2019-2020学年高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识第1课时柱锥台的侧面展开与面积课件北师大版
2019-2020年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案新人教A版必修2
2019-2020年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积πr1为上底半径 r为下底半径 l为母线长（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
高中数学 第一章 立体几何初步 7 简单几何体的再认识
体积
说明
柱体
V ＝ 柱体 Sh
S 为柱体的底面积，h 为柱体的高
锥体 台体
1 V ＝ 锥体 3Sh
S 为锥体的底面积，h 为锥体的高
V
＝ 台体
1 3(S
上＋
S上S下＋S 下)·h
S 上， S 下分别为台体的上、下底面 积，h 为高
直角三角形两直角边 AB＝3，AC＝4，以 AB 为轴旋转所得的几何体的体积
(1)割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥体 (或补成一个柱体或锥体)，求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．
(2)等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．求体积时，可选 择容易计算的方式来计算．
[再练一题] 2．如图 1-7-16，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD， 垂足为 H，PH 是四棱锥的高．若 AB＝ 6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥 P-ABCD 的体积．
[再练一题] 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正 方体和圆柱的体积之比.
【导学号：10690030】
【解】 设正方体边长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a22π＝rhπ＝r24，a2，
① ②
由①得 r＝ ππa，
由②得 πrh＝2a2，∴V 圆柱＝πr2h＝2ππa3，
柱体的体积
[小组合作型]
如图 1-7-15①是一个水平放置的正三棱柱 ABC-A1B1C1，D 是棱 BC 的中点．正三棱柱的主视图如图 1-7-15②.
求正三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积．
图 1-7-15
【精彩点拨】 先利用主视图中的数据确定出正三棱柱底面边长及侧棱长， 再代入柱体的体积公式求解．
2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征知识点一旋转体名称定义相关概念图形表示法圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆柱轴：旋转轴叫作圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆柱的底面；侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫作圆柱侧面的母线图中圆柱表示为圆柱O′O圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆锥轴：旋转轴叫作圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆锥的底面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫作圆锥侧面的母线图中圆锥表示为圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线图中圆台表示为圆台O′O球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫作球体，简称球球心：半圆的圆心叫作球的球心；半径：半圆的半径叫作球的半径；直径：半圆的直径叫作球的直径1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．2．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．知识点二简单组合体1．简单组合体的定义由简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式(1)由简单几何体拼接而成；(2)由简单几何体截去或挖去一部分而成．要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．( )(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．( )(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．( )(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的侧面展开图是一个扇形C．圆台的侧面展开图是一个梯形D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径解析：圆台的侧面展开图是一个扇环，其余的A、B、D都正确．答案：C3．如图所示，其中为圆柱体的是( )解析：B、D不是旋转体，首先被排除．又A不符合圆柱体的定义，只有C符合，所以选C.答案：C4．如图所示，已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝________.解析：连接OS，OA，在Rt△OSA中，OA＝4，所以h＝SA2－OA2＝52－42＝3.答案：3类型一旋转体的结构特征例1 给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．【解析】(1)正确，圆柱的底面是圆面．(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．【答案】(1)(2)旋转体的判断⇒旋转体的结构特征．方法归纳1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1 判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解析：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．由圆锥、圆台、球的定义来判断．类型二简单组合体例2 观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：(1)几何体①是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，使得旋转该图形180°后得到几何体①.(2)几何体②的结构特点是什么？试画出几何图形，使得旋转该图形360°得到几何体②.(3)几何体③是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．【解析】(1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转如下图(a)180°得到几何体①.(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如图(b)360°得到几何体②.(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．该几何体共有9个面、9个顶点、16条棱.解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力．方法归纳1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如几何体③所示的组合体有9个面、9个顶点、16条棱．