常微分方程题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1)

一、 填空题（30%）

1、方程

(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）

。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()

n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件

是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是

'

()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是

_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％）

1、

3

()0ydx x y dy -+=

２、sin cos2x x t t ''+=-

３、若

2114A ⎡⎤

=⎢⎥

-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt

４、32(

)480dy dy

xy y dx dx

-+=

５、求方程2

dy

x y dx =+经过（0，0）的第三次近

似解

6.求1,5

dx dy

x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.

三、证明题（１０％）

１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)

一、填空题 30%

1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 的连

续函数。 2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函

数.n ，可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0

3、 如果存在常数

使得不等式

,0 L _____________对于所有

称为利普希兹常数。都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于

y 满足利普希兹条件。

4、 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21a a

5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一

解可表为)(t γ_____________-。 一、计算题40%

1.求方程的通解。26xy x y

dx dy -= 2.求程xy

e x y dx

dy =+的通解。

3.求方程t

e x x x 25'6''=++的隐式解。

4.求方程）的第三次近似解。

、通过点（002

y x dx

dy +=

二、证明题30%

1.试验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡122t t t 是方程组x '=⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎣⎡-t t 22102x,x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ，在任何不包含原点的区间

a b t ≤≤上的基解矩阵。

2.设()t Φ为方程x '

=Ax （A 为n ⨯n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明:

()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.

常微分方程期终试卷(3)

一 . 解下列方程(10%*8=80%)

2. dx dy =6x y -x 2y

3. '

y =22)12(-++y x y

4. x '

y =

2

2y x ++y 6. {y-x(2

x +2

y )}dx-xdy=0

8. 已知f(x)⎰

x

dt

t f 0)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。

二． 证明题(10%*2=20%)

9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试同齐次函数，且xM+yN ≠0,则)

(1

yN xM +是该方程的一个积分因子。

常微分方程期终试卷（4）

一、填空题 1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。

２、当（ ）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（ ）。

４、对毕卡逼近序列，()

)()(1≤--x x k k ϕϕ。

５、解线性方程的常用方法有（ ）。

６、若)

,,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。 ７、方程组x t A x )(='（ ）。

８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系：（ ）。 ９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ）。当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１１、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解（ ）。

二、计算题

求下列方程的通解。

１、1

sin 4-=-x e dx dy

y 。

２、1

)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡

-dx dy y 。

３、求方程2

y x dx dy

+=通过)0,0(的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。 ４、0=+'+''x x x 。

５、t

e x x =-'''。

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性： ６、

5,!--=+--=y x dt dy

y x dt dx 。

三、证明题。

１、１、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，

证明

)(t φ)()(001

t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

常微分方程期终考试试卷（5）

一． 填空题 （30分）

1．)()(x Q y x P dx dy

+=称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx

x P e )( ，其通解为

_________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。

3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列

{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤______ 。