2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.6 指数与指数函数(讲)

- 1 - 第06节 指数与指数函数 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测

指数幂的运算 1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。 2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 3.了解指数函数的变化特征. 2013•浙江理3； 2014•浙江文8；理7； 2015•浙江理12； 2016•浙江文7；理12； 2017•浙江5. 1.指数幂的运算； 2.指数函数的图象和性质的应用. 3.备考重点： （1）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小； （2）图象过定点； （3）底数分类讨论问题.

指数函数的图象和性质

【知识清单】 1.根式和分数指数幂 1.根式

(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝

a，a≥0，

－a，a<0. 2.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

对点练习

化简：(1)a3b23ab2（a14b12）4a－13b13(a>0，b>0)； - 2 -

(2)－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 【答案】 (1) ab－1.(2)－1679.

＝－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 2.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<1

图象 定义域 R 值域 (0，＋∞)

性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数

对点练习 【2017广西桂林模拟】当x<0时，函数f(x)＝(2a－1)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是( )

A.12，1 B．(1,2) - 3 -

C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 【答案】A

【解析】由题意可得0<2a－1<1，解得12【考点深度剖析】 从近几年的高考试题来看，指数函数的图象和性质及其应用是高考的热点，题型多以选择题、填空题为主，偶尔有以大题中关键一步的形式出现，主要考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等．常常与对数函数综合考查. 【重点难点突破】 考点1 根式、指数幂的化简与求值

【1-1】化简3234[(5)]的结果为（ ） A．5 B． C．﹣ D．﹣5 【答案】B

【解析】3234[(5)]，故选B 【1-2】1332×760＋148×42－2323＝________. 【答案】2

【领悟技法】 指数幂的化简与求值 (1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算． (2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．

【触类旁通】 - 4 -

【变式一】11320.25331181()lg4lg825 . 【答案】2

【变式二】1.5－13×760＋80.25×42＋(32×3)6－2323 【答案】110 【解析】原式＝113133234422 2223210811033＋＋－. 考点2 根式、指数幂的条件求值 【2-1】已知11223aa，求下列各式的值. （1）11aa；（2）22aa；（3）22111aaaa 【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223aa两边平方得1129aa，所以117aa. （2）将117aa两边平方得22249aa，所以2247aa.

（3）由（1）（2）可得22114716.171aaaa

【2-2】已知,ab是方程2640xx的两根，且0,ab求abab的值. 【答案】55 【解析】由已知，64abab， 所以226241().52624abababababab - 5 -

因为0,,abab 所以5.5abab 【领悟技法】 根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.

【触类旁通】

【变式一】已知12,9,xyxy且xy，求11221122xyxy的值.

【答案】33

考点3 指数函数的概念、图象、性质及其应用 【3-1】【2017山东德州一模】已知a＝3525，b＝2535，c＝2525，则( ) A.aC.c【答案】D

【解析】∵2()5xy在R上为减函数，3255，∴bc. - 6 -

又∵25yx在(0)，＋上为增函数，3255， .acbca，

【3-2】【2017河南安阳模拟】已知函数xfxa＝ (a>0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )

A.1 B.a C.2 D.a2 【答案】A 【解析】∵以1122()()PxfxQxfx，，，为端点的线段的中点在y轴上， ∴120xx＋＝.又∵xfxa＝， ∴0121212··1xxxxfxfxaaaa＋＝＝＝＝.

【3-3】函数y＝1222xx－的值域为( ) A.12，＋∞ B.－∞，12 C.0，12 D．(0,2] 【答案】A

【3-4】指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________. 【答案】 (1，2) 【解析】由题意知0<2－a<1，解得1

【领悟技法】 1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况. 2.形如. ()(0,1)fxyaaa＝一类函数，有如下结论： （1）()(0,1)fxyaaa＝的定义域、奇偶性与()fx的定义域、奇偶性相同； （2）先确定()fx的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)fxyaaa＝的值域； （3）()(0,1)fxyaaa＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),uufxya的单调性相- 7 -

同时，()(0,1)fxyaaa＝是增函数，(),uufxya的单调性不同时，()(0,1)fxyaaa＝是减函数.

【触类旁通】 【变式一】已知22,3xxfxfm,且0m,若2,2,2afmbfmcfm,则,,abc的大小关系为（ ）

A．cba B．acb C．abc D．bac 【答案】D 【解析】由于322)(mmmf,所以6)(2mf,72)22()2(2mmmf,而

mmmmmmfc241712241)23(44224)2(,由于

120,0mm,因此743141712c,所以bac,应选D．

【变式二】【2017河北衡水中学模拟】若a＝23x，b＝x2，c＝log23x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是( ) A.cC.a【答案】A

【易错试题常警惕】 易错典例1：计算下列各式的值．

（1）33(8)；（2）2(10)；（3）44(3)；（4）2()()abab.

易错分析：,||,nnanaan为奇数为偶数，不注意n的奇偶性对nna的影响，是导致错误出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．