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“拆分”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．跟踪训练2 下列组合体是由哪些几何体组成的？解析：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．利用圆柱、圆台、圆锥、球的结构特征来判断几何体的组合情况．类型三旋转体的侧面展开图例3如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋2π2＝21＋π2，∴蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.圆柱的展开图是矩形，利用平面图形的知识来解．方法归纳解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：跟踪训练3若例3中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？解析：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求，AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，∴AB′＝AB2＋BB′2＝4＋16π2＝21＋4π2.所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋4π2.对比例3转两圈对应两个矩形．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．[2019·厦门一中检测]下列说法正确的是( )A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D．圆锥的母线可能平行解析：对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面．对于B，等腰梯形(轴截面)的腰才是圆台的母线．对于D，圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平行．答案：C2．下列说法正确的有( )①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．答案：C3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )A．圆台 B．圆锥C．圆柱 D．球解析：由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，所以形成的几何体是圆锥．故选B.答案：B4．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的( )解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案：A5．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( ) A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱解析：一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列说法正确的是________．①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．解析：①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边的中线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．答案：③7．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是310，则其轴截面面积是________． 解析：设圆台的高为h ，则h ＝3102－5－22＝9，∴轴截面面积S ＝12(4＋10)×9＝63.答案：638．[2019·扬州市校级月考]两相邻边长分别为3 cm 和4 cm 的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________．解析：当以3 cm 长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm ，底面半径为4 cm ； 当以4 cm 长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm ，底面半径为3 cm. 答案：3 cm,4 cm 或4 cm,3 cm 三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，它绕AB 边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？解析：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥． 10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解析：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成． (2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．[能力提升](20分钟，40分)11．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好与圆木顶部平齐，问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为( )A．29尺 B．24尺C．26尺 D．30尺解析：由题意，圆木的侧面展开图是矩形，将圆木侧面展开两次，则一条直角边(即圆木的高)长为24尺，其邻边长为5×2＝10(尺)，因此葛藤最短为242＋102＝26(尺)．答案：C12．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为________．解析：过直角顶点向斜边作垂线，则由旋转体的定义可知，该直角三角形绕斜边所在的直线旋转形成的几何体是由两个共底面(底面半径为2)的圆锥组成的组合体.答案：由两个共底面(底面半径为2)的圆锥组成的组合体13．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线长为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.(1)由勾股定理得h＝122－5－22＝315 (cm)．(2)由三角形相似得：x －12x ＝25， 解得x ＝20 (cm)． 14．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？解析：图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．。
2019-2020高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱
由圆柱的侧面积相等，得 2π r 1 h1＝2π r 2h2，
即 r 1h1＝ r 2h2.
V1
π
r
h2
11
r1
3
∴
＝ V2
π
r
22h2＝
r
＝
2
. 2
3 答案 2
5．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为
________ ．
解析 由已知中的三视图可得： 该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，
93 B． 9 2＋ 4 D ．12 3
解析 由三视图可知三棱锥的高为 2 2，底面正三角形的高为 3，则底面正三角形的边长 a 3
满足 2 a＝ 3，解得 a＝ 2 3.
又侧棱长为 （ 2 2） 2＋ 22＝ 2 3，
故该正三棱锥是正四面体，
该三棱锥的表面积为： 4×
3Hale Waihona Puke ×(23) 2＝ 12 3. 故选 D.
解析 依题意得，该四棱锥底面平行四边形的一边长为
2，该边上的高为 1.
又依据正视图知该四棱锥高为 3.
