大学物理简明教程 (赵近芳 著) 北京邮电大学出版社 课后答案

⎟⎟⎠⎞ 2
+ ⎜⎜⎝⎛
d2 dt
y
2
⎟⎟⎠⎞2
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
v = dr dt
a = d2r dt 2
其二，可能是将 dr 与 d 2 r 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 dr 不是速度的模，
dt dt 2
dt
d2r
而只是速度在径向上的分量，同样， 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
直角坐标系中的矢量式).
解：（1）
r�
= (3t
+
� 5)i
+ (1 t2
+
3t
−
4)
� j
m
2
(2)将 t = 1, t = 2 代入上式即有
r�1 = 8�i − 0.5 �j m
(3)∵
r�2
=
� 11 j
+
4
� j
m
∆r� = r�2 − r�1 = 3 �j + 4.5 �j m
r�0 = 5 �j − 4 �j, r�4 = 17i� + 16 �j
s2
s3
1-5 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为α = 2 + 6x2 ，a 的单位为 m ⋅ s−2 ，x
的单位为 m.质点在 x＝0 处，速度为 10 m ⋅ s−1 ，试求质点在任何坐标处的速度值.
解： ∵
a = dv = dv dx = v dv dt dx dt dx
分离变量：
υdυ = adx = (2 + 6x2)dx
=
� xi
+
� yj
，
∴v� = dr� = dx i� + dy �j
dt dt dt
a�
=
d 2 r�
=
d2 x
� i
+
d2 y
� j
dt 2 dt 2 dt 2
故它们的模即为
v=
v
2 x
+
v
2 y
=
⎜⎛ ⎝
dx dt
⎟⎞ 2 ⎠
+
⎜⎛ ⎝
dy dt
⎟⎞2 ⎠
a=
a
2 x
+
a
2 y
=
⎜⎜⎝⎛
d2x dt 2
∆v� ∆t
=
v�4
− 4
v�0
=
4
=
� 1j
4
m ⋅ s −2
(6)
a� = dv� = 1�j m ⋅ s−2
dt
这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高 h m 的岸上.有人用绳子拉船靠岸，船在离岸 S 处，如题 1-4 图所示.
当人以 v0m ⋅ s −1 的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.
题 1-4 图
解： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成 θ 角，由图可知
l 2 = h2 + s2
将上式对时间 t 求导，得
2l dl = 2s ds dt dt
根据速度的定义，并注意到 l , s 是随 t 减少的，
题 1-4 图
∴
v绳
= − dl dt
= v0 , v船
= − ds dt
dt
dt dt
∵有 v = v τ�(τ�表轨道节线方向单位矢），所以
dv
式中 就是加速度的切向分量.
dt
dv� = dv τ� + v dτ�
dt dt
dt
(∵ dr�ˆ 与 dτˆ� 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dt dt
1-2 设质点的运动方程为 x = x(t ), y = y(t ) ，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出
=v
=
ds
.
dt
dt
dt
dr
只是速度在径向上的分量.
dt ∵有 r = r ˆr （式中 rˆ 叫做单位矢），则 dr = d r rˆ + r drˆ
dt dt dt
dr
式中 就是速度径向上的分量，
dt
∴ dr 与 d r 不同如题 1-1 图所示. dt dt
题 1-1 图
(3) dv 表示加速度的模，即 a� = dv� ， dv 是加速度 a 在切向上的分量.
习题 1
1-1
|
∆r
|与
∆r
有无 不同 ？ |
dr dt
|
和
dr dt
有无 不同 ？
|
dv dt
|
和
dv dt
有无 不同 ？其不 同在
哪里？试举例说明.
解：（1） ∆r 是位移的模， ∆ r 是位矢的模的增量，即 ∆r = r2 − r1 ， ∆r = r�2 − r�1 ；
dr
（2）
dr
是速度的模，即
两边积分得
wk.baidu.com
1 v2 = 2x + 2x3 + c 2
由题知， x = 0 时， v0 = 10 ,∴ c = 50
∴
v = 2 x3 + x + 25 m ⋅ s −1
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度 a＝4＋3t m ⋅ s −2 .开始运动时，x＝5 m，v＝0，
dt 2
⎡
的一部分
⎢a ⎢⎣
径
=
d2r dt 2
−
r⎜⎛ ⎝
dθ dt
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r� 在径向（即
量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r� 及速度 v� 的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。
1-3 一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为
即
v船
=
− ds dt
=
−
l s
dl dt
=
l s
v0
=
v0 cosθ
或
v船
=
lv0 s
=
(h 2
+ s 2 )1/ 2 v0 s
将 v船 再对 t 求导，即得船的加速度
a=
dv船 dt
=
s dl − l ds
dt s2
dt v0
=
−
v0s + s2
lv船
v0
=
(− s
+
l2 s
)v
2 0
=
h
2v
2 0
r=
x2
+
y2
，然后根据
v
=
dr dt
及
d2r dt 2
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，
再合成求得结果，即
v=
( dx )2 + ( dy )2 及 α = dt dt
(
d2x dt 2
)2
+
(
d2 dt
y
2
)2
.
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 r�
∴
v�
=
∆r� ∆t
=
r�4 − r�0 4−0
�� = 12i + 20 j
4
=
� 3i
+
� 5j
m
⋅
s−1
(4)
v�
=
dr�
=
� 3i
+ (t
+ 3)
� j
m
⋅
s−1
dt
则
v�4
=
� 3i
+
7
� j
m ⋅ s−1
(5)∵
v�0 = 3i� + 3 �j, v�4 = 3i� + 7 �j
a� =
x＝3t＋5， y = 1 t 2 + 3t − 4, 2
式中 t 以 s 计，x，y 以 m 计.(1)以时间 t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出 t＝1 s 时刻和 t＝2 s 时刻的位置矢量，计算这 1s 内质点的位移；(3)计算 t＝0 s 时刻到 t＝4 s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量的表示式，计算 t＝4 s 时质点的速度；(5)计算 t ＝0 s 到 t＝4 s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t＝4 s 时质点 的加速度(请把位置矢量、位 移、平均速度、瞬时速度、平均加 速度和瞬时加速度都表示成