[0，π]；
导疑：二次函数给定区间如何求值域？形如y＝Asin(ωx＋φ)函数的值域？
A. B.
C. D.
2．函数f(x)＝2cos 是()
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数D．最小正周期为π的偶函数
3．函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是()
A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－
4．比较大小：sin ________sin .
A．A＝3，T＝ ，φ＝－ B．A＝1，T＝ ，φ＝
C．A＝1，T＝ ，φ＝－ D．A＝1，T＝ ，φ＝－
图3－4－3图3－4－4
三角函数的图像和性质
一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM r x==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五 点起决定作用，它们是 描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。
注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。
（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。
（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。
（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。
2、正弦曲线下面是正弦函数y sin x,x R =∈的图象的一部分：-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()3、余弦曲线利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()4、正切曲线y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx三、正弦余弦函数性质1奇偶性(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
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第八讲 三角函数的图象与性质 真题试做►——————————————————— 1．(2013·高考天津卷)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为( ) A．－1 B．－22 C.22 D．0 2．(2013·高考大纲全国卷)
若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( ) A．5 B．4 C．3 D．2
3．(2013·高考安徽卷)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋π4)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．
考情分析►——————————————————— 三角共有三部分内容，三角函数的图象及性质是其中的一个内容．对这个内容的考查，以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等作为热点内容．预计在2014年高考中，仍然会把三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的伸缩和平移等作为重点，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇，题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．
考点一 三角函数的性质 三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角恒等变换的方法与技巧的同时，又考查了三角函数的性质，难度为中、低档．
(2013·高考湖南卷)已知函数f(x)＝cos x·cos(x－π3)．
(1)求f(2π3)的值； (2)求使f(x)<14成立的x的取值集合． 【思路点拨】 (1)利用三角恒等变形公式将f(x)变形为只含一个角的一种三角函数形式后求解．(2)根据余弦函数的性质变形为关于自变量x的不等式求解．
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解． (2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若
求单调增区间，令ωx＋φ∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋
φ∈
2kπ＋π2，2kπ＋
3π
2(k∈Z)．值得注意的是，若ω<0，则需要利用诱导公式将其转换
为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再用换元法求单调区间． 强化训练1 已知函数f(x)＝3sin xcos x＋cos2x＋a. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－π6，π3]上的最大值与最小值的和为32，求a的值．
考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，高考考查的内容不外乎以下三类： (1)由函数解析式作函数的图象； (2)利用已给三角函数的图象特点，求三角函数解析式； (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换． (1)(2013·高考四川卷) 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－π2( ) A．2，－π3 B．2，－π6
C．4，－π6 D．4，π3 (2)(2013·高考山东卷)将函数y＝sin(2x ＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4
C．0 D．－π4 【思路点拨】 (1)由图象确定周期，利用T＝2πω求ω，再把(5π12，2)代入求φ；(2)利用平移规律求得解析式，再由偶函数求φ.
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ. (2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为
半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为14个周期． (3)在用图象变换解题时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现在题目中，所以必须熟练掌握，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少． 强化训练2
(2013·济南市高三模拟考试)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，0区间[－π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点( ) A．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
B．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 考点三 三角函数图象与性质的综合应用 近几年关于三角函数综合应用的高考题不断求新求异，但考查的知识方法不变，首先是化简所给式子，然后结合三角函数的性质求解相关问题． 已知函数f(x)＝sin2x＋3sin xcos x＋2cos2x(x∈R) (1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间； (2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
【思路点拨】 (1)利用恒等变换把f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后再求周期与单调区间．(2)进行平移变换时，要注意x前的系数．
本题三处较为关键：(1)三角函数式的化简；(2)单调区间的求解；(3)图象变换；这三点正好也是三角中的重要的基础内容，在这里都得到了重点考查． 提醒：在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，必要时通过诱导公式先将ω的符号化为正的．
三角函数与三类知识的交汇 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与数列、圆、线性规划、复数、方程等知识的交汇． 一、三角函数与圆的交汇 (2013·高考江西卷)
如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( ) 【解析】 圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则α＝x，如图所示，cos α2＝1－t，即cos x2＝1－t，则y＝cos x＝2cos2x2－1＝2(1－t)2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．其图象为开口向上，在[0，1]上的一段抛物线． 【答案】 B
本题巧妙地把三角函数与圆的知识相结合，弧长x因圆动而变，变中关系式不变(α＝x，cosα2＝1－t)，见证了数学中的“以静制动”，求解此类问题的关键是，充分利用图形的几何性质，建立三角函数关系式，熟练运用二次函数关系式判断其图象，求解时应注意t的范围． 二、三角函数与数列的交汇
(2012·高考上海卷)设an＝1nsin nπ25，Sn＝a1＋a2＋„＋an，在S1，S2，„，S100中，正数的个数是( ) A．25 B．50 C．75 D．100 【解析】 当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值，∴当1≤n≤100时，均有Sn>0，应选D. 【答案】 D
解决此类问题的关键：①能发现sin nπ25具有周期性；②结合1n，发现在一个“周期”内，正项的和大于其负项之和． 三、三角函数与线性规划的交汇 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为12，32，求f(θ)的值；
(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：x＋y≥1，x≤1，y≤1，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值． 【解】 (1)由点P的坐标为12，32和三角函数定义得，sin θ＝32，cos θ＝12，
故f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.
(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)，如图所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，于是0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sinθ＋π6，且π6≤θ＋π6≤ 2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f(θ)取到最大值2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f(θ)
取到最小值1. 本题的亮点是借助线性规划包装三角命题，平淡中见新奇，通过线性规划应用引来“活水”，注入活力，全题皆活，符合新课程改革要求的命题趋势．求解此类问题的关键：熟练运用二元一次不等式组表示平面区域的方法——“选点法”，直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点．准确作出可行域后，就可以借助图形直观地得出答案.