∴V 四棱锥
1
1
＝ 3S· h＝ 3×2×1×3＝
2(m3)
．
答案 2
5．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为
a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之
比为 ________．
a2 解析 S 圆柱＝2·π 2 ＋2π·
B．7π cm 2
C． (5 ＋ 3) π cm 2
D ．6π cm 2
(2) 如图，网格纸上小正方形的边长为
1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由
一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
2020高中数学第一章立体几何初步1
3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．ༀ1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( )A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，S 全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选 C 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．∵O1为PO2的中点，∴＝＝＝，∴PA＝AB，O2B＝2O1A.∵S圆锥侧＝×2π·O1A·PA，S圆台侧＝×2π·(O1A＋O2B)·AB，∴＝＝.1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和．2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．ༀ1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20(cm)，同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr2＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100π cm2.ༀ2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积．[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm和18 cm，腰长为13 cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线，设垂足为F，易知BE＝CF.∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC，∴BF＝＝＝13.∴BE＝BF－AD＝13－8＝5.又AB＝13，∴AE＝12.∴S四边形ABCD＝(AD＋BC)·AE＝×(18＋8)×12＝156(cm2)．故其侧面积为156×5＝780(cm2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．ༀ2．已知正三棱锥VABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，取BC的中点D，连接VD，则VD＝＝＝，∴S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，S△ABC＝×(2)2×＝3，∴三棱锥VABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋).ༀ3．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r，则＝，∴ r＝R－x，∴S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－·x2.(2)∵S圆柱侧是关于x的二次函数，∴当x＝－＝时，S圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．ༀ3．已知底面半径为cm，母线长为cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则S＝S底＋S柱侧＋S圆锥侧＝π×()2＋2π××＋π××3＝(3＋6＋3)π(cm2)．如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，点P为母线B′B的中点，∠AOB＝π，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程．[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A、P两点转化到同一个平面上解决．[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP.在Rt△ABP中，AB＝π×2＝π(cm)，PB＝2(cm)，∴AP＝＝ (cm)．故蚂蚁爬的最短路程为 cm.1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A．1∶2B．1∶1C．1∶4 D．4∶1解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，∴S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1.2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )(2)∵S上底＋S下底＝a2＋b2，∴(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，∴h斜＝.又EF＝，h＝＝.第2课时柱、锥、台的体积[核心必知]柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝Sh S为柱体的底面积h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)·h S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高[问题思考]仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？提示：(1)底面半径是r，高是h的圆柱的体积是：V圆柱＝πr2h.(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：V圆锥＝πr2h.(3)如果圆台上、下底面半径分别是r′、r，高是h，那么它的体积是：V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．ༀ1．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，点C到AB的距离为3 cm，侧面ABB1A1的面积为8 cm2，求直三棱柱的体积．[尝试解答] 法一：如图，设点C到AB的距离为d，侧面ABB1A1的面积为S1，则△ABC的面积S＝|AB|d.∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S|AA1| ＝|AB|d|AA1|＝|AB|·|AA1|d ＝S1 d ＝12(cm3)．法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCDA1B1C1D1.可以看成以A1ABB1为底面的四棱柱D1DCC1A1ABB1.则ABB1A1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D1DCC1A1ABB1的体积V ＝24(cm3)， 则直三棱柱的体积为12(cm3)．(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．ༀ1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎨⎧a2＝πr2， ①2πrh＝4a2， ②由①得r ＝a ， 由②得πrh＝2a2， ∴V 圆柱＝πr2h ＝a3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a3∶(a3)＝∶1＝∶2.ༀ2.如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD 的体积．[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB ＝， 所以HA ＝HB ＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan 30°＝1.可得PH＝＝，等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”．ༀ2．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．∵△ABC为直角三角形，且AB为斜边，∴绕AB边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r＝.∴V锥＝·AB·πr2＝×5×π×2＝π.ༀ3．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(c m2)．其次，如图，圆台的高h＝BC＝BD2－OD－AB 2＝＝4(cm)，所以V圆台＝h(S＋＋S′)＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．ༀ3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm，侧面积为180 cm2，求棱台的体积．解：如图，分别过正四棱台的底面中心O1，O作O1E1⊥B1C1，OE⊥BC，垂足分别为E1，E，则E1E为正四棱台的斜高．由于正四棱台的侧面积为180 cm2，所以×4×(6＋12)|E1E|＝180，解得|E1E|＝5.在直角梯形O1OEE1中，O1E1＝3，OE＝6，E1E＝5，解得O1O＝4.所以正四棱台的体积为V＝h(S＋＋S′)＝×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm3)．如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥CA′DD′，求棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比．[解] 法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCDA′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a，∴V三棱锥C－A′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc.则剩余部分的体积V剩＝abc－abc＝abc.故V三棱锥C－A′D′D∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.[尝试用另外一种方法解题]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A．1∶∶ B．6∶2∶ 3C．6∶2∶3 D．3∶2∶6解析：选C 设如图所示的Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π()2×2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.二、填空题6．如图已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝.答案：πr2a＋b27．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h，则h＝________.解析：锥体的底面半径和高都是h，圆柱体的底面半径是，高为h，依题意得h2·h＝π·()2·h，解得h＝a.答案：a8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：此几何体的直观图如图，ABCD为正方形，边长为20 cm，S在底面的射影为CD中点E，SE＝20 cm，VSABCD＝SABCD·SE＝cm3.答案： cm3用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.ༀ1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．[尝试解答] 如图所示，设球心为O，截面圆圆心O1，球半径为R，连接OO1，则OO1是球心到截面的距离．由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x.又O1A＝O1C，∴＝－x.解得x＝.则O1A＝O1B＝O1C＝.在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R.由勾股定理，得2＋2＝R2.解得R＝.故S球面＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π.计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．ༀ1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O1，则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径．∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48.在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，即R2＝2＋48，∴R＝8(cm)，∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)，V球＝πR3＝π(cm3).ༀ2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．[尝试解答]如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC、AC相切于点D、E.连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm，∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴＝.设OE＝r，则AO＝(－r)，∴＝，∴r＝ cm，V球＝π()3＝π(cm3)，即球的体积等于π cm3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．ༀ2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC′＝，AC＝·＝2，设球的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝()2＋()2＝9，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．[错解] 如图所示，设OD＝x，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，。
高中数学第一章立体几何初步1.7.1简单几何体的侧面积笔记全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PP
S圆台侧 (r r)l (10 20) 20 600 (cm2 ).
