圆切线归纳总结

切线的判定归纳总结
1. 切线的判定
（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．
2. 切线长和切线长定理
（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到
圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连
线平分两条切线的夹角．
3、三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系
设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、
C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为s
r p
=，其中()12p a b c =
++．若90C ∠=︒，则()1
2
r a b c =+-．
O
O
O l
l
c
b a
c
b
a
O F E
D C
A
C
B
A
B A
4、切线的性质及判定
【例1】 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切
于点D ，求证AC 与O ⊙相切．
【例2】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：
AD 是O 的切线．
【例3】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，
AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．
【例4】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，
且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．
【例5】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，
连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；
【例6】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，
垂足为E ．
（1）求证：DE 为O 的切线；
（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．
O
C
B
O
A
D C
N M O
C
B A O
D
C
B
A
O E D C B O
D
【例7】 如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，⊙C =⊙BAD ，且BD ⊙AB 于B ．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线．
（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．
【例8】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC
的中点，连接DE ．
（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；
【例9】 如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，
连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB ⊥于点G ． （1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；
【例10】 如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于
点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线；
B
C
O
F
O
D
E
C
B
O
G E
D
A。