答:圆台侧面积为600 cm2.
ห้องสมุดไป่ตู้
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四、反馈练习
1.已知圆锥底面半径为3cm，高为4cm，求其表面积。 2.已知正三棱柱高为h, 底面边长为a, 求表面积.
五、思索交流
正四棱台上、下两底面边长分别是3cm,6cm, 其侧面积等于两底 面积之和, 则其斜高是多少?
7.简单几何体再认识
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复习回顾 1.旋转体
圆柱 2.多面体
圆锥
圆台
棱柱
棱锥
棱台
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7.1柱，锥，台侧面展开与面积
1.经过对柱体，锥体，台体研究，了解它们侧面积计算公 式。 2.能利用柱体，锥体，台体侧面积公式进行计算和处理相 关实际问题. 3.培养空间想象力和思维能力.
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一、预习检测
正棱台
S直棱柱侧 ch
S正棱锥侧
1 2
ch
S正棱台侧
1 2
(c
c)h
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三、应用
例1.一个圆柱形锅炉，底面直径d=1m,高h=2.3m.求锅炉
表面积(保留2个有效数字）.
解： S S圆柱侧 2S圆柱底面
dh
2
d 2
2
1 2.3 2 1
圆柱
4
8.8(m2 ).
答: 锅炉表面积约为8.8 m2.
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例2.圆台上、下底面半径分
别是10cm和20cm, 它侧面展
开图扇环圆心角是180o， 那么圆台侧面积是多少？
（结果中保留 ）
解： 如图, 设上底面周长为c.
高中数学 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件 北师大版必修2
• 圆锥与圆台(yuántái)的侧面积
圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，这两部分
侧面积的比为( )
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
• [思路分析(fēnxī)] 本题主要考查圆锥的侧面 积和圆台的侧面积，关键是利用比例的关系 求解．
• [答案] C
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• [规B1F范＝(hg′u，īfBàFn＝)解12(8答－4])＝解2，法1：如图，在 RBt1△B＝B81，FB中，
∴B1F＝ 82－22＝2 15， ∴h′＝B1F＝2 15， ∴S 正棱台侧＝12(4×8＋4×4)·2 15 ＝48 15(cm2)．
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解法 2：正四棱台的侧棱延长后交于一点 P，设 PB1＝x， 则x＋x 8＝24，得 x＝8， ∴PB1＝B1B＝8. ∴E1 为 PE 的中点， ∴PE1＝ 82－22＝2 15， PE＝2PE1＝4 15.
母线长．)
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• 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 • S直棱柱侧C＝h ________ • (其中C为底面周长(zhōu chánɡ)，h为高) • S正棱锥侧12＝Ch_′_______________. • (其中C为底面周长(zhōu chánɡ)，h′为斜高，
即侧面等腰三角形的高．) • S正棱台侧＝12(C_＋_C_′_)_h_′__________. • (其中C′，C分别为上、下底面周长(zhōu
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[错解二] 3 10 因为正四棱台的上、下底面面积分别为 4、16，所以上、下底面的边长分别为 2,4.
根据高、斜高和底面边心距得到的直角三角形，可求得斜 高 h′＝ 32＋4－2 22＝ 10.